Calculator de derivate cu pași

Scrii funcția f(x), iar calculatorul îi dă derivata f′(x) pas cu pas: la fiecare pas spune ce regulă a folosit — regula sumei, a produsului, a câtului, derivarea funcțiilor compuse sau un rând din tabelul derivatelor — exact cu numele din manualul de clasa a XI-a, cu legătură la lecția în care e explicată. Desenează graficul lui f și al lui f′ pe același desen și, la cerere, dă derivatele până la ordinul 5 (f″, f‴, f⁽⁴⁾, f⁽⁵⁾) și valoarea f′(x₀) într-un punct. Funcția se poate scrie și în altă variabilă: t, u, v, y sau z. Fiecare rezultat e comparat cu derivata calculată numeric în cel puțin șase puncte; dacă nu se potrivește, calculatorul spune că nu poate deriva expresia, în loc să afișeze un rezultat greșit.

Actualizat: 14 octombrie 2026.

f(x) =

derivatele până la ordinul valoarea în x₀ =

Exemple:

Cum se folosește

Scrie funcția așa cum o scrii pe tastatură, fără „f(x) =” (dacă îl scrii, e ignorat). Variabila e de obicei $x$ ; dacă funcția e scrisă în $t$ , $u$ , $v$ , $y$ sau $z$ (de exemplu t^2·e^t), calculatorul derivează după litera aceea. Într-o singură expresie se folosește o singură variabilă. Tastele de sub căsuță pun semnele care lipsesc de pe telefon. Se poate și lipi o formulă scrisă în LaTeX, de exemplu dintr-un subiect de bacalaureat.

Ce vrei	Scrii	Observație
puteri	`x^2`, `x^(1/3)`, `x^-1`	exponentul care nu e un singur număr se pune în paranteză: `e^(2x)`
înmulțire	`2x`, `x sin x`, `x·e^x`, `(x+1)(x−1)`	semnul înmulțirii se poate subînțelege
împărțire	`(x+1)/(x−1)`	numărătorul și numitorul cu paranteze
radical	`sqrt(x)` sau `√x`, `cbrt(x)` sau `∛x`, `sqrt[4](x)`
exponențială	`e^x`, `2^x`, `exp(x^2)`
logaritm	`ln x`, `lg x`, `log_2(x)`	baza se scrie după „_”
trigonometrice	`sin x`, `cos x`, `tg x`, `ctg x`, `sin^2 x`	`sin 2x` înseamnă sin(2x)
funcții inverse	`arcsin x`, `arccos x`, `arctg x`, `arcctg x`
modul	`abs(x−1)` sau bare verticale: `\|x−1\|`

Deasupra rezultatului apare „Am înțeles”: funcția, așa cum a citit-o calculatorul. Verifică întâi rândul acela — dacă parantezele nu sunt unde voiai, derivata va fi a altei funcții.

Regulile de derivare pe care le aplică

Fiecare pas al soluției numește una dintre regulile de mai jos și duce la lecția în care e demonstrată.

Regula	Formula	Lecția
Derivata unei constante	$c^{'} = 0$	Derivatele funcțiilor uzuale
Regula sumei	$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$	Operații cu funcții derivabile
Înmulțirea cu o constantă	$(c \cdot u)^{'} = c \cdot u^{'}$	Operații cu funcții derivabile
Regula produsului	$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$	Operații cu funcții derivabile
Regula câtului	$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}$	Operații cu funcții derivabile
Derivarea funcțiilor compuse	$(f \circ u)^{'} (x) = f^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$	Derivarea funcțiilor compuse
Derivata a doua și cele de ordin mai mare	$f^{''} = (f^{'})^{'}$ , $f^{'''} = (f^{''})^{'}$ , …	Derivata de ordinul al doilea

Ordinea în care se aplică regulile e cea din manual: te uiți la ultima operație din expresie. Dacă e o adunare, aplici regula sumei; dacă e o înmulțire, regula produsului; dacă e o împărțire, regula câtului; dacă e o funcție aplicată unei expresii, regula funcțiilor compuse. Apoi cobori în fiecare bucată. Calculatorul face la fel și arată pașii în aceeași ordine, cu bucățile mai adânci deplasate spre dreapta.

Tabelul derivatelor funcțiilor uzuale

Pe a doua coloană, forma cu $x$ ; pe a treia, forma pentru o funcție compusă, în care $u$ este o funcție derivabilă de $x$ .

Funcția	Derivata	Cu funcție compusă	Unde se aplică
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} \cdot u^{'}$	$n$ natural: pe $R$
$x^{- n}$ , $n$ natural nenul	$- n x^{- n - 1}$	$(u^{- n})^{'} = - n u^{- n - 1} \cdot u^{'}$	$x \neq = 0$
$x^{r}$ , $r$ real	$r x^{r - 1}$	$(u^{r})^{'} = r u^{r - 1} \cdot u^{'}$	$x > 0$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$	$x > 0$ (în $0$ nu e derivabilă)
$3 x$	$\frac{1}{3 3 x ^{2}}$	$(3 u)^{'} = \frac{u ^{'}}{3 3 u ^{2}}$	$x \neq = 0$
$e^{x}$	$e^{x}$	$(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'}$	$R$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	$(a^{u})^{'} = a^{u} ln a \cdot u^{'}$	$a > 0$ , $a \neq = 1$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$	$x > 0$
$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$	$(lo g_{a} u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u ln a}$	$x > 0$
$sin x$	$cos x$	$(sin u)^{'} = cos u \cdot u^{'}$	$R$
$cos x$	$- sin x$	$(cos u)^{'} = - sin u \cdot u^{'}$	$R$
$tg x$	$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$(tg u)^{'} = \frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}$	$cos x \neq = 0$
$ctg x$	$- \frac{1}{sin ^{2} x}$	$(ctg u)^{'} = - \frac{u ^{'}}{sin ^{2} u}$	$sin x \neq = 0$
$arcsin x$	$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$(arcsin u)^{'} = \frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}}$	$- 1 < x < 1$
$arccos x$	$- \frac{1}{1 - x ^{2}}$	$(arccos u)^{'} = - \frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}}$	$- 1 < x < 1$
$arctg x$	$\frac{1}{1 + x ^{2}}$	$(arctg u)^{'} = \frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$	$R$
$arcctg x$	$- \frac{1}{1 + x ^{2}}$	$(arcctg u)^{'} = - \frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$	$R$

Ultimele patru rânduri, ale funcțiilor trigonometrice inverse, nu fac parte din tabelul canonic al clasei a XI-a: lecția le dă separat, ca informație suplimentară, iar calculatorul le numește la fel în pași. Ele apar totuși în unele subiecte de bacalaureat M1 (vezi exemplul 9).

Deducerea fiecărui rând din definiția derivatei e în lecția Derivatele funcțiilor uzuale; la profilul științe ale naturii, același tabel e în Tabelul derivatelor (M2).

Zece derivate rezolvate, dintre cele mai căutate

1. Derivata lui ln x

$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ , pentru $x > 0$ . Este un rând din tabel. Pentru un logaritm dintr-o expresie se aplică regula funcțiilor compuse: $(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{'}}{x ^{2} + 1} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

2. Derivata lui radical din x

$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ , pentru $x > 0$ . Funcția $x$ e definită și în $0$ , dar acolo nu e derivabilă: formula ar cere împărțirea la $0$ . Pentru un radical dintr-o expresie: $(x^{2} + 1)^{'} = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

3. Derivata lui e la x și a lui a la x

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ — exponențiala de bază $e$ este propria ei derivată. Pentru altă bază apare un factor: $(2^{x})^{'} = 2^{x} ln 2$ . Cu o expresie la exponent: $(e^{2 x})^{'} = e^{2 x} \cdot (2 x)^{'} = 2 e^{2 x}$ .

4. Derivata lui x la pătrat, a lui 2x și a unei constante

Din $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ : $(x^{2})^{'} = 2 x$ , $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ . O constantă iese în fața derivatei, deci $(2 x)^{'} = 2 \cdot x^{'} = 2$ și $(3 x)^{'} = 3$ . Derivata unei constante e $0$ : $(3)^{'} = 0$ , de aceea $(2 x + 1)^{'} = 2$ .

5. Derivata lui sin x și a lui cos x

$(sin x)^{'} = cos x$ și $(cos x)^{'} = - sin x$ — atenție la minus, el apare doar la cosinus. Pentru argument compus: $(sin 2 x)^{'} = 2 cos 2 x$ , iar $(cos x^{2})^{'} = - 2 x sin x^{2}$ .

6. Derivata unui produs: x² · eˣ

Regula produsului: $(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ , cu $u = x^{2}$ și $v = e^{x}$ . Deci $(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = x e^{x} (x + 2)$ . Derivata unui produs nu este produsul derivatelor: $2 x \cdot e^{x}$ ar fi greșit.

7. Derivata unui cât: (x + 2)/(x − 1)

Regula câtului, cu $u = x + 2$ , $v = x - 1$ , $u^{'} = v^{'} = 1$ : $(\frac{x + 2}{x - 1})^{'} = \frac{1 \cdot ( x - 1 ) - ( x + 2 ) \cdot 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{- 3}{( x - 1 ) ^{2}}$ , pentru $x \neq = 1$ . E funcția de la subiectul al III-lea al bacalaureatului M1 din iunie 2015.

8. Derivata lui ln x supra x

Tot regula câtului: $(\frac{ln x}{x})^{'} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - ln x \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ , pentru $x > 0$ . Semnul derivatei e semnul lui $1 - ln x$ , de unde se citește monotonia.

9. Derivata lui arctg x

$(arctg x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , pe tot $R$ . Cu argument compus: $(arctg x^{2})^{'} = \frac{2 x}{1 + x ^{4}}$ . Funcția $arctg$ a apărut la subiectul al III-lea al bacalaureatului M1, de exemplu în iunie 2010 și la modelele din 2018 și 2023.

10. Derivata a doua: x · ln x

$f (x) = x ln x$ , $x > 0$ . Regula produsului dă $f^{'} (x) = ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1$ , iar derivând încă o dată, $f^{''} (x) = \frac{1}{x}$ . Alege „derivatele până la ordinul 2” ca să vezi ambele rânduri de pași.

Ce nu face

Derivate parțiale (funcții de mai multe variabile) — nu sunt în programa de liceu; calculatorul lucrează cu o singură variabilă ( $x$ sau, dacă așa e scrisă funcția, $t$ , $u$ , $v$ , $y$ , $z$ ).
Derivata implicită (de exemplu din $x^{2} + y^{2} = 1$ ) — nu e în programa de liceu; calculatorul derivează doar funcții date explicit, $f (x) = \dots$ .
Funcții definite pe ramuri — derivabilitatea în punctul de racord se studiază cu derivatele laterale, nu cu regulile de calcul.
Puncte în care regulile nu se aplică — de exemplu $x$ în $0$ sau $∣ x ∣$ în $0$ . Acolo calculatorul spune că regulile nu decid și te trimite la derivatele laterale, în loc să dea un număr.
Expresii pe care nu le poate verifica — dacă derivata simbolică nu se potrivește cu cea numerică, nu afișează nimic. Scrie-ne prin pagina de contact expresia, ca s-o putem adăuga.

Derivatele de ordin mare cresc repede: la unele funcții compuse, forma derivatei de ordinul 4 sau 5 are sute de termeni. Acolo calculatorul se oprește și spune că forma e prea lungă, în loc să umple ecranul.

Graficul e un ajutor pentru ochi: arată pe ce intervale crește sau scade $f$ și unde $f^{'}$ își schimbă semnul. Nu înlocuiește tabelul de variație cerut la examen.

Derivata se calculează direct în telefon sau în calculatorul tău, nu pe un server, așa că rezultatul apare imediat și merge și cu semnal slab, după ce pagina s-a încărcat.

Întrebări frecvente

Cum se calculează derivata unei funcții pas cu pas?

Te uiți la ultima operație din expresie și aplici regula ei: regula sumei pentru adunare, regula produsului pentru înmulțire, regula câtului pentru împărțire, regula funcțiilor compuse pentru o funcție aplicată unei expresii. Apoi derivezi fiecare bucată la fel, până ajungi la rânduri din tabelul derivatelor. La sfârșit restrângi rezultatul.

Care este derivata lui x la pătrat?

$(x^{2})^{'} = 2 x$ , din formula $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ cu $n = 2$ . La fel, $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ , iar $(x^{2} + 1)^{'} = 2 x$ , pentru că derivata constantei $1$ este $0$ .

Cât este derivata lui 2x și a lui 3?

$(2 x)^{'} = 2$ , pentru că o constantă iese în fața derivatei și $x^{'} = 1$ . Derivata unei constante este $0$ , deci $(3)^{'} = 0$ și $(2 x + 1)^{'} = 2$ .

Care este derivata lui sin x și a lui cos x?

$(sin x)^{'} = cos x$ și $(cos x)^{'} = - sin x$ . Pentru un argument compus se înmulțește cu derivata argumentului: $(sin 2 x)^{'} = 2 cos 2 x$ .

Cum se derivează produsul a două funcții?

Cu regula produsului: $(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ . Derivata produsului nu este produsul derivatelor. De exemplu, $(x \cdot sin x)^{'} = sin x + x \cdot cos x$ .

Care este derivata lui arctg x?

$(arctg x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , pe tot $R$ . Pentru arcsin, $(arcsin x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ , pe intervalul $(- 1, 1)$ .

Calculatorul face și derivate parțiale?

Nu. Derivatele parțiale sunt pentru funcții de mai multe variabile și nu fac parte din programa de liceu. Calculatorul derivează funcții de o singură variabilă, cu regulile din manualul de clasa a XI-a. Variabila poate fi $x$ sau, dacă funcția e scrisă așa, $t$ , $u$ , $v$ , $y$ ori $z$ .

Calculează și derivata a treia sau a patra?

Da, până la ordinul 5: alege ordinul din lista de sub căsuță. Fiecare derivată se obține derivând-o pe cea de dinainte, cu pașii afișați, și e verificată numeric față de ea. De exemplu, pentru $f (x) = x e^{x}$ ies $f^{''} (x) = (x + 2) e^{x}$ , $f^{'''} (x) = (x + 3) e^{x}$ și, la fel, $f^{(n)} (x) = (x + n) e^{x}$ .

De unde știu că rezultatul e corect?

Calculatorul compară derivata obținută cu valori calculate numeric, din funcția inițială, în cel puțin șase puncte din domeniu. Dacă un singur punct nu se potrivește, nu afișează rezultatul. Rezultatul fiecărui pas intermediar e și el comparat numeric; dacă unul nu se potrivește, nu se afișează nimic.

Mai departe

Capitolul de derivate, clasa a XI-a — cele 16 lecții, în ordine
Cum derivezi orice funcție de la examen (M2)
Regula lanțului, la M2
Subiecte de bacalaureat la matematică, rezolvate
Toate calculatoarele