Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Calcul cu formula unei legi

Cum calculez x∘y la o lege dată prin formulă?

Scrii perechea sub formulă: numărul din stânga intră în locul lui $x$ , cel din dreapta în locul lui $y$ , fiecare cu paranteza lui. Faci întâi înmulțirile, la urmă adunările și scăderile. Pentru $x \circ y = x y - 3 x + 2 y$ , perechea $(- 2, 5)$ dă $(- 2) \cdot 5 - 3 \cdot (- 2) + 2 \cdot 5 = - 10 + 6 + 10 = 6$ . Ca probă, regrupezi termenii și refaci calculul.

Ca să calculezi $a \circ b$ , pui primul element în locul lui $x$ și al doilea în locul lui $y$ , fiecare între paranteze, apoi faci întâi produsele și puterile și abia după aceea adunările și scăderile. La radicali folosești $a \cdot a = a$ , iar termenii cu radical îi aduni între ei.

Ordinea elementelor contează la multe legi: la $x \circ y = 2 x - y + 1$ , $3 \circ 1 = 6$ , dar $1 \circ 3 = 0$ . Cu trei elemente, parantezele spun ce faci întâi: $(a \circ b) \circ c$ înseamnă $a \circ b$ , apoi rezultatul compus cu $c$ . Scrierea fără paranteze are sens doar la legile asociative.

La egalitățile „pentru orice număr real $x$ ” înlocuiești expresii întregi, între paranteze, desfaci și reduci termenii asemenea; un singur număr încercat nu dovedește egalitatea.

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), calculul valorii legii într-o pereche a apărut în toate cele 60 de probe din 2013–2026, ca prima cerință.

De reținut

primul element în locul lui $x$ , al doilea în locul lui $y$ , cu paranteze
întâi produsele, apoi adunările și scăderile
$(a \circ b) \circ c$ : întâi paranteza, apoi compunerea cu $c$

Greșeala tipică

Se inversează cele două numere: la $x \circ y = x + 6 y$ se calculează $5 \circ 2 = 17$ când se cere $2 \circ 5$ . Corect, primul număr din pereche ia locul lui $x$ , deci $2 \circ 5 = 2 + 30 = 32$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ se definește legea $x \circ y = x y - 4 x - 4 y + 19$ . Cât este $(- 1) \circ 3$ ?
- a) $8$
- b) $0$
- c) $14$
- d) $- 11$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $8$

Înlocuiești cu paranteze: $(- 1) \cdot 3 - 4 \cdot (- 1) - 4 \cdot 3 + 19 = - 3 + 4 - 12 + 19 = 8$ . Varianta $0$ ia $- 4 \cdot (- 1)$ drept $- 4$ , varianta $14$ ia produsul $(- 1) \cdot 3$ drept $+ 3$ , iar $- 11$ uită termenul liber $19$ .
Pe $R$ se definește legea $x \circ y = 3 x - y + 2$ . Cât este $1 \circ 5$ ?
- a) $16$
- b) $- 2$
- c) $0$
- d) $10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0$

Primul element merge în locul lui $x$ : $1 \circ 5 = 3 \cdot 1 - 5 + 2 = 0$ . Varianta $16$ este $5 \circ 1$ , adică ordinea inversată; $- 2$ uită termenul $+ 2$ , iar $10$ adună $5$ în loc să-l scadă.
Pe $R$ se definește legea $x \circ y = x - 2 y$ . Cât este $(5 \circ 1) \circ 2$ ?
- a) $- 1$
- b) $11$
- c) $3$
- d) $- 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 1$

Întâi paranteza: $5 \circ 1 = 5 - 2 = 3$ , apoi $3 \circ 2 = 3 - 4 = - 1$ . Varianta $11$ este cealaltă grupare, $5 \circ (1 \circ 2) = 5 \circ (- 3)$ ; varianta $3$ se oprește după paranteză, iar $- 4$ calculează $2 \circ 3$ la al doilea pas.

Întrebări conexe

Ce fac cu un număr negativ înlocuit într-o lege de compoziție?

Îl pui între paranteze, cu semnul lui, înainte de orice înmulțire. La $x \circ y = 4 x - x y$ , perechea $(- 3, 2)$ dă $4 \cdot (- 3) - (- 3) \cdot 2 = - 12 + 6 = - 6$ . Fără paranteze, minusul se pierde ușor la al doilea produs.

Cum calculez o lege de compoziție cu radicali?

Calculezi întâi produsele de radicali, cu $a \cdot a = a$ , apoi aduni separat termenii fără radical și pe cei cu radical; un rezultat ca $5 - 45$ nu se mai poate strânge. La $x \circ y = x y - 2 x - 2 y$ , perechea $(5, 5)$ dă exact $5 - 45$ .

Ce înseamnă (a∘b)∘c la o lege de compoziție?

Calculezi întâi $a \circ b$ , apoi compui rezultatul obținut cu $c$ . La $x \circ y = 3 x + 2 y$ : $(1 \circ 3) \circ 4 = 9 \circ 4 = 35$ , dar $1 \circ (3 \circ 4) = 1 \circ 17 = 37$ . Parantezele contează la orice lege care nu este asociativă, deci nu le scoate din enunț.

Când contează ordinea la calculul lui x∘y?

Când formula nu tratează la fel cele două litere. La $x \circ y = x + 6 y$ , $2 \circ 5 = 32$ , dar $5 \circ 2 = 17$ . La $x \circ y = x y + 2 x + 2 y$ ordinea nu contează, fiindcă literele își pot schimba locul fără ca formula să se schimbe.

Cum arăt o egalitate cu o lege pentru orice x real?

Înlocuiești în formula legii expresiile cu $x$ , între paranteze, desfaci parantezele și reduci termenii în ambii membri. Dacă obții aceeași expresie, egalitatea e dovedită. Încercarea pe câteva numere e doar o verificare, nu o demonstrație.

Ce calcule cu legea s-au cerut la Bacalaureatul M4?

În probele M_pedagogic din 2013–2026, prima cerință a fost de fiecare dată valoarea legii într-o pereche, adică în 60 de probe din 60, cu numere negative, fracții sau radicali. Au mai apărut grupări de trei elemente, ca în iunie 2020, și egalități valabile pentru orice $x$ : 23 cu expresii puse în formula legii, plus 34 cu forma cu paranteze.

Oamenii mai întreabă și: cum se calculează o lege de compoziție · cum înlocuiesc numerele în formula legii · calcul cu lege de compoziție exemplu · cât face x compus cu y