Calcule cu o lege dată prin formulă, la pedagogic

Valoarea unei legi într-o pereche de numere pare un calcul banal până apar un număr negativ, un radical sau trei elemente. În clasa a XI-a, la profilul pedagogic, înveți să înlocuiești corect în formula unei legi, să păstrezi ordinea și să grupezi trei elemente. La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), un astfel de calcul a stat în toate cele 60 de probe din 2013–2026, ca prima cerință.

Situația de pornire

Pentru serbarea de primăvară, o educatoare face cu copiii panouri din pătrățele de hârtie colorată, lipite pe rânduri și coloane. Pătrățelele de pe margine formează un chenar roșu, iar cele din interior sunt albe. Educatoarea numără pătrățelele albe ale fiecărui panou, ca să știe câtă hârtie albă cumpără.

O colegă îi dă formula $x\circ y=xy-2x-2y+4$ pentru numărul pătrățelelor albe ale unui panou cu $x$ rânduri și $y$ coloane.

Întrebare: dă formula numerele din ultima coloană? Câte pătrățele albe va avea panoul cel mare, de 9 rânduri și 12 coloane, și se schimbă rezultatul dacă panoul se lipește întors, cu 12 rânduri și 9 coloane?

De la situație la model

A calcula cu o lege dată prin formulă înseamnă a înlocui fiecare literă cu numărul de pe locul ei: primul element ia locul lui $x$, al doilea pe al lui $y$. Apoi calculezi în ordinea obișnuită: întâi produsele, apoi adunările și scăderile.

Cum înlocuiești un număr negativ sau un radical?

Pui numărul între paranteze, cu tot cu semn: $(-3)\circ 5=(-3)\cdot 5-2\cdot (-3)-2\cdot 5+4=-15+6-10+4=-15$. La radicali, produsele $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$ se fac primele, iar termenii cu radical se adună între ei: $\sqrt{3}\circ \sqrt{3}=3-4\sqrt{3}+4=7-4\sqrt{3}$. Fără paranteze, produsele cu numere negative se citesc ușor greșit, iar o singură greșeală de semn schimbă tot rezultatul.

Contează ordinea celor două numere?

La legea panoului, nu: $x$ și $y$ apar la fel în formulă. La alte legi, da: la $x\circ y=2x-y+1$, $3\circ 1=6$, dar $1\circ 3=0$. Proprietatea care îți dă voie să schimbi locurile are lecția ei, comutativitatea și tabla operației. Un semn sigur: dacă formula rămâne aceeași când schimbi literele între ele, ordinea nu contează; dacă un coeficient trece de la o literă la cealaltă, contează. La concursul din Exemplul 2, citirea are ponderea 3, iar povestirea ponderea 1, deci notele nu își pot schimba locurile.

Cum calculezi cu trei elemente sau cu expresii?

$(a\circ b)\circ c$ înseamnă: întâi $a\circ b$, apoi rezultatul compus cu $c$; $a\circ (b\circ c)$ cere întâi paranteza din dreapta. Cele două pot da numere diferite, ca în Exemplul 4, de aceea $a\circ b\circ c$ se scrie fără paranteze doar la legile din asociativitatea pas cu pas. La cerințele „pentru orice $x$” pui în formulă o expresie întreagă, între paranteze: la legea panoului, $(x+1)\circ 2=2(x+1)-2(x+1)-4+4=0$.

Metoda pas cu pas

1. Scrie formula legii și, dedesubt, perechea: primul element pe locul lui $x$, al doilea pe locul lui $y$.
2. Înlocuiește fiecare literă, cu paranteză în jurul numerelor negative, al radicalilor, al fracțiilor și al expresiilor.
3. Calculează produsele și puterile, apoi adunările și scăderile; la radicali, $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$.
4. La trei elemente, respectă parantezele: întâi paranteza, apoi compunerea cu al treilea element.
5. Verifică pe alt drum: o numărătoare directă, o grupare diferită a termenilor sau un număr încercat în identitatea „pentru orice $x$”.

Calculul stă la baza întregii unități, de la ce este o lege de compoziție încolo; lecția M3 Lege de compoziție la tehnologic: tabla are alte situații. Toată materia e pe pagina clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

$$x\circ y=\dots \Rightarrow a\circ b:x\to (a),y\to (b)$$

$$(a\circ b)\circ c:\text{ ıˆntaˆi }a\circ b,\text{ apoi rezultatul compus cu }c$$

Paranteza în jurul numărului înlocuit nu greșește niciodată. Verificare rapidă pe legea panoului: $3\circ 3=9-6-6+4=1$, un singur pătrățel alb în mijlocul unui panou de 3 pe 3. Când un rezultat iese ciudat, de pildă un număr negativ de pătrățele, întoarce-te la pasul 2: de cele mai multe ori lipsește o paranteză sau un semn.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Panourile de la serbare

Domeniu: activități artistico-plastice la grădiniță.

Enunț. Reia tabelul din situație, cu legea $x\circ y=xy-2x-2y+4$. a) Verifică formula pe panoul grupei mari. b) Câte pătrățele albe are panoul de 9 rânduri și 12 coloane? c) Calculează $12\circ 9$. d) Calculează $2\circ 9$ și spune ce panou descrie.

Rezolvare. a) $4\circ 9=36-8-18+4=14$, cât s-a numărat. b) $9\circ 12=108-18-24+4=70$ de pătrățele albe. c) $12\circ 9=108-24-18+4=70$: panoul întors are tot 70, fiindcă $x$ și $y$ apar la fel în formulă. d) $2\circ 9=18-4-18+4=0$: un panou cu două rânduri are toate pătrățelele pe margine.

Capcană. Cine calculează de la stânga la dreapta, fără prioritatea înmulțirii, face $4\cdot 9-2=34$, apoi $34\cdot 4=136$, și ajunge la un număr fără legătură cu panoul. Ordinea operațiilor e aceeași ca la clasele primare: înmulțirile se fac înaintea adunărilor și a scăderilor, chiar dacă stau mai la dreapta în rând.

Verificare. Interiorul panoului de 9 pe 12 este un dreptunghi de 7 rânduri și 10 coloane, după ce scoți chenarul: $7\cdot 10=70$.

Exemplul 2 — Concursul „Cel mai bun cititor”

Domeniu: concurs școlar.

Enunț. La concursul de lectură al claselor a IV-a, juriul dă nota $x$ pentru citirea textului și nota $y$ pentru povestire. Citirea contează de trei ori mai mult: nota finală este $x\circ y=\frac{3x+y}{4}$. a) Ioana are 9 la citire și 7 la povestire. Ce notă finală are? b) Ce notă ar avea cu notele inversate? c) Calculează $(8\circ 6)\circ 10$ și $8\circ (6\circ 10)$.

Rezolvare. a) $9\circ 7=\frac{27+7}{4}=8,5$. b) $7\circ 9=\frac{21+9}{4}=7,5$: primul loc are ponderea 3. c) $8\circ 6=\frac{30}{4}=7,5$, apoi $7,5\circ 10=\frac{22,5+10}{4}=8,125$. Pe cealaltă grupare, $6\circ 10=7$, apoi $8\circ 7=\frac{31}{4}=7,75$. Rezultatele diferă.

Capcană. Cine pune nota de povestire pe primul loc îi dă Ioanei 7,5.

Verificare. Nota finală e o medie cu patru „voturi”, trei pentru citire și unul pentru povestire: $9+9+9+7=34$, iar $34:4=8,5$.

Exemplul 3 — Fracții și radicali

Domeniu: calcul cu numere reale.

Enunț. Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\circ y=2xy-3x-3y+8$. Calculează a) $\frac{1}{2}\circ \frac{2}{3}$; b) $\left(-\sqrt{2}\right)\circ \sqrt{2}$.

Rezolvare. a) $2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}-\frac{3}{2}-2+8=\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+6=\frac{4-9+36}{6}=\frac{31}{6}$. b) $2\cdot \left(-\sqrt{2}\right)\cdot \sqrt{2}=-4$, iar $-3\cdot \left(-\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2}=0$, deci rezultatul este $-4+8=4$.

Capcană. La b), cine scrie $-3\cdot \left(-\sqrt{2}\right)=-3\sqrt{2}$ obține $4-6\sqrt{2}$ în loc de 4. La a), fracțiile se aduc la același numitor abia la final, după ce ai făcut toate produsele.

Verificare. Cu termenii grupați, $x\circ y=2xy-3(x+y)+8$. La b), $x+y=0$ și $xy=-2$: $-4+8=4$. La a), $x+y=\frac{7}{6}$ și $xy=\frac{1}{3}$: $\frac{2}{3}-\frac{7}{2}+8=\frac{31}{6}$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: valoare, grupare, identitate

Domeniu: fără context.

Enunț. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-3x-3y+15$. a) Arătați că $2\ast 5=4$. b) Calculați $(1\ast 2)\ast 4$ și $1\ast (2\ast 4)$. c) Arătați că $x\ast (6-x)=6-(x-3{)}^2$, pentru orice număr real $x$.

Rezolvare. a) $2\ast 5=10-6-15+15=4$. b) $1\ast 2=2-3-6+15=8$, apoi $8\ast 4=32-24-12+15=11$. Pe cealaltă grupare, $2\ast 4=8-6-12+15=5$, apoi $1\ast 5=5-3-15+15=2$. c) Înlocuiești $y$ cu $6-x$: $x(6-x)-3x-3(6-x)+15=6x-x^2-3x-18+3x+15=-x^2+6x-3$. Membrul drept: $6-(x^2-6x+9)=-x^2+6x-3$. Membrii sunt egali.

Capcană. Cine scrie $1\ast 2\ast 4$ și calculează o singură grupare ratează faptul că grupările dau 11 și 2.

Verificare. La c), cu $x=1$: $1\ast 5=2$ și $6-(1-3{)}^2=2$. Cu $x=3$: $3\ast 3=9-9-9+15=6$ și $6-0=6$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\circ y=5x-2y+3$. Calculează $4\circ 1$, $1\circ 4$ și $(-2)\circ (-3)$.

2. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\circ y=xy-2x-2y+7$. Calculează $3\circ (-1)$, $\frac{1}{2}\circ 5$ și $(-5)\circ (-5)$.

3. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\circ y=x^2-xy+2y$. Calculează $3\circ 2$, $2\circ 3$ și $(-1)\circ 4$.

4. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\circ y=x+3y$. Calculează $(2\circ 3)\circ 4$ și $2\circ (3\circ 4)$.

Nivelul 2 — situații

5. La panourile din situație, chenarul roșu are $x\ast y=2x+2y-4$ pătrățele. a) Câte pătrățele roșii are panoul de 5 pe 7? b) Dar cel de 6 pe 6? c) Arată că, la panoul de 5 pe 7, pătrățelele roșii și cele albe le fac pe toate.

6. La teatrul de păpuși merg 21 de copii și 3 adulți, iar un bilet de adult e gratuit: costul este $x\circ y=21x+2y$ lei, cu $x$ prețul biletului de copil și $y$ al celui de adult. a) Cât plătește grupa la 15 lei biletul de copil și 25 de lei cel de adult? b) Ce greșeală descrie $25\circ 15$? c) Cu cât diferă cele două sume?

7. Clasa a IV-a are o „mașină de numere” care dă $x\circ y=2xy-12x-12y+78$. O grupă pune 7 și 5, apoi rezultatul și 8. Alta pune întâi 5 și 8, apoi 7 și rezultatul. Ce obține fiecare grupă?

8. La concursul din Exemplul 2, Matei are 6 la citire și 10 la povestire, iar Ana invers. a) Calculează nota finală a fiecăruia. b) Ce notă la povestire i-ar trebui lui Matei, cu același 6 la citire, ca să ajungă la nota Anei?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-5x-5y+32$. a) Arătați că $2\circ 7=1$. b) Calculați $\left(-\sqrt{3}\right)\circ \sqrt{3}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{x+y}{4}+3$. a) Arătați că $5\ast (-1)=4$. b) Arătați că $(2x)\ast (2y)=2(x\ast y)-3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=2xy-8x-8y+35$. a) Arătați că $x\circ (8-x)=3-2(x-4{)}^2$, pentru orice număr real $x$. b) Arătați că $x\circ (8-x)\le 3$, pentru orice număr real $x$.

12. (Sinteză.) Legea $x\circ y=xy+ax+ay+b$, cu $a$ și $b$ reale, are $0\circ 0=4$ și $1\circ 1=9$. a) Află $a$ și $b$. b) Calculează $2\circ (-3)$. c) Calculează $(0\circ 1)\circ (-2)$.

Răspunsuri și verificări

1. $4\circ 1=20-2+3=21$, $1\circ 4=5-8+3=0$ și $(-2)\circ (-3)=-10+6+3=-1$. Verificare: $x\circ y-y\circ x=7x-7y$, iar $21-0=7\cdot 4-7\cdot 1$.

2. $3\circ (-1)=-3-6+2+7=0$, $\frac{1}{2}\circ 5=\frac{5}{2}-1-10+7=-\frac{3}{2}$ și $(-5)\circ (-5)=25+10+10+7=52$. Verificare: legea este $(x-2)(y-2)+3$, iar $(-7)\cdot (-7)+3=52$.

3. $3\circ 2=9-6+4=7$, $2\circ 3=4-6+6=4$ și $(-1)\circ 4=1+4+8=13$. Verificare: $(-1{)}^2=1$ și $-(-1)\cdot 4=4$.

4. $2\circ 3=11$, $11\circ 4=23$; $3\circ 4=15$, $2\circ 15=47$. Verificare: $x\circ (y\circ z)-(x\circ y)\circ z=6z$, iar $6\cdot 4=24=47-23$.

5. a) $5\ast 7=10+14-4=20$. b) $6\ast 6=12+12-4=20$. c) $20+15=35=5\cdot 7$. Verificare: chenarul de 5 pe 7 are două rânduri de 7 și două coloane de câte 3 pătrățele rămase, $7+7+3+3=20$.

6. a) $15\circ 25=315+50=365$ de lei. b) $25\circ 15=525+30=555$ de lei, adică prețurile inversate. c) Cu $555-365=190$ de lei. Verificare: $y\circ x-x\circ y=19(y-x)$, iar $19\cdot (25-15)=190$.

7. Prima grupă: $7\circ 5=70-84-60+78=4$, apoi $4\circ 8=64-48-96+78=-2$. A doua: $5\circ 8=80-60-96+78=2$, apoi $7\circ 2=28-84-24+78=-2$. Ambele obțin $-2$. Verificare: legea este $2(x-6)(y-6)+6$, iar $2\cdot 1\cdot (-4)+6=-2$; la ea gruparea nu contează.

8. a) Matei: $6\circ 10=\frac{18+10}{4}=7$. Ana: $10\circ 6=\frac{30+6}{4}=9$. b) $\frac{18+y}{4}=9$ dă $y=18$, imposibil, fiindcă nota cea mai mare este 10. Verificare: $x\circ y-y\circ x=\frac{2(x-y)}{4}$, iar $\frac{2\cdot (10-6)}{4}=2=9-7$.

9. a) $2\circ 7=14-10-35+32=1$. b) $\left(-\sqrt{3}\right)\cdot \sqrt{3}=-3$, iar $-5\cdot \left(-\sqrt{3}\right)-5\sqrt{3}=0$. Rezultatul este $-3+32=29$. Verificare: cu $x+y=0$ și $xy=-3$, $xy-5(x+y)+32=29$.

10. a) $5\ast (-1)=\frac{4}{4}+3=4$. b) Stânga: $\frac{2x+2y}{4}+3=\frac{x+y}{2}+3$. Dreapta: $2\left(\frac{x+y}{4}+3\right)-3=\frac{x+y}{2}+3$. Membrii sunt egali. Verificare: cu $x=5$, $y=-1$: $10\ast (-2)=2+3=5$, iar $2\cdot 4-3=5$.

11. a) $x\circ (8-x)=16x-2x^2-8x-64+8x+35=-2x^2+16x-29$, iar $3-2(x^2-8x+16)=-2x^2+16x-29$. b) Cum $(x-4{)}^2\ge 0$, avem $3-2(x-4{)}^2\le 3$. Verificare: $4\circ 4=32-32-32+35=3$ și $0\circ 8=-64+35=-29\le 3$.

12. a) $0\circ 0=b=4$, iar $1\circ 1=1+2a+4=9$ dă $a=2$: $x\circ y=xy+2x+2y+4$. b) $2\circ (-3)=-6+4-6+4=-4$. c) $0\circ 1=2+4=6$, apoi $6\circ (-2)=-12+12-4+4=0$. Verificare: legea este $(x+2)(y+2)$, iar $4\cdot (-1)=-4$ și $8\cdot 0=0$.

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), calculul valorii legii într-o pereche a apărut ca prima cerință în toate cele 60 de probe din 2013–2026. Egalitățile „pentru orice $x$” în care pui expresii în formula legii au apărut de 23 de ori, în 23 de probe (9 dintre ele cu un element care absoarbe); cu cele 34 de cerințe de formă cu paranteze, sunt 57 de cerințe în 47 de probe.

• Iunie 2015, cerința 1: un număr mare și unul negativ, adică pașii 1–3 din Metodă; pagina probei dă 3 puncte pentru înlocuire și 2 puncte pentru rezultat.
• Simularea din 2016, cerința 1: un radical și opusul lui, ca în Exemplul 3 b); tot 3 puncte pentru înlocuire și 2 puncte pentru rezultat.
• Iunie 2020, cerința 3: trei numere grupate în două feluri, cu diferența rezultatelor, adică pasul 4. Pagina probei dă 3 puncte pentru prima grupare și 2 puncte pentru a doua și pentru diferență.
• August 2015, cerința 5: o egalitate între două compuneri de expresii, pentru orice $x$. Pagina probei dă 2 puncte pentru membrul stâng și 3 puncte pentru membrul drept și concluzie.

Exercițiile 9–11 urmează aceste forme.

Greșeli care costă puncte

• Schimbi ordinea numerelor → Ioana ar primi 7,5 în loc de 8,5; cum o prinzi: scrii „$x\to$ primul, $y\to$ al doilea”.
• Pierzi un semn → $\left(-\sqrt{2}\right)\circ \sqrt{2}$ iese $4-6\sqrt{2}$ în loc de 4; cum o prinzi: paranteze în jurul fiecărui număr înlocuit.
• Calculezi de la stânga la dreapta → la panou ies sute de pătrățele în loc de 14; cum o prinzi: compari cu numărătoarea interiorului.
• Scrii $a\circ b\circ c$ fără paranteze la o lege oarecare → în Exemplul 4 grupările dau 11 și 2; cum o prinzi: păstrezi parantezele din enunț.
• Verifici o identitate „pentru orice $x$” pe un singur număr → desfaci parantezele cu litera $x$, ca la exercițiul 11.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006), la conținutul „Legi de compoziție, proprietăți”. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

Câte pătrățele albe are panoul de 9 pe 12 dacă educatoarea adaugă încă un rând? Panoul devine de 10 pe 12, deci $10\circ 12=120-20-24+4=80$ de pătrățele albe, cu 10 mai multe decât înainte. Rândul nou are 12 pătrățele, dar două dintre ele ajung în chenarul roșu, pe margini, deci interiorul crește de la 70 la 80.

De ce panoul cu două rânduri nu are niciun pătrățel alb? Pentru că fiecare pătrățel al lui atinge marginea de sus sau pe cea de jos, deci face parte din chenar. Formula spune același lucru: $2\circ y=2y-4-2y+4=0$, oricât de multe coloane ar avea panoul.

Contează ordinea notelor la concursul „Cel mai bun cititor”? Da, pentru că citirea are ponderea 3, iar povestirea ponderea 1. Ioana, cu 9 la citire și 7 la povestire, are 8,5; cu notele inversate ar avea 7,5. În limbajul legii, $9\circ 7\ne 7\circ 9$, deci primul număr se pune mereu pe locul lui $x$.

Ce înseamnă scrierea $a\circ b\circ c$, fără paranteze? Are sens numai când gruparea nu schimbă rezultatul, adică la o lege asociativă: atunci $(a\circ b)\circ c$ și $a\circ (b\circ c)$ dau același număr, ca la mașina de numere din exercițiul 7. La nota de lectură, care nu e asociativă, păstrezi parantezele.

Cum mă feresc de greșeli de semn când înlocuiesc numere negative? Pui fiecare număr înlocuit între paranteze, cu semnul lui, și abia apoi faci produsele: $-2\cdot (-3)$ devine vizibil $+6$. O verificare bună e regruparea termenilor: la panou, $xy-2(x+y)+4$ dă același rezultat pe alt drum.

Ce fel de calcule cu legea se cer la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? În probele din 2013–2026, calculul valorii legii într-o pereche a apărut în toate cele 60 de probe, ca prima cerință, cu numere naturale, negative, fracții sau radicali. Egalitățile „pentru orice $x$” în care pui expresii în formula legii au apărut de 23 de ori, în 23 de probe, pe lângă 34 de cerințe cu forma cu paranteze; gruparea a trei elemente apare, de pildă, în iunie 2020.