Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex

Formulă din tema Numere complexe, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

w_{k} = n r (cos \frac{φ + 2 k π}{n} + i sin \frac{φ + 2 k π}{n}), k = 0, 1, \dots, n - 1

Un număr complex nenul $z = r (cos φ + i sin φ)$ are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$ , adică $n$ numere $w$ cu $w^{n} = z$ . Toate au același modul, $n r$ , iar argumentele lor cresc din $\frac{2 π}{n}$ în $\frac{2 π}{n}$ ; imaginile lor sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de centru $O$ și rază $n r$ , iar suma lor este $0$ pentru $n \geq 2$ . Capcană: notația $n z$ nu se folosește pentru numere complexe, tocmai fiindcă rezultatul nu este unic. Verificarea obligatorie: ridici fiecare rădăcină la puterea $n$ și trebuie să obții exact $z$ .

Exemplu: Rădăcinile de ordinul $3$ ale lui $8$ (aici $r = 8$ , $φ = 0$ ): $w_{k} = 2 (cos \frac{2 k π}{3} + i sin \frac{2 k π}{3})$ , adică $w_{0} = 2$ , $w_{1} = - 1 + i 3$ , $w_{2} = - 1 - i 3$ . Proba: $(- 1 + i 3)^{3} = 8$ , iar suma celor trei rădăcini este $0$ . ✓

Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex

Continuă cu