Lecția pe scurt · clasa a X-a · Moivre și rădăcinile de ordinul n

Cum găsești rădăcinile cubice complexe?

Scrii numărul în formă trigonometrică, iei radicalul de ordinul $3$ din modul și împarți la $3$ unghiurile $φ$ , $φ + 2 π$ și $φ + 4 π$ . Pentru $- 125 = 125 (cos π + i sin π)$ , modulul rădăcinilor este $5$ , iar unghiurile sunt $\frac{π}{3}$ , $π$ și $\frac{5 π}{3}$ . Rădăcinile sunt $\frac{5}{2} \pm \frac{5 3}{2} i$ și $- 5$ , vârfurile unui triunghi echilateral.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche →; pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — traseul tehnologic, clasa a X-a → ·

Când două numere sunt scrise trigonometric, înmulțirea lor devine aproape mecanică: produsul are ca modul produsul modulelor, iar ca argument suma argumentelor. Pe desen, a înmulți cu un număr înseamnă a roti punctul în jurul originii și a-i schimba distanța față de ea. Înmulțirea cu $i$ , de pildă, rotește cu un sfert de tură. Împărțirea face invers: împarte modulele și scade argumentele.

Dacă înmulțești un număr cu el însuși de $n$ ori, obții formula lui Moivre: $(r (cos φ + i sin φ))^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)$ . Unghiul rezultat poate fi mare, așa că îl aduci în $[0, 2 π)$ eliminând ture întregi.

Drumul invers duce la rădăcini. Fiecare număr complex diferit de zero are $n$ rădăcini de ordinul $n$ , nici mai multe, nici mai puține. Toate se află la distanța $n r$ de origine, iar unghiurile lor sunt $\frac{φ + 2 k π}{n}$ , cu $k$ de la $0$ la $n - 1$ . Pe desen ele împart un cerc în arce egale și, pentru $n \geq 3$ , sunt vârfurile unui poligon regulat.

O ecuație binomă, $z^{n} = a$ , se rezolvă chiar așa: soluțiile ei sunt rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $a$ . Dacă $a$ este real, printre soluții apar și cele reale: $n a$ când exponentul e impar, respectiv $\pm n a$ când exponentul e par și $a > 0$ ; restul se grupează în perechi de numere conjugate.

De reținut

produs: modulele se înmulțesc, argumentele se adună
Moivre: $z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)$
rădăcinile: modulul $n r$ , unghiurile $\frac{φ + 2 k π}{n}$ , $k = 0, \dots, n - 1$

Greșeala tipică

Se ia doar unghiul $\frac{φ}{n}$ și se găsește o singură rădăcină; corect se adaugă $2 k π$ înainte de împărțire, iar $k$ ia $n$ valori.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $(cos \frac{π}{10} + i sin \frac{π}{10})^{5}$ ?
- a) $i$
- b) $- 1$
- c) $1$
- d) $- i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $i$

După formula lui Moivre, unghiul se înmulțește cu $5$ : $5 \cdot \frac{π}{10} = \frac{π}{2}$ . Rezultatul este $cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2} = i$ .
Produsul $2 (cos \frac{π}{5} + i sin \frac{π}{5}) \cdot 5 (cos \frac{3 π}{10} + i sin \frac{3 π}{10})$ este:
- a) $10 i$
- b) $7 i$
- c) $10$
- d) $- 10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10 i$

Modulele se înmulțesc, $2 \cdot 5 = 10$ , iar argumentele se adună, $\frac{2 π}{10} + \frac{3 π}{10} = \frac{π}{2}$ . Rezultatul este $10 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 10 i$ . Varianta $7 i$ adună modulele în loc să le înmulțească.
Cât este $(3 + i)^{3}$ ?
- a) $8 i$
- b) $- 8 i$
- c) $8$
- d) $23 + 2 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $8 i$

Baza are modulul $2$ și argumentul $\frac{π}{6}$ . Puterea are modulul $2^{3} = 8$ și argumentul $3 \cdot \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ , deci este $8 i$ .

Întrebări conexe

Cum se înmulțesc două numere complexe în formă trigonometrică?

Înmulțești modulele și aduni argumentele: produsul lui $3 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ cu $2 (cos \frac{π}{12} + i sin \frac{π}{12})$ este $6 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ . Pe desen, punctul se rotește cu al doilea unghi și se depărtează de origine.

Ce spune formula lui Moivre, într-o frază?

Că o putere a unui număr scris trigonometric se obține ridicând modulul la putere și înmulțind argumentul cu exponentul: $(r (cos φ + i sin φ))^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)$ . Argumentul rezultat se reduce apoi în $[0, 2 π)$ .

De ce are −32 cinci rădăcini de ordinul 5, dar un singur radical real?

Radicalul real $5 - 32 = - 2$ este singura rădăcină reală. În mulțimea numerelor complexe mai există patru, nereale, pe cercul de rază $2$ , la unghiuri care cresc cu $\frac{2 π}{5}$ . Toate cinci, ridicate la puterea a cincea, dau $- 32$ .

Ce figură formează rădăcinile de ordinul n?

Pentru $n \geq 3$ , un poligon regulat cu $n$ vârfuri, înscris în cercul cu centrul în origine și raza egală cu radicalul de ordin $n$ din modul. Rădăcinile de ordinul $4$ ale lui $- 64$ , de exemplu, sunt $\pm 2 \pm 2 i$ , vârfurile unui pătrat.

Cât face suma rădăcinilor de ordinul n ale unui număr?

Face $0$ , pentru orice $n \geq 2$ . Punctele rădăcinilor stau la distanțe egale pe un cerc centrat în origine, simetric unele față de altele, deci afixele lor se anulează la adunare. E o probă rapidă: dacă suma rădăcinilor găsite nu iese zero, una dintre ele e greșită.

Oamenii mai întreabă și: rădăcinile cubice ale unui număr complex · ecuația z la a treia egal minus 125 · formula lui Moivre pe pași · rădăcini de ordinul n la științe ale naturii