Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Trei numere în progresie: condiția

Ce fac dacă trei prețuri nu sunt în progresie?

Dacă $2 b \neq = a + c$ și $b^{2} \neq = a c$ , lista nu respectă nicio regulă: e o greșeală de scriere sau altă regulă, iar factura nu se semnează. Exemplu: prețurile $18$ , $29$ și $45$ de lei dau $2 \cdot 29 = 58$ , dar $18 + 45 = 63$ , și $2 9^{2} = 841$ , dar $18 \cdot 45 = 810$ . Proba: diferențele $11$ și $16$ sunt diferite, iar rapoartele nu sunt egale.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Trei numere $a$ , $b$ , $c$ , scrise în această ordine, sunt în progresie aritmetică dacă $b$ stă la aceeași distanță de $a$ și de $c$ , adică $2 b = a + c$ . Sunt în progresie geometrică, cu termeni nenuli, dacă $b$ se obține din $a$ prin același factor ca $c$ din $b$ , adică $b^{2} = a c$ . Prima egalitate face din mijloc media aritmetică, cea de-a doua media geometrică.

Regula o citești din enunț, nu din cifre: cu doar două numere cunoscute, fiecare regulă oferă un alt termen din mijloc posibil. Când ai toate numerele, încerci ambele egalități; una se poate verifica, ambele (numai la numere egale) sau nici una. Dacă lista conține o necunoscută, scrii egalitatea cerută, rezolvi ecuația și înlocuiești valoarea găsită în listă.

Capcanele sunt puține. Numerele se compară în aceeași unitate. Egalitatea cere exactitate: dacă cei doi membri diferă, fie și puțin, lista nu e progresie. La o mărime pozitivă păstrezi numai rădăcina pozitivă. La patru sau mai multe numere verifici fiecare termen interior, adică pe cei cu vecini în ambele părți.

Pentru verificare compari diferențele vecinilor, la progresia aritmetică, sau rapoartele lor, la cea geometrică. Concluzia o scrii în cuvintele situației: ce preț, ce regulă și ce faci mai departe cu factura.

De reținut

$2 b = a + c$ pentru progresia aritmetică
$b^{2} = a c$ , cu numere nenule, pentru progresia geometrică
dacă nicio egalitate nu se verifică, lista nu este progresie

Greșeala tipică

Se socotește «aproape egal» drept egal: pentru $18$ , $29$ și $45$ produsele $841$ și $810$ diferă doar cu $31$ , dar egalitatea cere diferență zero. Compari exact, cu toate cifrele.

Exerciții din această mini-lecție

Un contabil primește de la furnizor trei facturi pentru același produs, cu sumele (în lei) din lunile $1$ , $2$ și $3$ : $56$ , $84$ și $126$ . Furnizorul spune că de la o lună la alta suma crește de același număr de ori. Care dintre egalitățile de mai jos este adevărată și confirmă acest lucru?
- a) $2 \cdot 84 = 56 + 126$
- b) $8 4^{2} = 56 \cdot 126$
- c) $84 = 56 \cdot 126$
- d) $126 - 84 = 84 - 56$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8 4^{2} = 56 \cdot 126$

Creșterea «de același număr de ori» înseamnă progresie geometrică, deci trebuie să fie adevărat că $b^{2} = a c$ : $8 4^{2} = 7056$ și $56 \cdot 126 = 7056$ . Egalitatea cu suma este condiția progresiei aritmetice și nu se verifică, fiindcă $2 \cdot 84 = 168$ , iar $56 + 126 = 182$ . Diferențele $42$ și $28$ nu sunt egale, iar $56 \cdot 126 = 7056$ nu este $84$ .
Un magazin urcă în trei etape prețul unui produs: $24, 5$ lei, apoi $x$ lei, apoi $41, 3$ lei, de fiecare dată cu aceeași sumă. Cât este $x$ ?
- a) $31, 8$ lei
- b) $65, 8$ lei
- c) $16, 8$ lei
- d) $32, 9$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $32, 9$ lei

«Cu aceeași sumă» înseamnă progresie aritmetică, deci $x$ este media celorlalte două prețuri: $\frac{24 , 5 + 41 , 3}{2} = 32, 9$ lei. Valoarea $31, 8$ lei este $24, 5 \cdot 41, 3$ rotunjit, adică regula progresiei geometrice. Valoarea $65, 8$ lei este suma prețurilor, fără împărțirea la $2$ , iar $16, 8$ lei este diferența lor.
Un șantier folosește trei straturi de izolație, în ordine, cu grosimile (în mm) $x + 2$ , $2 x - 2$ și $4 x - 13$ . Grosimile cresc de același număr de ori de la un strat la următorul. Cât este grosimea celui de-al doilea strat?
- a) $18$ mm
- b) $12$ mm
- c) $10$ mm
- d) $27$ mm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $18$ mm

Regula «de același număr de ori» dă $(2 x - 2)^{2} = (x + 2) (4 x - 13)$ , adică $4 x^{2} - 8 x + 4 = 4 x^{2} - 5 x - 26$ ; termenii în $x^{2}$ se reduc și rămâne $- 3 x = - 30$ , deci $x = 10$ . Straturile au $12$ , $18$ și $27$ mm, iar $1 8^{2} = 324$ este egal cu $12 \cdot 27 = 324$ . Varianta $12$ mm vine din regula sumei, valoarea $10$ mm este chiar $x$ , iar $27$ mm este grosimea ultimului strat.

Întrebări conexe

Cum verific trei prețuri scrise în altă ordine?

Le așezi în ordinea cerută de regulă, de la mic la mare, apoi verifici. Prețurile $46$ , $26$ și $36$ de lei, în ordinea din factură, nu respectă $2 b = a + c$ . Sortate ca $26$ , $36$ , $46$ , ele dau $2 \cdot 36 = 72 = 26 + 46$ , deci cresc cu $10$ lei.

Cum compar prețuri date în unități diferite?

Transformi totul în aceeași unitate înainte de prima egalitate. Pentru $0, 25$ l, $750$ ml și $2, 25$ l, treci în mililitri: $250$ , $750$ și $2250$ . Apoi $75 0^{2} = 562500$ și $250 \cdot 2250 = 562500$ , deci volumele cresc de același număr de ori.

De ce la prețuri păstrez numai rădăcina pozitivă?

Din $x^{2} = a c$ rezultă două valori, una pozitivă și una negativă, dar un preț nu poate fi negativ. Pentru $12$ și $27$ de lei avem $x^{2} = 324$ , deci $x = 18$ sau $x = - 18$ ; prețul din mijloc este $18$ lei, iar rația este $\frac{18}{12} = 1, 5$ .

Cum aflu prețul lipsă de la capătul listei?

Termenul de la capăt se obține din cel din mijloc și din vecinul lui. La progresia aritmetică $c = 2 b - a$ : pentru $14, 4$ lei și $17, 9$ lei, ultimul este $2 \cdot 17, 9 - 14, 4 = 21, 4$ lei. La cea geometrică $c = \frac{b ^{2}}{a}$ : pentru $8$ și $12$ lei, ultimul este $\frac{1 2 ^{2}}{8} = 18$ lei.

Rămân prețurile în progresie după ce adaug TVA?

Da, dacă adaosul înmulțește toate prețurile cu același factor. Prețurile $16$ , $24$ și $36$ de lei, cu TVA de $21%$ , devin $19, 36$ , $29, 04$ și $43, 56$ de lei, iar raportul rămâne $1, 5$ . O taxă fixă de $4$ lei adăugată la fiecare preț le face $20$ , $28$ și $40$ și strică progresia geometrică.

A fost cerută condiția de progresie la examen?

Da, a apărut într-o singură probă M_tehnologic din 2013–2026, la Subiectul al II-lea al unui model din 2019, cu rădăcinile unui polinom în progresie geometrică. La rezolvare scrii legătura dintre rădăcini, deduci rădăcina centrală, iar la urmă calculezi celelalte rădăcini și parametrul.

Oamenii mai întreabă și: trei prețuri care nu sunt în progresie · lista care nu respectă nicio regulă · ce înseamnă când nicio egalitate nu se verifică · cum verific lista de prețuri a furnizorului