Ce fac dacă a nu are invers?

Încerci toate clasele: ecuația poate avea mai multe soluții sau niciuna. În ℤ₁₂, 3x = 9 are soluțiile 3, 7, 11, iar 3x = 8 nu are niciuna. Linia lui 3 din tabla înmulțirii arată de ce: conține doar 0, 3, 6, 9.

Ce e diferit între opus și invers în ℤₙ?

Orice clasă are opus, n - a, dar nu orice clasă are invers. În ℤ₁₀, 2 are opusul 8, dar niciun invers, fiindcă produsele lui 2 sunt pare.

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ecuații în ℤₙ: opusul și inversul

Cum rezolv ecuația ax + b = c în ℤₙ?

Aduni opusul lui $\hat{b}$ și obții $\overset{a}{^} x = \overset{c}{^} - \hat{b}$ , apoi înmulțești cu inversul lui $\overset{a}{^}$ , dacă există. În $Z_{11}$ , $\hat{4} x + \hat{7} = \hat{6}$ dă $\hat{4} x = 10$ ; cum $\hat{4}^{- 1} = \hat{3}$ , $x = 30 = \hat{8}$ . Proba: $4 \cdot 8 + 7 = 39 = 3 \cdot 11 + 6$ . Împărțirea obișnuită nu are sens între clase, de aceea folosești inversul, găsit prin încercare. Dacă el nu există, treci pe rând prin toate clasele.

Opusul lui $\overset{a}{^}$ în $Z_{n}$ e clasa care adunată cu el dă $\hat{0}$ ; orice clasă are opus. Inversul lui $\overset{a}{^}$ e clasa $\overset{u}{^}$ cu $\overset{a}{^} \cdot \overset{u}{^} = \hat{1}$ ; îl găsești înmulțind $a$ cu $1, 2, 3, \dots$ până la primul produs cu restul 1. Au invers exact clasele $\overset{a}{^}$ pentru care $a$ și $n$ nu au divizori comuni mai mari ca 1.

Ecuația $\overset{a}{^} x + \hat{b} = \overset{c}{^}$ se rezolvă adunând opusul lui $\hat{b}$ și înmulțind cu inversul lui $\overset{a}{^}$ : $x = \overset{a}{^}^{- 1} (\overset{c}{^} - \hat{b})$ . Dacă $\overset{a}{^}$ nu are invers, ecuația are fie nicio soluție, fie mai multe, găsite prin încercare.

Codul ISBN al unei cărți folosește ponderile 1 și 3 și cere ca suma ponderată să se termine în 0. O cifră pătată se reface rezolvând o ecuație în $Z_{10}$ , unde $\hat{3}^{- 1} = \hat{7}$ . Ponderea 2 n-ar merge, fiindcă $\hat{2}$ nu are invers.

Ecuațiile în $Z_{n}$ sunt în programa M_pedagogic, dar nu au apărut în probele 2013–2026. Greșeala tipică: împarți ca la numerele obișnuite în loc să înmulțești cu inversul.

De reținut

$\overset{a}{^} x + \hat{b} = \overset{c}{^}$ dă $x = \overset{a}{^}^{- 1} (\overset{c}{^} - \hat{b})$ când $\overset{a}{^}$ are invers
$\overset{a}{^}$ are invers exact când cel mai mare divizor comun al lui $a$ și $n$ este 1
dacă $\overset{a}{^}$ nu are invers, ecuația poate fi fără soluții sau poate avea mai multe; le afli încercând clasele

Greșeala tipică

Se împarte ca la numerele obișnuite: $\hat{3} x = \hat{1}$ în $Z_{10}$ nu dă $x = \frac{1}{3}$ , ci $x = \hat{7}$ , fiindcă $3 \cdot 7 = 21$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care este inversul lui $\hat{3}$ în $Z_{11}$ ?
- a) $\hat{8}$
- b) $\hat{4}$
- c) $\hat{3}$
- d) $\hat{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\hat{4}$

$3 \cdot 4 = 12 = 11 + 1$ , deci $\hat{3}^{- 1} = \hat{4}$ . Varianta $\hat{8}$ e opusul lui $\hat{3}$ , iar $3 \cdot 3 = 9$ și $3 \cdot 7 = 21$ dau resturile 9 și 10.
Rezolvă în $Z_{9}$ ecuația $x + \hat{8} = \hat{2}$ .
- a) $\hat{6}$
- b) $\hat{1}$
- c) $\hat{3}$
- d) $\hat{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\hat{3}$

$x = \hat{2} + (- \hat{8}) = \hat{2} + \hat{1} = \hat{3}$ . Verificare: $3 + 8 = 11 = 9 + 2$ . Varianta $\hat{6}$ vine din $8 - 2$ , iar $\hat{1}$ din $2 + 8 = 10$ .
Câte soluții are în $Z_{10}$ ecuația $\hat{4} x = \hat{6}$ ?
- a) niciuna
- b) una
- c) două
- d) zece
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) două

$\hat{4}$ nu are invers în $Z_{10}$ , deci încerci toate clasele: $4 \cdot 4 = 16$ și $4 \cdot 9 = 36$ dau restul 6. Soluțiile sunt $\hat{4}$ și $\hat{9}$ , adică două.

Întrebări conexe

Ce fac dacă $\overset{a}{^}$ nu are invers?

Încerci toate clasele: ecuația poate avea mai multe soluții sau niciuna. În $Z_{12}$ , $\hat{3} x = \hat{9}$ are soluțiile $\hat{3}, \hat{7}, 11$ , iar $\hat{3} x = \hat{8}$ nu are niciuna. Linia lui $\hat{3}$ din tabla înmulțirii arată de ce: conține doar $\hat{0}, \hat{3}, \hat{6}, \hat{9}$ .

Cum găsesc repede inversul?

Cauți un număr de forma $k n + 1$ care se împarte la $a$ . Pentru $\hat{4}$ în $Z_{11}$ : 12 se împarte la 4, deci $\hat{4}^{- 1} = \hat{3}$ . Verifici: $4 \cdot 3 = 12 = 11 + 1$ . Metoda e mai scurtă decât înmulțirea cu toate clasele.

De ce codul ISBN folosește ponderile 1 și 3?

Ponderile 1 și 3 au invers modulo 10, așa că din cod se poate recupera, fără ambiguitate, orice cifră acoperită de o pată. Dacă o poziție ar avea ponderea 2, două cifre diferite, de pildă 2 și 7, ar aduce aceeași contribuție, 4 și 14, iar codul n-ar mai putea alege între ele.

Unde fac proba?

În ecuația inițială, nu în cea transformată. Așa prinzi și o greșeală de la primul pas, nu doar una de la înmulțirea cu inversul. La ISBN, pui cifra găsită în suma ponderată și verifici că se termină în 0.

Ce e diferit între opus și invers în $Z_{n}$ ?

Orice clasă are opus, $n - a$ , dar nu orice clasă are invers. În $Z_{10}$ , $\hat{2}$ are opusul $\hat{8}$ , dar niciun invers, fiindcă produsele lui 2 sunt pare.

Oamenii mai întreabă și: ecuatii cu clase de resturi rezolvate · inversul unei clase in zn cum il gasesc · cifra patata pe codul isbn · ecuatie in zn fara solutie