Ecuații în ℤₙ la pedagogic: opusul și inversul

Pe coperta unei cărți, codul ISBN are 13 cifre, iar ultima e aleasă astfel încât o anumită sumă a lor să se termine în 0. De aceea, o cifră ștearsă de o pată se poate reface rezolvând o ecuație în ${\mathbb{Z}}_{10}$. Pentru elevii din clasa a XI-a, profil pedagogic, ecuațiile de forma $\hat{a}x+\hat{b}=\hat{c}$ se rezolvă mai jos cu opusul și cu inversul unei clase. Tema ține de programa M_pedagogic, adică de Bacalaureatul M4.

Situația de pornire

Profesoara care se ocupă de biblioteca școlii înregistrează cărțile donate de părinți. În registru trece codul ISBN de pe copertă, dar trei cărți au câte o cifră acoperită de o pată de cerneală. Regula codului este aceasta: înmulțești cifrele, de la stânga la dreapta, alternativ cu 1 și cu 3 (prima cu 1, a doua cu 3, a treia cu 1 și așa mai departe, până la a 13-a, cu 1), aduni produsele, iar suma trebuie să se termine în 0.

Profesoara nu vrea să caute fiecare carte pe internet. Are la îndemână doar regula codului și cifrele care se citesc.

Întrebare: ce cifră e sub pată pe fiecare dintre cele trei coperte și de ce regula alege ponderile 1 și 3, nu, de pildă, 1 și 2?

De la situație la model

O sumă se termină în 0 exact când se împarte la 10, adică atunci când clasa ei în ${\mathbb{Z}}_{10}$ este $\hat{0}$. Cifrele care se văd dau o parte cunoscută a sumei, iar cifra pătată $x$ intră înmulțită cu ponderea poziției ei.

Ce sunt opusul și inversul unei clase?

Opusul lui $\hat{a}$ în ${\mathbb{Z}}_n$ este clasa care adunată cu $\hat{a}$ dă $\hat{0}$; se notează $-\hat{a}$ și este $\widehat{n-a}$ pentru $a\ne 0$. Orice clasă are opus. În ${\mathbb{Z}}_{10}$, $-\hat{3}=\hat{7}$, iar $-\hat{5}=\hat{5}$.

Inversul lui $\hat{a}$ este clasa $\hat{u}$ pentru care $\hat{a}\cdot \hat{u}=\hat{1}$; se notează ${\hat{a}}^{-1}$, iar o clasă care are invers se numește inversabilă. În ${\mathbb{Z}}_{10}$, $\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{1}$, deci ${\hat{3}}^{-1}=\hat{7}$, iar $\hat{9}\cdot \hat{9}=\widehat{81}=\hat{1}$, deci $\hat{9}$ e propriul invers. Nu orice clasă are invers: produsele lui $\hat{2}$ sunt numai $\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{6},\hat{8}$, deci $\hat{2}\cdot \hat{u}$ nu e niciodată $\hat{1}$.

Cum găsești inversul?

Înmulțești $a$ pe rând cu $1,2,3,\dots$ și te oprești la primul produs cu restul 1 la $n$; dacă ai trecut prin toate cele $n$ clase fără să ajungi la $\hat{1}$, clasa nu are invers. În ${\mathbb{Z}}_{10}$ ies inversabile doar $\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}$: exact clasele numerelor care nu au cu 10 niciun divizor comun mai mare ca 1. Regula e generală: $\hat{a}$ e inversabilă în ${\mathbb{Z}}_n$ când $a$ și $n$ nu au divizori comuni mai mari ca 1.

Cum rezolvi ecuația $\hat{a}x+\hat{b}=\hat{c}$?

Aduni opusul lui $\hat{b}$ în ambii membri și obții $\hat{a}x=\hat{c}-\hat{b}$. Dacă $\hat{a}$ are invers, înmulțești ambii membri cu el: $x={\hat{a}}^{-1}(\hat{c}-\hat{b})$, iar soluția e unică. Dacă $\hat{a}$ nu are invers, ecuația poate să nu aibă nicio soluție sau să aibă mai multe. În ${\mathbb{Z}}_{10}$, $\hat{2}x=\hat{4}$ are soluțiile $\hat{2}$ și $\hat{7}$, iar $\hat{2}x=\hat{3}$ nu are niciuna. Aici e și răspunsul la a doua întrebare: o pondere fără invers nu lasă cifra pătată să fie refăcută sigur.

Metoda pas cu pas

1. Scrie ecuația în ${\mathbb{Z}}_n$ și adu-o la forma $\hat{a}x=\hat{d}$: aduni în ambii membri opusul termenului liber, deci $\hat{d}=\hat{c}+(-\hat{b})$. Reduci numerele mari la $n$ înainte.
2. Caută inversul lui $\hat{a}$: înmulțești $a$ cu $1,2,3,\dots$ până la primul produs cu restul 1. Dacă nu-l găsești, treci la pasul 4.
3. Înmulțește ambii membri cu ${\hat{a}}^{-1}$: $x={\hat{a}}^{-1}\cdot \hat{d}$. Proba: pui soluția în ecuația inițială, nu în cea transformată.
4. Dacă $\hat{a}$ nu are invers, încerci toate cele $n$ clase. Scrii toate soluțiile găsite sau spui că ecuația nu are soluție.
5. La un sistem de două ecuații, scoți o necunoscută dintr-o ecuație în care coeficientul ei e $\hat{1}$ și o înlocuiești în cealaltă; ajungi la o ecuație cu o singură necunoscută și reiei pașii 1–3. Proba se face în ambele ecuații.

Calculul cu clase și tablele lor sunt în lecția despre clasele de resturi ℤₙ și tablele lor, iar opusul ca simetric al adunării, în lecția despre grupul ℤₙ. Inversul în ${\mathbb{Z}}_p$, cu $p$ prim, e tratat în lecția despre corpurile ℤₚ. Toate lecțiile clasei sunt în traseul de la pedagogic, clasa a XI-a.

Fișa de buzunar

$$\hat{a}x+\hat{b}=\hat{c}⟹\hat{a}x=\hat{c}+(-\hat{b})⟹x={\hat{a}}^{-1}(\hat{c}-\hat{b})$$

Coeficient inversabil: o singură soluție. Coeficient fără invers: nicio soluție sau mai multe, găsite prin încercare.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Culegerea de ghicitori

Domeniu: biblioteca.

Enunț. Reia culegerea de ghicitori din situația de pornire: codul 978-606-35-214▢-8, cu a 12-a cifră pătată. Află cifra.

Rezolvare. A 12-a cifră are ponderea 3. Pentru cifrele care se văd, produsele sunt $9,21,8,18,0,18,3,15,2,3,4$ și, la ultima cifră, $8$, cu suma $109$. Pasul 1: ecuația în ${\mathbb{Z}}_{10}$ este $\hat{3}x+\widehat{109}=\hat{0}$, adică $\hat{3}x+\hat{9}=\hat{0}$, deci $\hat{3}x=-\hat{9}=\hat{1}$. Pasul 2: $3\cdot 7=21$, cu restul 1, deci ${\hat{3}}^{-1}=\hat{7}$. Pasul 3: $x=\hat{7}\cdot \hat{1}=\hat{7}$. Sub pată e cifra 7.

Capcană. Cine uită ponderea 3 și scrie $x+\hat{9}=\hat{0}$ obține $x=\hat{1}$ și trece în registru codul 978-606-35-2141-8, pe care nu-l are nicio carte cu regula respectată: suma lui ponderată e $109+3=112$, care nu se termină în 0.

Verificare. Pe alt drum, cu cifra găsită: $109+3\cdot 7=130$, care se termină în 0.

Exemplul 2 — Jocul „Ghicește numărul”

Domeniu: joc.

Enunț. La ora de matematică distractivă, învățătoarea le spune copiilor: „Gândiți-vă la un număr de la 0 la 10, înmulțiți-l cu 4, adunați 7 și spuneți-mi doar restul împărțirii la 11.” Un copil spune 6. La ce număr s-a gândit?

Rezolvare. Numărul $x$ verifică în ${\mathbb{Z}}_{11}$ ecuația $\hat{4}x+\hat{7}=\hat{6}$. Pasul 1: $\hat{4}x=\hat{6}-\hat{7}=\widehat{-1}=\widehat{10}$. Pasul 2: $4\cdot 3=12=11+1$, deci ${\hat{4}}^{-1}=\hat{3}$. Pasul 3: $x=\hat{3}\cdot \widehat{10}=\widehat{30}=\hat{8}$. Copilul s-a gândit la 8. Fiindcă 11 e prim, orice înmulțitor nenul are invers, deci jocul merge pentru orice răspuns.

Capcană. Cine scrie $6-7=-1$ și apoi uită semnul ajunge la $\hat{4}x=\hat{1}$, deci la $x=\hat{3}$. Pentru 3 jocul dă $4\cdot 3+7=19$, cu restul 8, nu 6.

Verificare. Pe alt drum, refaci calculul copilului: $4\cdot 8+7=39=3\cdot 11+6$, deci restul este 6.

Exemplul 3 — Un sistem în ${\mathbb{Z}}_7$

Domeniu: algebra.

Enunț. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_7$ sistemul format din ecuațiile $x+\hat{2}y=\hat{3}$ și $\hat{3}x+y=\hat{5}$.

Rezolvare. Pasul 5: din prima ecuație, $x=\hat{3}-\hat{2}y$. Înlocuită în a doua: $\hat{3}(\hat{3}-\hat{2}y)+y=\hat{5}$, adică $\hat{9}-\hat{6}y+y=\hat{5}$, deci $\hat{2}-\hat{5}y=\hat{5}$. Pasul 1: $-\hat{5}y=\hat{3}$, iar $-\hat{5}=\hat{2}$, deci $\hat{2}y=\hat{3}$. Pasul 2: $2\cdot 4=8$, cu restul 1, deci ${\hat{2}}^{-1}=\hat{4}$. Pasul 3: $y=\hat{4}\cdot \hat{3}=\widehat{12}=\hat{5}$, apoi $x=\hat{3}-\widehat{10}=\hat{3}-\hat{3}=\hat{0}$. Soluția este $x=\hat{0}$, $y=\hat{5}$.

Capcană. Cine înmulțește cu $\hat{3}$ doar primul termen din paranteză scrie $\hat{9}-\hat{2}y+y=\hat{5}$, adică $\hat{2}-y=\hat{5}$, și obține $y=\hat{4}$, apoi $x=\hat{3}-\hat{8}=\hat{2}$. În a doua ecuație, $3\cdot 2+4=10$ dă restul 3, nu 5, deci perechea nu e soluție.

Verificare. Pe alt drum, pui soluția în ambele ecuații: $0+2\cdot 5=10=7+3$ și $3\cdot 0+5=5$.

Exemplul 4 — Problema inversă: ponderile unei etichete de raft

Domeniu: comert.

Enunț. Papetăria școlii lipește pe rafturi etichete cu patru cifre și o cifră de control, aleasă astfel încât suma ponderată a celor cinci cifre să se termine în 0. Fiecare poziție primește o pondere dintre 1, 2, …, 9. Vânzătoarea vrea ca, atunci când o singură cifră se șterge, să o poată reface sigur. Ce ponderi poate folosi?

Rezolvare. O cifră ștearsă cu ponderea $w$ duce la ecuația $\hat{w}x=\hat{d}$ în ${\mathbb{Z}}_{10}$. Refacerea e sigură exact când ecuația are o singură soluție pentru orice $\hat{d}$, adică atunci când $\hat{w}$ are invers. Inversabile sunt $\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}$, deci ponderile bune sunt 1, 3, 7 și 9. Cu ponderea 2, cifrele 2 și 7 dau aceeași contribuție, fiindcă $2\cdot 2=4$ și $2\cdot 7=14$ au amândouă restul 4; cu ponderea 5, toate cifrele pare dau 0, iar cele impare dau 5.

Capcană. Cine alege ponderile 1 și 2, ca să facă socoteala mai ușoară, primește pentru o cifră ștearsă pe o poziție cu ponderea 2 două variante, de pildă 2 și 7, și nu poate decide între ele fără produsul în mână.

Verificare. Pe alt drum, iei fiecare pondere și numeri cifrele care dau contribuții diferite: pentru 1, 3, 7, 9 cele zece cifre dau zece resturi diferite, pentru 2, 4, 6, 8 doar cinci, iar pentru 5 doar două.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. În ${\mathbb{Z}}_{22}$ scrie opusul și, dacă există, inversul claselor $\hat{3}$, $\widehat{13}$, $\widehat{21}$ și $\hat{6}$.

2. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_8$ ecuația $x+\hat{5}=\hat{2}$.

3. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_7$ ecuația $\hat{5}x=\hat{6}$.

4. Scrie clasele inversabile din ${\mathbb{Z}}_{28}$ și inversul fiecăreia.

Nivelul 2 — situații

5. Folosește regula codului din situația de pornire. a) Află cifra pătată a atlasului, 978-973-08-92▢1-2, a 11-a din cod. b) Află cifra de control a caietului de jocuri, 978-606-74-1380-▢.

6. Învățătoarea cumpără pachete de câte 9 creioane și le împarte în mod egal celor 10 copii, iar creioanele rămase le păstrează la catedră. a) Care este cel mai mic număr de pachete pentru care la catedră rămân exact 3 creioane? Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{10}$. b) Se poate obține un rest de 3 creioane cu pachete de câte 5?

7. Pe o carte, codul ISBN se citește 978-606-28-▢▢51-4, iar profesoara vede că cele două cifre pătate, a 9-a și a 10-a, sunt egale. Ce variante are pentru cifra lor? De ce nu poate decide doar din cod?

8. De la papetărie, profesoara a cumpărat un caiet și un set de acuarele, pentru care a plătit o sumă de lei terminată în 7, apoi 2 caiete și 5 seturi, pentru care a plătit o sumă terminată în 6. Prețurile sunt numere întregi de lei. Află ultima cifră a prețului unui caiet și a prețului unui set, rezolvând un sistem în ${\mathbb{Z}}_{10}$.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{22}$ ecuația $\hat{3}x+\hat{7}=\hat{2}$.

10. (Sinteză.) În ${\mathbb{Z}}_{12}$ rezolvă ecuațiile $\hat{3}x=\hat{9}$ și $\hat{3}x=\hat{8}$ și explică diferența folosind linia lui $\hat{3}$ din tabla înmulțirii.

11. (Sinteză.) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_5$ sistemul format din ecuațiile $\hat{2}x+y=\hat{1}$ și $x+\hat{4}y=\hat{3}$.

12. (Sinteză.) Câte perechi $(\hat{a},\hat{b})$ din ${\mathbb{Z}}_8$, cu $\hat{a}\ne \hat{0}$, au proprietatea că ecuația $\hat{a}x=\hat{b}$ nu are nicio soluție?

Răspunsuri și verificări

1. Opusele: $-\hat{3}=\widehat{19}$, $-\widehat{13}=\hat{9}$, $-\widehat{21}=\hat{1}$, $-\hat{6}=\widehat{16}$. Inversele: ${\hat{3}}^{-1}=\widehat{15}$, ${\widehat{13}}^{-1}=\widehat{17}$, ${\widehat{21}}^{-1}=\widehat{21}$, iar $\hat{6}$ nu are invers, fiindcă 6 și 22 au divizorul comun 2. Verificare: $3\cdot 15=45=2\cdot 22+1$, $13\cdot 17=221=10\cdot 22+1$, $21\cdot 21=441=20\cdot 22+1$, iar produsele lui 6 sunt pare și dau la 22 numai resturi pare.

2. $x=\hat{2}+(-\hat{5})=\hat{2}+\hat{3}=\hat{5}$. Verificare: $5+5=10=8+2$.

3. ${\hat{5}}^{-1}=\hat{3}$, fiindcă $5\cdot 3=15=2\cdot 7+1$, deci $x=\hat{3}\cdot \hat{6}=\widehat{18}=\hat{4}$. Verificare: $5\cdot 4=20=2\cdot 7+6$.

4. Inversabile sunt clasele numerelor impare care nu se împart la 7: $\hat{1}$, $\hat{3}$, $\hat{5}$, $\hat{9}$, $\widehat{11}$, $\widehat{13}$, $\widehat{15}$, $\widehat{17}$, $\widehat{19}$, $\widehat{23}$, $\widehat{25}$, $\widehat{27}$. Perechile de inverse sunt $(\hat{3},\widehat{19})$, $(\hat{5},\widehat{17})$, $(\hat{9},\widehat{25})$ și $(\widehat{11},\widehat{23})$, iar $\hat{1}$, $\widehat{13}$, $\widehat{15}$ și $\widehat{27}$ sunt fiecare propriul invers. Verificare: $3\cdot 19=57=2\cdot 28+1$, $5\cdot 17=85=3\cdot 28+1$, $9\cdot 25=225=8\cdot 28+1$, $11\cdot 23=253=9\cdot 28+1$, $13\cdot 13=169=6\cdot 28+1$, $15\cdot 15=225=8\cdot 28+1$ și $27\cdot 27=729=26\cdot 28+1$.

5. a) A 11-a cifră are ponderea 1, iar cifrele care se văd dau suma 125. Ecuația $x+\widehat{125}=\hat{0}$ dă $x=-\hat{5}=\hat{5}$: cifra 5. b) Cifrele 978606741380 dau suma ponderată 111, deci cifra de control verifică $x+\hat{1}=\hat{0}$, adică $x=\hat{9}$: cifra 9. Verificare: $125+5=130$ și $111+9=120$ se termină în 0.

6. a) Cu $x$ pachete rămân la catedră $9x$ creioane modulo 10, deci $\hat{9}x=\hat{3}$. Cum ${\hat{9}}^{-1}=\hat{9}$, fiindcă $81=8\cdot 10+1$, $x=\widehat{27}=\hat{7}$: cel mai mic număr e 7 pachete. b) Nu: $\hat{5}x$ e doar $\hat{0}$ sau $\hat{5}$, niciodată $\hat{3}$. Verificare: $7\cdot 9=63=6\cdot 10+3$, adică 6 creioane de copil și 3 la catedră.

7. Cifra $x$ apare cu ponderile 1 și 3, deci cu ponderea totală 4, iar restul cifrelor dau suma 112. Ecuația $\hat{4}x+\hat{2}=\hat{0}$ înseamnă $\hat{4}x=\hat{8}$, cu soluțiile $\hat{2}$ și $\hat{7}$: variantele 2 și 7. Cum $\hat{4}$ nu are invers în ${\mathbb{Z}}_{10}$, codul singur nu decide. Verificare: $112+4\cdot 2=120$ și $112+4\cdot 7=140$ se termină amândouă în 0.

8. Notezi cu $x$ și $y$ ultimele cifre: $x+y=\hat{7}$ și $\hat{2}x+\hat{5}y=\hat{6}$. Din prima, $x=\hat{7}-y$; în a doua, $\widehat{14}-\hat{2}y+\hat{5}y=\hat{6}$, deci $\hat{3}y=\hat{6}-\hat{4}=\hat{2}$, iar $y=\hat{7}\cdot \hat{2}=\widehat{14}=\hat{4}$. Apoi $x=\hat{7}-\hat{4}=\hat{3}$: caietul are prețul terminat în 3, iar setul în 4. Verificare: $3+4=7$ și $2\cdot 3+5\cdot 4=26$, terminat în 6.

9. Pasul 1: $\hat{3}x=\hat{2}-\hat{7}=\widehat{-5}=\widehat{17}$. Pasul 2: $3\cdot 15=45=2\cdot 22+1$, deci ${\hat{3}}^{-1}=\widehat{15}$. Pasul 3: $x=\widehat{15}\cdot \widehat{17}=\widehat{255}=\widehat{13}$, fiindcă $255=11\cdot 22+13$. Verificare: $3\cdot 13+7=46=2\cdot 22+2$.

10. Linia lui $\hat{3}$ în ${\mathbb{Z}}_{12}$ este $\hat{0},\hat{3},\hat{6},\hat{9}$ repetată de trei ori. Ecuația $\hat{3}x=\hat{9}$ are soluțiile $\hat{3}$, $\hat{7}$, $\widehat{11}$. Ecuația $\hat{3}x=\hat{8}$ nu are soluții, fiindcă $\hat{8}$ nu apare în linie; $\hat{3}$ nu are invers. Verificare: $3\cdot 3=9$, $3\cdot 7=21$ și $3\cdot 11=33$ dau restul 9 la 12.

11. Din prima ecuație, $y=\hat{1}-\hat{2}x$. În a doua: $x+\hat{4}-\hat{8}x=\hat{3}$, adică $-\hat{7}x=-\hat{1}$, deci $\hat{2}x=\hat{1}$. Cum ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$, $x=\hat{3}$, iar $y=\hat{1}-\hat{6}=\widehat{-5}=\hat{0}$. Soluția: $x=\hat{3}$, $y=\hat{0}$. Verificare: $2\cdot 3+0=6=5+1$ și $3+4\cdot 0=3$.

12. Clasele nenule fără invers în ${\mathbb{Z}}_8$ sunt $\hat{2}$, $\hat{4}$, $\hat{6}$; celelalte dau soluție pentru orice $\hat{b}$. Linia lui $\hat{2}$ și linia lui $\hat{6}$ conțin numai $\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{6}$, deci lipsesc câte 4 clase; linia lui $\hat{4}$ conține numai $\hat{0}$ și $\hat{4}$, deci lipsesc 6. Totalul: $4+4+6=14$ perechi. Verificare: pentru $\hat{a}=\hat{3}$, ecuația $\hat{3}x=\hat{b}$ are soluția $x=\hat{3}\hat{b}$, fiindcă $3\cdot 3=9=8+1$.

Așa vine la Bac M4

Tema e în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Ca exemplu de structură, ℤₙ figurează în programa Bacalaureatului M4 (M_pedagogic) la clasa a XI-a, în blocul „Structuri algebrice”, lângă monoid, grup, inel și corp.

La Subiectul al II-lea, cele 60 de probe oficiale din 2013–2026 au de fiecare dată o lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale sau pe un interval, fără clase de resturi în vreuna dintre cele 360 de cerințe. În schimb, fiecare dintre cele 60 de probe a avut cel puțin o ecuație sau o inecuație cu legea dată, de pildă $x\ast x=x$, iar mersul ecuațiilor e același: aduci ecuația la o formă simplă și verifici soluția în enunțul inițial. Pe ℤₙ nu avem deci nici citări din probe, nici cerințe-model.

Sintezele 9–12 nu copiază probe; lucrează inversul, ecuațiile fără soluție sau cu mai multe soluții și sistemele.

Greșeli care costă puncte

• Uiți coeficientul și scrii $x+\hat{b}=\hat{0}$ în loc de $\hat{3}x+\hat{b}=\hat{0}$ → cifra 1 în locul cifrei 7 pe culegerea de ghicitori; cum o prinzi: pui cifra găsită înapoi în suma ponderată.
• Împarți ca la numerele obișnuite, $\hat{3}x=\hat{1}$ dă „$x=1:3$” → un număr care nu e clasă; cum o prinzi: în ${\mathbb{Z}}_n$ nu împarți, înmulțești cu inversul, găsit prin încercare.
• Te oprești la prima soluție când coeficientul nu are invers → în ${\mathbb{Z}}_{12}$, la $\hat{3}x=\hat{9}$, ratezi două soluții din trei; cum o prinzi: încerci toate clasele.
• Spui că o ecuație fără soluție în ${\mathbb{Z}}_n$ „are soluția 0” → $\hat{3}x=\hat{8}$ în ${\mathbb{Z}}_{12}$; cum o prinzi: $3\cdot 0=0$, iar restul 0 nu e 8.
• Faci proba doar în ecuația transformată → o greșeală de la pasul 1 trece neobservată; cum o prinzi: proba se face în enunț.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 4: OMEC 3252/2006). Rezolvarea ecuațiilor în ℤₙ face parte din programa de examen a clasei a XI-a, unde ℤₙ apare ca exemplu de structură algebrică. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au alt plan-cadru (OMEC 4152/2026), iar lecția de față nu este scrisă pentru ei: din 2030, la profilul pedagogic, matematica poate fi aleasă doar la proba F, pe programa MAT_P8 (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce faci dacă pata e pe o cifră cu ponderea 1? Ecuația devine $x+\hat{b}=\hat{0}$, deci cifra e opusul lui $\hat{b}$, fără invers. La atlasul din situație, cifrele care se văd dau suma 125, iar $-\hat{5}=\hat{5}$, deci sub pată e cifra 5. Verifici: $125+5=130$, care se termină în 0.

De ce folosește codul ISBN ponderile 1 și 3, nu 1 și 2? Fiindcă $\hat{1}$ și $\hat{3}$ au invers în ${\mathbb{Z}}_{10}$, deci orice cifră pătată se reface într-un singur fel. Cu ponderea 2, cifrele 2 și 7 ar da aceeași contribuție, $4$ și $14$, cu același rest 4, iar profesoara ar rămâne cu două variante pentru o singură pată.

Pot reface codul dacă două cifre diferite sunt pătate? Nu din regula codului singură: o singură ecuație cu două necunoscute are mai multe soluții. La culegerea de ghicitori, dacă s-ar pierde și a 11-a cifră, ar rămâne zece perechi posibile. Profesoara caută atunci titlul în catalogul editurii sau pe pagina de gardă a cărții.

Cum verific repede cifra găsită? Pui cifra în cod și refaci suma ponderată: trebuie să se termine în 0. La culegerea de ghicitori, cifrele care se văd dau 109, iar cifra 7 cu ponderea 3 adaugă 21, deci suma e 130. Proba nu folosește inversul, deci prinde și o greșeală la calculul lui.

S-a cerut vreodată o ecuație în ℤₙ la proba M_pedagogic? Ecuațiile cu clase de resturi sunt în programa de examen, prin ℤₙ, un exemplu de structură algebrică a clasei a XI-a. Din cele 60 de probe oficiale 2013–2026, niciuna nu a cerut până acum o ecuație în ℤₙ. Rezolvarea lor seamănă însă cu a ecuațiilor cu legea, cerute la Subiectul al II-lea, iar sintezele 9–12 o exersează.

Cum găsesc mai repede inversul într-un ${\mathbb{Z}}_n$ mare? Cauți un multiplu al lui $n$ plus 1 care se împarte la $a$. Pentru $\hat{4}$ în ${\mathbb{Z}}_{17}$ încerci 18, 35, 52: primul care se împarte la 4 e $52=4\cdot 13$, deci ${\hat{4}}^{-1}=\widehat{13}$. E mai scurt decât să înmulțești 4 cu toate numerele de la 1 la 16.