Reguli de derivare la tehnologic: ritmul în lei

O croitorie care vinde în euro și plătește în lei vede venitul în lei crescând din două cauze: comenzi mai mari și un curs mai bun. Contabila vrea să știe cât aduce fiecare, iar răspunsul îl dă derivata unui produs. În clasa a XI-a, la filiera tehnologică, înveți regulile de derivare pentru sumă, produs și cât, iar unitățile de măsură te ajută să prinzi o greșeală frecventă. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), derivata unei funcții date prin formulă se cere la problema 1 din Subiectul al III-lea.

Situația de pornire

O firmă mică de croitorie industrială coase halate și combinezoane de protecție și le vinde unui client din Germania. Încasările vin în euro, iar contabila le transformă în lei la cursul lunii. Din ianuarie comenzile cresc, cursul urcă puțin, iar cheltuielile, cu salariile, materialele, chiria și facturile de utilități, cresc și ele. Contabila a notat patru luni, ianuarie, aprilie, iulie și octombrie, numărate de la ianuarie: luna 0, luna 3, luna 6 și luna 9. Pe ele își sprijină bugetul pentru restul anului și vrea să știe, la venit, cât din creștere vine din comenzi și cât din curs.

Venitul unei luni, în lei, este venitul în euro înmulțit cu cursul. Profitul este venitul minus cheltuielile. Un al treilea număr îi spune contabilei cât din fiecare leu încasat se duce pe cheltuieli: ponderea cheltuielilor în venit, adică cheltuielile împărțite la venit.

Întrebare: în luna 6, cu câți lei pe lună crește venitul în lei, cu câți lei pe lună crește profitul și cum se schimbă ponderea cheltuielilor în venit?

De la situație la model

Premisele le găsești pe traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică: funcția afină la consum și debit, iar ritmul de variație într-un punct la derivata, viteza și tangenta. Tabelul crește uniform: de la o linie la alta, adică la fiecare trei luni, venitul în euro urcă cu 372 de euro, adică 124 pe lună, cursul cu 0,03 lei, adică 0,01 pe lună, iar cheltuielile cu 744 de lei, adică 248 pe lună. Toate sumele depind de aceeași variabilă, luna $t$:

Ce arată derivata?

Derivata unei funcții $f$ în punctul $t$ este ritmul de variație al lui $f$ în clipa aceea: limita raportului dintre creșterea lui $f$ și creșterea lui $t$, când creșterea lui $t$ se apropie de 0. Se notează $f^{\prime }(t)$ și se măsoară în unități ale lui $f$ pe unitate a lui $t$. Pentru venitul în lei, $V^{\prime }(6)$ se citește în lei pe lună: cu cât ar crește venitul într-o lună, dacă ritmul din luna 6 ar rămâne neschimbat. Derivata pozitivă spune că mărimea crește, cea negativă spune că scade.

Cum derivezi o sumă sau o diferență?

Termen cu termen, iar un factor constant iese în față: $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$ și $(k\cdot u{)}^{\prime }=k\cdot u^{\prime }$. Revenim la cheltuielile firmei, $C(t)=19670+248t$: au derivata 248, fiindcă suma de 19 670 lei nu se schimbă, deci derivata ei e 0, iar $248t$ crește cu 248 de lei pe lună. Profitul $P=V-C$ are derivata $P^{\prime }=V^{\prime }-C^{\prime }$.

Cum derivezi un produs?

Venitul în lei se schimbă din două motive: intră mai mulți euro și fiecare euro valorează mai mulți lei. Regula le arată pe amândouă: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Primul termen spune cât aduce creșterea venitului în euro, la cursul de acum; al doilea, cât aduce creșterea cursului, la venitul de acum. Produsul derivatelor, $u^{\prime }{v}^{\prime }$, nu apare; verifică pe unități: $u^{\prime }$ e în euro pe lună și $v$ în lei pe euro, deci $u^{\prime }v$ e în lei pe lună, dar $u^{\prime }{v}^{\prime }$ ar ieși în lei pe lună la pătrat.

Cum derivezi un cât?

Ponderea $w=\frac{C}{V}$ crește când cresc cheltuielile și scade când crește venitul. Regula păstrează ordinea: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, cu $v\ne 0$. Numărătorul începe cu derivata numărătorului înmulțită cu numitorul; de acolo scazi numărătorul înmulțit cu derivata numitorului. Numitorul e pătratul numitorului inițial. De pildă, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{0\cdot x-1\cdot 1}{x^2}=-\frac{1}{x^2}$.

Ce derivate de bază folosești?

Regulile lucrează cu funcții mai simple: constanta, puterea, inversul, radicalul, exponențiala și logaritmul. Derivatele lor le folosești aici fără demonstrație, așa cum sunt în tabelul din fișa de mai jos. Tabelul complet al derivatelor și derivata a doua sunt în derivata a doua și tabelul derivatelor.

Metoda pas cu pas

Pentru orice funcție dată prin formulă, lucrezi în patru pași.

1. Desparte funcția în blocuri. Caută semnul care leagă blocurile mari: plus sau minus la o sumă, înmulțirea dintre doi factori la un produs, bara de fracție la un cât. Dacă formula are mai multe niveluri, tratezi întâi blocurile mari, apoi pe cele dinăuntru. În situația firmei, $P=V-C$ este o diferență, $V=E\cdot k$ un produs, iar $w=\frac{C}{V}$ un cât.
2. Scrie ingredientele. La produs și la cât, notează într-un tabel mic cele patru ingrediente $u$, $v$, $u^{\prime }$, $v^{\prime }$, fiecare cu unitatea ei; derivatele simple le iei din fișă. La o sumă derivezi direct fiecare termen, iar o constantă dă 0.
3. Asamblează cu regula. Pune fiecare produs în paranteză, ca să nu pierzi un semn minus. La cât, scrie numărătorul în ordinea $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$ și lasă numitorul $v^2$ nedesfăcut, ca să se vadă unde funcția nu are sens.
4. Simplifică și verifică. Scoate factorii comuni, ca să ajungi la o formă scurtă; dacă enunțul îți dă rezultatul („Arătați că …”), compară-l cu al tău. Verifică în trei feluri: toți termenii au aceeași unitate; diferența dintre valorile funcției în două puncte apropiate, împărțită la distanța dintre ele, este aproape derivata; un număr pus în ambele părți ale egalității din enunț dă același rezultat.

Dacă derivata se cere într-un punct, înlocuiești abia la sfârșit, după ce ai derivat. Pașii 1–3 se repetă pe fiecare nivel al formulei: un termen al unei sume care este el însuși un produs sau un cât se derivează cu propriii lui patru ingrediente, înainte să aduni termenii. Pasul 4 se face o singură dată, pe rezultatul întreg.

Fișa de buzunar

$$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime },(k\cdot u{)}^{\prime }=k\cdot u^{\prime }$$

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$

$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2},v\ne 0$$

Condiții de aplicare: regulile merg în punctele în care ambele funcții sunt derivabile, iar câtul doar unde $v\ne 0$. Derivata are unitatea funcției pe unitatea variabilei: lei pe lună la venit, grade Celsius pe minut la încălzire. Verificare rapidă: pune în ambele părți ale unei egalități „Arătați că” o valoare ușoară, de pildă $x=1$, și compară cele două numere; o diferență dovedește greșeala, o egalitate doar o face improbabilă.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Venitul în lei și ponderea cheltuielilor

Domeniu: economic.

Enunț. Revenim la firma din situație, cu $E(t)=4136+124t$ euro, $k(t)=5,04+0,01t$ lei pentru un euro și $C(t)=19670+248t$ lei, cu $t$ în luni de la ianuarie. a) Calculează $V^{\prime }(6)$ pentru venitul în lei $V=E\cdot k$. b) Calculează $P^{\prime }(6)$ pentru profitul $P=V-C$. c) Calculează $w^{\prime }(6)$ pentru ponderea $w=\frac{C}{V}$ și spune dacă ponderea crește sau scade.

Rezolvare. a) Ingredientele la $t=6$: $u=E(6)=4880$ euro, $v=k(6)=5,10$ lei pentru un euro, $u^{\prime }=124$ euro pe lună și $v^{\prime }=0,01$ lei pentru un euro pe lună. Atunci $V^{\prime }(6)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }=124\cdot 5,10+4880\cdot 0,01=632,4+48,8=681,2$ lei pe lună. Din cei 681,2 lei, 632,4 vin din euro în plus și 48,8 din cursul mai mare. b) $P^{\prime }(6)=V^{\prime }(6)-C^{\prime }(6)=681,2-248=433,2$ lei pe lună. c) $V(6)=4880\cdot 5,10=24888$ lei și $C(6)=19670+1488=21158$ lei. Cu $u=C$, $v=V$, $u^{\prime }=248$ și $v^{\prime }=681,2$ obținem $w^{\prime }(6)=\frac{248\cdot 24888-21158\cdot 681,2}{24888^2}\approx -0,0133$ pe lună. Ponderea scade cu aproximativ 1,33 puncte procentuale pe lună, pornind de la $w(6)=\frac{21158}{24888}\approx 85,0\%$.

Capcană. Cine scrie $V^{\prime }=E^{\prime }\cdot k^{\prime }=124\cdot 0,01=1,24$ înmulțește derivatele factorilor și obține o valoare de aproape 550 de ori prea mică. Unitățile prind greșeala: euro pe lună ori lei pentru un euro pe lună dă lei pe lună la pătrat, nu lei pe lună.

Verificare. Cu formulele din dicționar, în august (luna 7) venitul este $5004\cdot 5,11=25570,44$ lei, deci de la iulie la august crește cu 682,44 lei, cu 1,24 lei mai mult decât $V^{\prime }(6)$. Diferența este chiar produsul $E^{\prime }\cdot k^{\prime }$, pe care regula nu-l conține, fiindcă derivata măsoară ritmul într-o clipă, nu un salt de o lună. Ambii termeni din $V^{\prime }$ sunt în lei pe lună.

Exemplul 2 — Concentrația siropului

Domeniu: alimentar.

Enunț. Un cazan conține 118 kg de sirop, din care 52 kg de zahăr. De la minutul 0 se adaugă, pe fiecare minut, 7 kg de zahăr și 2 kg de apă. a) Scrie concentrația de zahăr $c(t)$ după $t$ minute și află-o la $t=0$ și la $t=12$. b) Calculează $c^{\prime }(t)$. c) Cât de repede crește concentrația la minutul 12, în puncte procentuale pe minut?

Rezolvare. a) După $t$ minute zahărul are $52+7t$ kg, iar siropul $118+9t$ kg, deci $c(t)=\frac{52+7t}{118+9t}$. La $t=0$ avem $\frac{52}{118}\approx 44,1\%$, iar la $t=12$ avem $\frac{136}{226}\approx 60,2\%$. b) Cu $u=52+7t$, $v=118+9t$, $u^{\prime }=7$ și $v^{\prime }=9$: $c^{\prime }(t)=\frac{7(118+9t)-9(52+7t)}{(118+9t{)}^2}=\frac{358}{(118+9t{)}^2}$. c) $c^{\prime }(12)=\frac{358}{226^2}\approx 0,0070$ pe minut, adică 0,70 puncte procentuale pe minut.

Capcană. Dacă scrii numărătorul invers, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, obții $-358$ și ai spune că siropul se diluează. Dar amestecul care intră are $\frac{7}{9}\approx 77,8\%$ zahăr, mai mult decât siropul din cazan, deci concentrația crește: derivata trebuie să fie pozitivă.

Verificare. Din bilanțul de zahăr, pe alt drum. Pe minut intră 9 kg de amestec. Dacă ar avea concentrația siropului, adică $9\cdot 0,6018\approx 5,416$ kg de zahăr, concentrația nu s-ar schimba. Intră 7 kg, deci cu 1,584 kg mai mult, iar surplusul se împarte la 226 kg: $\frac{1,584}{226}\approx 0,0070$. Același rezultat.

Exemplul 3 — Încălzirea unui reactor cu abur

Domeniu: chimie.

Enunț. Într-un reactor de 400 L, o soluție se încălzește cu abur. Fișa de lot dă temperatura în °C la $t$ minute după deschiderea aburului: $T(t)=22+3,6t-0,045t^2$, pentru $0\le t\le 30$. Operatorul citește cronometrul în secunde și notează 850 s. a) Transformă timpul în minute, rotunjit la sutimi. b) Calculează $T^{\prime }(t)$, apoi ritmul de încălzire la momentul de la a). c) Fișa cere ca operatorul să treacă reactorul pe palierul de menținere când ritmul coboară sub 1 °C pe minut. Se întâmplă asta înainte de minutul 30?

Rezolvare. a) $850:60\approx 14,17$ minute, rotunjit la sutimi. b) $T^{\prime }(t)=3,6-0,09t$: constanta 22 dispare, $3,6t$ dă 3,6, iar $0,045t^2$ dă $0,09t$. La momentul de la a), $T^{\prime }(14,17)=3,6-0,09\cdot 14,17\approx 2,32$ °C pe minut. c) Cerem $3,6-0,09t<1$, deci $t>\frac{2,6}{0,09}\approx 28,89$. Ritmul coboară sub 1 °C pe minut după aproximativ 28 min 53 s, adică înainte de minutul 30: trecerea pe menținere vine cu puțin peste un minut înainte de capătul intervalului din fișă.

Capcană. Dacă pui 850 în formulă, fără să treci secundele în minute, obții $T^{\prime }(850)=3,6-76,5=-72,9$ °C pe minut: temperatura ar scădea cu 73 de grade pe minut, pentru un $t$ aflat în afara intervalului $0\le t\le 30$. Variabila $t$ din formulă se măsoară în minute.

Verificare. Pe datele fișei, $T(14)=63,58$ °C și $T(15)=65,875$ °C, deci într-un minut temperatura crește cu 2,295 °C. Numărul stă între $T^{\prime }(14)=2,34$ și $T^{\prime }(15)=2,25$, ritmurile de la capetele minutului, cum trebuie.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: ridicarea tijei unei came

Domeniu: mecanica.

Enunț. Cerința a) a problemei 1 din Subiectul al III-lea are forma de mai jos. Aici funcția vine de la o camă care ridică tija unei supape: la $x$ pași de rotire (un pas are 15°), tija s-a ridicat cu $f(x)$ milimetri. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=0,9x^2-0,1x^3$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=0,3x(6-x)$, $x\in \mathbb{R}$. b) Calculați $f^{\prime }(3)$.

Rezolvare. a) Derivezi termen cu termen: $f^{\prime }(x)=0,9\cdot 2x-0,1\cdot 3x^2=1,8x-0,3x^2$. Scoți factorul comun $0,3x$, fiindcă $1,8:0,3=6$, și rămâne $0,3x(6-x)$. b) $f^{\prime }(3)=0,3\cdot 3\cdot 3=2,7$ milimetri pe pas: la mijlocul cursei, tija urcă în ritm de 2,7 mm pe pas de 15°.

Capcană. Dacă scrii $0,3x(x-6)$, ai schimbat semnul și $f^{\prime }(3)$ iese $-2,7$: tija ar coborî în timp ce cama se rotește spre vârf. Aici tija urcă până la pasul 6, deci derivata trebuie să fie pozitivă pe $(0;6)$.

Verificare. Înlocuiește $x=2$ în ambele părți ale egalității: $1,8\cdot 2-0,3\cdot 4=2,4$ și $0,3\cdot 2\cdot 4=2,4$. La început și la sfârșitul cursei $f^{\prime }(0)=0$ și $f^{\prime }(6)=0$: tija pornește și se oprește cu viteza zero, cum se vede și din formulă. La pasul 6 ridicarea este $f(6)=10,8$ mm.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru $f(x)=9x^4-7x^3+13x-52$, $x\in \mathbb{R}$, derivează fiecare termen pe un rând, scrie $f^{\prime }(x)$ și calculează $f^{\prime }(-2)$.

2. Pentru $g(x)=(6x-11)(2x^2+9)$, $x\in \mathbb{R}$, scrie întâi ingredientele $u$, $v$, $u^{\prime }$, $v^{\prime }$, apoi calculează $g^{\prime }(x)$ cu regula produsului și $g^{\prime }(2)$.

3. Pentru $h(x)=\frac{7x-15}{3x+8}$, $x>-\frac{8}{3}$, calculează $h^{\prime }(x)$ cu regula câtului, lăsând numitorul ca pătrat, apoi $h^{\prime }(1)$.

4. Pentru $q(x)=6\sqrt{x}+9\ln x-x^2$, $x>0$, calculează $q^{\prime }(x)$ termen cu termen și $q^{\prime }(4)$. Domeniul e dat pentru că $\ln x$ există numai pentru $x>0$, iar $\sqrt{x}$ are derivată numai pentru $x>0$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) O macara turn toarnă beton dintr-o benă de-a lungul unui perete. Pe ecranul din cabină, macaragiul citește la un moment dat: bena cu beton are 2,36 t și se află la 21,6 m de turn. Bena se golește cu 0,048 t pe secundă, iar căruciorul o duce spre vârful brațului cu 0,32 m pe secundă. Momentul de sarcină, urmărit de limitatorul macaralei, este $M=m\cdot d$, masa înmulțită cu distanța până la turn, în t·m. Calculează ritmul în care se schimbă momentul în acea clipă și spune dacă momentul crește sau scade.

6. (Problemă aplicată.) Un magazin online de haine estimează, după vânzările de anul trecut, că în luna $t$ va primi înapoi $R(t)=19+4t+0,3t^2$ produse din $S(t)=247+31t$ vândute. Rata de returnare este $r(t)=\frac{R(t)}{S(t)}$. Calculează $r(9)$ și $r^{\prime }(9)$ și spune dacă rata crește sau scade.

7. (Problemă aplicată.) Pe canalul de irigații al unei ferme, apa trece peste un prag de măsură. Dacă stratul de apă de deasupra pragului are $h$ centimetri, debitul este $Q(h)=0,88h\sqrt{h}$ litri pe secundă. Scrie $h\sqrt{h}$ ca produs de două funcții, calculează $Q^{\prime }(h)$, apoi $Q(16)$ și $Q^{\prime }(16)$. Compară $Q^{\prime }(16)$ cu creșterea debitului când stratul de apă urcă de la 16 cm la 17 cm.

8. (Problemă aplicată.) Un condensator se încarcă printr-o rezistență, iar tensiunea la bornele lui este $u(t)=18-\frac{18}{e^t}$ volți, cu $t$ măsurat în constante de timp ale circuitului. Calculează $u^{\prime }(t)$, apoi $u^{\prime }(0)$ și $u^{\prime }(2)$, și spune când se încarcă mai repede.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3-15x^2-18x+7$. Arătați că $f^{\prime }(x)=6(2x+1)(x-3)$, $x\in \mathbb{R}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\left(\frac{5}{2},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{7x+4}{2x-5}$. Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{43}{(2x-5{)}^2}$, apoi calculați $f^{\prime }(4)$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2-5x+7)e^x$. Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$, și arătați că $f^{\prime }(x)=(x-1)(x-2)e^x$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{20}{x}-9+8\ln x$. Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{4(2x-5)}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$, apoi calculați $f^{\prime }(1)$.

Răspunsuri și verificări

1. $f^{\prime }(x)=36x^3-21x^2+13$ și $f^{\prime }(-2)=-288-84+13=-359$. Verificare: $f(-2)=122$ și $f(-1)=-49$, deci pe intervalul de la $-2$ la $-1$ ritmul mediu este $-171$, între ritmurile de la capete, $f^{\prime }(-2)=-359$ și $f^{\prime }(-1)=-44$.

2. $g^{\prime }(x)=6(2x^2+9)+(6x-11)\cdot 4x=36x^2-44x+54$ și $g^{\prime }(2)=110$. Verificare: $g(2,1)=1,6\cdot 17,82=28,512$ și $g(1,9)=0,4\cdot 16,22=6,488$, iar $(28,512-6,488):0,2=110,12$, aproape de $g^{\prime }(2)$.

3. $h^{\prime }(x)=\frac{7(3x+8)-3(7x-15)}{(3x+8{)}^2}=\frac{101}{(3x+8{)}^2}$ și $h^{\prime }(1)=\frac{101}{121}\approx 0,83$. Verificare: $h(1)=-\frac{8}{11}$ și $h(2)=-\frac{1}{14}$, iar $h$ crește între aceste puncte, în acord cu derivata pozitivă.

4. $q^{\prime }(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{9}{x}-2x$ și $q^{\prime }(4)=1,5+2,25-8=-4,25$. Verificare: $q(3,9)\approx 8,88784$ și $q(4,1)\approx 8,03796$, iar $(8,03796-8,88784):0,2\approx -4,249$, aproape de $q^{\prime }(4)$.

5. $M^{\prime }=m^{\prime }d+m{d}^{\prime }=(-0,048)\cdot 21,6+2,36\cdot 0,32=-1,0368+0,7552=-0,2816$, adică aproximativ $-0,28$ t·m pe secundă: momentul scade, deși bena se îndepărtează de turn, fiindcă golirea contează mai mult decât deplasarea. Verificare: acum momentul este $2,36\cdot 21,6=50,976$ t·m, iar peste o secundă $2,312\cdot 21,92\approx 50,679$ t·m, cu aproximativ 0,30 t·m mai puțin, aproape de ritmul calculat.

6. $r(9)=\frac{79,3}{526}\approx 15,08\%$, iar $r^{\prime }(9)=\frac{9,4\cdot 526-79,3\cdot 31}{526^2}\approx 0,0090$ pe lună, adică 0,90 puncte procentuale pe lună: rata crește. Verificare: $r(10)=\frac{89}{557}\approx 15,98\%$, deci de la luna 9 la luna 10 rata crește cu aproximativ 0,90 puncte.

7. Cu $u=h$ și $v=\sqrt{h}$: $Q^{\prime }(h)=0,88\left(\sqrt{h}+\frac{h}{2\sqrt{h}}\right)=1,32\sqrt{h}$ litri pe secundă la fiecare centimetru. $Q(16)=0,88\cdot 16\cdot 4=56,32$ litri pe secundă și $Q^{\prime }(16)=1,32\cdot 4=5,28$ litri pe secundă la fiecare centimetru. Verificare: $Q(17)\approx 61,68$ litri pe secundă, deci de la 16 cm la 17 cm debitul crește cu aproximativ 5,36 litri pe secundă, puțin peste $Q^{\prime }(16)$, fiindcă ritmul crește odată cu $h$.

8. $u^{\prime }(t)=\frac{18}{e^t}$ volți pe constantă de timp, $u^{\prime }(0)=18$ și $u^{\prime }(2)\approx 2,44$. Se încarcă mai repede la început, când derivata e mare. Verificare: $u(0)=0$ V, iar $u(2)\approx 15,56$ V se apropie de 18 V.

9. Derivând termen cu termen: $f^{\prime }(x)=4\cdot 3x^2-15\cdot 2x-18=12x^2-30x-18$. Scoțând 6: $6(2x^2-5x-3)=6(2x+1)(x-3)$. Verificare: la $x=1$, $f^{\prime }(1)=12-30-18=-36$ și $6\cdot 3\cdot (-2)=-36$.

10. Cu $u=7x+4$, $v=2x-5$: $f^{\prime }(x)=\frac{7(2x-5)-2(7x+4)}{(2x-5{)}^2}=\frac{14x-35-14x-8}{(2x-5{)}^2}=-\frac{43}{(2x-5{)}^2}$. $f^{\prime }(4)=-\frac{43}{9}\approx -4,78$. Verificare: împărțind, $f(x)=\frac{7}{2}+\frac{43}{2(2x-5)}$, iar derivata acestei forme este $\frac{43}{2}\cdot \frac{-2}{(2x-5{)}^2}$, adică aceeași.

11. Cu $u=x^2-5x+7$, $v=e^x$: $f^{\prime }(x)=(2x-5)e^x+(x^2-5x+7)e^x=(x^2-3x+2)e^x$. Cum $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, rezultatul este $(x-1)(x-2)e^x$. Verificare: la $x=0$, ambele părți dau 2.

12. Derivând termen cu termen: $f^{\prime }(x)=20\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)+8\cdot \frac{1}{x}=-\frac{20}{x^2}+\frac{8}{x}=\frac{8x-20}{x^2}=\frac{4(2x-5)}{x^2}$. $f^{\prime }(1)=\frac{4\cdot (-3)}{1}=-12$. Verificare: la $x=1$, forma cu termeni dă $-20+8=-12$.

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026, cerința a) a problemei 1 din Subiectul al III-lea cere derivata unei funcții date prin formulă în 74 din cele 83 de probe: în 69 sub forma „Arătați că …”, în 3 sub forma „Verificați dacă …”, în 2 sub forma „Calculați $f^{\prime }(x)$”; în celelalte 9 cere o limită. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele funcției:

• August 2026, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 1a: funcția este un polinom de gradul al treilea, iar rezultatul cerut este derivata scoasă în factori; baremul probei dă 2 puncte pentru derivata scrisă termen cu termen (pasul 2 din Metodă) și 3 puncte pentru rezultatul în factori (pasul 4).
• Modelul din 2025, Subiectul al III-lea, exercițiul 1a: funcția este un cât de două funcții de gradul I, iar rezultatul este o fracție cu numărătorul constant; baremul probei dă 3 puncte pentru formula câtului aplicată (pasul 3) și 2 puncte pentru simplificare (pasul 4).
• Iunie 2018, Subiectul al III-lea, exercițiul 1a: funcția este produsul dintre un polinom de gradul I și $e^x$; baremul probei dă 3 puncte pentru regula produsului (pasul 3) și 2 puncte pentru factorul comun $e^x$ (pasul 4).
• Iunie 2026, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 1a: funcția este o sumă cu un termen de forma $\frac{a}{x}$ și unul cu $\ln x$; baremul probei dă 3 puncte pentru derivata fiecărui termen (pasul 2) și 2 puncte pentru aducerea la același numitor (pasul 4).

Exercițiile 9–12 exersează aceleași patru tipuri de funcții. Derivata de la a) se folosește mai departe la tangentă, în derivata, viteza și tangenta, iar rezultatul factorizat se folosește la semnul derivatei, în unde crește și unde scade.

Greșeli care costă puncte

• Derivata produsului luată ca produs de derivate. Scrii $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }{v}^{\prime }$ → unitățile prind greșeala (lei pe lună la pătrat), iar diferența dintre venitul din iulie și cel din august, calculat cu formulele, arată cât de departe ești de ritmul corect.
• Numărătorul câtului scris invers. Folosești $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$ în loc de $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$ → verifici semnul cu ce se întâmplă în realitate; în exemplul cu sirop, concentrația crește, deci derivata iese pozitivă.
• Un minus pierdut. Scazi $u{v}^{\prime }$ fără paranteze și semnul lui $v^{\prime }$ dispare → scrii fiecare produs în paranteză și pui $x=1$ în ambele părți ale egalității din enunț.
• Rezultat lăsat nefactorizat. Te oprești la $1,8x-0,3x^2$, deși enunțul cere forma $0,3x(6-x)$, și lași nescrisă tocmai forma cu care se încheie rezolvarea → scoți factorul comun și compari cu ținta.
• Valoarea pusă înainte de derivare. Înlocuiești $t=6$ în $V(t)$ și derivezi numărul 24 888, obținând 0 → derivezi întâi, înlocuiești la sfârșit; un ritm de 0 lei pe lună nu se potrivește cu venitul în euro și cursul, care cresc în tabel.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul derivatei sumei, produsului și câtului de funcții se cere la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 80 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se cere la Bacalaureatul M3 când rezultatul derivatei e deja scris în enunț?

Se cere drumul până la el: ingredientele, regula aplicată și simplificarea. În 74 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, cerința a) de la problema 1 din Subiectul al III-lea cere derivata unei funcții date prin formulă, iar în 72 dintre ele rezultatul e scris în enunț („Arătați că …” sau „Verificați dacă …”).

Dacă firma fixează cursul la 5,10 lei printr-un contract cu banca, cât mai crește venitul în lei?

Cursul devine o constantă, iar derivata lui e 0. Din regula produsului rămâne numai primul termen: în luna 6, $V^{\prime }(6)=124\cdot 5,10=632,4$ lei pe lună, cu 48,8 lei mai puțin decât cu cursul care urcă. Este regula factorului constant, $(k\cdot E{)}^{\prime }=k\cdot E^{\prime }$.

Ce înseamnă că ponderea cheltuielilor în venit scade cu 1,33 puncte procentuale pe lună?

În luna 6, ponderea este 85,0 %: din 100 de lei încasați, 85 se duc pe cheltuieli. Derivata de aproximativ −0,0133 spune că, la ritmul din luna 6, partea aceasta coboară cu 1,33 lei din fiecare 100 în fiecare lună, deci profitul, aproape 15 lei din 100, urcă în aceeași măsură.

De ce nu pot înlocui mai întâi luna 6 în V(t) și apoi să derivez?

Pentru că după înlocuire rămâne numărul 24 888 lei, iar derivata unui număr este 0: ai pierdut tocmai felul în care venitul se schimbă de la o lună la alta. Derivata se calculează cu variabila liberă, iar rezultatul se evaluează abia apoi, în luna 6.

Ce fac dacă derivata mea nu seamănă cu forma din „Arătați că”?

Scoate factorul comun, ca la camă: $1,8x-0,3x^2$ devine $0,3x(6-x)$. Dacă tot nu seamănă, pune $x=1$ sau $x=2$ în ambele expresii. Dacă numerele diferă, ai o greșeală de calcul; dacă sunt egale, e probabil doar altă scriere, pe care factorizarea o confirmă.

Cum se schimbă ritmul profitului dacă cheltuielile cresc cu 300 de lei pe lună, nu cu 248?

Ritmul venitului rămâne 681,2 lei pe lună, iar derivata cheltuielilor devine 300, deci $P^{\prime }(6)=681,2-300=381,2$ lei pe lună. Profitul tot crește, dar cu 52 de lei pe lună mai încet decât în Exemplul 1, unde ritmul era de 433,2 lei pe lună.