Determinanți, coliniaritate și arie, pedagogic

Un singur determinant de ordin 3, cu coordonatele a trei puncte pe linii și o coloană de 1, spune dacă punctele stau pe aceeași dreaptă și cât este aria triunghiului format de ele. Lecția, pentru clasa a XII-a, profilul pedagogic, reia calculul determinantului de ordin 3, cu regula lui Sarrus și cu proprietățile lui, și îl folosește pe planul curții unei grădinițe. Determinantul de ordin cel mult 3 și aceste aplicații sunt în programa Bacalaureatului M4 (M_pedagogic).

Situația de pornire

Educatoarele unei grădinițe amenajează curtea pentru primăvară. Pe planul curții, desenat pe hârtie cu pătrățele, fiecare pătrățel înseamnă 1 m, iar originea este colțul gardului de lângă intrarea în clădire.

Reper din curte	$x$ (m)	$y$ (m)
P, poarta dinspre stradă	2	1
L, leagănul	6	4
C, căsuța de joacă	14	10
T, teiul din mijlocul curții	5	9

Educatoarele vor să traseze cu vopsea o cărare dreaptă de la poartă la căsuța de joacă și se întreabă dacă leagănul nu stă în drum. Apoi vor să acopere cu dale de cauciuc zona triunghiulară dintre poartă, căsuță și tei; furnizorul cere 4 dale pe metru pătrat.

Întrebare: trece cărarea PC prin leagăn? Ce ecuație are dreapta PC pe plan și câte dale trebuie pentru triunghiul PCT?

De la situație la model

Fiecare reper devine un punct din plan, cu coordonatele din tabel. Cele trei întrebări au același instrument: determinantul de ordin 3 care are pe fiecare linie coordonatele unui punct și, în ultima coloană, numărul 1.

În situație	În matematică
un reper din curte	un punct $A (x_{A}, y_{A})$
trei repere	determinantul $Δ = x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111$
„leagănul e pe cărare”	punctele sunt coliniare: $Δ = 0$
cărarea de la P la C	dreapta $P C$ , cu ecuația $x 214 y 110 111 = 0$
zona cu dale, în m²	aria triunghiului: $\frac{∣ Δ ∣}{2}$

Determinantul de ordin 3 este numărul calculat cu regula lui Sarrus: se adună cele trei produse paralele cu diagonala principală și se scad cele trei produse paralele cu cealaltă diagonală. Pentru trei puncte, el are o semnificație geometrică: modulul lui este dublul ariei triunghiului format de puncte.

Ce proprietăți scurtează calculul?

Un determinant este 0 dacă are două linii (sau două coloane) egale ori proporționale. Valoarea lui nu se schimbă dacă scazi o linie din alta, iar dacă schimbi între ele două linii, își schimbă doar semnul. Scăzând prima linie din celelalte două, determinantul celor trei puncte devine $Δ = (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ , un calcul de ordin 2.

De ce dreapta prin două puncte are ecuația cu determinant?

Un punct oarecare $M (x, y)$ stă pe dreapta $P C$ exact când $M$ , $P$ și $C$ sunt coliniare, adică exact când determinantul cu liniile $(x, y, 1)$ , $(2, 1, 1)$ și $(14, 10, 1)$ este 0. Dezvoltat, el dă o ecuație de forma $a x + b y + c = 0$ : chiar ecuația dreptei.

Metoda pas cu pas

Scrii punctele pe linii, câte unul pe linie, cu $x$ în prima coloană, $y$ în a doua și 1 în a treia. Ordinea punctelor poate schimba semnul determinantului, nu și modulul lui.
Calculezi $Δ$ prin Sarrus sau, mai scurt, scăzând prima linie din celelalte: $Δ = (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ . Calculul cu ambele drumuri e o probă bună.
Citești rezultatul: dacă $Δ = 0$ , punctele sunt coliniare; altfel, aria triunghiului este $\frac{∣Δ∣}{2}$ , în unitatea coordonatelor la pătrat.
Pentru ecuația dreptei prin două puncte pui $(x, y, 1)$ pe prima linie, dezvolți după ea și simplifici; verifici că ambele puncte date verifică ecuația.
Dacă o coordonată este parametrul $m$ , scrii $Δ (m)$ ca expresie în $m$ și rezolvi $Δ (m) = 0$ pentru coliniaritate sau $∣Δ (m) ∣ = 2 S$ pentru o arie dată $S$ ; ecuația cu modul are de regulă două soluții.

Ordinea contează: cine scrie ecuația dreptei fără proba de la pasul 4 nu vede un semn greșit la termenul din mijloc, iar cine sare peste modulul de la pasul 3 poate obține o arie negativă.

Fișa de buzunar

$a d g b e h c f i = a e i + b f g + c d h - ce g - a f h - b d i$

$A, B, C coliniare ⟺ Δ = 0, A_{A B C} = \frac{∣Δ∣}{2}, Δ = x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111$

Proprietăți: două linii (sau coloane) egale sau proporționale dau determinantul 0; un factor comun al unei linii iese în fața determinantului; schimbarea a două linii schimbă semnul; adunarea unui multiplu al unei linii la alta nu schimbă valoarea. Ecuația dreptei $A B$ : $x x_{A} x_{B} y y_{A} y_{B} 111 = 0$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cărarea de la poartă la căsuță

Tipul cerinței: coliniaritate și ecuația dreptei prin două puncte.

Enunț. Cu datele din tabel: a) Arată că leagănul L este pe dreapta PC. b) Scrie ecuația dreptei PC.

Rezolvare. a) Scăzând prima linie din celelalte, $Δ = 26141410111 = (6 - 2) (10 - 1) - (14 - 2) (4 - 1) = 4 \cdot 9 - 12 \cdot 3 = 36 - 36 = 0$ , deci P, L și C sunt coliniare: leagănul stă chiar pe cărare. b) $x 214 y 110 111 = x (1 - 10) - y (2 - 14) + (2 \cdot 10 - 14 \cdot 1) = - 9 x + 12 y + 6$ . Ecuația $- 9 x + 12 y + 6 = 0$ , împărțită la $- 3$ , devine $3 x - 4 y - 2 = 0$ .

Capcană. La dezvoltarea după prima linie, termenul din mijloc are semnul minus. Cine îl uită scrie $- 9 x - 12 y + 6 = 0$ , adică $3 x + 4 y - 2 = 0$ ; poarta P(2, 1) ar da $6 + 4 - 2 = 8$ , nu 0, deci dreapta greșită nici nu trece prin poartă.

Verificare. Cu ecuația, nu cu determinantul: P dă $3 \cdot 2 - 4 \cdot 1 - 2 = 0$ , C dă $42 - 40 - 2 = 0$ , iar L dă $18 - 16 - 2 = 0$ , deci și leagănul este pe dreaptă, cum arătase $Δ = 0$ .

Exemplul 2 — Zona cu dale de cauciuc

Tipul cerinței: aria unui triunghi din coordonate.

Enunț. Calculează aria triunghiului PCT și numărul de dale, la 4 dale pe metru pătrat.

Rezolvare. Prin Sarrus, $Δ = 21451109111 = 2 \cdot 10 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 14 \cdot 9 - 1 \cdot 10 \cdot 5 - 2 \cdot 1 \cdot 9 - 1 \cdot 14 \cdot 1 = 20 + 5 + 126 - 50 - 18 - 14 = 69$ . Aria este $\frac{69}{2} = 34, 5$ m², iar dalele necesare sunt $34, 5 \cdot 4 = 138$ .

Capcană. Cine uită împărțirea la 2 socotește 69 m² și comandă 276 de dale, dublul celor necesare. Determinantul măsoară aria paralelogramului construit pe două laturi ale triunghiului, iar triunghiul este jumătate din el.

Verificare. Pe drumul scurt, scăzând linia lui P: $(14 - 2) (9 - 1) - (5 - 2) (10 - 1) = 12 \cdot 8 - 3 \cdot 9 = 96 - 27 = 69$ , același $Δ$ .

Exemplul 3 — Un determinant cu parametru și rădăcinile lui

Tipul cerinței: determinantul ca expresie în $m$ , explicat prin proprietăți.

Enunț. Se consideră matricea $A (m) = m 11 1 m 1 311$ , unde $m$ este număr real. a) Arată că $det (A (m)) = m^{2} - 4 m + 3$ . b) Explică prin proprietăți de ce $det (A (1)) = 0$ și $det (A (3)) = 0$ . c) Determină $m$ pentru care $det (A (m)) = 8$ .

Rezolvare. a) Prin Sarrus, $det (A (m)) = m \cdot m \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 - 3 \cdot m \cdot 1 - m \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 = m^{2} + 1 + 3 - 3 m - m - 1 = m^{2} - 4 m + 3$ . b) $A (1)$ are liniile a doua și a treia egale, $(1, 1, 1)$ , iar $A (3) = 311131311$ are prima și a treia coloană egale; în ambele cazuri determinantul este 0, fără niciun calcul. c) $m^{2} - 4 m + 3 = 8$ devine $m^{2} - 4 m - 5 = 0$ , adică $(m - 5) (m + 1) = 0$ , deci $m = 5$ sau $m = - 1$ .

Capcană. Cine scade produsul $3 \cdot m \cdot 1$ ca $3 \cdot 1 \cdot 1$ obține $m^{2} - m$ , cu rădăcinile 0 și 1. Proprietatea de la b) îl prinde imediat: $A (3)$ are două coloane egale, deci 3 trebuie să fie rădăcină, iar $9 - 3 = 6$ nu este 0.

Verificare. Direct, cu numere: $det (A (5)) = 25 + 1 + 3 - 15 - 5 - 1 = 8$ , cât cere c).

Exemplul 4 — problema inversă: unde pui al treilea punct

Tipul cerinței: parametrul dintr-o condiție de coliniaritate sau de arie.

Enunț. Se dau punctele $A (1, 2)$ , $B (4, m)$ și $C (7, 8)$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ pentru care punctele sunt coliniare. b) Determină $m$ pentru care aria triunghiului $A B C$ este 6.

Rezolvare. Scăzând linia lui $A$ , $Δ (m) = (4 - 1) (8 - 2) - (7 - 1) (m - 2) = 18 - 6 m + 12 = 30 - 6 m$ . a) $30 - 6 m = 0$ dă $m = 5$ . b) Aria este $\frac{∣30 - 6 m ∣}{2} = 6$ , deci $∣30 - 6 m ∣ = 12$ : fie $30 - 6 m = 12$ , cu $m = 3$ , fie $30 - 6 m = - 12$ , cu $m = 7$ .

Capcană. Cine scrie aria fără modul, $\frac{30 - 6 m}{2} = 6$ , găsește doar $m = 3$ și pierde a doua poziție, $m = 7$ , de cealaltă parte a dreptei $A C$ .

Verificare. Pentru $m = 5$ , punctul $B (4, 5)$ este mijlocul segmentului $A C$ , fiindcă $\frac{1 + 7}{2} = 4$ și $\frac{2 + 8}{2} = 5$ , deci e pe dreaptă. Pentru $m = 7$ , $Δ = 30 - 42 = - 12$ , iar aria este $\frac{12}{2} = 6$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează $74 - 3 2$ și $214031 1 - 1 2$ .

2. Fără regula lui Sarrus, arată că $312644976 = 0$ și $1244577810 = 0$ .

3. Verifică dacă punctele $A (- 1, 3)$ , $B (2, 1)$ și $C (8, - 3)$ sunt coliniare.

4. Scrie, cu un determinant, ecuația dreptei care trece prin $A (1, - 2)$ și $B (3, 4)$ .

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Deasupra nisipului de joacă, o pânză de umbrire triunghiulară se prinde în trei stâlpi care, pe planul curții, stau în $(0, 0)$ , $(12, 3)$ și $(4, 10)$ , în metri. Pânza costă 85 de lei pe metru pătrat de suprafață acoperită. Cât costă pânza?

6. (Problemă aplicată.) La ora de educație fizică, profesoara așază jaloane în $J_{1} (2, 3)$ , $J_{2} (5, 7)$ , $J_{3} (11, 15)$ și $J_{4} (8, 12)$ , în metri. Copiii aleargă în linie dreaptă de la $J_{1}$ la $J_{2}$ și mai departe. Care dintre $J_{3}$ și $J_{4}$ este pe traseu? Ce arie are triunghiul $J_{1} J_{2} J_{4}$ ?

7. (Problemă aplicată.) Într-un parc, două bănci stau în $(0, 1)$ și $(4, 7)$ , în metri, iar un copac trebuie plantat pe aceeași linie, în punctul $(6, m)$ . Află $m$ cu un determinant.

8. (Problemă aplicată.) O zonă de joacă triunghiulară are două vârfuri fixe, $(0, 0)$ și $(6, 0)$ , pe gardul curții, iar al treilea vârf se poate muta în $(a, 4)$ , cu $a$ număr real. Arată că aria zonei nu depinde de $a$ .

Nivelul 3 — pe model de examen

Exercițiile 9–12 folosesc același cadru: se consideră punctele $O (0, 0)$ , $B (2, m)$ și $C (m, 8)$ , unde $m$ este număr real, și determinantul $Δ (m) = 02 m 0 m 8 111$ .

9. (Sinteză.) Arătați că $Δ (m) = 16 - m^{2}$ , pentru orice număr real $m$ .

10. (Sinteză.) Determinați numerele reale $m$ pentru care punctele $O$ , $B$ și $C$ sunt coliniare.

11. (Sinteză.) Pentru $m = 2$ , calculați aria triunghiului $O B C$ .

12. (Sinteză.) Pentru $m = 4$ , scrieți ecuația dreptei care conține punctele $O$ , $B$ și $C$ .

Răspunsuri și verificări

1. $74 - 3 2 = 14 + 12 = 26$ . Prin Sarrus, al doilea determinant este $12 + 0 + 1 - 12 + 2 - 0 = 3$ . Verificare: dezvoltat după prima linie, $2 (6 + 1) - 0 + 1 (1 - 12) = 14 - 11 = 3$ .

2. În primul, a treia linie este $\frac{2}{3}$ din prima, $(2, 4, 6) = \frac{2}{3} (3, 6, 9)$ , deci liniile sunt proporționale și determinantul este 0. În al doilea, scazi prima linie din celelalte și obții liniile $(1, 1, 1)$ și $(3, 3, 3)$ , proporționale. Verificare: Sarrus pe al doilea dă $50 + 128 + 98 - 140 - 56 - 80 = 0$ .

3. $Δ = (2 + 1) (- 3 - 3) - (8 + 1) (1 - 3) = - 18 + 18 = 0$ , deci punctele sunt coliniare. Verificare: de la $A$ la $B$ , $x$ crește cu 3 și $y$ scade cu 2; de la $A$ la $C$ , $x$ crește cu 9 și $y$ scade cu 6, de trei ori mai mult.

4. $x 13 y - 2 4 111 = - 6 x + 2 y + 10$ , deci dreapta are ecuația $- 6 x + 2 y + 10 = 0$ , adică $3 x - y - 5 = 0$ . Verificare: $A$ dă $3 + 2 - 5 = 0$ , iar $B$ dă $9 - 4 - 5 = 0$ .

5. Cu originea pe linia întâi, $Δ = 12 \cdot 10 - 4 \cdot 3 = 120 - 12 = 108$ , deci aria este 54 m². Pânza costă $54 \cdot 85 = 4590$ de lei. Verificare: Sarrus complet pe $01240310111$ dă $0 + 0 + 120 - 12 - 0 - 0 = 108$ .

6. Pentru $J_{1}, J_{2}, J_{3}$ : $Δ = 3 \cdot 12 - 9 \cdot 4 = 0$ , deci $J_{3}$ este pe traseu. Pentru $J_{1}, J_{2}, J_{4}$ : $Δ = 3 \cdot 9 - 6 \cdot 4 = 27 - 24 = 3$ , deci $J_{4}$ nu este pe traseu, iar triunghiul $J_{1} J_{2} J_{4}$ are aria $\frac{3}{2} = 1, 5$ m². Verificare: pe traseu, la fiecare 3 m pe $x$ se urcă 4 m pe $y$ ; de la $J_{1}$ la $J_{4}$ , cei 6 m pe $x$ ar cere 8 m pe $y$ , nu 9.

7. $Δ (m) = (4 - 0) (m - 1) - (6 - 0) (7 - 1) = 4 m - 4 - 36 = 4 m - 40$ , iar coliniaritatea cere $4 m - 40 = 0$ , deci $m = 10$ . Copacul se plantează în $(6, 10)$ . Verificare: de la $(0, 1)$ la $(4, 7)$ se urcă 6 m la 4 m, adică 1,5 m la fiecare metru; până la $x = 6$ se urcă 9 m, deci $y = 1 + 9 = 10$ .

8. $Δ = 6 \cdot 4 - a \cdot 0 = 24$ , deci aria este $\frac{24}{2} = 12$ m², oricare ar fi $a$ . Latura de pe gard are 6 m, iar al treilea vârf stă mereu la 4 m de gard, deci înălțimea nu se schimbă. Verificare: cu formula de la gimnaziu, $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ m².

9. Prin Sarrus, $Δ (m) = 0 \cdot m \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot m + 1 \cdot 2 \cdot 8 - 1 \cdot m \cdot m - 0 \cdot 1 \cdot 8 - 0 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - m^{2}$ . Doar două produse nu conțin un zero. Verificare: la $m = 1$ , direct, $021018111 = 16 - 1 = 15$ .

10. Coliniaritatea cere $16 - m^{2} = 0$ , deci $m = 4$ sau $m = - 4$ . Verificare: pentru $m = - 4$ , $B (2, - 4)$ și $C (- 4, 8)$ verifică amândouă $y = - 2 x$ , ca și $O$ .

11. $Δ (2) = 16 - 4 = 12$ , deci aria triunghiului $O B C$ este $\frac{12}{2} = 6$ . Verificare: $B (2, 2)$ și $C (2, 8)$ au aceeași abscisă, deci latura $B C$ este verticală, de lungime 6, iar înălțimea din $O$ este 2: $\frac{6 \cdot 2}{2} = 6$ .

12. Pentru $m = 4$ , $B (2, 4)$ și $C (4, 8)$ . Dreapta $O B$ : $x 02 y 04 111 = 2 y - 4 x = 0$ , adică $2 x - y = 0$ . Verificare: $C$ dă $8 - 8 = 0$ , deci și $C$ este pe dreaptă, cum spune $Δ (4) = 0$ .

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), aplicațiile determinanților în geometrie — ecuația dreptei prin două puncte, aria triunghiului și coliniaritatea — sunt în programa de examen, dar nu au apărut în nicio cerință din probele 2013–2026.

Determinantul de ordin 3 a apărut la Subiectul al III-lea în patru probe: cele trei din 2013 și modelul din 2014. În proba din august 2013 s-a cerut să arăți că determinantul unei matrice cu parametru este $5 m - 4$ , pentru orice $m$ , apoi valorile lui $m$ pentru care el este egal cu $m^{2}$ (ca la Exemplul 3). În proba din iunie 2013, prima cerință a fost să arăți că determinantul matricei pentru $m = 1$ este 0. Din 2015, toate matricele de la acest subiect au fost de ordin 2.

Exercițiile 9–12 sunt sinteze: nu copiază o cerință de examen, ci leagă determinantul cu parametru de coliniaritate, arie și ecuația dreptei. Restul lecțiilor anului le găsești în traseul clasei a XII-a, profilul pedagogic.

Greșeli care costă puncte

Uiți semnul minus al termenului din mijloc la ecuația dreptei → cum o prinzi: verifici că punctele date verifică ecuația; la Exemplul 1, ecuația greșită dă 8 în poarta P, nu 0.
Uiți împărțirea la 2 la arie → cum o prinzi: refaci aria cu o formulă cunoscută când se poate; la exercițiul 8, $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ , nu 24.
Scrii aria fără modul → cum o prinzi: o arie nu poate fi negativă; la Exemplul 4, ecuația cu modul dă două valori, 3 și 7.
Încurci un produs în Sarrus → cum o prinzi: cauți linii sau coloane egale; la Exemplul 3, $A (3)$ are două coloane egale, deci 3 trebuie să anuleze expresia.
Scrii coordonatele în altă ordine pe o linie, $y$ înainte de $x$ → cum o prinzi: fiecare linie are forma $(x, y, 1)$ ; la ecuația dreptei, o ordine amestecată dă o dreaptă care nu trece prin punctele date.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 4: OMEC 5959/2006), la „Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți” și „Aplicații: ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și caracterizarea coliniarității a trei puncte în plan”. În probele oficiale din 2013–2026, determinantul de ordin 3 a apărut în patru probe, iar aplicațiile în geometrie în niciuna; fiind în programă, pot fi cerute. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 au alt plan-cadru: la profilul pedagogic, matematica nu mai are ore în clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 4152/2026), iar la Bacalaureatul din 2030 ea poate fi doar o probă aleasă, pe materia claselor a IX-a și a X-a (OMEC 4138/2026); lecția de față nu este scrisă pentru ei.

Lecțiile de sprijin: determinantul de ordin 3 calculat fără greșeli de semn, determinantul de ordin 2 și proprietățile lui și dreapta prin două puncte, aria și coliniaritatea, pe alte situații.

Întrebări frecvente

Ce s-ar schimba dacă teiul ar fi cu 2 m mai sus pe plan, în (5, 11)?

Determinantul devine $(14 - 2) (11 - 1) - (5 - 2) (10 - 1) = 120 - 27 = 93$ , deci aria zonei crește la 46,5 m², iar dalele la $46, 5 \cdot 4 = 186$ . Mutarea teiului îndepărtează vârful T de cărarea PC, așa că triunghiul se lărgește.

Unde intersectează cărarea PC gardul de pe axa Ox?

Pe gard $y = 0$ , iar ecuația $3 x - 4 y - 2 = 0$ dă $3 x = 2$ , adică $x = \frac{2}{3} \approx 0, 67$ m de la colț. Dacă educatoarele ar prelungi cărarea dincolo de poartă, spre gard, ea ar atinge gardul la aproximativ 67 cm de colțul de lângă clădire.

Contează în ce ordine scriu poarta, căsuța și teiul în determinant?

Pentru arie, nu. Dacă schimbi două linii între ele, determinantul își schimbă doar semnul: cu ordinea C, P, T iese $- 69$ în loc de $69$ , iar aria rămâne $\frac{69}{2} = 34, 5$ m². Modulul din formula ariei face ordinea indiferentă.

De ce determinantul celor trei puncte se reduce la un calcul de ordin 2?

Scăzând prima linie din celelalte, a treia coloană devine $(1, 0, 0)$ , iar valoarea determinantului nu se schimbă. Dezvoltat după această coloană, rămâne $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ . La Exemplul 2 asta înseamnă $12 \cdot 8 - 3 \cdot 9 = 69$ , ca prin Sarrus.

Pot afla din determinant dacă leagănul este între poartă și căsuță, nu doar pe aceeași dreaptă?

Determinantul nul spune doar că punctele sunt coliniare. Ordinea lor o citești din coordonate: la leagăn, $x = 6$ este între 2 și 14, iar $y = 4$ între 1 și 10, deci leagănul stă chiar pe porțiunea de cărare dintre poartă și căsuță, la o treime din drum.

Au apărut coliniaritatea și aria cu determinant la Bacalaureatul M4?

În probele din 2013–2026, aceste aplicații nu au apărut în nicio cerință, deși sunt în programa de examen. Determinantul de ordin 3 a apărut în patru probe, cele din 2013 și modelul din 2014, iar din 2015 Subiectul al III-lea a avut numai matrice de ordin 2.