Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Sumă, produs, cât: cele trei reguli

Cum separ creșterea din volum de cea din preț?

Venitul este produsul $V = q \cdot p$ , cantitate înmulțită cu preț, iar regula produsului îl desparte în două: $V^{'} = q^{'} p + q p^{'}$ . Primul termen arată cât aduce cantitatea în plus, la prețul de acum; al doilea, cât aduce prețul mai mare, la cantitatea de acum. Exemplu: $q = 500 + 20 t$ bucăți și $p = 8, 5 + 0, 1 t$ lei; la $t = 5$ avem $20 \cdot 9 + 600 \cdot 0, 1 = 180 + 60 = 240$ lei pe lună.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Regulile de derivare dau ritmul unei mărimi formate din alte mărimi, fără să mai scrii limita. La o sumă sau o diferență derivezi fiecare termen în parte, iar numărul care înmulțește funcția rămâne în fața rezultatului. La un produs, $(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ : fiecare factor aduce propria schimbare, înmulțită cu valoarea celuilalt. La un cât, $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , cu $v \neq = 0$ , iar numărătorul își păstrează ordinea.

Metoda are patru pași. Descompui funcția după semnul care leagă blocurile mari. La produs și la cât notezi $u$ , $v$ , $u^{'}$ , $v^{'}$ într-un tabel mic, cu unități. Asamblezi cu regula, punând fiecare produs în paranteză. Simplifici și verifici: unitățile trebuie să se potrivească, iar un număr pus în ambele părți ale unei egalități date trebuie să dea același rezultat.

Capcana cea mai frecventă este produsul derivatelor în locul regulii produsului: unitățile o trădează, fiindcă ies mărimi la pătrat. Alte scăpări: numărătorul câtului scris pe dos, un minus pierdut când scazi un produs și valoarea pusă în funcție înainte de derivare, caz în care derivezi un număr și obții $0$ .

Derivata se măsoară în unitatea mărimii pe unitatea variabilei, de exemplu lei pe lună. Rezultatul se lasă factorizat când enunțul cere o formă dată, iar valoarea numerică se calculează abia la sfârșit.

De reținut

$(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , cu ambii termeni
venitul în lei: $V^{'} = q^{'} p + q p^{'}$
derivezi cu variabila liberă, înlocuiești la sfârșit

Greșeala tipică

Se înmulțesc derivatele factorilor. La exemplul din răspuns, $20 \cdot 0, 1 = 2$ lei pe lună în loc de $240$ lei pe lună.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru funcția $f (x) = \frac{7 x - 9}{x + 4}$ , $x > - 4$ , s-au scris ingredientele $u = 7 x - 9$ , $v = x + 4$ , $u^{'} = 7$ și $v^{'} = 1$ . Cât este numărătorul derivatei $f^{'} (x)$ , scris după regula câtului?
- a) $- 37$
- b) $37$
- c) $7$
- d) $14 x + 19$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $37$

Numărătorul este $u^{'} v - u v^{'} = 7 (x + 4) - (7 x - 9) = 37$ , deci $f^{'} (x) = \frac{37}{( x + 4 ) ^{2}}$ . Varianta $- 37$ inversează ordinea și scrie $u v^{'} - u^{'} v$ . Varianta $7$ este produsul derivatelor $u^{'} v^{'}$ , iar $14 x + 19$ este numărătorul regulii produsului, $u^{'} v + u v^{'}$ .
Pentru $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 6 x + \frac{8}{x}$ , valoarea lui $f^{'} (4)$ este:
- a) $2$
- b) $\frac{5}{2}$
- c) $- \frac{1}{2}$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $1$

Din tabel, $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ și $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ , deci $f^{'} (x) = \frac{3}{x} - \frac{8}{x ^{2}}$ și $f^{'} (4) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$ . Valoarea $2$ pierde minusul de la $\frac{1}{x}$ , iar $\frac{5}{2}$ derivează $x$ ca $\frac{1}{x}$ , fără factorul $\frac{1}{2}$ . Valoarea $- \frac{1}{2}$ derivează $\frac{8}{x}$ ca $- \frac{8}{x}$ , adică $- 2$ la $x = 4$ .
Pentru $f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 5}{x - 1}$ , valoarea lui $f^{'} (3)$ este:
- a) $\frac{1}{4}$
- b) $- \frac{1}{4}$
- c) $\frac{1}{2}$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{4}$

Cu $u = 2 x^{2} + 5$ , $v = x - 1$ , $u^{'} = 4 x$ și $v^{'} = 1$ obținem $f^{'} (3) = \frac{12 \cdot 2 - 23 \cdot 1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4}$ . Varianta $- \frac{1}{4}$ scrie numărătorul $u v^{'} - u^{'} v$ , iar $\frac{1}{2}$ împarte la $v = 2$ în loc de $v^{2} = 4$ . Varianta $12$ este câtul derivatelor $\frac{u ^{'}}{v ^{'}}$ , nu regula câtului.

Întrebări conexe

Cum aflu ritmul ponderii cheltuielilor în venit?

Ponderea este câtul $w = \frac{C}{V}$ , deci îi aplici regula câtului: $w^{'} = \frac{C ^{'} V - C V ^{'}}{V ^{2}}$ , cu cheltuielile ca numărător și venitul ca numitor. Pentru $C = 4000 + 90 t$ lei și $V = 5000 + 150 t$ lei, la $t = 4$ avem $C = 4360$ , $V = 5600$ , $C^{'} = 90$ , $V^{'} = 150$ , iar $w^{'} = \frac{90 \cdot 5600 - 4360 \cdot 150}{560 0 ^{2}} = \frac{- 150000}{31360000} \approx - 0, 0048$ pe lună.

Ce fac dacă prețul rămâne fix printr-un contract?

Prețul devine o constantă, derivata lui este $0$ , iar din regula produsului rămâne un singur termen: $V^{'} = q^{'} p$ . Pentru $q = 700 + 30 t$ bucăți și un preț fix de $12$ lei, ritmul venitului este $30 \cdot 12 = 360$ lei pe lună. Factorul constant iese în față, ca la orice derivată.

Cum verific cu două luni vecine că ritmul e corect?

Calculezi venitul în luna cerută și în cea următoare; diferența lor trebuie să fie aproape de derivată. Pentru $V (t) = (800 + 25 t) (10 + 0, 2 t)$ , $V^{'} (6) = 25 \cdot 11, 2 + 950 \cdot 0, 2 = 470$ , iar $V (7) - V (6) = 975 \cdot 11, 4 - 950 \cdot 11, 2 = 11115 - 10640 = 475$ . Diferența de $5$ este chiar $25 \cdot 0, 2$ .

Cum scriu ritmul profitului când cheltuielile cresc la fel în fiecare lună?

Profitul este $P = V - C$ , deci $P^{'} = V^{'} - C^{'}$ . Dacă $C (t) = 3200 + 140 t$ , atunci $C^{'} = 140$ lei pe lună, constant. Pentru un venit al cărui ritm este de $410$ lei pe lună, profitul crește cu $410 - 140 = 270$ lei pe lună.

Când scade ponderea cheltuielilor în venit?

Scade atunci când derivata câtului este negativă, adică $C^{'} V < C V^{'}$ : venitul crește relativ mai repede decât cheltuielile. Pentru $C = 2400 + 60 t$ și $V = 3000 + 100 t$ , la $t = 3$ avem $60 \cdot 3300 = 198000 < 2580 \cdot 100 = 258000$ , deci ponderea scade; cheltuielile cresc cu aproximativ $2, 3 %$ pe lună, iar venitul cu $3, 0 %$ .

Contează care factor îl derivez primul?

Nu, fiindcă $u^{'} v + u v^{'}$ este simetrică: adunarea nu depinde de ordine. Pentru $f (x) = (3 x + 2) (x^{2} - 4)$ obții $f^{'} (x) = 9 x^{2} + 4 x - 12$ , fie că pornești de la primul factor, fie de la al doilea. Contează doar să nu lipsească niciunul din cei doi termeni.

Oamenii mai întreabă și: derivata venitului ca produs între cantitate și preț · cât din creșterea venitului vine din preț · regula produsului la venit în lei · ritmul venitului când cresc și cantitatea, și prețul