Aria triunghiului din coordonate, tehnologic

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

La mansarda unei case, suprafața triunghiulară rămasă de placat cu rigips se poate afla din trei puncte citite cu telemetrul laser. Din coordonatele lor ies, cu același determinant, aria, ecuația grinzii și răspunsul la întrebarea dacă trei repere stau pe o singură linie. Toate trei se calculează la fel, iar la tehnologic le înveți în clasa a XI-a. Subiectul se află în conținuturile de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

La mansardarea unei case, coșul de fum taie o parte din tavanul înclinat, așa că suprafața rămasă de placat cu rigips este un triunghi. Dulgherul ia un colț al încăperii ca origine și citește cu un telemetru laser trei puncte ale conturului, pe planul tavanului: $x$ pe lungimea încăperii și $y$ pe lățimea ei.

Punct	x (cm)	y (cm)
A, colțul de lângă perete	35	60
B, capătul grinzii	415	120
C, muchia coșului	185	305

Grinda de la A la B ține șarpanta, iar în dreptul ei, la 225 cm pe lungime și 90 cm pe lățime, stă un marcaj D făcut la montaj. Șeful de echipă vrea să știe dacă marcajul se află chiar pe grindă și câte plăci de rigips de 1,2 m pe 2,6 m trebuie aduse pe șantier pentru triunghiul ABC.

Întrebare: ce suprafață are triunghiul ABC, în metri pătrați, câte plăci acoperă suprafața și stă marcajul D pe dreapta AB?

De la situație la model

Fiecare punct măsurat devine o pereche de coordonate, iar toată informația despre triunghi stă în cele șase numere ale lor. Coordonatele se dau în aceeași unitate, iar aria iese în pătratul ei: centimetrii dau centimetri pătrați, iar un metru pătrat are 10 000 de centimetri pătrați, nu o sută.

În situație	În matematică
un punct citit cu laserul	o pereche $(x, y)$ , în centimetri
grinda de la A la B	dreapta care trece prin $A$ și $B$
suprafața triunghiulară de placat	aria triunghiului $A B C$
marcajul D de pe grindă	un punct coliniar cu $A$ și $B$
cele trei puncte scrise unul sub altul, cu o coloană de 1	determinantul $Δ$ de ordin 3

Cum scrii determinantul din coordonate?

Pe fiecare linie pui coordonatele unui punct, urmate de numărul 1: $Δ = x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111$ . Liniile urmează ordinea vârfurilor. Dacă schimbi ordinea, $Δ$ își schimbă semnul, dar valoarea lui absolută rămâne aceeași. Îl calculezi ca în determinantul de ordin 3.

De ce aria este jumătate din modulul lui Δ?

Dacă scazi linia lui A din celelalte două, $Δ$ devine $(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (x_{C} - x_{A}) (y_{B} - y_{A})$ , adică dublul ariei triunghiului. De aceea aria triunghiului $A B C$ este $\frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ , în unitatea pătrată a coordonatelor. Modulul apare fiindcă o arie nu e negativă, iar semnul lui $Δ$ depinde de ordinea vârfurilor. Formula se folosește ca rezultat, fără demonstrație.

Ce înseamnă Δ = 0?

Dacă $Δ = 0$ , aria ar fi 0, deci triunghiul s-ar turti pe o dreaptă. Trei puncte sunt coliniare atunci când stau pe aceeași dreaptă, iar acest lucru se întâmplă exact când $Δ = 0$ . Așa afli dacă marcajul D stă pe grindă: calculezi $Δ$ pentru A, D și B. Pe șantier, $Δ$ iese rar exact 0, fiindcă măsurătorile au erori. Un $Δ$ mic față de lungimea grinzii înseamnă un marcaj aproape de linie, iar cât de aproape afli împărțind $∣ Δ ∣$ la distanța orizontală dintre capete: obții abaterea pe verticală.

Cum scrii ecuația dreptei prin două puncte?

Un punct $M (x, y)$ stă pe dreapta $A B$ exact când $M$ , $A$ și $B$ sunt coliniare, adică $x x_{A} x_{B} y y_{A} y_{B} 111 = 0$ . Dezvoltat după prima linie, determinantul dă o ecuație de forma $a x + b y + c = 0$ . Ecuația se leagă de pante, ca în ecuația dreptei.

Metoda pas cu pas

Notează coordonatele fiecărui punct în aceeași unitate și în aceeași ordine, întâi $x$ , apoi $y$ . Dacă datele vin în unități diferite, de pildă metri și centimetri, convertește-le înainte de orice calcul.
Scrie determinantul de ordin 3 cu o linie pentru fiecare punct și o coloană de 1. Păstrează aceeași ordine a punctelor în tot restul rezolvării.
Calculează $Δ$ prin Sarrus sau scăzând linia primului punct din celelalte două, ceea ce lasă un determinant de ordin 2, mai ușor de calculat cu numere mari.
Citește rezultatul: $Δ = 0$ înseamnă puncte coliniare, iar altfel aria este $\frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ , în unitatea pătrată a coordonatelor. Dacă cerința are altă unitate, convertește abia acum.
Pentru dreapta prin două puncte, pune punctul curent $(x, y)$ pe prima linie, dezvoltă determinantul și simplifică ecuația prin factorul comun al coeficienților.
Verifică: punctele date trebuie să verifice ecuația dreptei, iar aria se compară cu un calcul pe alt drum și cu un ordin de mărime, de pildă cu aria dreptunghiului care înconjoară triunghiul.

Dacă $Δ$ iese foarte mic față de coordonatele folosite, nu spune încă „puncte coliniare”: măsurătorile au erori, iar $Δ = 0$ exact se verifică pe coordonate întregi. Dacă ți se cere numai aria, sari peste pasul 5; dacă ți se cere numai ecuația dreptei, sari peste pașii 3 și 4 și treci direct la pasul 5. Ordinea contează: cine sare peste pasul 1 amestecă centimetrii cu metrii, cine sare peste pasul 2 schimbă ordinea punctelor între calcule și compară semne care nu se potrivesc, iar cine sare peste pasul 6 nu prinde o ecuație cu termenul liber greșit.

Fișa de buzunar

$S_{A B C} = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣, Δ = x_{A} x_{B} x_{C} y_{A} y_{B} y_{C} 111$

$A, B, C coliniare ⟺ Δ = 0, x x_{A} x_{B} y y_{A} y_{B} 111 = 0 este dreapta A B$

Condiții: coordonatele sunt în aceeași unitate, iar punctele $A$ și $B$ sunt diferite. Aria se scrie în unitatea pătrată a coordonatelor, iar semnul lui $Δ$ nu are rol în arie, ci numai modulul. La ecuația dreptei se simplifică factorul comun. Verificare rapidă: coordonatele fiecărui punct dat verifică ecuația dreptei.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Rigips pe tavanul înclinat

Domeniu: constructii.

Enunț. Reia mansarda din situație. a) Calculează suprafața triunghiului ABC, în m², și numărul de plăci de 1,2 m pe 2,6 m. b) Scrie ecuația dreptei AB. c) Stabilește dacă D(225; 90) stă pe grindă.

Rezolvare. a) Prin Sarrus, $Δ = 3541518560120305111 = 4200 + 11100 + 126575 - 22200 - 10675 - 24900 = 84100$ . Scăzând linia lui A din celelalte două se obține pe alt drum $Δ = 380 \cdot 245 - 150 \cdot 60 = 84100$ . Aria este $\frac{1}{2} \cdot 84100 = 42050$ cm², adică $42050 : 10000 = 4, 205$ m². O placă are $1, 2 \cdot 2, 6 = 3, 12$ m², iar $4, 205 : 3, 12 \approx 1, 35$ , deci trebuie 2 plăci. b) Determinantul $x 35415 y 60120 111 = - 60 x + 380 y - 20700$ , iar ecuația $- 60 x + 380 y - 20700 = 0$ se împarte la $- 20$ și devine $3 x - 19 y + 1035 = 0$ . c) Pentru A, D, B: $Δ = (225 - 35) (120 - 60) - (415 - 35) (90 - 60) = 190 \cdot 60 - 380 \cdot 30 = 11400 - 11400 = 0$ . Punctele sunt coliniare, deci marcajul stă pe grindă. Cum $Δ > 0$ la a), vârfurile sunt parcurse în sens trigonometric, dar pentru arie contează numai modulul.

Capcană. Cine ia $Δ$ drept arie obține $84100$ cm², adică 8,41 m², dublul suprafeței reale. Cu 8,41 m² ar comanda $8, 41 : 3, 12 \approx 2, 70$ , adică 3 plăci, cu una mai mult decât trebuie.

Verificare. Pe un alt drum: dreptunghiul care înconjoară triunghiul are $380 \cdot 245 = 93100$ cm². Din el se scad trei triunghiuri dreptunghice, cu ariile $\frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 245 = 18375$ , $\frac{1}{2} \cdot 230 \cdot 185 = 21275$ și $\frac{1}{2} \cdot 380 \cdot 60 = 11400$ . Rămâne $93100 - 18375 - 21275 - 11400 = 42050$ cm². Pe ecuația grinzii, $3 \cdot 225 - 19 \cdot 90 + 1035 = 675 - 1710 + 1035 = 0$ .

Exemplul 2 — Ghidajul unui strung: cât se abate o citire

Domeniu: mecanica.

Enunț. Un controlor verifică rectilinitatea unui ghidaj de 1 700 mm cu un ceas comparator. Citește abaterea pe verticală, în micrometri, în trei puncte aflate la distanța $x$ , în milimetri, de capătul din stânga: $A (0; 14)$ , $M (600; 43)$ și $B (1700; 31)$ . Fișa de control admite o abatere de cel mult 25 µm față de dreapta care unește capetele. Ghidajul trece controlul?

Rezolvare. Abaterea punctului M față de dreapta AB este diferența dintre citirea lui și înălțimea dreptei în acel loc. Determinantul dă ecuația dreptei: $x 01700 y 1431 111 = - 17 x + 1700 y - 23800$ , deci $y = 14 + \frac{x}{100}$ . La $x = 600$ , dreapta are $y = 20$ µm, iar citirea lui M este 43 µm, deci abaterea este $43 - 20 = 23$ µm. Același număr iese din $Δ$ : $Δ = 600 \cdot 17 - 1700 \cdot 29 = - 39100$ , iar $\frac{∣ Δ ∣}{1700} = 23$ µm. Citirile din capete sunt 14 µm și 31 µm, deci ghidajul este puțin înclinat, iar înclinarea nu este un defect. Fiindcă $23 \leq 25$ , ghidajul trece controlul.

Capcană. Cine compară direct citirea de 43 µm cu toleranța de 25 µm respinge un ghidaj bun. Abaterea se măsoară de la dreapta dintre capete, nu de la zero, deoarece ghidajul poate fi doar înclinat.

Verificare. Pe unități: $Δ$ este în mm·µm, iar împărțit la lungimea de 1 700 mm dă µm. Dreapta urcă 17 µm pe 1 700 mm, adică 1 µm la 100 mm, deci la 600 mm are $14 + 6 = 20$ µm, exact cât s-a folosit mai sus.

Exemplul 3 — Panou triunghiular din PAL, cu conversii

Domeniu: lemn.

Enunț. O tâmplărie taie dintr-o placă de PAL de 18 mm grosime un panou triunghiular cu vârfurile $A (12; 15)$ , $B (138; 27)$ și $C (54; 96)$ , în centimetri. Placa costă 82 lei pe metru pătrat, iar PAL-ul are densitatea de 650 kg pe metru cub. Care sunt aria, costul și masa panoului?

Rezolvare. Scazi linia lui A din celelalte două: $Δ = (138 - 12) (96 - 15) - (54 - 12) (27 - 15) = 126 \cdot 81 - 42 \cdot 12 = 10206 - 504 = 9702$ . Aria este $\frac{1}{2} \cdot 9702 = 4851$ cm², adică $4851 : 10000 \approx 0, 485$ m². Costul este $0, 4851 \cdot 82 \approx 39, 78$ lei. Grosimea este $18 : 1000 = 0, 018$ m, deci volumul este $0, 4851 \cdot 0, 018 = 0, 0087318$ m³, iar masa $0, 0087318 \cdot 650 \approx 5, 68$ kg. Panoul are deci 0,485 m², costă 39,78 lei și cântărește 5,68 kg.

Capcană. Cine împarte aria în cm² la 100, nu la 10 000, obține $48, 51$ m². Costul ar ieși $48, 51 \cdot 82 \approx 3978$ lei pentru un panou de mărimea unui blat, ceea ce arată imediat eroarea.

Verificare. Pe alt drum, cu Sarrus pe coordonatele inițiale: $1213854152796111 = 324 + 810 + 13248 - 1458 - 1152 - 2070 = 9702$ , același număr. Masa de 5,68 kg este plauzibilă: o placă de 18 mm din PAL are $0, 018 \cdot 650 = 11, 7$ kg pe metru pătrat, iar panoul are aproape o jumătate de metru pătrat.

Exemplul 4 — problema inversă: unde montezi suportul

Domeniu: electric.

Enunț. Pe peretele casei scării, tubul de protecție al cablurilor urcă paralel cu scara și trece prin punctele $A (60; 40)$ și $B (420; 250)$ , în centimetri față de colțul peretelui. Doza de derivație pentru aplica scării se montează pe tub, la 138 cm înălțime. La ce distanță de colț, pe orizontală, se montează doza?

Rezolvare. Ecuația tubului vine din $x 60420 y 40250 111 = - 210 x + 360 y - 1800$ . Împărțind la $- 30$ obții $7 x - 12 y + 60 = 0$ . Înălțimea este cunoscută, $y = 138$ , iar distanța se cere, deci $7 x - 1656 + 60 = 0$ , adică $7 x = 1596$ și $x = 228$ . Doza se montează la 228 cm de colț. Pentru altă înălțime impusă de proiect se schimbă numai ultimul pas, cu același $7 x - 12 y + 60 = 0$ .

Capcană. Cine pune 138 în locul lui $x$ , nu al lui $y$ , obține $7 \cdot 138 - 12 y + 60 = 0$ , deci $y = 85, 5$ cm, un punct mai jos decât doza. Răspunsul nu poate fi 85,5 cm, fiindcă înălțimea impusă este 138 cm.

Verificare. Punctul $(228; 138)$ verifică ecuația: $7 \cdot 228 - 12 \cdot 138 + 60 = 1596 - 1656 + 60 = 0$ . El stă între $A$ și $B$ , fiindcă $60 < 228 < 420$ și $40 < 138 < 250$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează $Δ$ și aria triunghiului cu vârfurile $A (14; 9)$ , $B (47; 21)$ și $C (25; 52)$ , coordonatele fiind în decimetri.

2. Stabilește care dintre tripletele $P (- 6; 13)$ , $Q (2; 5)$ , $R (9; - 2)$ și $P$ , $Q$ , $S (9; - 3)$ sunt coliniare.

3. Scrie, cu un determinant, ecuația dreptei prin $M (- 14; 9)$ și $N (8; - 6)$ și simplific-o.

4. Calculează $Δ$ pentru $A (22; 6)$ , $B (9; 31)$ , $C (40; 18)$ și apoi pentru $C$ , $B$ , $A$ . Ce observi la semn și la arie?

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Într-o pepinieră, un strat triunghiular de puieți, cu vârfurile $A (15; 5)$ , $B (95; 25)$ și $C (60; 70)$ , în decimetri, se acoperă cu agrotextil împotriva buruienilor. Agrotextilul costă 3,45 lei pe metru pătrat. Care este aria stratului, în m², și costul agrotextilului, rotunjit la bani?

6. (Problemă aplicată.) La un service auto se verifică, pe un cadru de remorcă, trei repere $P_{1} (0; 8)$ , $P_{2} (450; 23)$ și $P_{3} (1350; 53)$ , cu $x$ în milimetri de-a lungul cadrului și $y$ în milimetri pe verticală. a) Sunt coliniare? b) Dacă reperul $P_{2}$ ar citi 25 mm, cât ar fi $Δ$ și cât s-ar abate $P_{2}$ de dreapta $P_{1} P_{3}$ ?

7. (Problemă aplicată.) O conductă de canalizare trece prin punctele $A (0; 120)$ și $B (80; 168)$ , cu $x$ în metri de-a lungul șanțului și $y$ adâncimea în centimetri. Scrie ecuația dreptei AB, află adâncimea la căminul din $x = 135$ m și panta conductei, în procente.

8. (Problemă aplicată.) Un teren de camping este un triunghi cu vârfurile $A (8; 12)$ , $B (142; 35)$ și $C (63; 118)$ , în metri. Regulamentul campingului cere cel puțin 90 m² de teren pentru fiecare loc de cort, cu tot cu alei. Care este aria terenului și câte locuri permite regulamentul, cel mult?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Două grinzi ale unui acoperiș trec prin $A (80; 40)$ și $B (320; 240)$ , respectiv prin $C (65; 120)$ și $D (240; 50)$ , în centimetri. Scrie ecuația fiecărei grinzi cu un determinant și află, cu metoda lui Cramer, punctul în care se încrucișează.

10. (Sinteză.) Triunghiul din exercițiul 1 este măsurat de la un alt colț, cu originea mutată cu 30 dm la dreapta și cu 5 dm în sus, deci noile coordonate sunt $(x - 30; y - 5)$ . Calculează $Δ$ cu noile coordonate, compară cu cel de la exercițiul 1 și explică de ce aria nu depinde de originea aleasă.

11. (Sinteză.) Un reflector din tablă are forma unui triunghi cu un vârf în colțul $O (0; 0)$ al plăcii și celelalte în $B (84; 37)$ și $C (29; 66)$ , în centimetri. Arată că $Δ$ se reduce la un determinant de ordin 2 și calculează aria.

12. (Sinteză.) Pentru $A (11; 17)$ , $B (35; 26)$ și $C (59; 35)$ , arată că $Δ = 0$ și că pantele $A B$ și $A C$ sunt egale. Apoi arată în general că egalitatea pantelor este aceeași cu $Δ = 0$ .

Răspunsuri și verificări

1. $Δ = (47 - 14) (52 - 9) - (25 - 14) (21 - 9) = 33 \cdot 43 - 11 \cdot 12 = 1419 - 132 = 1287$ , deci aria este $\frac{1}{2} \cdot 1287 = 643, 5$ dm². Verificare: 643,5 dm² înseamnă 6,435 m², plauzibil pentru laturi de câțiva metri.

2. Pentru $P$ , $Q$ , $R$ : $Δ = (2 + 6) (- 2 - 13) - (9 + 6) (5 - 13) = 8 \cdot (- 15) - 15 \cdot (- 8) = - 120 + 120 = 0$ , deci sunt coliniare. Pentru $P$ , $Q$ , $S$ : $Δ = 8 \cdot (- 16) - 15 \cdot (- 8) = - 128 + 120 = - 8$ , deci nu sunt coliniare. Verificare: $P Q$ coboară 8 pe 8, iar $QR$ coboară 7 pe 7, adică ambele au panta $- 1$ .

3. $x - 14 8 y 9 - 6 111 = 15 x + 22 y + 12$ , deci ecuația este $15 x + 22 y + 12 = 0$ , care nu se mai simplifică. Verificare: pentru $M$ , $- 210 + 198 + 12 = 0$ , iar pentru $N$ , $120 - 132 + 12 = 0$ .

4. Pentru $A$ , $B$ , $C$ : $Δ = (9 - 22) (18 - 6) - (40 - 22) (31 - 6) = - 13 \cdot 12 - 18 \cdot 25 = - 156 - 450 = - 606$ . Pentru $C$ , $B$ , $A$ : $Δ = 606$ . Semnul s-a schimbat, valoarea absolută nu, deci aria este $\frac{1}{2} \cdot 606 = 303$ în ambele cazuri. Verificare: prin Sarrus, pentru $A$ , $B$ , $C$ , $682 + 240 + 162 - 1240 - 396 - 54 = - 606$ .

5. $Δ = (95 - 15) (70 - 5) - (60 - 15) (25 - 5) = 80 \cdot 65 - 45 \cdot 20 = 5200 - 900 = 4300$ , deci aria este $2150$ dm², adică $21, 5$ m². Costul este $21, 5 \cdot 3, 45 = 74, 175$ , adică 74,18 lei. Verificare: un metru pătrat are 100 dm², deci $2150 : 100 = 21, 5$ .

6. a) $Δ = 450 \cdot 45 - 1350 \cdot 15 = 20250 - 20250 = 0$ , deci reperele sunt coliniare. b) Cu 25 mm, $Δ = 450 \cdot 45 - 1350 \cdot 17 = 20250 - 22950 = - 2700$ . Abaterea lui $P_{2}$ de dreapta $P_{1} P_{3}$ este $\frac{2700}{1350} = 2$ mm. Verificare: dreapta urcă 45 mm pe 1 350 mm, adică 15 mm la 450 mm, deci la $x = 450$ are $8 + 15 = 23$ mm, iar $25 - 23 = 2$ mm.

7. $x 080 y 120168 111 = - 48 x + 80 y - 9600$ , care se împarte la $- 16$ și dă $3 x - 5 y + 600 = 0$ . La $x = 135$ , $5 y = 405 + 600$ , deci $y = 201$ cm. Panta este $\frac{168 - 120}{80} = 0, 6$ cm pe metru, adică $0, 6$ %. Verificare: $3 \cdot 80 - 5 \cdot 168 + 600 = 240 - 840 + 600 = 0$ .

8. $Δ = (142 - 8) (118 - 12) - (63 - 8) (35 - 12) = 134 \cdot 106 - 55 \cdot 23 = 14204 - 1265 = 12939$ , deci aria este $6469, 5$ m². Cum $6469, 5 : 90 \approx 71, 9$ , regulamentul permite cel mult 71 de locuri. Verificare: 72 de locuri ar cere $72 \cdot 90 = 6480$ m², peste teren.

9. Pentru $A B$ : $x 80320 y 40240 111 = - 200 x + 240 y + 6400$ , deci $5 x - 6 y - 160 = 0$ . Pentru $C D$ : $x 65240 y 12050 111 = 70 x + 175 y - 25550$ , deci $2 x + 5 y - 730 = 0$ . Sistemul $5 x - 6 y = 160$ , $2 x + 5 y = 730$ are $Δ = 5 \cdot 5 - (- 6) \cdot 2 = 37$ , $Δ_{x} = 160 \cdot 5 - (- 6) \cdot 730 = 5180$ și $Δ_{y} = 5 \cdot 730 - 2 \cdot 160 = 3330$ . Atunci $x = 140$ și $y = 90$ , deci grinzile se încrucișează în punctul $(140; 90)$ . Verificare: $700 - 540 = 160$ și $280 + 450 = 730$ .

10. Cu noile coordonate, $A^{'} (- 16; 4)$ , $B^{'} (17; 16)$ și $C^{'} (- 5; 47)$ , iar $Δ^{'} = (17 + 16) (47 - 4) - (- 5 + 16) (16 - 4) = 33 \cdot 43 - 11 \cdot 12 = 1287$ . Este exact $Δ$ de la exercițiul 1. Mutarea originii schimbă $x$ și $y$ cu aceleași numere la toate punctele, iar prin scăderea liniei lui A diferențele rămân neschimbate. Verificare: $1419 - 132 = 1287$ .

11. Cu $O (0; 0)$ , prima linie este $001$ , iar dezvoltarea după ea dă $Δ = 84293766 = 84 \cdot 66 - 37 \cdot 29 = 5544 - 1073 = 4471$ . Aria este $\frac{1}{2} \cdot 4471 = 2235, 5$ cm². Verificare: dreptunghiul care înconjoară triunghiul are $84 \cdot 66 = 5544$ cm², iar $2235, 5$ cm² este mai puțin de jumătate din el.

12. $Δ = (35 - 11) (35 - 17) - (59 - 11) (26 - 17) = 24 \cdot 18 - 48 \cdot 9 = 432 - 432 = 0$ , iar panta $A B$ este $\frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ , ca panta $A C$ , $\frac{18}{48} = \frac{3}{8}$ . În general, $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{y _{C} - y _{A}}{x _{C} - x _{A}}$ înseamnă, după înmulțirea cu numitorii, $(y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A}) = (y_{C} - y_{A}) (x_{B} - x_{A})$ . Trecută într-un singur membru, egalitatea devine chiar $Δ = 0$ , cu $Δ$ scris ca în Model. Verificare: dacă $x_{B} = x_{A}$ , pantele nu există, dar relația cu $Δ$ rămâne valabilă.

Așa vine la Bac M3

Lista de conținuturi a clasei a XI-a, pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), are o aplicație a determinanților în plan: scrierea ecuației dreptei care trece prin două puncte date, calculul ariei unui triunghi și verificarea coliniarității a trei puncte. Aplicația aceasta nu a apărut în probele 2013–2026.

La Subiectul I au apărut totuși cerințe înrudite: ecuația dreptei prin două puncte, coliniaritatea a trei puncte și aria unui triunghi cu vârfurile date în reper. Rezolvările lor oficiale folosesc proporția coordonatelor, pantele, lungimile segmentelor sau catetele unui triunghi dreptunghic, deci niciun determinant. Metodele acelea țin de lecțiile claselor a IX-a și a X-a, nu de lecția aceasta, de pildă ecuația dreptei.

De aceea secțiunea nu poate trimite la o cerință cu determinantul, iar o cerință-model nu se inventează. Exercițiile 9–12 leagă determinantul de vecinii lui din bloc: metoda lui Cramer, proprietățile determinanților, determinantul de ordin 2 și pantele. Pentru metoda lui Cramer și restul clasei vezi traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

Folosești $Δ$ drept arie, fără factorul $\frac{1}{2}$ → cum o prinzi: aria triunghiului ABC iese 8,41 m², dar un triunghi înscris într-un dreptunghi de 9,31 m² ocupă cel mult jumătate din el, adică 4,655 m².
Lași aria negativă, când $Δ < 0$ → cum o prinzi: la exercițiul 4, $Δ = - 606$ , dar aria este 303; ordinea vârfurilor schimbă semnul, nu aria.
Amesteci unitățile, cm² cu m² → cum o prinzi: 42 050 cm² înseamnă 4,205 m², iar la panoul din Exemplul 3 un cost de 3978 lei arată imediat că împărțirea a fost la 100, nu la 10 000.
Compari citirea cu toleranța, nu abaterea de la dreaptă → cum o prinzi: la Exemplul 2, 43 µm depășește 25 µm, dar abaterea reală este 23 µm.
Inversezi ordinea coordonatelor la un punct, $(y, x)$ în loc de $(x, y)$ → cum o prinzi: dacă la C scrii $(305; 185)$ , aria iese $1, 565$ m², mult sub cea reală de $4, 205$ m².

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Folosirea determinantului pentru ecuația unei drepte determinate de două puncte, pentru aria unui triunghi și pentru coliniaritatea a trei puncte face parte din programa de examen pentru Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Dacă telemetrul greșește cu 1 cm la punctul C, se schimbă numărul de plăci?

Nu. Cu $C$ mutat cu 1 cm pe lățime, $Δ$ se schimbă cu 380, adică aria cu 190 cm²; mutat cu 1 cm pe lungime, $Δ$ se schimbă cu 60, adică aria cu 30 cm². Chiar adunate, 220 cm² înseamnă 0,022 m², iar 4,227 m² cer tot 2 plăci.

Cât ar arăta Δ dacă marcajul D ar fi la 91 cm, nu la 90 cm?

Pentru A, D și B, $Δ = (225 - 35) (120 - 60) - (415 - 35) (91 - 60) = 11400 - 11780 = - 380$ . Valoarea absolută 380, împărțită la distanța orizontală de 380 cm dintre A și B, dă 1 cm: marcajul ar fi la 1 cm de grindă, deci n-ar mai fi coliniar.

Unde ar ajunge grinda AB pe peretele din stânga, unde $x = 0$ ?

Din $3 x - 19 y + 1035 = 0$ , pentru $x = 0$ rezultă $19 y = 1035$ , deci $y \approx 54, 5$ cm pe lățime. Spre stânga, $y$ scade, fiindcă grinda are panta pozitivă $\frac{3}{19}$ : la A are 60 cm, iar la perete cu 35 cm mai în stânga are cu aproape 5,5 cm mai puțin.

Câte plăci trebuie dacă dulgherul socotește 10 % pierderi la tăiere?

Cu pierderile, suprafața de comandat este $4, 205 \cdot 1, 1 \approx 4, 63$ m². Două plăci au $2 \cdot 3, 12 = 6, 24$ m², deci ajung în continuare, iar resturile tăiate pot acoperi colțurile triunghiului. A treia placă ar trebui abia pentru o suprafață de placat mai mare de $6, 24 : 1, 1 \approx 5, 67$ m².

Cât devine aria dacă muchia coșului, C, se află la 335 cm pe lățime?

Pentru $C (185; 335)$ , $Δ = 380 \cdot 275 - 150 \cdot 60 = 95500$ , deci aria este 47 750 cm², adică 4,775 m². Crește cu 0,57 m². Diferența este $\frac{1}{2} \cdot 380 \cdot 30 = 5700$ cm²: 380 cm este distanța orizontală dintre A și B, iar 30 cm este cât s-a mutat C pe lățime, fiindcă $Δ$ crește cu produsul lor.

A apărut determinantul pentru dreaptă și arie la Bacalaureatul M3?

Aplicația cu determinantul nu a apărut în probele 2013–2026, dar cerințe despre dreaptă, coliniaritate și arie au fost date la Subiectul I și s-au rezolvat cu pante și distanțe. Aplicația e în programa M_tehnologic, în blocul despre sisteme de ecuații liniare, deci poate fi cerută; merită să știi ambele metode.