Formula lui Moivre și rădăcinile de ordinul n (M2, științe ale naturii)

Cât face $(-1+i{)}^{12}$? Prin înmulțiri repetate în formă algebrică ar trebui să faci unsprezece înmulțiri, fiecare cu patru produse. Cu forma trigonometrică, calculul durează două rânduri: ridici modulul la putere și înmulțești unghiul. Același mecanism, folosit invers, găsește numerele care ridicate la o putere dau un număr dat, de exemplu toate cele trei numere complexe al căror cub este $-125$. Lecția de față, la clasa a X-a, profilul științe ale naturii (M2), urcă pe pași de la înmulțire la puteri și apoi la rădăcini. Tema este în programa școlară de 4 ore a clasei, dar nu și în programa bacalaureatului M2 din sesiunile 2027–2029.

Pornești de la forma trigonometrică a unui număr complex: modul, cadran, argument redus în $[0,2\pi )$. Pentru înmulțire îți trebuie și formulele pentru sinusul și cosinusul sumei, iar la rădăcini vei folosi radicalul de ordin n dintr-un număr real.

Ce vei învăța

• Vei ști să înmulțești și să împarți două numere complexe scrise în formă trigonometrică și să interpretezi geometric produsul.
• Vei ști formula lui Moivre și o vei aplica pe pași, cu reducerea argumentului la intervalul $[0,2\pi )$.
• Vei ști ce sunt rădăcinile de ordinul $n$ ale unui număr complex și de ce sunt exact $n$.
• Vei ști să le calculezi cu formula, pentru fiecare valoare a lui $k$, și să le vezi ca vârfuri ale unui poligon regulat.
• Vei ști să rezolvi ecuații binome $z^n=a$ în $\mathbb{C}$ și să legi soluția reală de radicalul de ordin $n$ de la numere reale.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se înmulțesc două numere în formă trigonometrică?

Fie $z_1=r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)$ și $z_2=r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)$. Înmulțim ca la forma algebrică, cu $i^2=-1$:

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2[(\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2-\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2)+i(\sin {\phi }_1\cos {\phi }_2+\cos {\phi }_1\sin {\phi }_2)].$$

Prima paranteză este $\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)$, iar a doua este $\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)$, după formulele de adunare. Rezultă:

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)).$$

Regula produsului înseamnă, în cuvinte: modulele se înmulțesc, argumentele se adună. Dacă suma argumentelor ajunge la $2\pi$ sau trece de $2\pi$, scazi $2\pi$, ca rezultatul să fie argument redus.

Regula are o imagine geometrică simplă. A înmulți un număr $z$ cu $w=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$ înseamnă a-i roti imaginea în jurul originii cu unghiul $\theta$ și a-i mări distanța față de origine de $\rho$ ori. Cel mai clar se vede la înmulțirea cu $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$, care are modulul $1$: punctul se rotește cu un sfert de tură, fără să se depărteze. De exemplu, $i(4+i)=-1+4i$, iar punctul $(4,1)$ ajunge în $(-1,4)$.

Dacă factorul are modulul diferit de $1$, apare și o dilatare. Înmulțirea cu $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$ rotește punctul cu $\frac{\pi }{4}$ și îl duce de $\sqrt{2}$ ori mai departe de origine. Aplicată de mai multe ori la rând, ea descrie o spirală care se deschide în jurul originii. Fiecare înmulțire e un pas al spiralei, iar formula lui Moivre, din secțiunea următoare, spune direct unde ajungi după $n$ pași.

2. Cum se împart două numere în formă trigonometrică?

Împărțirea este operația inversă, deci regula se inversează: modulele se împart, argumentele se scad. Pentru $z_2\ne 0$,

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)).$$

Verificarea e directă: înmulțind rezultatul cu $z_2$, după regula produsului, obții modulul $r_1$ și argumentul ${\phi }_1$, adică exact $z_1$. Dacă diferența argumentelor iese negativă, adaugi $2\pi$.

Un exemplu: $\frac{8\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)}{2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}=4\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=-2\sqrt{3}+2i$, pentru că $\frac{7\pi }{6}-\frac{2\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. În formă algebrică, același cât ar fi cerut amplificarea cu conjugatul numitorului și câteva rânduri de calcul.

3. Ce spune formula lui Moivre?

O putere este un produs de factori egali, deci aplici regula produsului de mai multe ori. Pentru $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, la fiecare înmulțire cu $z$ modulul se mai înmulțește o dată cu $r$, iar argumentul mai crește o dată cu $\phi$. După $n$ factori ai:

$$z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi ),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

Aceasta este formula lui Moivre, după numele matematicianului Abraham de Moivre. Pentru numerele de modul $1$ ea are forma scurtă $(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=\cos n\phi +i\sin n\phi$. Un exemplu mic: ${\left(\cos \frac{\pi }{8}+i\sin \frac{\pi }{8}\right)}^4=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$.

Calculul unei puteri are patru pași.

Pasul 1. Scrii baza în formă trigonometrică.

Pasul 2. Ridici modulul la putere: $r^n$.

Pasul 3. Înmulțești argumentul cu exponentul și reduci rezultatul la $[0,2\pi )$.

Pasul 4. Scrii rezultatul în formă algebrică, cu valorile din tabel.

Merită comparat cu drumul algebric. Pentru o putere a zecea, forma algebrică cere fie nouă înmulțiri succesive, fie dezvoltarea unui binom cu unsprezece termeni. Cu formula lui Moivre, munca se reduce la o putere a unui număr real, o înmulțire de fracții și o reducere de unghi. Avantajul crește odată cu exponentul, iar riscul de greșeală de calcul scade.

4. Cum reduci un argument mare?

După pasul 3 apar unghiuri ca $\frac{55\pi }{6}$ sau $9\pi$. Reducerea înseamnă să scazi rotații complete, adică multipli de $2\pi$, până ajungi în $[0,2\pi )$. Cu fracții e comod să scrii $2\pi$ cu același numitor. De exemplu, $2\pi =\frac{12\pi }{6}$, iar $\frac{55\pi }{6}=\frac{48\pi }{6}+\frac{7\pi }{6}=8\pi +\frac{7\pi }{6}$. Patru rotații complete se elimină și rămâne $\frac{7\pi }{6}$. Un alt mod de lucru este împărțirea cu rest a numărătorului la dublul numitorului: $55=12\cdot 4+7$, deci rămân $\frac{7\pi }{6}$. Reducerea se face la fel pentru orice fracție: $\frac{37\pi }{4}$ are numărătorul $37=8\cdot 4+5$, deci se reduce la $\frac{5\pi }{4}$.

Când argumentul este un multiplu întreg de $\pi$, rezultatul e real: multiplii pari de $\pi$ duc pe semiaxa pozitivă, cei impari pe semiaxa negativă. Când argumentul este de forma $\frac{\pi }{2}+k\pi$, rezultatul e pur imaginar. Așa poți spune dinainte, fără să calculezi totul, dacă o putere va ieși reală.

5. Ce este o rădăcină de ordinul n a unui număr complex?

Întoarcem întrebarea: dându-se un număr complex $a$, căutăm numerele $w$ care, ridicate la puterea $n$, dau $a$. O rădăcină de ordinul n a numărului complex $a$ este un număr complex $w$ cu $w^n=a$, unde $n\ge 2$ este natural.

La numere reale, radicalul de ordin $n$, tratat în lecția lui din suplimentul clasei, este, atunci când există, un singur număr real. În $\mathbb{C}$ situația se schimbă: orice număr complex nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$. De aceea nu le notăm cu semnul radicalului. Scrierea $\sqrt[n]{}$ rămâne rezervată numerelor reale, cu sensul din lecția despre radicalul de ordin $n$, și o folosim doar pentru modulul $r$, care e real și pozitiv.

Legătura dintre cele două noțiuni se vede pe un exemplu. La numere reale, $\sqrt[5]{-32}=-2$. În $\mathbb{C}$, numărul $-32$ are cinci rădăcini de ordinul $5$, iar $-2$ este singura reală dintre ele. Celelalte patru sunt nereale, așezate pe un cerc de rază $2$.

De ce exact $n$ rădăcini și nu mai multe? Ecuația $w^n=a$ se scrie $w^n-a=0$, o ecuație polinomială de gradul $n$, iar o asemenea ecuație nu poate avea mai mult de $n$ soluții distincte (fapt pe care îl vei justifica la polinoame, în clasa a XII-a). În secțiunea următoare vei construi efectiv $n$ soluții distincte, deci sunt toate. Faptul că la numere reale găseai una, două sau niciuna nu contrazice nimic: celelalte erau nereale și rămâneau ascunse.

6. Cum găsești rădăcinile de ordinul n?

Căutăm $w=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$ cu $w^n=a$, unde $a=r(\cos \phi +i\sin \phi )$. După formula lui Moivre, $w^n={\rho }^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$. Două numere scrise trigonometric sunt egale când au același modul și argumente care diferă printr-un multiplu de $2\pi$. Rezultă:

• ${\rho }^n=r$, deci $\rho =\sqrt[n]{r}$, un radical obișnuit dintr-un număr pozitiv;
• $n\theta =\phi +2k\pi$, deci $\theta =\frac{\phi +2k\pi }{n}$, cu $k$ întreg.

Valorile $k=0,1,\dots ,n-1$ dau unghiuri diferite din aceeași tură, iar $k=n$ reproduce punctul lui $k=0$, cu o rotație completă în plus. Rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $a$ sunt deci

$$w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}\right),k=0,1,\dots ,n-1.$$

Algoritmul are patru pași.

Pasul 1. Scrii $a$ în formă trigonometrică: $r$ și $\phi$.

Pasul 2. Calculezi modulul comun al rădăcinilor, $\sqrt[n]{r}$.

Pasul 3. Pentru fiecare $k$ de la $0$ la $n-1$, calculezi unghiul $\frac{\phi +2k\pi }{n}$. Unghiurile cresc din $\frac{2\pi }{n}$ în $\frac{2\pi }{n}$.

Pasul 4. Scrii fiecare rădăcină în formă algebrică, când unghiul e din tabel, și faci proba pe cel puțin una.

Pe un exemplu mic, rădăcinile de ordinul $3$ ale lui $i$. Pasul 1: $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$, deci $r=1$ și $\phi =\frac{\pi }{2}$. Pasul 2: modulul rădăcinilor e $\sqrt[3]{1}=1$. Pasul 3: unghiurile sunt $\frac{\pi /2+2k\pi }{3}$, adică $\frac{\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}$ și $\frac{3\pi }{2}$, la distanță de $\frac{2\pi }{3}$ unul de altul. Pasul 4: rădăcinile sunt $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$, $-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ și $-i$. Proba cea mai rapidă e pe ultima: $(-i{)}^3=-i^3=i$.

7. Ce figură formează rădăcinile?

Toate rădăcinile au același modul, $\sqrt[n]{r}$, deci stau pe cercul cu centrul în origine și raza $\sqrt[n]{r}$. Unghiurile lor diferă succesiv cu $\frac{2\pi }{n}$, deci punctele împart cercul în $n$ arce egale. Pentru $n\ge 3$ ele sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi: un triunghi echilateral la ordinul $3$, un pătrat la ordinul $4$, un hexagon regulat la ordinul $6$.

Imaginea îți dă o scurtătură și o probă. Dacă ai găsit o rădăcină, pe celelalte le obții rotind-o succesiv cu $\frac{2\pi }{n}$. Dacă punctele tale nu formează un poligon regulat, ai greșit un unghi.

Cel mai cunoscut caz este al rădăcinilor unității, soluțiile ecuației $z^n=1$. Pentru $n=3$, ele sunt $1$, $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ și $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, vârfurile unui triunghi echilateral înscris în cercul trigonometric, cu un vârf în $1$. Rădăcinile de ordinul $n$ ale oricărui alt număr se obțin din ele: iei una dintre rădăcinile numărului și o înmulțești, pe rând, cu fiecare rădăcină a unității. Geometric, înmulțirea cu rădăcinile unității înseamnă exact rotirile cu $\frac{2\pi }{n}$ de mai sus.

8. Ce este o ecuație binomă și cum o rezolvi?

O ecuație binomă este o ecuație de forma $z^n=a$, cu $a$ număr complex nenul și $n\ge 2$. Numele vine de la cei doi termeni ai lui $z^n-a=0$. Soluțiile ei sunt exact rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $a$, deci ecuația are $n$ soluții în $\mathbb{C}$.

Rezolvarea are un pas în plus față de secțiunea 6: aduci întâi ecuația la forma $z^n=a$. De exemplu, $2z^5-486=0$ devine $z^5=243$. Apoi aplici cei patru pași.

Dacă $a$ este real, printre soluții se află și soluțiile reale, cele cunoscute de la radicali: $\sqrt[n]{a}$ la ordin impar; $\pm \sqrt[n]{a}$ la ordin par, dacă $a>0$; niciuna la ordin par, dacă $a<0$. Restul soluțiilor sunt nereale și vin în perechi de numere conjugate, simetrice față de axa reală.

Cazul cel mai simplu îl cunoști deja. Pentru $n=2$ și $a$ real negativ, ecuația $z^2=a$ are soluțiile $\pm i\sqrt{|a|}$, cele din lecția despre ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ. Formula rădăcinilor dă același rezultat: modulul $\sqrt{|a|}$ și unghiurile $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$. Metoda nouă nu contrazice nimic din ce știai, ci doar extinde.

Ecuațiile binome mai apar o dată în liceu, la clasa a XII-a: programa de examen le cere la polinoame, fără să precizeze metoda, iar lecția M2 despre ecuațiile binome și bipătrate le rezolvă algebric, pentru exponenți mici, cu descompuneri în factori. Metoda din lecția de față merge pentru orice exponent și pentru orice $a$ complex.

9. Cum verifici rapid o listă de rădăcini?

Înainte de a trece la exerciții, iată patru verificări care nu cer niciun calcul lung. Prima: numărul rădăcinilor este exact $n$, nici mai multe, nici mai puține. A doua: toate au același modul. A treia: unghiurile lor, puse în ordine, cresc cu câte $\frac{2\pi }{n}$. A patra privește un număr real $a$: rădăcinile nereale vin în perechi conjugate, deci partea imaginară a fiecăreia apare o dată cu plus și o dată cu minus.

Mai există o observație frumoasă. Vârfurile unui poligon regulat cu centrul în origine sunt așezate simetric, deci suma afixelor lor este $0$. Așadar, pentru $n\ge 2$, suma rădăcinilor de ordinul $n$ ale oricărui număr complex este $0$. La exemplul de mai sus, $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i-i=0$. Dacă suma rădăcinilor tale nu iese $0$, una dintre ele e greșită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un produs și imaginea lui

Calculează $z_1{z}_2$, unde $z_1=3\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$ și $z_2=2\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)$, și scrie rezultatul în formă algebrică.

Rezolvare. Modulele se înmulțesc, $3\cdot 2=6$, iar argumentele se adună, $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{12}=\frac{3\pi +\pi }{12}=\frac{\pi }{3}$. Așadar

$$z_1{z}_2=6\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=3+3\sqrt{3}i.$$

Geometric: imaginea lui $z_1$ s-a rotit cu $\frac{\pi }{12}$, adică $15^{\circ }$, și a ajuns de două ori mai departe de origine.

Exemplul 2 — O putere cu reducerea argumentului

Calculează ${\left(\sqrt{3}-i\right)}^5$.

Rezolvare. Pasul 1: $r=2$, $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \phi =-\frac{1}{2}$, cadranul al IV-lea, deci $\phi =\frac{11\pi }{6}$. Pasul 2: $2^5=32$. Pasul 3: $5\cdot \frac{11\pi }{6}=\frac{55\pi }{6}=8\pi +\frac{7\pi }{6}$, deci argumentul redus este $\frac{7\pi }{6}$. Pasul 4:

$${\left(\sqrt{3}-i\right)}^5=32\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)=32\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=-16\sqrt{3}-16i.$$

Exemplul 3 — O putere care iese reală

Calculează $(-1+i{)}^{12}$.

Rezolvare. $r=\sqrt{2}$ și $\phi =\frac{3\pi }{4}$, cadranul al II-lea. Modulul puterii este ${\left(\sqrt{2}\right)}^{12}=2^6=64$, iar argumentul este $12\cdot \frac{3\pi }{4}=9\pi$. Un multiplu impar de $\pi$ duce pe semiaxa negativă: $9\pi =8\pi +\pi$. Așadar $(-1+i{)}^{12}=64(\cos \pi +i\sin \pi )=-64$.

Se putea prevedea că rezultatul iese real înainte de orice calcul: argumentul $\frac{3\pi }{4}$, înmulțit cu $12$, dă un multiplu întreg de $\pi$. Aceeași bază ridicată la puterea a patra dă tot un număr real, $(-1+i{)}^4=-4$, iar ridicată la puterea a doua dă un număr pur imaginar, $-2i$. Încearcă să explici singur de ce, cu regula de la secțiunea 4.

Exemplul 4 — Rădăcinile de ordinul 2 ale lui −4i

Află numerele complexe $w$ cu $w^2=-4i$.

Rezolvare. Pasul 1: $-4i$ stă pe semiaxa negativă $Oy$, deci $r=4$ și $\phi =\frac{3\pi }{2}$. Pasul 2: modulul rădăcinilor este $\sqrt{4}=2$. Pasul 3: unghiurile sunt $\frac{3\pi /2+2k\pi }{2}$, adică $\frac{3\pi }{4}$ pentru $k=0$ și $\frac{7\pi }{4}$ pentru $k=1$. Pasul 4:

$$w_0=2\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i,w_1=2\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right)=\sqrt{2}-\sqrt{2}i.$$

Proba: ${\left(-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\right)}^2=2+2i^2-4i=-4i$. Cele două rădăcini sunt opuse, ca orice pereche de rădăcini pătrate.

Exemplul 5 — O ecuație binomă de gradul al treilea

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^3+125=0$.

Rezolvare. Ecuația se scrie $z^3=-125$, cu $-125=125(\cos \pi +i\sin \pi )$. Modulul soluțiilor este $\sqrt[3]{125}=5$, iar unghiurile sunt $\frac{\pi +2k\pi }{3}$, adică $\frac{\pi }{3}$, $\pi$ și $\frac{5\pi }{3}$. Soluțiile sunt

$$z_0=\frac{5}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}i,z_1=-5,z_2=\frac{5}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{2}i.$$

Soluția reală, $-5$, este exact radicalul $\sqrt[3]{-125}$ de la numere reale. Celelalte două sunt conjugate, iar cele trei puncte formează un triunghi echilateral înscris în cercul de rază $5$.

Exemplul 6 — Cazul lăsat deschis la ecuațiile bipătrate

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+2x^2+4=0$.

Rezolvare. Cu $t=x^2$ obții $t^2+2t+4=0$, cu $\Delta =4-16=-12$, deci $t=-1\pm \sqrt{3}i$. Valorile lui $t$ sunt nereale, exact cazul pe care lecția despre ecuațiile bipătrate nu l-a tratat. Acum îl putem duce la capăt: $-1+\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$, iar rădăcinile pătrate ale lui au modulul $\sqrt{2}$ și unghiurile $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{4\pi }{3}$:

$$x=\pm \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i\right).$$

Pentru $t=-1-\sqrt{3}i$, conjugatul, rădăcinile sunt conjugatele celor de mai sus, $x=\pm \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i\right)$. Ecuația are patru soluții, toate nereale.

Să exersăm

La puteri, verifică dacă rezultatul are modulul $r^n$. La rădăcini, ridică cel puțin o rădăcină la puterea cerută.

1. Calculează $z_1{z}_2$ pentru $z_1=4\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$ și $z_2=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$.

2. Calculează $\frac{z_1}{z_2}$ pentru $z_1=6\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$ și $z_2=3\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$.

3. Înmulțește $2+5i$ cu $i$ și descrie ce s-a întâmplat cu imaginea lui în plan.

4. Calculează ${\left(\cos \frac{\pi }{9}+i\sin \frac{\pi }{9}\right)}^9$.

5. Calculează $(1+i{)}^6$ cu formula lui Moivre.

6. Calculează ${\left(1-\sqrt{3}i\right)}^4$.

7. Calculează $(-2+2i{)}^3$.

8. Calculează ${\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)}^{10}$.

9. Află rădăcinile de ordinul $2$ ale lui $9i$.

10. Află rădăcinile de ordinul $4$ ale lui $-64$.

11. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^3=1000$.

12. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^6=-1$.

13. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2=-8-8\sqrt{3}i$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuația $z^5=1$ are în $\mathbb{C}$ o singură soluție, $z=1$.

15. (Găsește greșeala.) Un elev afirmă că rădăcinile de ordinul $4$ ale lui $1296$ sunt numai $6$ și $-6$. Ce a scăpat?

16. (Problemă aplicată.) Un hexagon regulat are centrul în origine și un vârf în punctul de afix $3$. Scrie ecuația binomă ale cărei soluții sunt afixele vârfurilor și află vârful din cadranul al II-lea.

17. Arată că $z=\sqrt{3}+i$ verifică ecuația $z^4=-8+8\sqrt{3}i$ și află celelalte trei soluții ale ei.

18. (Provocare.) Determină cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care ${\left(1+\sqrt{3}i\right)}^n$ este un număr real pozitiv.

Răspunsuri și explicații

1. Modulul $8$, argumentul $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$, deci $z_1{z}_2=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=8i$.

2. Modulul $2$, argumentul $\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$, deci câtul este $2i$.

3. $i(2+5i)=2i+5i^2=-5+2i$. Punctul $(2,5)$ s-a rotit cu $\frac{\pi }{2}$ în jurul originii, ajungând în $(-5,2)$, iar distanța lui față de origine a rămas $\sqrt{29}$.

4. $\cos \pi +i\sin \pi =-1$.

5. $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$, deci $(1+i{)}^6=8\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-8i$. Proba algebrică: $(1+i{)}^2=2i$, iar $(2i{)}^3=-8i$.

6. $r=2$, $\phi =\frac{5\pi }{3}$. Modulul $16$, argumentul $\frac{20\pi }{3}=6\pi +\frac{2\pi }{3}$, deci rezultatul este $16\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-8+8\sqrt{3}i$.

7. $r=2\sqrt{2}$, $\phi =\frac{3\pi }{4}$. Modulul ${\left(2\sqrt{2}\right)}^3=16\sqrt{2}$, argumentul $\frac{9\pi }{4}=2\pi +\frac{\pi }{4}$, deci $16\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=16+16i$.

8. Argumentul $\frac{50\pi }{12}=\frac{25\pi }{6}=4\pi +\frac{\pi }{6}$, deci rezultatul este $\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$.

9. $9i=9\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$. Modulul $3$, unghiurile $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{5\pi }{4}$: $w=\pm \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}i\right)$.

10. $-64=64(\cos \pi +i\sin \pi )$. Modulul $\sqrt[4]{64}=2\sqrt{2}$, unghiurile $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{4}$. Rădăcinile sunt $2+2i$, $-2+2i$, $-2-2i$ și $2-2i$, vârfurile unui pătrat.

11. $1000=1000(\cos 0+i\sin 0)$, modulul $\sqrt[3]{1000}=10$, unghiurile $0$, $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{4\pi }{3}$: $z\in \left\{10,-5+5\sqrt{3}i,-5-5\sqrt{3}i\right\}$.

12. $-1=\cos \pi +i\sin \pi$, modulul $1$, unghiurile $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{11\pi }{6}$: $z\in \left\{\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\pm \frac{1}{2}i,\pm i\right\}$, cu toate cele patru combinații de semne la primele.

13. $-8-8\sqrt{3}i=16\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$. Modulul $\sqrt{16}=4$, unghiurile $\frac{2\pi }{3}$ și $\frac{5\pi }{3}$: $z=\pm \left(-2+2\sqrt{3}i\right)$, adică $-2+2\sqrt{3}i$ și $2-2\sqrt{3}i$.

14. Fals. Ecuația are cinci soluții în $\mathbb{C}$, cu modulul $1$ și unghiurile $0$, $\frac{2\pi }{5}$, $\frac{4\pi }{5}$, $\frac{6\pi }{5}$, $\frac{8\pi }{5}$. Doar $z=1$ e reală.

15. A găsit doar rădăcinile reale. Modulul comun este $\sqrt[4]{1296}=6$, iar unghiurile sunt $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, deci rădăcinile sunt $6$, $6i$, $-6$ și $-6i$. Proba: $(6i{)}^4=1296i^4=1296$.

16. Vârfurile au modulul $3$ și unghiurile $\frac{k\pi }{3}$, deci sunt soluțiile ecuației $z^6=3^6=729$. Vârful din cadranul al II-lea are unghiul $\frac{2\pi }{3}$: $3\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i$.

17. $\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$, deci $z^4=16\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)=-8+8\sqrt{3}i$. Celelalte soluții se obțin rotind cu $\frac{\pi }{2}$, adică înmulțind succesiv cu $i$: $-1+\sqrt{3}i$, $-\sqrt{3}-i$ și $1-\sqrt{3}i$.

18. $1+\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$, deci puterea are argumentul $\frac{n\pi }{3}$. Ea e reală pozitivă când acest unghi e multiplu de $2\pi$, adică $n$ e multiplu de $6$. Cel mai mic este $n=6$: ${\left(1+\sqrt{3}i\right)}^6=64$.

De reținut

• Produsul a două numere are ca modul produsul modulelor și ca argument suma argumentelor; câtul are raportul modulelor și diferența argumentelor.
• Formula lui Moivre: $(r(\cos \phi +i\sin \phi ){)}^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$; argumentul obținut se reduce la $[0,2\pi )$.
• Un număr complex nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$: $w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}\right)$, $k=0,\dots ,n-1$.
• Rădăcinile stau pe cercul de rază $\sqrt[n]{r}$ și, pentru $n\ge 3$, sunt vârfurile unui poligon regulat.
• Ecuația binomă $z^n=a$ are ca soluții rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $a$; dacă $a$ e real, soluțiile reale sunt $\sqrt[n]{a}$ la ordin impar și $\pm \sqrt[n]{a}$ la ordin par, când $a>0$, iar celelalte vin în perechi conjugate.

Greșeli frecvente

• Modulul uitat la putere. Se scrie ${\left(\sqrt{3}-i\right)}^5=\cos \frac{55\pi }{6}+i\sin \frac{55\pi }{6}$. Corect: în față stă $2^5=32$.
• Argumentul neredus. Se lasă $\frac{55\pi }{6}$ în rezultat și se caută în tabel. Corect: scazi $8\pi$ și lucrezi cu $\frac{7\pi }{6}$.
• Doar rădăcina reală. Se scrie că $z^3=-125$ are soluția $z=-5$ și atât. Corect: în $\mathbb{C}$ sunt trei soluții.
• Unghiul împărțit, dar fără $2k\pi$. Se ia doar $\frac{\phi }{n}$ și se obține o singură rădăcină. Corect: adaugi $2k\pi$ înainte de împărțire și iei $k$ de la $0$ la $n-1$.
• Radical scris pe un număr complex. Se scrie $\sqrt[3]{-125}=\frac{5}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}i$. Corect: radicalul real e $-5$; numerele nereale sunt rădăcini complexe, fără semnul radicalului.

Aplică acasă

1. Rotirile. Desenează punctul de afix $2$ și înmulțește-l succesiv cu $\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$ de șase ori. Marchează fiecare punct obținut și verifică faptul că, după șase pași, te-ai întors în $2$. Ce poligon ai desenat?

2. Calculatorul. Calculează $(1+i{)}^{16}$ în două feluri: o dată în formă algebrică, prin ridicări succesive la pătrat, $(1+i{)}^2$, apoi $(1+i{)}^4$ și așa mai departe, apoi cu formula lui Moivre. Compară numărul de operații făcute în fiecare variantă și verifică dacă rezultatele coincid.

3. Simetriile florii. Caută o floare cu cinci petale egale, de pildă o floare de măr, și fotografiaz-o de sus. Pune centrul florii în origine și o petală pe semiaxa pozitivă $Ox$. Arată că vârfurile petalelor sunt, aproximativ, imaginile soluțiilor unei ecuații binome de gradul al cincilea și scrie ecuația.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă trei elemente ale programei de 4 ore într-un singur traseu, cu pași numerotați: înmulțirea în formă trigonometrică, cu interpretarea ei geometrică, formula lui Moivre și rădăcinile de ordinul $n$, cu ecuațiile binome. Formula lui Moivre e obținută prin înmulțiri repetate, nu prin inducție matematică, iar formula rădăcinilor e dedusă din egalitatea a două forme trigonometrice. Demonstrațiile complete și exercițiile de nivel ridicat se găsesc în lecția despre formula lui Moivre, de la mate-info (M1) și în lecțiile care o urmează pe traseul profilului.

De urmărit în caiet: modulul ridicat la putere, argumentul redus după fiecare înmulțire, valorile lui $k$ scrise explicit la rădăcini și proba pe o rădăcină. Întrebări bune de control: „Ce se întâmplă cu un punct când îl înmulțești cu $i$?”, „De ce are $-32$ cinci rădăcini de ordinul $5$, dar un singur radical real?”, „Cum știi dinainte dacă o putere iese reală?”.

Ordinea internă a lecției contează. Elevul care nu stăpânește încă argumentul redus va greși la rădăcini, nu din cauza formulei, ci la primul pas. De aceea recomandăm ca, înainte de secțiunea 5, elevul să rezolve câteva exerciții din lecția despre forma trigonometrică. Formula rădăcinilor nu trebuie memorată mecanic: e suficient ca elevul să știe că din modul se ia radicalul de ordin $n$, iar unghiul $\phi +2k\pi$ se împarte la $n$, cu $k$ de la $0$ la $n-1$.

Lecția închide și un caz lăsat deschis la clasa a X-a: ecuațiile bipătrate în care valorile lui $t$ ies nereale. Programa de 4 ore permite acest pas prin rădăcinile de ordinul $n$, iar exemplul 6 îl arată complet.

Programa și examenul. Programa școlară în vigoare la clasa a X-a în anul școlar 2026–2027 (OMEC 4598/2004, varianta de 4 ore, aplicată la științe ale naturii) conține „înmulțirea numerelor complexe și interpretare geometrică, ridicarea la putere (formula lui Moivre)” și „Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex. Ecuații binome.” Programa de examen a bacalaureatului M2 (M_șt-nat) din sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) are numerele complexe numai în formă algebrică; ecuațiile binome apar în ea la materia clasei a XII-a, la polinoame, fără să fie precizată metoda. De aceea lecția nu are exerciții marcate pentru bacalaureat. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) are, în lista de conținuturi, numerele complexe doar în formă algebrică, la fel ca programa probei MAT_P2 din 2030; sugestiile ei metodologice recomandă forma trigonometrică doar când profesorul are timp.

Întrebări frecvente

Ce afirmă, pe scurt, formula lui Moivre?

Spune că pentru a ridica la puterea $n$ un număr scris trigonometric ridici modulul la puterea $n$ și înmulțești argumentul cu $n$: $(r(\cos \phi +i\sin \phi ){)}^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$. De exemplu, $(-1+i{)}^{12}$ are modulul $64$ și argumentul $9\pi$, deci este $-64$. Argumentul obținut se reduce apoi la intervalul $[0,2\pi )$.

Câte rădăcini de ordinul n are un număr complex?

Exact $n$, dacă numărul e nenul. Toate au același modul, radicalul de ordin $n$ din modulul numărului, iar argumentele lor diferă succesiv cu $\frac{2\pi }{n}$. De aceea rădăcinile de ordinul $3$ formează un triunghi echilateral, cele de ordinul $4$ un pătrat, iar în general, pentru $n\ge 3$, un poligon regulat cu $n$ vârfuri.

De ce nu scriem radicalul pentru rădăcinile complexe?

Pentru că semnul radicalului desemnează un singur număr, iar un număr complex nenul are $n$ rădăcini de ordinul $n$, toate la fel de îndreptățite. La numere reale, $\sqrt[3]{-125}=-5$ rămâne valabil, iar $-5$ e una dintre cele trei rădăcini complexe ale lui $-125$. Radicalul îl folosim doar pentru modul, care e un număr real pozitiv.

Cum rezolv o ecuație binomă?

Aduci ecuația la forma $z^n=a$, scrii $a$ în formă trigonometrică, iei radicalul de ordin $n$ din modul și împarți la $n$ argumentele $\phi +2k\pi$, pentru $k$ de la $0$ la $n-1$. Obții $n$ soluții. De exemplu, $z^3+125=0$ are soluțiile $-5$ și $\frac{5}{2}\pm \frac{5\sqrt{3}}{2}i$.

Se cere formula lui Moivre la bacalaureatul M2?

Nu. Programa de examen M2 pentru sesiunile 2027–2029 are numerele complexe numai în formă algebrică, iar în cele 92 de probe oficiale M2 din 2010–2026 transcrise pe site formula lui Moivre nu apare. Ecuațiile binome sunt în programa de examen la clasa a XII-a, la polinoame, fără precizarea metodei; lecția M2 de clasa a XII-a le rezolvă algebric. Formula e în programa școlară de 4 ore a clasei a X-a.

Prin ce diferă lecția aceasta de formula lui Moivre de la mate-info (M1)?

La mate-info, formula lui Moivre e demonstrată prin inducție, extinsă la exponenți negativi și folosită pentru formule trigonometrice, iar rădăcinile și ecuațiile binome au lecții separate, cu exerciții de nivel ridicat. Lecția M2 adună totul pe un singur drum, cu pași numerotați, și leagă rădăcinile de radicalul real și de ecuațiile bipătrate ale profilului.

Ce înseamnă geometric înmulțirea cu un număr complex?

Înmulțirea cu $w=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$ rotește imaginea numărului în jurul originii cu unghiul $\theta$ și îi înmulțește distanța față de origine cu $\rho$. Înmulțirea cu $i$ este o rotație de un sfert de tură, fără schimbarea distanței, iar înmulțirea cu $-1$ este o rotație de o jumătate de tură.