Când are ecuația x ° x = c o singură soluție?

Când pătratul trebuie să fie 0. Pentru legea x ° y = (x - 4)(y - 4) + 13, ecuația x ° x = 13 devine (x - 4)² = 0, cu singura soluție x = 4. Pentru c mai mare decât 13 sunt două soluții, iar pentru c mai mic, niciuna.

Cum rezolv o inecuație ca x ° x ≤ 14?

Ajungi la un pătrat mai mic sau egal cu un număr. La legea x ° y = (x - 2)(y - 2) + 5, inecuația devine (x - 2)² ≤ 9, adică -3 ≤ x - 2 ≤ 3, deci x între -1 și 5, cu tot cu capete. Verifici un capăt și un număr din afară.

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ecuații și inecuații cu o lege

Cum rezolv ecuația x ∘ x = c pentru o lege dată?

Scrii legea cu paranteze, pui $y = x$ și ajungi la un pătrat egal cu un număr. La $x \circ y = x y - 4 x - 4 y + 29 = (x - 4) (y - 4) + 13$ , ecuația $x \circ x = 22$ devine $(x - 4)^{2} = 9$ , deci $x = 7$ sau $x = 1$ . Dacă pătratul ar trebui să fie negativ, ecuația nu are soluții reale. La final pui fiecare soluție înapoi în compunere și verifici că dă exact 22.

O ecuație cu o lege de compoziție are necunoscuta în compunere, ca $x \circ x = 22$ . Primul pas e forma cu paranteze a legii: cu ea, $x \circ x = k (x - a)^{2} + c_{0}$ , iar ecuația devine un pătrat egal cu un număr. Un pătrat pozitiv dă două soluții, cu plus și cu minus, unul egal cu 0 dă o soluție, iar unul negativ nu dă niciuna.

Dacă al doilea număr e dat, ca la $x \circ 4 = 19$ , ecuația e de gradul I. Dacă apar puteri, notezi $t = 2^{x}$ și păstrezi doar $t > 0$ ; la logaritmi, $t = l g x$ și $x > 0$ . La perechi de numere naturale, $(m - a) (n - a) = c - a$ se rezolvă cu divizorii, ținând cont că $m - a \geq - a$ .

O inecuație se rezolvă la fel, până la o inegalitate de forma $(x - a)^{2} \leq d$ sau un produs de doi factori. Când se cer numere naturale, răspunsul e o listă, nu un interval.

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), ecuațiile cu legea au apărut în toate cele 60 de probe din 2013–2026, iar inecuațiile de rezolvat în 18. Proba rapidă: pui soluția în compunerea de la început și trebuie să obții exact numărul din ecuație.

De reținut

forma cu paranteze transformă $x \circ x = c$ într-un pătrat egal cu un număr
pătrat pozitiv: două soluții; zero: una; negativ: niciuna
la $t = 2^{x}$ păstrezi doar $t > 0$

Greșeala tipică

Din $(x - 3)^{2} = 16$ se scrie doar $x - 3 = 4$ , deci $x = 7$ , și se pierde $x = - 1$ . Corect: $x - 3 = 4$ sau $x - 3 = - 4$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ se definește legea $x \circ y = x y - 2 x - 2 y + 13$ , care se scrie $(x - 2) (y - 2) + 9$ . Care sunt soluțiile ecuației $x \circ x = 18$ ?
- a) numai $5$
- b) $- 1$ și $5$
- c) $- 5$ și $1$
- d) $- 3$ și $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 1$ și $5$

Din $(x - 2)^{2} + 9 = 18$ rezultă $(x - 2)^{2} = 9$ , deci $x - 2 = 3$ sau $x - 2 = - 3$ , adică $x = 5$ sau $x = - 1$ . Varianta „numai 5” pierde rădăcina negativă, $- 5$ și $1$ schimbă semnul lui 2, iar $- 3$ și $3$ rezolvă $x^{2} = 9$ , fără paranteză. Verificare: $(- 1) \circ (- 1) = 9 + 9 = 18$ .
Pe $R$ se definește legea $x \circ y = 2 x y - 4 x - 4 y + 11$ . Care este soluția ecuației $x \circ 3 = 13$ ?
- a) $5$
- b) $6$
- c) $7$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $7$

Legea este $2 (x - 2) (y - 2) + 3$ , deci $x \circ 3 = 2 (x - 2) + 3$ . Din $2 (x - 2) + 3 = 13$ rezultă $x - 2 = 5$ , adică $x = 7$ . Verificare: $7 \circ 3 = 42 - 28 - 12 + 11 = 13$ . Varianta $5$ uită să adune 2 la final, iar $6$ și $8$ vin din constanta 3 tratată greșit.
Pe $R$ se definește legea $x \circ y = x y - x - y + 7$ , care se scrie $(x - 1) (y - 1) + 6$ . Care este soluția ecuației $2^{x} \circ 2^{x} = 15$ ?
- a) $4$
- b) $- 1$
- c) $3$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2$

Cu $t = 2^{x} > 0$ : $(t - 1)^{2} + 6 = 15$ , deci $(t - 1)^{2} = 9$ , adică $t = 4$ sau $t = - 2$ . Valoarea $- 2$ se elimină, fiindcă $2^{x} > 0$ . Din $2^{x} = 4$ rezultă $x = 2$ . Varianta $4$ dă valoarea lui $t$ , nu pe a lui $x$ , iar $- 1$ și $3$ vin din calcule greșite cu $t$ .

Întrebări conexe

De ce am două soluții la $(x - 4)^{2} = 9$ ?

Pentru că două numere au pătratul 9: 3 și $- 3$ . Din $x - 4 = 3$ rezultă $x = 7$ , iar din $x - 4 = - 3$ rezultă $x = 1$ . Cine scrie doar prima variantă pierde o soluție; verificarea arată că și $1 \circ 1 = 9 + 13 = 22$ , pentru legea $x \circ y = (x - 4) (y - 4) + 13$ .

Când are ecuația $x \circ x = c$ o singură soluție?

Când pătratul trebuie să fie 0. Pentru legea $x \circ y = (x - 4) (y - 4) + 13$ , ecuația $x \circ x = 13$ devine $(x - 4)^{2} = 0$ , cu singura soluție $x = 4$ . Pentru $c$ mai mare decât 13 sunt două soluții, iar pentru $c$ mai mic, niciuna.

Ce fac dacă în ecuație apare $2^{x}$ ?

Notezi $t = 2^{x}$ , rezolvi în $t$ și păstrezi doar $t > 0$ . La legea $x * y = (x + 3) (y + 3) + 3$ , ecuația $2^{x} * 2^{x} = 52$ dă $(t + 3)^{2} = 49$ , adică $t = 4$ sau $t = - 10$ . Valoarea negativă cade, fiindcă $2^{x}$ e pozitiv; rămâne $2^{x} = 4$ , deci $x = 2$ .

Cum rezolv o inecuație ca $x \circ x \leq 14$ ?

Ajungi la un pătrat mai mic sau egal cu un număr. La legea $x \circ y = (x - 2) (y - 2) + 5$ , inecuația devine $(x - 2)^{2} \leq 9$ , adică $- 3 \leq x - 2 \leq 3$ , deci $x$ între $- 1$ și 5, cu tot cu capete. Verifici un capăt și un număr din afară.

Cum găsesc perechile de numere naturale cu $m \circ n = c$ ?

Scrii condiția ca produs: la legea $x \circ y = (x - 3) (y - 3) + 2$ , $m \circ n = 14$ devine $(m - 3) (n - 3) = 12$ . Factorii nu pot coborî sub $- 3$ , deci rămân cei pozitivi: 6 perechi ordonate, de la $(4, 15)$ la $(15, 4)$ .

Cât de des apar ecuațiile cu legea la Bacalaureatul M4?

Toate cele 60 de probe M_pedagogic date între 2013 și 2026 au avut la Subiectul al II-lea cel puțin o ecuație cu legea; împreună, 110 cerințe. La 28 dintre ele necunoscuta stătea ca exponent, sub un logaritm sau sub un radical. Inecuațiile de rezolvat au fost mai puține: 19 cerințe, în 18 probe.

Oamenii mai întreabă și: rezolvați ecuația x compus cu x egal cu un număr · ecuație de gradul doi cu o lege de compoziție · câte soluții are x compus cu x egal cu c · ecuații cu legi de compoziție la bacalaureat pedagogic

Cum rezolv ecuația x ∘ x = c pentru o lege dată?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

De ce am două soluții la (x−4)2=9?

Când are ecuația x∘x=c o singură soluție?

Ce fac dacă în ecuație apare 2x?

Cum rezolv o inecuație ca x∘x≤14?

Cum găsesc perechile de numere naturale cu m∘n=c?