Test tehnologic: progresii

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Progresii

Exerciții

Partea I – Calcul direct (30 de puncte)

Aici fiecare exercițiu are 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

La reglajul unui sistem hidraulic, presiunea se citește la patru trepte consecutive: 4,35 bar; 4,60 bar; 4,85 bar și 5,10 bar. Arată că cele patru valori formează o progresie aritmetică și calculează presiunea de la a zecea treaptă, dacă șirul continuă la fel.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Un atenuator de semnal are mai multe trepte identice: la fiecare treaptă, tensiunea devine aceeași parte din cea de la treapta dinainte. Tensiunile măsurate la patru trepte consecutive, în mV, pot fi una dintre seriile de mai jos. Care serie poate fi o progresie geometrică?

Variantele: a) „960; 720; 540; 405”; b) „960; 810; 660; 510”; c) „960; 720; 540; 380”; d) „960; 720; 480; 240”.

Exercițiul 3 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Determinați termenul $a_{1}$ al progresiei aritmetice $(a_{n})_{n \geq 1}$ , știind că $a_{3} = 31$ și $a_{4} = 38$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Determinați rația progresiei geometrice $(b_{n})_{n \geq 1}$ , știind că $b_{1} = 4$ și $b_{4} = - 108$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Pe o linie de autobuz, prima cursă pleacă din capătul liniei la ora 5:40, apoi câte o cursă la fiecare 12 minute. La ce oră pleacă a 15-a cursă? Câte curse pleacă până la ora 9:00 inclusiv?

Exercițiul 6 (5 puncte)

O piatră de polizor are diametrul de 200 mm. După fiecare reascuțire, diametrul ei devine 95 % din cel de dinainte. Calculează diametrul pietrei după 3 reascuțiri.

Partea a II-a – Probleme din meserii (30 de puncte)

Aici fiecare subpunct are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

La pornirea unei linii de îmbuteliere a apei minerale, în primul minut se umplu 40 de sticle, iar în fiecare minut următor cu 15 sticle mai mult decât în minutul dinainte, până când linia ajunge la ritmul maxim, de 250 de sticle pe minut. De atunci încolo, linia umple în fiecare minut câte 250 de sticle.

a) (5 puncte) În al câtelea minut ajunge linia la ritmul maxim?

b) (5 puncte) Câte sticle umple linia în primele 20 de minute?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un pilon de beton se înfige în teren cu un ciocan de batere. De la o lovitură la următoarea, adâncimea cu care coboară pilonul se înmulțește cu același număr. Notăm cu $b_{n}$ adâncimea cu care coboară pilonul la lovitura $n$ , în centimetri; toți termenii sunt pozitivi. Se știe că $b_{2} = 24$ și $b_{4} = 13, 5$ .

a) (5 puncte) Calculează rația progresiei și adâncimea cu care a coborât pilonul la prima lovitură.

b) (5 puncte) Calculează, cu formula sumei primilor $n$ termeni, cât a coborât pilonul în total după primele 5 lovituri.

Exercițiul 9 (10 puncte)

După ce este pus în mișcare, acul unui aparat de măsură cu amortizare oscilează în jurul gradației zero. Abaterile maxime succesive ale vârfului acului, în milimetri, socotite pozitive la dreapta lui zero și negative la stânga, formează o progresie geometrică $(b_{n})_{n \geq 1}$ , cu $b_{1} = 20$ și $b_{3} = 7, 2$ . Între două abateri maxime consecutive, acul trece prin zero.

a) (5 puncte) Calculează rația progresiei și abaterea $b_{2}$ . Explică de ce rația este negativă.

b) (5 puncte) Aparatul se poate citi când abaterea maximă, în valoare absolută, este mai mică de 1 mm. Care este prima abatere maximă cu această proprietate și de ce parte a lui zero se află ea?

Partea a III-a – Cerințe de examen și sinteză (30 de puncte)

Aici fiecare subpunct are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră trei progresii aritmetice, $(a_{n})_{n \geq 1}$ , $(b_{n})_{n \geq 1}$ și $(c_{n})_{n \geq 1}$ , fiecare cu rația ei.

a) (5 puncte) Determinați termenul $a_{3}$ al progresiei $(a_{n})_{n \geq 1}$ , știind că $a_{1} = 140$ și $a_{2} = 165$ .

b) (5 puncte) Determinați termenul $b_{1}$ al progresiei $(b_{n})_{n \geq 1}$ , știind că $b_{2} = 53$ și $b_{6} = 85$ .

c) (5 puncte) Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei $(c_{n})_{n \geq 1}$ , știind că $c_{2} = 64$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Producția lunară a unei linii de rulmenți crește, de la o lună la alta, de același număr de ori. În luna a 2-a linia a făcut 1 280 de rulmenți, iar în luna a 5-a, 2 500.

a) (5 puncte) Calculează rația progresiei și producția din prima lună.

b) (5 puncte) Stabilește în ce lună producția lunară depășește pentru prima dată 3 000 de rulmenți.

c) (5 puncte) Stabilește în ce lună producția cumulată, de la prima lună încoace, depășește pentru prima dată 8 000 de rulmenți.

Barem și răspunsuri

În barem, fiecare rezolvare apare pe pași, iar punctele fiecărui pas stau între paranteze; o altă rezolvare corectă se notează la fel. La Partea a III-a, rezultatele corecte, dar fără calcul și fără justificare, nu iau tot punctajul subpunctului. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1.

Diferențele dintre valorile vecine sunt $4, 60 - 4, 35 = 0, 25$ , $4, 85 - 4, 60 = 0, 25$ și $5, 10 - 4, 85 = 0, 25$ , deci șirul este progresie aritmetică, cu $a_{1} = 4, 35$ și $r = 0, 25$ (2 p). Între prima și a zecea treaptă sunt 9 pași, deci $a_{10} = a_{1} + 9 r$ (1 p), adică $4, 35 + 9 \cdot 0, 25 = 6, 6$ bar (2 p). Verificare: din a patra treaptă, cu 6 pași, $5, 10 + 6 \cdot 0, 25 = 6, 6$ . Cine numără 10 pași în loc de 9 scrie $a_{1} + 10 r = 6, 85$ bar.

Exercițiul 2.

Într-o progresie geometrică, raportul dintre doi termeni vecini este același pe tot șirul. La prima serie, $\frac{720}{960} = \frac{540}{720} = \frac{405}{540} = \frac{3}{4}$ (2 p), deci ea este progresie geometrică, cu $q = \frac{3}{4}$ (1 p). Seriile b) și d) scad cu câte 150, respectiv 240, la fiecare treaptă: au diferență constantă, nu raport constant; la c), ultimul raport este $\frac{380}{540} \neq = \frac{3}{4}$ (2 p). Răspunsul este $a)$ . Verificare: $960 \cdot \frac{3}{4} = 720$ , $720 \cdot \frac{3}{4} = 540$ și $540 \cdot \frac{3}{4} = 405$ . Cine alege b) sau d) a confundat diferența constantă cu raportul constant.

Exercițiul 3.

Rația este diferența a doi termeni vecini: $r = a_{4} - a_{3} = 38 - 31 = 7$ (2 p). De la $a_{1}$ la $a_{3}$ sunt doi pași, deci $a_{1} = a_{3} - 2 r = 31 - 14 = 17$ (3 p). Verificare: $17 + 2 \cdot 7 = 31$ și $17 + 3 \cdot 7 = 38$ . Cine scrie $a_{1} = a_{3} - 3 r$ obține $10$ .

Exercițiul 4.

Între $b_{1}$ și $b_{4}$ sunt trei pași, deci $b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}$ , adică $- 108 = 4 \cdot q^{3}$ și $q^{3} = - 27$ (3 p). Ecuația are o singură soluție reală, $q = - 3$ (2 p). Verificare: $4 \cdot (- 3) = - 12$ , $- 12 \cdot (- 3) = 36$ și $36 \cdot (- 3) = - 108$ . Cine împarte direct $\frac{- 108}{4} = - 27$ ia raportul celor doi termeni drept rație.

Exercițiul 5.

Momentele de plecare, socotite în minute de la 5:40, formează o progresie aritmetică cu $a_{1} = 0$ și $r = 12$ (1 p). A 15-a cursă pleacă după 14 intervale: $14 \cdot 12 = 168$ de minute, adică 2 h și 48 min, deci la ora $8 : 28$ (2 p). De la 5:40 la 9:00 sunt 200 de minute; cursa de rang $n$ pleacă până la 9:00 dacă $12 (n - 1) \leq 200$ , iar $16 < \frac{200}{12} < 17$ , deci $n - 1 \leq 16$ și $n \leq 17$ : pleacă $17$ curse (2 p). Verificare: a 17-a cursă pleacă la 5:40 plus 192 de minute, adică la 8:52, iar a 18-a ar pleca la 9:04. Cine numără 15 intervale până la a 15-a cursă obține ora 8:40.

Exercițiul 6.

Diametrele formează o progresie geometrică, cu $b_{1} = 200$ și $q = 0, 95$ (1 p). După 3 reascuțiri se ajunge la $b_{4}$ , adică după 3 pași: $200 \cdot 0, 9 5^{3}$ (2 p). Cum $0, 9 5^{3} = 0, 857375$ , diametrul este $171, 475$ mm (2 p). Verificare, pe pași: $200 \cdot 0, 95 = 190$ , $190 \cdot 0, 95 = 180, 5$ și $180, 5 \cdot 0, 95 = 171, 475$ . Cine scade $3 \cdot 5 % = 15 %$ din 200 mm obține 170 mm.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Până la ritmul maxim, numerele de sticle umplute pe minut formează o progresie aritmetică, cu $a_{1} = 40$ și $r = 15$ . Din $a_{n} = 40 + 15 (n - 1) = 250$ (2 p) rezultă $15 (n - 1) = 210$ și $n - 1 = 14$ (2 p), deci linia ajunge la ritmul maxim în minutul al $15$ -lea (1 p).

b) (5 p) În primele 15 minute se umplu $S_{15} = \frac{15 \cdot ( 40 + 250 )}{2} = 15 \cdot 145 = 2175$ de sticle (2 p). În minutele 16–20, adică în 5 minute, se umplu $5 \cdot 250 = 1250$ de sticle (1 p). În total, $2175 + 1250 = 3425$ de sticle (2 p). Verificare: minutul din mijlocul pornirii, al optulea, are $40 + 7 \cdot 15 = 145$ de sticle, iar $15 \cdot 145 = 2175$ . Cine continuă progresia până la minutul 20 obține $a_{20} = 325$ de sticle pe minut, peste ritmul maxim, și totalul greșit $S_{20} = 3650$ .

Exercițiul 8.

a) (5 p) Între $b_{2}$ și $b_{4}$ sunt doi pași, deci $b_{4} = b_{2} \cdot q^{2}$ , adică $q^{2} = \frac{13 , 5}{24} = \frac{9}{16}$ (2 p). Ecuația are două soluții, $\frac{3}{4}$ și $- \frac{3}{4}$ ; termenii fiind pozitivi, rația este $q = \frac{3}{4}$ (1 p). Atunci $b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = 24 \cdot \frac{4}{3} = 32$ cm (2 p).

b) (5 p) Adâncimea totală după 5 lovituri este suma primilor 5 termeni; formula $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ , cu $q \neq = 1$ , se aplică pentru $n = 5$ (2 p). Cum $q^{5} = \frac{243}{1024}$ , avem $1 - q^{5} = \frac{781}{1024}$ și $1 - q = \frac{1}{4}$ (1 p), deci $S_{5} = 32 \cdot \frac{781}{1024} \cdot 4 = \frac{781}{8} = 97, 625$ cm (2 p). Verificare, prin adunare: $32 + 24 + 18 + 13, 5 + 10, 125 = 97, 625$ . Cine pune $q^{4}$ în formulă obține $87, 5$ cm, adică doar primele 4 lovituri.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Între $b_{1}$ și $b_{3}$ sunt doi pași, deci $q^{2} = \frac{7 , 2}{20} = 0, 36$ , cu soluțiile $0, 6$ și $- 0, 6$ (2 p). Acul trece prin zero între două abateri maxime consecutive, deci ele sunt de o parte și de alta a lui zero, au semne opuse și raportul lor este negativ: $q = - 0, 6$ (1 p). Atunci $b_{2} = b_{1} \cdot q = 20 \cdot (- 0, 6) = - 12$ mm, adică 12 mm la stânga lui zero (2 p).

b) (5 p) În valoare absolută, $∣ b_{n} ∣ = 20 \cdot 0, 6^{n - 1}$ (1 p). Avem $∣ b_{6} ∣ = 20 \cdot 0, 6^{5} = 1, 5552 \geq 1$ și $∣ b_{7} ∣ = 20 \cdot 0, 6^{6} = 0, 93312 < 1$ (2 p), deci prima abatere maximă sub 1 mm este a $7$ -a (1 p). Exponentul 6 este par, deci $b_{7} = 20 \cdot (- 0, 6)^{6} = 0, 93312 > 0$ : abaterea este la dreapta lui zero (1 p). Verificare: abaterile sunt $20$ ; $- 12$ ; $7, 2$ ; $- 4, 32$ ; $2, 592$ ; $- 1, 5552$ ; $0, 93312$ , cu semne alternante. Cine alege $q = 0, 6$ găsește aceleași mărimi, dar toate abaterile la dreapta lui zero, ceea ce contrazice trecerea acului prin zero.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Rația este $r = a_{2} - a_{1} = 165 - 140 = 25$ (2 p), iar $a_{3} = a_{2} + r = 165 + 25 = 190$ (3 p).

b) (5 p) Între $b_{2}$ și $b_{6}$ sunt 4 pași, deci $b_{6} = b_{2} + 4 r$ , adică $85 = 53 + 4 r$ și $r = 8$ (3 p). Atunci $b_{1} = b_{2} - r = 53 - 8 = 45$ (2 p).

c) (5 p) Din $c_{1} = c_{2} - r$ și $c_{3} = c_{2} + r$ rezultă $S_{3} = (c_{2} - r) + c_{2} + (c_{2} + r)$ (3 p), adică $S_{3} = 3 c_{2} = 3 \cdot 64 = 192$ (2 p). Verificare: pentru $r = 5$ termenii 59, 64, 69 au suma 192, iar pentru $r = - 10$ termenii 74, 64, 54 au tot suma 192.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Între $b_{2}$ și $b_{5}$ sunt 3 pași, deci $b_{5} = b_{2} \cdot q^{3}$ și $q^{3} = \frac{2500}{1280} = \frac{125}{64}$ (2 p). Ecuația are o singură soluție reală, $q = \frac{5}{4}$ (1 p). Producția din prima lună este $b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = 1280 \cdot \frac{4}{5} = 1024$ de rulmenți (2 p).

b) (5 p) Producțiile sunt $b_{5} = 2500$ și $b_{6} = 2500 \cdot \frac{5}{4} = 3125$ (2 p). Cum $2500 < 3000$ și $3125 > 3000$ (2 p), prima lună cu producția peste 3 000 este a $6$ -a (1 p).

c) (5 p) Producțiile primelor luni sunt 1024, 1280, 1600, 2000 și 2500 (1 p). Sumele cumulate sunt $S_{4} = 1024 + 1280 + 1600 + 2000 = 5904$ , sub 8 000 (2 p), și $S_{5} = 5904 + 2500 = 8404$ , peste 8 000 (1 p). Prima lună este a $5$ -a (1 p). Verificare cu formula: $S_{5} = 1024 \cdot \frac{1 , 2 5 ^{5} - 1}{1 , 25 - 1} = 8404$ . Cine caută prima lună cu producția lunară peste 8 000 nu o găsește în șase luni, fiindcă $b_{6} = 3125$ ; producția cumulată este altceva decât cea lunară.

Pentru părinți și profesori

Testul verifică unitatea de progresii a clasei a IX-a, filiera tehnologică, pe cele două lecții ale ei: „Progresia aritmetică la tehnologic: rate, salarii” și „Progresia geometrică în epurarea apei, tehnologic”. Pentru condiția ca trei numere să fie în progresie, pentru șirurile date printr-o formulă recurentă și pentru inducție, vezi testul „Test tehnologic: numere reale, mulțimi, șiruri”.

Punctaj: în total 100 de puncte, adică 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu.
Durata: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul rezolvă pe foaie, singur. Calculatorul de buzunar se folosește doar pentru puterile din exercițiile 6, 8 și 9; la celelalte, numerele ies exacte. Fiecare mărime se scrie cu unitatea ei, iar orele, în ore și minute. La Partea a III-a contează și drumul: dacă lipsesc calculele sau justificarea, un rezultat corect nu ia punctajul subpunctului. Ghidajul împarte exercițiul în pași scurți: o întrebare cu patru variante, apoi un număr de calculat; o variantă aleasă greșit îți arată unde a fost greșeala. Îl deschizi numai când exercițiul nu iese.
La 90–100 de puncte: ai stăpânit unitatea și treci la testul următor.
La 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul, exercițiile la care ai pierdut puncte.
La 60–74 de puncte: alegi din tabelul de mai jos lecțiile exercițiilor în care ai obținut sub jumătate dintre puncte, le reiei și refaci testul peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: reiei cele două lecții, în ordinea lor, și lucrezi testul cu ghidajul deschis de la prima cerință.
Formule de reținut: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , unde $n$ este rangul termenului; $r = \frac{a _{m} - a _{k}}{m - k}$ , unde $m - k$ numără pașii dintre doi termeni, nu termenii; $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ ; $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ ; $q^{m - k} = \frac{b _{m}}{b _{k}}$ , pentru termeni nenuli: la un număr impar de pași rația reală este unică, iar la un număr par sunt două, opuse, și o alegi după semnul mărimii; $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ , pentru $q \neq = 1$ .

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 3, 5, 7, 10	progresia aritmetică: recunoaștere, rația, termenul de rang dat, numărul de termeni până la o limită, rangul la care se atinge o valoare, suma primilor $n$ termeni, o progresie urmată de un ritm constant	Progresia aritmetică la tehnologic: rate, salarii
2, 4, 6, 8, 9, 11	progresia geometrică: recunoaștere, rația din doi termeni și semnul ei ales din context, termenul de rang dat, suma primilor $n$ termeni, primul rang peste sau sub un prag, prima lună cu suma cumulată peste un prag	Progresia geometrică în epurarea apei, tehnologic

Marcajul „tip Bacalaureat M3” stă pe exercițiile 3, 4 și 10, care copiază forma cerinței 1 din Subiectul I a probelor oficiale din 2013–2026 (un termen, rația sau suma primilor trei termeni ai unei progresii), dar progresiile și numerele sunt noi.

Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026); în programa lor de examen, testul corespunde unității «IX.2. Progresii»; toate exercițiile lui sunt în ea. Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, progresiile aritmetice și geometrice, termenul general și suma primilor $n$ termeni fac parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen le așază în clasa a IX-a), deci toate cele unsprezece exerciții sunt în programa lor. Progresia aritmetică a apărut în 9 probe oficiale din 2013–2026, iar progresia geometrică într-o singură probă; suma primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice (exercițiile 8 b) și 11 c)) este în programă, dar nu a apărut în probele 2013–2026.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.