Ce condiție a grupului NU este îndeplinită de $$(\mathbb{Z}, \cdot)$$?

existența simetricului pentru fiecare element

rezultatul rămâne în $$\mathbb{Z}$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Grupul: cele patru condiții, pe rând

Cum arăt că o mulțime cu o lege nu este grup?

Găsești o singură condiție a grupului care cade și dai un contraexemplu calculat. La $(Z, \cdot)$ , 2 nu are simetric: $2 \cdot x^{'} = 1$ dă $x^{'} = \frac{1}{2}$ , care nu e întreg. Celelalte condiții nu mai trebuie verificate; concluzia se scrie cu mulțimea, legea și motivul.

Un grup este o mulțime $G$ cu o lege $\circ$ care îndeplinește patru condiții: rezultatul $x \circ y$ rămâne în $G$ ; legea e asociativă; există element neutru $e \in G$ ; fiecare $x \in G$ are simetric $x^{'} \in G$ . Un grup e deci un monoid în care orice element are simetric. Dacă legea e și comutativă, grupul e comutativ.

Condițiile se verifică în ordine. La legea $k (x - a) (y - a) + a$ , cu $k > 0$ , pe intervalul $(a, + \infty)$ , toate patru sunt îndeplinite: produsul a doi factori pozitivi e pozitiv, asociativitatea se vede din formă, neutrul e $a + \frac{1}{k}$ , iar simetricul rămâne peste $a$ .

Ca să arăți că o structură NU e grup, ajunge o singură condiție căzută, cu un contraexemplu: $(Z, \cdot)$ nu e grup, fiindcă 2 nu are simetric întreg. Mulțimea contează: adunarea e grup pe $Z$ , dar nu pe ${- 10, \dots, 10}$ , unde $6 + 5 = 11$ iese din mulțime.

Grupul e în programa de bac la pedagogic, clasa a XI-a, dar nu a apărut în probele 2013–2026; condițiile lui s-au cerut separat.

De reținut

o singură condiție care cade, arătată pe un contraexemplu calculat, ajunge
prima condiție: rezultatul rămâne în mulțime
elementul care absoarbe nu are simetric, deci împiedică grupul

Greșeala tipică

Se scrie doar „nu e grup”, fără condiția căzută și fără calcul. Concluzia corectă: „ $(Z, \cdot)$ nu formează grup, căci lui 2 îi lipsește simetricul în $Z$ : $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ , iar $\frac{1}{2} \in / Z$ ”.

Exerciții din această mini-lecție

Ce condiție a grupului NU este îndeplinită de $(Z, \cdot)$ ?
- a) rezultatul rămâne în $Z$
- b) asociativitatea
- c) existența elementului neutru
- d) existența simetricului pentru fiecare element
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) existența simetricului pentru fiecare element

Produsul a doi întregi e întreg, înmulțirea e asociativă, iar 1 e neutru. Dar 2 nu are simetric: $2 \cdot x^{'} = 1$ dă $x^{'} = \frac{1}{2}$ , care nu e întreg. Doar 1 și $- 1$ au simetric în $Z$ .
În grupul $(Z, \circ)$ , cu $x \circ y = x + y + 20$ , care este simetricul lui 3?
- a) $- 3$
- b) $- 43$
- c) $- 23$
- d) $43$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 43$

Neutrul e $- 20$ , deci $3 + x^{'} + 20 = - 20$ și $x^{'} = - 43$ . Verificare: $3 \circ (- 43) = 3 - 43 + 20 = - 20$ . Varianta $- 3$ e opusul obișnuit, $- 23$ compară cu 0 în loc de neutru, iar $43$ are semnul greșit.
Legea $x \circ y = 4 x y + 4 x + 4 y + 3$ se scrie $4 (x + 1) (y + 1) - 1$ . Pe care mulțime formează ea grup?
- a) $R$
- b) $[- 1, + \infty)$
- c) $(- 1, + \infty)$
- d) $(0, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(- 1, + \infty)$

Pe $(- 1, + \infty)$ produsul $(x + 1) (y + 1)$ e pozitiv, neutrul $- \frac{3}{4}$ e în mulțime, iar simetricul $- 1 + \frac{1}{16 ( x + 1 )}$ rămâne peste $- 1$ . Pe $R$ și pe $[- 1, + \infty)$ , numărul $- 1$ absoarbe și nu are simetric; pe $(0, + \infty)$ lipsește neutrul $- \frac{3}{4}$ .

Întrebări conexe

Ce condiție verific prima?

Că legea e lege pe mulțime: rezultatul trebuie să rămână în ea. Pe linia numerelor cu semne de la $- 10$ la 10, adunarea cade deja aici, fiindcă $6 + 5 = 11$ iese de pe linie. Fără această condiție, nici nu are sens să cauți neutrul sau simetricele.

Cum arăt că legea nu e asociativă?

Cu un triplet calculat în ambele grupări. La $x \circ y = 2 x + 2 y + 1$ pe $R$ : $(1 \circ 0) \circ 0 = 3 \circ 0 = 7$ , iar $1 \circ (0 \circ 0) = 1 \circ 1 = 5$ . Rezultatele diferă, deci legea nu e asociativă și structura nu e grup.

Ce fac dacă legea nu are element neutru?

Arăți că ecuația $x \circ e = x$ nu dă un număr fix. La media $x \circ y = \frac{x + y}{2}$ , din $\frac{x + e}{2} = x$ rezultă $e = x$ , care depinde de $x$ . Neutrul nu există, deci $(R, \circ)$ nu e grup.

De ce elementul care absoarbe împiedică structura de grup?

Pentru că, orice număr ai compune cu el, rezultatul e tot el, deci nu poate da neutrul. La $x \circ y = x + y + \frac{x y}{8}$ , numărul $- 8$ absoarbe, iar neutrul e 0: $(- 8) \circ x^{'} = - 8$ , nu 0. Pe $R$ nu e grup, dar pe $(- 8, + \infty)$ este.

Poate neutrul să existe, dar să fie în afara mulțimii?

Da, și atunci structura nu e grup. Legea $x \circ y = 6 x y$ are neutrul $\frac{1}{6}$ , fiindcă $6 x \cdot \frac{1}{6} = x$ . Pe $(0, + \infty)$ e grup, dar pe $[1, + \infty)$ nu, fiindcă $\frac{1}{6}$ nu e în această mulțime.

Se cere grupul la Bacalaureatul M4?

Grupul e în programa M_pedagogic a clasei a XI-a, dar în probele date între 2013 și 2026 cuvântul „grup” n-a apărut în nicio cerință. Condițiile lui s-au cerut separat la Subiectul al II-lea: neutrul în 35 de probe, asociativitatea în 14 și simetricul în 5 probe.

Oamenii mai întreabă și: arătați că nu este grup · ce condiție a grupului nu este îndeplinită · contraexemplu pentru structura de grup · de ce o lege nu formează grup pe o mulțime