Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Determinanți: coliniaritate și arie

Cum verific coliniaritatea cu un determinant?

Scrii coordonatele pe linii, cu 1 în ultima coloană, și arăți că determinantul este 0. Pentru $A (1, 2)$ , $B (3, 5)$ și $C (7, 11)$ , scăzând prima linie din celelalte, $Δ = (3 - 1) (11 - 2) - (7 - 1) (5 - 2) = 18 - 18 = 0$ , deci punctele sunt coliniare. Dacă determinantul nu este 0, punctele formează un triunghi cu aria $\frac{∣Δ∣}{2}$ . Proba: de la $A$ la $B$ , $y$ crește cu 3 la 2 pași pe $x$ , iar de la $A$ la $C$ cu 9 la 6 pași, în același ritm.

Determinantul de ordin 3 se calculează cu regula lui Sarrus: aduni cele trei produse paralele cu diagonala principală și scazi cele trei paralele cu cealaltă diagonală. Proprietățile scurtează calculul: două linii egale sau proporționale dau 0, schimbarea a două linii schimbă semnul, iar scăderea unei linii din alta nu schimbă valoarea.

Pentru trei puncte $A$ , $B$ , $C$ scrii pe fiecare linie $(x, y, 1)$ . Punctele sunt coliniare exact când determinantul este 0, iar aria triunghiului este $\frac{∣Δ∣}{2}$ . Scăzând prima linie din celelalte, $Δ = (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ , un calcul de ordin 2.

Ecuația dreptei prin două puncte se scrie punând $(x, y, 1)$ pe prima linie și egalând determinantul cu 0; dezvoltat după prima linie, termenul din mijloc are semnul minus. Proba: ambele puncte trebuie să verifice ecuația.

Capcanele: împărțirea la 2 uitată la arie, aria scrisă fără modul (pierzi una dintre cele două soluții când un vârf are parametru) și semnul greșit la termenul cu $y$ din ecuația dreptei.

De reținut

trei puncte sunt coliniare exact când determinantul lor este 0
aria triunghiului este modulul determinantului împărțit la 2
ecuația dreptei $A B$ : determinantul cu $(x, y, 1)$ , $A$ și $B$ pe linii, egal cu 0

Greșeala tipică

Se uită împărțirea la 2 la arie. Determinantul celor trei vârfuri este dublul ariei; pentru vârfurile $(0, 0)$ , $(6, 0)$ , $(0, 4)$ el este 24, iar aria triunghiului dreptunghic este $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este determinantul $134157111$ , format cu punctele $A (1, 1)$ , $B (3, 5)$ și $C (4, 7)$ ?
- a) $24$
- b) $- 2$
- c) $0$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0$

Scăzând prima linie din celelalte, $Δ = (3 - 1) (7 - 1) - (4 - 1) (5 - 1) = 12 - 12 = 0$ , deci punctele sunt coliniare. Varianta $24$ adună cele două produse în loc să le scadă.
Ce arie are triunghiul cu vârfurile $O (0, 0)$ , $M (5, 1)$ și $N (2, 6)$ ?
- a) $28$
- b) $14$
- c) $16$
- d) $32$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $14$

Cu originea pe prima linie, $Δ = 5 \cdot 6 - 2 \cdot 1 = 28$ , iar aria este $\frac{28}{2} = 14$ . Varianta $28$ uită împărțirea la 2, iar variantele $32$ și $16$ adună produsele, $30 + 2$ .
Care este ecuația dreptei care trece prin $A (2, 1)$ și $B (4, 5)$ ?
- a) $2 x + y - 3 = 0$
- b) $x - 2 y = 0$
- c) $2 x - y + 3 = 0$
- d) $2 x - y - 3 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2 x - y - 3 = 0$

$x 24 y 15 111 = x (1 - 5) - y (2 - 4) + (10 - 4) = - 4 x + 2 y + 6$ , deci $2 x - y - 3 = 0$ . Proba: $4 - 1 - 3 = 0$ și $8 - 5 - 3 = 0$ . Varianta a) are semnul greșit la termenul cu $y$ .

Întrebări conexe

Cum calculez aria unui triunghi din coordonatele vârfurilor?

Scrii vârfurile pe liniile unui determinant de ordin 3, cu 1 în ultima coloană, și împarți modulul lui la 2. Pentru $(0, 0)$ , $(8, 2)$ și $(3, 7)$ , cu originea pe prima linie, $Δ = 8 \cdot 7 - 3 \cdot 2 = 50$ , deci aria este 25. Modulul face aria pozitivă oricum ai ordona vârfurile.

Cum scriu ecuația dreptei prin două puncte cu un determinant?

Pui $(x, y, 1)$ pe prima linie și punctele pe celelalte, apoi egalezi determinantul cu 0. Pentru $A (2, 3)$ și $B (5, 15)$ obții $x (3 - 15) - y (2 - 5) + (30 - 15) = - 12 x + 3 y + 15$ , adică $4 x - y - 5 = 0$ . Proba: $8 - 3 - 5 = 0$ și $20 - 15 - 5 = 0$ .

De ce un determinant cu două linii proporționale este 0?

Dacă o linie este $k$ ori alta, scazi din ea de $k$ ori linia cealaltă, iar valoarea nu se schimbă; linia devine însă plină de zerouri, iar un determinant cu o linie nulă este 0. De pildă, în $312644976$ a treia linie este $\frac{2}{3}$ din prima.

Cum aflu parametrul pentru care trei puncte sunt coliniare?

Scrii determinantul cu parametrul și îl egalezi cu 0. Pentru $A (1, 0)$ , $B (3, m)$ și $C (5, 8)$ , scăzând linia lui $A$ , $Δ (m) = (3 - 1) (8 - 0) - (5 - 1) (m - 0) = 16 - 4 m$ , deci $m = 4$ . Proba: $B (3, 4)$ este mijlocul lui $A C$ .

De ce în formula ariei apar modulul și împărțirea la 2?

Determinantul poate ieși negativ, în funcție de ordinea vârfurilor, iar aria nu; modulul păstrează doar mărimea. Împărțirea la 2 vine din faptul că determinantul măsoară paralelogramul construit pe două laturi ale triunghiului, care are dublul ariei triunghiului. Fără ea, la vârfurile $(0, 0)$ , $(5, 1)$ , $(2, 6)$ ai obține 28 în loc de 14.

Contează ordinea în care scriu punctele în determinant?

Pentru coliniaritate și arie, nu. Schimbarea a două linii schimbă doar semnul determinantului: dacă într-o ordine iese $69$ , în alta iese $- 69$ , iar aria rămâne $34, 5$ . Contează doar ca fiecare linie să aibă forma $(x, y, 1)$ , cu $x$ înaintea lui $y$ .

Oamenii mai întreabă și: trei puncte coliniare determinant egal cu zero · conditia de coliniaritate cu determinant de ordin 3 · cum verific daca punctele sunt pe aceeasi dreapta · coliniaritate determinant bacalaureat pedagogic