Trei numere în progresie: condiția, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Furnizorul de produse pentru coafor îți trimite prețurile a trei flacoane de șampon, dar unul dintre ele lipsește. Îți spune doar regula: prețurile cresc cu aceeași sumă sau de același număr de ori. Din regulă afli prețul lipsă și verifici dacă lista primită are vreo greșeală. Condiția e materie de clasa a IX-a pentru profilurile filierei tehnologice. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), ea a stat, în probele 2013–2026, la baza unei singure cerințe, într-un subiect de clasa a XII-a.

Situația de pornire

Un salon de coafură cumpără șampon profesional în trei flacoane: de 250 ml, de 500 ml și de 1 000 ml. Furnizorul a trimis prețurile pe trei linii de produse. La linia Silk pagina e ruptă și prețul flaconului de 500 ml nu se vede. Furnizorul a precizat regula fiecărei liste, de la flaconul mic la cel mare: la Basic prețurile cresc cu aceeași sumă, la Silk cresc de același număr de ori, iar la Pro lista trebuie să urmeze una dintre cele două reguli, fără să se spună care. Șamponul se folosește la spălatul clientelor, înainte de vopsit sau de un tratament, iar administratoarea nu vrea să semneze factura cu un preț care nu respectă regula.

Linia	Flacon de 250 ml (lei)	Flacon de 500 ml (lei)	Flacon de 1 000 ml (lei)
Basic	34	60	86
Silk	36	lipsește	100
Pro	38	56	90

Întrebare: ce preț are flaconul de 500 ml la linia Silk, care dintre listele Basic și Pro respectă una dintre cele două reguli și ce faci cu lista care nu respectă nicio regulă?

De la situație la model

Tabelul traduce cuvintele administratoarei în cuvinte din matematică.

În situație	În matematică
prețurile celor trei flacoane, de la mic la mare	trei numere $a$ , $b$ , $c$ , în această ordine
prețul flaconului din mijloc	termenul din mijloc, $b$
„cresc cu aceeași sumă” (Basic)	progresie aritmetică: $b - a = c - b$
„cresc de același număr de ori” (Silk)	progresie geometrică: $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$
listă care nu respectă regula	nicio egalitate din cele două nu se verifică

O progresie aritmetică de trei numere $a$ , $b$ , $c$ este lista în care $b$ e la fel de departe de $a$ cât $c$ de $b$ , adică se adaugă aceeași sumă de la un număr la următorul. O progresie geometrică de trei numere nenule este lista în care $b$ se obține din $a$ înmulțind cu același număr ca $c$ din $b$ . Prima e cea din lecția progresia aritmetică: rate și salarii, a doua e cea din progresia geometrică în epurarea apei; aici nu calculezi rația și suma, ci verifici dacă trei numere date au una dintre aceste forme.

Cum verifici o listă fără să ghicești?

Din $b - a = c - b$ , adunând $a + b$ la ambii membri, rezultă o egalitate fără scădere. Din $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ , înmulțind cu $ab$ , rezultă una fără fracții:

$2 b = a + c$

$b^{2} = a c$

Prima spune că termenul din mijloc e media aritmetică a celorlalți doi, a doua că e media lor geometrică. Egalitățile merg și invers: din $2 b = a + c$ rezultă $b - a = c - b$ , iar din $b^{2} = a c$ , cu numere nenule, rezultă $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ . La Silk, $36 \cdot 100 = 3600 = 6 0^{2}$ arată că 60 convine, iar $\frac{60}{36} = \frac{100}{60} = \frac{5}{3}$ confirmă. Nenulitatea contează doar la a doua egalitate: $0$ , $0$ , $5$ o verifică ( $0^{2} = 0 \cdot 5$ ), dar $\frac{0}{0}$ nu are sens, deci nu e progresie geometrică.

De ce regula nu se vede din numere?

Cu două prețuri cunoscute, $a$ și $c$ , orice regulă dă un număr pentru $b$ : $\frac{a + c}{2}$ sau $a c$ . Pentru 36 și 100 ies 68 și 60, iar ambele sunt între 36 și 100. De aceea regula o iei din ce spune furnizorul, nu din cifre. Cu trei prețuri cunoscute, în schimb, cifrele spun mult: lista poate respecta una dintre reguli, ambele sau niciuna. Ambele, numai la trei numere egale: din $2 b = a + c$ rezultă $c = 2 b - a$ ; dacă îl înlocuiești pe $c$ în $b^{2} = a c$ , relația se reduce la faptul că pătratul diferenței $b - a$ este zero, deci $b = a$ și $c = a$ .

Ce se schimbă la patru sau mai multe numere?

La patru numere $a$ , $b$ , $c$ , $d$ trebuie îndeplinită condiția pentru fiecare număr care are vecin și în stânga, și în dreapta, adică pentru $b$ și pentru $c$ . În progresie aritmetică, $2 b = a + c$ și $2 c = b + d$ ; în progresie geometrică, $b^{2} = a c$ și $c^{2} = b d$ . O singură trecere nu e de ajuns. Dacă ai de verificat flacoane de mai multe mărimi, treci prin lista întreagă, câte trei numere vecine.

Metoda pas cu pas

Scrie numerele în ordinea din listă, în aceeași unitate de măsură, și hotărăște care e termenul din mijloc. La un număr necunoscut, notează-l cu $x$ . Dacă enunțul spune „de la mic la mare” sau „în această ordine”, ordinea e cea dată, nu una aleasă de tine.
Află regula: o iei din enunț, nu din cifre. Dacă enunțul nu o spune și ai toate numerele, verifici pe rând ambele egalități și vezi care se potrivește, dacă se potrivește vreuna.
Pentru progresie aritmetică scrie $2 b = a + c$ ; pentru progresie geometrică scrie $b^{2} = a c$ , cu numere nenule.
Calculează cei doi membri sau rezolvă ecuația. Ecuația cu necunoscută ajunge la gradul I, sau la $x^{2} = k$ , unde păstrezi rădăcina pozitivă dacă mărimea nu poate fi negativă. Scrie apoi concluzia în cuvintele situației: ce preț, ce regulă, ce faci mai departe.
Verifică pe alt drum: calculează diferențele sau rapoartele vecinilor și compară-le, apoi controlează ordinea și unitățile. Dacă numărul găsit nu iese întreg, îl prinzi între două pătrate perfecte vecine.

Dacă…	atunci…
$2 b = a + c$ , dar $b^{2} \neq = a c$	progresie aritmetică; prețurile cresc cu aceeași sumă, $b - a$
$b^{2} = a c$ cu termeni nenuli, dar $2 b \neq = a + c$	progresie geometrică; prețurile se înmulțesc cu același număr, $\frac{b}{a}$
ambele egalități se verifică	numerele sunt egale între ele
nicio egalitate nu se verifică	nu e progresie: ceri lămuriri furnizorului sau cauți greșeala de scriere
unitățile din listă sunt diferite	transformi totul în aceeași unitate înainte să compari
lista are mai mult de trei numere	verifici condiția pentru fiecare termen cu vecini de ambele părți

Fișa de buzunar

$2 b = a + c (progresie aritmetic \overset{a}{˘})$

$b^{2} = a c (progresie geometric \overset{a}{˘}, termeni nenuli)$

Termenul din mijloc lipsă: $b = \frac{a + c}{2}$ , respectiv $b = a c$ , cu rădăcina pozitivă dacă mărimea e pozitivă. Se aplică numai în ordinea din listă și numai la numere exprimate în aceeași unitate; la patru sau mai multe numere, pentru fiecare termen cu vecini în ambele părți. Verificare rapidă: la progresie aritmetică, $b$ stă între $a$ și $c$ la distanțe egale; la progresie geometrică, $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Listele de prețuri ale furnizorului

Domeniu: infrumusetare.

Enunț. Reia flacoanele din situația de pornire: la Basic prețurile de la mic la mare sunt 34, 60 și 86 de lei; la Silk sunt 36 de lei, prețul care lipsește și 100 de lei; la Pro sunt 38, 56 și 90 de lei. Silk urmează regula „de același număr de ori”. a) Aflați prețul lipsă la Silk. b) Verificați dacă Basic și Pro respectă una dintre cele două reguli. c) Ce faceți cu lista care nu respectă nicio regulă?

Rezolvare. a) La Silk, $x^{2} = 36 \cdot 100 = 3600$ , deci $x = 60$ sau $x = - 60$ . Un preț nu poate fi negativ, deci flaconul de 500 ml costă 60 de lei, iar rația este $\frac{60}{36} = \frac{5}{3}$ .

b) La Basic, $2 \cdot 60 = 120$ și $34 + 86 = 120$ : egalitatea se verifică, deci prețurile cresc cu aceeași sumă, 26 de lei. La Pro, $2 \cdot 56 = 112$ , dar $38 + 90 = 128$ ; iar $5 6^{2} = 3136$ , dar $38 \cdot 90 = 3420$ . Nicio egalitate nu se verifică.

c) Lista Pro are o greșeală sau altă regulă. Pentru orientare: dacă regula ar fi aritmetică, flaconul mijlociu ar costa $\frac{38 + 90}{2} = 64$ de lei; dacă ar fi geometrică, ar costa $3420$ , adică între 58 și 59 de lei, fiindcă $5 8^{2} = 3364 < 3420 < 5 9^{2} = 3481$ . Prețul trecut, 56, nu se potrivește cu niciuna: ceri furnizorului o listă corectată înainte să plătești factura.

Capcană. Cine aplică la Silk regula sumei ia $\frac{36 + 100}{2} = 68$ de lei, cu 8 lei mai mult decât prețul corect, 60. La 20 de flacoane pe comandă, diferența e de 160 de lei: alegerea regulii greșite schimbă suma de plată.

Verificare. Pe alt drum: de la 36 la 60 se înmulțește cu $\frac{5}{3}$ , iar de la 60 la 100 tot cu $\frac{5}{3}$ . Prețul 60 e între 36 și 100, deci e posibil.

Exemplul 2 — Consolele de sub un raft

Domeniu: lemn.

Enunț. Un tâmplar montează sub un raft de lemn de 108 cm trei console la distanțe egale una de alta, prima la 17 cm de capătul stâng și ultima la 17 cm de capătul drept. a) La ce distanță de capătul stâng stă consola din mijloc? b) Care e distanța dintre două console vecine?

Rezolvare. Pozițiile, măsurate de la capătul stâng, sunt 17 cm, $x$ și $108 - 17 = 91$ cm. Distanțele egale înseamnă $x - 17 = 91 - x$ , adică $2 x = 17 + 91 = 108$ și $x = 54$ cm. Distanța dintre două console vecine este $54 - 17 = 37$ cm.

Capcană. Cine folosește regula produsului scrie $x = 17 \cdot 91 \approx 39, 3$ cm. Consola ar sta mult mai aproape de stânga, la 22,3 cm de prima și la 51,7 cm de ultima. Regula depinde de situație: aici contează distanțele, deci progresia e aritmetică.

Verificare. Pe alt drum: mijlocul raftului e la $108 : 2 = 54$ cm, iar prima și ultima consolă sunt simetrice față de el, deci a doua stă chiar acolo.

Exemplul 3 — Ghivece cu etichete în unități diferite

Domeniu: agricol.

Enunț. Un pepinierist folosește patru mărimi de ghivece pentru puieții de arbuști ornamentali. Etichetele spun: 0,5 l; 1 500 ml; 4,5 l; 13 500 ml. a) Sunt volumele, în această ordine, în progresie geometrică? b) Câți litri ar avea următorul ghiveci, dacă regula continuă?

Rezolvare. Unitățile diferă, deci transformi: 0,5 l = 500 ml și 4,5 l = 4 500 ml. Lista devine 500, 1 500, 4 500, 13 500 ml. Sunt patru numere, deci verifici două condiții: $150 0^{2} = 2250000$ și $500 \cdot 4500 = 2250000$ ; apoi $450 0^{2} = 20250000$ și $1500 \cdot 13500 = 20250000$ . Ambele se verifică, deci lista e o progresie geometrică, cu rația 3. Următorul ghiveci are $13500 \cdot 3 = 40500$ ml, adică 40,5 l.

Capcană. Cine compară numerele așa cum sunt scrise ia $150 0^{2} = 2250000$ și $0, 5 \cdot 4, 5 = 2, 25$ și conchide că lista nu e progresie. Concluzia e greșită, pentru că a amestecat litrii cu mililitrii.

Verificare. Rapoartele vecinilor sunt $\frac{1500}{500} = 3$ , $\frac{4500}{1500} = 3$ și $\frac{13500}{4500} = 3$ , la fel peste tot.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: rădăcini în progresie geometrică

Domeniu: mecanica.

Enunț. La examen poți primi, cu alte numere, o cerință precum aceasta: „Se consideră polinomul $f = X^{3} - 19 X^{2} + m X - 216$ , cu $m$ număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.” Polinoamele se studiază, la filiera tehnologică, în clasa a XII-a (la științe ale naturii, pe programa nouă, în clasa a IX-a); aici ai nevoie doar de ce scrie în enunț: dacă $f$ are rădăcinile $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , atunci $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 19$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = m$ și $x_{1} x_{2} x_{3} = 216$ . Rădăcinile pot fi, de pildă, diametrele în centimetri ale celor trei trepte ale unei roți de curea.

Rezolvare. Rădăcinile sunt în progresie geometrică, deci $x_{1} x_{3} = x_{2}^{2}$ . Atunci $x_{1} x_{2} x_{3} = x_{2}^{3} = 216$ , deci $x_{2} = 6$ . Din sumă, $x_{1} + x_{3} = 19 - 6 = 13$ , iar $x_{1} x_{3} = 6^{2} = 36$ . Două numere cu suma 13 și produsul 36 sunt 4 și 9. Rădăcinile sunt 4, 6 și 9, iar $m = 4 \cdot 6 + 4 \cdot 9 + 6 \cdot 9 = 24 + 36 + 54 = 114$ .

Capcană. Cine alege perechea doar după sumă, 3 și 10, uită produsul: $3 \cdot 10 = 30$ , nu 36. Perechea trebuie să verifice ambele condiții; celelalte perechi cu produsul 36, 1 și 36, 2 și 18, 3 și 12, 6 și 6, au alte sume.

Verificare. Cu $m = 114$ , $f (4) = 64 - 304 + 456 - 216 = 0$ , $f (6) = 216 - 684 + 684 - 216 = 0$ și $f (9) = 729 - 1539 + 1026 - 216 = 0$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Spune dacă fiecare listă e progresie aritmetică, geometrică sau niciuna și scrie egalitatea verificată: a) 14, 35, 56; b) 12, 30, 75; c) 9, 21, 45.

2. Află termenul din mijloc: a) 19, $x$ , 67, în progresie aritmetică; b) 12, $y$ , 27, în progresie geometrică, cu $y > 0$ .

3. Află numărul real $x$ pentru care $13 x - 19$ , $11 x + 13$ și $17 x + 13$ formează, în această ordine, o progresie aritmetică, apoi scrie cele trei numere și rația.

4. Scrie condițiile pentru termenii din interior și verifică: a) progresia aritmetică 6, 15, 24, 33; b) progresia geometrică 5, 15, 45, 140.

Nivelul 2 — situații

5. Siguranțele automate dintr-un tablou au curenții nominali de 10 A, 16 A și 25 A. a) Sunt în progresie geometrică? Dar aritmetică? b) Ce termen din mijloc, rotunjit la 0,1 A, ar avea o progresie geometrică de la 10 A la 25 A? c) Cu cât diferă de 16 A?

6. Fișa de service a unei mașini dă grosimea plăcuțelor de frână la patru revizii egal depărtate: 11,2 mm; 9,4 mm; o valoare ștearsă; 5,8 mm. Plăcuța se tocește la fel între două revizii. a) Ce valoare lipsește? b) Verifică, cu condiția pentru fiecare termen din interior. c) Sub 3 mm, plăcuțele se schimbă. Ajung la revizia a cincea? Dar la a șasea?

7. Cinci trasee turistice durează 1 h 30 min, 2 h 15 min, 3 h, 3 h 45 min și 4 h 30 min. a) Scrie duratele în minute. b) Verifică dacă sunt în progresie aritmetică, cu condițiile pentru termenii din interior. c) Cât ar dura al șaselea traseu?

8. Pulberile din aerul unei străzi, măsurate în trei puncte echidistante, cresc de același număr de ori de la un punct la altul: 18 µg/m³ în primul, 72 µg/m³ în al treilea; pragul de alertă din exemplu e 40 µg/m³. a) Cât e în punctul din mijloc? b) Se depășește pragul? c) Ce ai fi decis, greșit, cu o creștere de aceeași sumă?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră polinomul $f = X^{3} - 57 X^{2} + m X - 343$ , cu $m$ număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică. (Din clasa a XII-a: rădăcinile $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ verifică $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 57$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = m$ și $x_{1} x_{2} x_{3} = 343$ .)

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră polinomul $f = X^{3} - 37 X^{2} + m X - 1728$ , cu $m$ număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică. (Din clasa a XII-a: $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 37$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = m$ și $x_{1} x_{2} x_{3} = 1728$ .)

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + a X^{2} + 351 X - 729$ , cu $a$ număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică. (Din clasa a XII-a: $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - a$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 351$ și $x_{1} x_{2} x_{3} = 729$ .)

12. (Sinteză.) Masca de păr vine în borcane de 200 g, 400 g și 800 g, cu 30, 46 și 62 de lei. a) Arătați că masele sunt în progresie geometrică, iar prețurile în progresie aritmetică. b) Arătați că prețurile pe 100 g nu sunt în nicio progresie. c) Ce preț al borcanului mare face din ele o progresie aritmetică?

Răspunsuri și verificări

1. a) Progresie aritmetică: $2 \cdot 35 = 70 = 14 + 56$ , cu rația 21. b) Progresie geometrică: $3 0^{2} = 900 = 12 \cdot 75$ , cu rația $\frac{5}{2}$ . c) Niciuna: $2 \cdot 21 = 42 \neq = 54$ și $2 1^{2} = 441 \neq = 405$ . Verificare: la a) diferențele sunt $35 - 14 = 21$ și $56 - 35 = 21$ .

2. a) $x = \frac{19 + 67}{2} = 43$ . b) $y^{2} = 12 \cdot 27 = 324$ , deci $y = 18$ . Verificare: $43 - 19 = 24 = 67 - 43$ și $\frac{18}{12} = \frac{27}{18} = \frac{3}{2}$ .

3. Condiția este $2 (11 x + 13) = (13 x - 19) + (17 x + 13)$ , adică $22 x + 26 = 30 x - 6$ , deci $x = 4$ . Numerele sunt 33, 57 și 81, cu rația 24. Verificare: $57 - 33 = 24 = 81 - 57$ .

4. a) $2 \cdot 15 = 30 = 6 + 24$ și $2 \cdot 24 = 48 = 15 + 33$ : da, cu rația 9. b) $1 5^{2} = 225 = 5 \cdot 45$ , dar $4 5^{2} = 2025 \neq = 2100 = 15 \cdot 140$ : nu. Verificare: la b) rapoartele sunt 3, 3 și $\frac{28}{9}$ .

5. a) $1 6^{2} = 256 \neq = 250 = 10 \cdot 25$ și $2 \cdot 16 = 32 \neq = 35$ : nu, nicio progresie. b) $250 = 15, 8$ A. c) $16 - 15, 8 = 0, 2$ A: valorile din tablou sunt aproape geometrice, dar nu exact. Verificare: $15, 8^{2} = 249, 64 \approx 250$ .

6. a) Din $2 \cdot 9, 4 = 11, 2 + c$ rezultă $c = 7, 6$ mm. b) $2 \cdot 9, 4 = 18, 8 = 11, 2 + 7, 6$ și $2 \cdot 7, 6 = 15, 2 = 9, 4 + 5, 8$ : grosimea scade cu câte 1,8 mm. c) La revizia a cincea plăcuța ar avea $5, 8 - 1, 8 = 4$ mm, peste 3 mm; la a șasea ar avea 2,2 mm, sub 3 mm. Ajung până la revizia a cincea, unde se schimbă. Verificare: pe alt drum, $11, 2 - 4 \cdot 1, 8 = 4$ mm la revizia a cincea.

7. a) 90, 135, 180, 225 și 270 de minute. b) $2 \cdot 135 = 270 = 90 + 180$ ; $2 \cdot 180 = 360 = 135 + 225$ ; $2 \cdot 225 = 450 = 180 + 270$ : da, rația 45 de minute. c) $270 + 45 = 315$ de minute, adică 5 h 15 min. Verificare: $4 \cdot 60 + 30 = 270$ minute pentru 4 h 30 min.

8. a) $y^{2} = 18 \cdot 72 = 1296$ , deci $y = 36$ µg/m³. b) Nu: 36 e sub 40. c) Cu aceeași sumă ai fi obținut $\frac{18 + 72}{2} = 45$ µg/m³, peste prag, adică o alertă falsă. Verificare: $\frac{36}{18} = \frac{72}{36} = 2$ .

9. Rădăcinile fiind în progresie geometrică, $x_{1} x_{3} = x_{2}^{2}$ , deci $x_{2}^{3} = 343$ și $x_{2} = 7$ . Atunci $x_{1} + x_{3} = 57 - 7 = 50$ și $x_{1} x_{3} = 49$ ; numerele cu această sumă și acest produs sunt 1 și 49, deci $m = 1 \cdot 7 + 1 \cdot 49 + 7 \cdot 49 = 399$ . Verificare: $f (1) = 1 - 57 + 399 - 343 = 0$ și $f (7) = 343 - 2793 + 2793 - 343 = 0$ .

10. Din $x_{1} x_{3} = x_{2}^{2}$ rezultă $x_{2}^{3} = 1728$ , deci $x_{2} = 12$ . Atunci $x_{1} + x_{3} = 37 - 12 = 25$ și $x_{1} x_{3} = 144$ , deci celelalte rădăcini sunt 9 și 16, cu rația $\frac{4}{3}$ , iar $m = 9 \cdot 12 + 9 \cdot 16 + 12 \cdot 16 = 444$ . Verificare: $f (9) = 729 - 2997 + 3996 - 1728 = 0$ și $f (16) = 4096 - 9472 + 7104 - 1728 = 0$ .

11. Din $x_{1} x_{3} = x_{2}^{2}$ rezultă $x_{2}^{3} = 729$ , deci $x_{2} = 9$ și $x_{1} x_{3} = 81$ . A doua relație se scrie $x_{2} (x_{1} + x_{3}) + x_{1} x_{3} = 351$ , adică $9 (x_{1} + x_{3}) + 81 = 351$ , deci $x_{1} + x_{3} = 30$ ; rădăcinile sunt 3, 9 și 27, iar $a = - (3 + 9 + 27) = - 39$ . Verificare: $f (3) = 27 - 351 + 1053 - 729 = 0$ și $f (27) = 19683 - 28431 + 9477 - 729 = 0$ .

12. a) $40 0^{2} = 160000 = 200 \cdot 800$ , iar $2 \cdot 46 = 92 = 30 + 62$ . b) Prețurile pe 100 g sunt $30 : 2 = 15$ , $46 : 4 = 11, 5$ și $62 : 8 = 7, 75$ lei; $2 \cdot 11, 5 = 23 \neq = 22, 75 = 15 + 7, 75$ și $11, 5^{2} = 132, 25 \neq = 116, 25 = 15 \cdot 7, 75$ . c) Din $2 \cdot 11, 5 = 15 + y$ rezultă $y = 8$ lei pe 100 g, deci borcanul de 800 g ar costa $8 \cdot 8 = 64$ de lei. Verificare: prețurile pe 100 g, 15; 11,5 și 8 lei, scad cu câte 3,5 lei.

Așa vine la Bac M3

Din cele 83 de probe oficiale 2013–2026 ale Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), doar una are o cerință pe condiția ca trei numere să fie în progresie. Programa de examen trece condiția în blocul „Șiruri” al clasei a IX-a, lângă progresiile aritmetice și geometrice, cu mențiunea „pentru n ≥ 3”. Indexul cerințelor așază cerința de mai jos la două teme: tema ei principală e din clasa a XII-a, iar condiția din lecția aceasta e a doua temă.

Modelul din 2019, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: se dă un polinom de gradul 3 cu parametrul real $m$ și se cere $m$ pentru care polinomul are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică; pasul 3 din Metodă dă $x_{1} x_{3} = x_{2}^{2}$ , iar baremul probei acordă 2 puncte pentru $x_{1} x_{3} = x_{2}^{2}$ și $x_{2} = 2$ și 3 puncte pentru rădăcinile 1, 2 și 4 și valoarea $m = 14$ .

Polinomul din cerință îl vei întâlni, la filiera tehnologică, abia în clasa a XII-a (la științe ale naturii, pe programa nouă, polinoamele sunt în clasa a IX-a); la examen contează aici doar condiția dintre rădăcini. Scrie întâi relația dintre cele trei rădăcini, notate $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ în această ordine, apoi ce rezultă pentru termenul din mijloc, $x_{2}$ , și la sfârșit rădăcinile și parametrul. Dacă necunoscuta stă în alt coeficient, ca la exercițiul 11, o afli din relația lui Viète în care apare. Exercițiile 9–11 repetă formatul acestei cerințe pe alte polinoame: cu rație întreagă, cu rație fracționară și, la ultimul, cu necunoscuta în fața lui $X^{2}$ . Restul traseului clasei îl găsești în lecțiile clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Alegi ca termen din mijloc alt preț decât cel al flaconului mijlociu, de pildă scrii $3 6^{2} = 60 \cdot 100$ → cum o prinzi: termenul din mijloc e prețul de la 500 ml, deci condiția e $6 0^{2} = 36 \cdot 100$ ; la $3 6^{2}$ ai obține 1 296, nu 6 000.
Compari numere scrise în unități diferite, 0,5 l cu 1 500 ml → cum o prinzi: transformi toate numerele în aceeași unitate înainte de prima egalitate și scrii unitatea lângă fiecare număr.
Consideri „aproape egal” drept „egal”: 10, 16, 25 au $1 6^{2} = 256$ și $10 \cdot 25 = 250$ → cum o prinzi: egalitatea trebuie să fie exactă; o diferență mică înseamnă tot că lista nu e progresie.
Amesteci cele două egalități și scrii $b = \frac{a c}{2}$ → cum o prinzi: o încerci pe 1, 3, 9, care sunt în progresie geometrică; $\frac{1 \cdot 9}{2} = 4, 5$ , nu 3.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: condiția ca trei numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a IX-a), deși programa nouă a clasei a IX-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut într-o singură probă, la Subiectul al II-lea. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Cum aflu ce regulă folosește furnizorul dacă prețul din mijloc lipsește? Din cele două prețuri cunoscute nu o poți afla, fiindcă fiecare regulă dă un număr: 68 sau 60 la Silk. Regula o iei din ce precizează furnizorul sau o deduci dintr-o listă completă a aceleiași linii. Dacă ai trei prețuri, verifici ambele egalități și vezi care se potrivește.

Ce fac cu lista Pro, dacă nu respectă nicio regulă? Nu plătești factura așa. Cu regula aritmetică, prețul mijlociu ar fi 64 de lei, iar cu cea geometrică între 58 și 59 de lei, deci 56 nu se potrivește cu niciuna. Ceri furnizorului lista corectată sau confirmarea regulii.

Cum încadrez $3420$ între două numere întregi, fără calculator? Ridici la pătrat numerele între care vrei să-l prinzi: $5 8^{2} = 3364$ , iar $5 9^{2} = 3481$ . Cum 3420 e între 3364 și 3481, rădăcina e între 58 și 59. Aceeași metodă, a comparării prin pătrate, e cea din lecția numere și intervale și folosește la orice termen din mijloc care nu iese întreg.

Cum verific flacoanele de 250 ml, 500 ml, 1 000 ml și 2 000 ml? Cu patru mărimi ai doi termeni din interior, adică $b$ și $c$ , deci verifici două egalități, nu una. Pentru prețurile 34, 60, 86 și 112, $2 \cdot 60 = 34 + 86$ și $2 \cdot 86 = 60 + 112$ , deci cresc cu 26 de lei. Pentru geometrică ai verifica $b^{2} = a c$ și $c^{2} = b d$ .

Ce arată indexul cerințelor despre condiția de progresie la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? Indexul celor 83 de probe oficiale găsește o singură cerință pe această temă, în modelul din 2019, la Subiectul al II-lea: rădăcinile unui polinom sunt în progresie geometrică. Programa de examen cere condiția pentru trei numere sau mai multe, în clasa a IX-a, deci și forma cu patru numere poate fi cerută.