Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Plăci, grinzi și puncte pe linie

Câte plăci acoperă un triunghi din coordonate?

Calculezi aria din coordonate, o treci în metri pătrați și o împarți la aria unei plăci; rotunjești în sus. Pentru $A (40; 25)$ , $B (380; 85)$ , $C (150; 310)$ , în centimetri, $Δ = 340 \cdot 285 - 110 \cdot 60 = 90300$ , deci aria este $45150$ cm², adică $4, 515$ m². O placă de $1, 2$ m pe $2$ m are $2, 4$ m², iar $4, 515 : 2, 4 \approx 1, 88$ , deci sunt necesare 2 plăci.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Din coordonatele a trei puncte, același determinant dă trei lucruri: aria triunghiului, ecuația dreptei care unește două dintre ele și răspunsul la întrebarea dacă toate trei stau pe o dreaptă. Scrii pe fiecare linie coordonatele unui punct, urmate de un 1, și obții determinantul $Δ$ de ordin 3.

Aria triunghiului este jumătate din modulul lui $Δ$ și iese în pătratul unității în care sunt date coordonatele; modulul e necesar fiindcă ordinea vârfurilor schimbă semnul lui $Δ$ , nu mărimea lui. Dacă scazi linia primului punct din celelalte două, calculul ajunge la un determinant de ordinul doi. Pentru $Δ = 0$ , punctele sunt coliniare. Pentru dreapta prin două puncte, pui punctul curent $(x, y)$ pe prima linie, egalezi cu 0 și dezvolți.

Trei erori se repetă: aria luată fără jumătate, coordonate în unități diferite și conversia greșită a unității pătrate, fiindcă un metru pătrat are zece mii de centimetri pătrați. Pe teren, $Δ$ iese rar exact 0, din cauza erorilor de măsură; un $Δ$ mic arată un punct aproape de dreaptă, nu neapărat pe ea.

La final verifici în două feluri. Coordonatele punctelor date trebuie să satisfacă ecuația dreptei, iar pentru arie refaci calculul pe alt drum, de pildă scăzând din dreptunghiul înconjurător cele trei triunghiuri dreptunghice rămase.

De reținut

aria este jumătate din $∣ Δ ∣$ , măsurată în pătratul unității coordonatelor
$Δ = 0$ pentru puncte coliniare; un $Δ$ mic, dar nenul, indică un punct apropiat de dreaptă
$1$ m $^{2}$ are $10000$ cm $^{2}$ și $1$ cm $^{2}$ are $100$ mm $^{2}$

Greșeala tipică

Se folosește $Δ$ drept arie. La triunghiul de mai sus ar ieși $90300$ cm², adică $9, 03$ m², iar $9, 03 : 2, 4 \approx 3, 76$ cere 4 plăci în loc de 2.

Exerciții din această mini-lecție

Un padoc triunghiular are vârfurile $A (12; 9)$ , $B (47; 30)$ și $C (26; 58)$ , în metri. Scazi linia lui $A$ din celelalte două linii ale determinantului $Δ$ cu coloana de 1. Cât este determinantul de ordin 2 care rămâne?
- a) $1715$
- b) $- 1421$
- c) $1421$
- d) $2009$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1421$

Liniile care rămân sunt $B - A = (35; 21)$ și $C - A = (14; 49)$ , iar determinantul lor este $35 \cdot 49 - 21 \cdot 14 = 1715 - 294 = 1421$ . Aria padocului este jumătate din el, $710, 5$ m². Varianta $1715$ uită al doilea produs. Varianta $- 1421$ schimbă ordinea liniilor. Varianta $2009$ adună produsele în loc să le scadă.
Placa unui tablou electric este un triunghi cu vârfurile $A (20; 15)$ , $B (140; 45)$ și $C (60; 120)$ , coordonatele fiind în milimetri. Care este aria plăcii, în centimetri pătrați?
- a) $114$
- b) $570$
- c) $5700$
- d) $57$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $57$

$Δ = (140 - 20) (120 - 15) - (60 - 20) (45 - 15) = 12600 - 1200 = 11400$ , iar aria este $\frac{11400}{2} = 5700$ mm². Un centimetru pătrat are $100$ mm², deci aria este $57$ cm². Varianta $114$ nu înjumătățește. Varianta $570$ împarte la $10$ , factorul liniar, nu la pătratul lui. Varianta $5700$ rămâne în milimetri pătrați.
Un panou triunghiular din PAL are două vârfuri pe marginea de jos a plăcii, $A (10; 0)$ și $B (46; 0)$ , iar al treilea vârf în $C (30; 25)$ , în centimetri. Care este aria panoului, în centimetri pătrați?
- a) $450$
- b) $900$
- c) $575$
- d) $250$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $450$

Latura $A B$ este orizontală, de lungime $46 - 10 = 36$ , iar înălțimea este ordonata lui $C$ , adică $25$ . Aria este $\frac{36 \cdot 25}{2} = 450$ cm², la fel ca $\frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ cu $Δ = 36 \cdot 25$ . Varianta $900$ este chiar $Δ$ , fără jumătate. Varianta $575$ ia drept bază abscisa lui $B$ , $46$ . Varianta $250$ ia baza de la $A$ la $C$ , $30 - 10 = 20$ .

Întrebări conexe

De ce nu împart la 100 când trec din cm² în m²?

Pentru că aria este un produs de două lungimi. Un metru are $100$ cm, deci un metru pătrat are $100 \cdot 100 = 10000$ cm². Așa, $45150$ cm² înseamnă $4, 515$ m², iar $8400$ mm² înseamnă $84$ cm², fiindcă un centimetru pătrat are $100$ mm².

Cum aflu rapid aria când două vârfuri au aceeași ordonată?

Latura dintre ele este bază orizontală, iar înălțimea este diferența ordonatelor. Pentru $A (15; 40)$ , $B (95; 40)$ și $C (60; 110)$ , baza este $80$ , înălțimea $70$ și aria $\frac{80 \cdot 70}{2} = 2800$ . Determinantul dă $Δ = 80 \cdot 70 = 5600$ , iar jumătatea lui este tot $2800$ .

Cum verific aria cu dreptunghiul care înconjoară triunghiul?

Scazi din dreptunghi cele trei triunghiuri dreptunghice rămase. Pentru $A (20; 10)$ , $B (80; 30)$ și $C (50; 70)$ , dreptunghiul are $60 \cdot 60 = 3600$ , iar triunghiurile au $600$ , $600$ și $900$ . Rămâne $3600 - 2100 = 1500$ , adică $\frac{1}{2} Δ$ pentru $Δ = 3000$ .

Ce arată un Δ mic, dar nu zero?

Punctul este aproape de dreaptă. Abaterea pe verticală este $∣ Δ ∣$ împărțit la distanța orizontală dintre capete. Pentru $A (0; 10)$ , $B (400; 30)$ și $D (250; 23)$ , $Δ = 400 \cdot 13 - 250 \cdot 20 = 200$ , iar abaterea este $\frac{200}{400} = 0, 5$ față de dreapta, care la $x = 250$ are $22, 5$ .

În ce unitate este Δ când coordonatele sunt în metri?

În metri pătrați, fiindcă $Δ$ este dublul ariei. Dacă un triunghi are $Δ = 84, 2$ când coordonatele sunt în metri, aria este $42, 1$ m². Când coordonatele sunt în centimetri, $Δ$ este în centimetri pătrați, iar conversia în metri pătrați, prin împărțire la $10000$ , se face după ce ai înjumătățit, nu înainte.

Oamenii mai întreabă și: câte plăci de rigips pentru un triunghi · numărul de plăci pentru o suprafață triunghiulară · aria triunghiului din coordonate în metri pătrați · material pentru un triunghi măsurat cu telemetrul