Grupul la pedagogic: cele patru condiții

Pe linia numerelor desenată în sala de sport, orice salt se poate anula cu saltul opus, iar „stai pe loc” nu schimbă nimic. Când o lege are aceste proprietăți pe toată mulțimea, plus asociativitatea, structura se numește grup. Aici înveți să verifici pe rând cele patru condiții pentru o lege dată și să arăți, cu un contraexemplu, care cade. Lecția e pentru clasa a XI-a, la profilul pedagogic; pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), grupul stă în programa de examen a acestei clase.

Situația de pornire

Învățătoarea Diana a desenat pe parchetul sălii de sport o linie a numerelor, cu semne de la $-10$ la $10$, pentru jocul „Salturi” de la clasa I. Un salt este un număr întreg de pași: spre dreapta dacă e pozitiv, spre stânga dacă e negativ. Fiecare copil pornește de la 0 și face două salturi la rând. Diana vrea să știe ce reguli poate spune copiilor despre salturi și dacă linia desenată ajunge pentru orice pereche de salturi.

Întrebare: ce salt nu schimbă nimic și ce salt anulează un salt dat? De ce nu a avut Cezar unde să aterizeze?

De la situație la model

Pe $\mathbb{Z}$, două salturi dau tot un salt întreg, gruparea lor nu contează, 0 nu schimbă nimic, iar fiecare salt are un salt opus. Pe linia desenată însă, $6\circ 5=11$ iese de pe linie, deci adunarea nici nu e lege pe mulțimea semnelor.

Ce este un grup?

Un grup este o mulțime $G$ cu o lege de compoziție $\circ$ pe $G$ care îndeplinește patru condiții: rezultatul $x\circ y$ e în $G$ pentru orice $x,y\in G$; legea e asociativă; există element neutru $e\in G$; fiecare $x\in G$ are un simetric $x^{\prime }\in G$. Dacă legea e și comutativă, grupul se numește comutativ. Un grup e deci un monoid în care orice element are simetric.

Cum verifici cele patru condiții pentru o lege dată prin formulă?

Pe rând, în ordinea de mai sus. La legile de forma $k(x-a)(y-a)+a$, pe un interval $(a,+\infty )$, cu $k>0$: produsul a doi factori pozitivi e pozitiv, deci rezultatul rămâne peste $a$; asociativitatea se vede din formă; neutrul e $a+\frac{1}{k}$; simetricul lui $x$ e $a+\frac{1}{k^2(x-a)}$, tot peste $a$.

Ce faci când o condiție nu e îndeplinită?

Dai un contraexemplu și numești condiția: „$(\mathbb{Z},\cdot )$ nu e grup, fiindcă 2 nu are simetric în $\mathbb{Z}$: $2\cdot x^{\prime }=1$ dă $x^{\prime }=\frac{1}{2}$”. Ajunge o singură condiție căzută. Nu mai verifici restul, decât dacă se cere.

De ce contează mulțimea?

Aceeași formulă poate da grup pe o mulțime și nu pe alta. Adunarea e grup pe $\mathbb{Z}$, dar nu pe linia desenată. O lege $k(x-a)(y-a)+a$, cu $k>0$, nu e grup pe $\mathbb{R}$, fiindcă $a$ absoarbe și nu are simetric, dar devine grup pe $(a,+\infty )$, unde $a$ nu mai e în mulțime.

Metoda pas cu pas

1. Lege pe $G$: arată că $x\circ y\in G$ pentru orice $x,y\in G$. La intervale, folosește forma cu paranteze și semnul produsului. Un rezultat în afara lui $G$ încheie discuția: nu e grup.
2. Asociativitatea: pe litere, din formă, sau dintr-o proprietate cunoscută. La forma $k(x-a)(y-a)+a$, ambele grupări dau $k^2(x-a)(y-a)(z-a)+a$.
3. Elementul neutru: îl afli din $x\circ e=x$, verifici și $e\circ x=x$, apoi arăți că $e\in G$. Un neutru calculat corect, dar aflat în afara lui $G$, înseamnă că structura nu e grup.
4. Simetricul: afli $x^{\prime }$ din $x\circ x^{\prime }=e$, pentru un $x$ oarecare din $G$, și arăți că $x^{\prime }\in G$. Concluzia se scrie cu mulțimea și legea: „$(G,\circ )$ este grup” sau „nu este grup, fiindcă …”, cu contraexemplul.

Monoidul, adică primele trei condiții, e în lecția despre monoidul pe exemple de numere, la pedagogic, iar aflarea simetricului e în simetricul unui element, la pedagogic. Un grup cu un număr finit de elemente e în lecția grupul ℤₙ pe turele unei recepții, la tehnologic, iar proprietățile unei legi, în asociativă, comutativă, neutru, la tehnologic. Restul clasei e în traseul clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

$$\text{grup}=\text{monoid}+\text{fiecare element are simetric ıˆn }G$$

Condiții: toate patru, pentru orice elemente din $G$. Verificare rapidă: compune un element cu simetricul găsit și trebuie să obții neutrul.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Salturile de pe linia numerelor

Domeniu: învățământ primar.

Enunț. Reia jocul din situația de pornire. a) Verifică cele patru condiții pentru $(\mathbb{Z},+)$. b) Ce salt anulează saltul de $+4$ al Anei, după ce ea a ajuns la $-3$? c) Este adunarea grup pe mulțimea semnelor $\{-10,-9,\dots ,10\}$?

Rezolvare. a) Suma a doi întregi e întreagă; adunarea e asociativă; $x+0=0+x=x$, deci $e=0$; iar $x+(-x)=0$, cu $-x$ întreg. Toate patru sunt îndeplinite: $(\mathbb{Z},+)$ e grup, chiar comutativ. b) Simetricul lui $+4$ e $-4$: din $-3$, un salt de $-4$ o duce pe Ana la $-7$, exact unde ar fi ajuns doar cu saltul de $-7$. c) Nu: $6+5=11$ nu e un semn de pe linie, deci adunarea nici nu e lege pe această mulțime.

Capcană. Cine verifică doar neutrul și simetricele pe linia desenată găsește că 0 e pe linie și că fiecare semn are opusul pe linie, și declară grup. Prima condiție, ca rezultatul să rămână pe linie, cade.

Verificare. Bogdan: $(-2)+2=0$, adică a revenit la start, fiindcă al doilea salt e simetricul primului. Dora: $-8+3=-5$, pe linie.

Exemplul 2 — Testul de recapitulare

Domeniu: evaluare la clasă.

Enunț. Într-un test de recapitulare, elevii trebuie să spună care structură nu e grup și de ce. a) $(\mathbb{Z},\circ )$, cu $x\circ y=x-y$. b) $(\mathbb{Z},\cdot )$. c) $(\mathbb{R},\circ )$, cu $x\circ y=\frac{x+y}{2}$. d) $(\mathbb{R},\circ )$, cu $x\circ y=x+y+\frac{xy}{8}$.

Rezolvare. a) Asociativitatea cade: $(11-6)-4=1$, dar $11-(6-4)=9$. b) Simetricul cade: 2 nu are simetric, fiindcă $2\cdot x^{\prime }=1$ dă $x^{\prime }=\frac{1}{2}$, care nu e întreg. c) Neutrul cade: din $\frac{x+e}{2}=x$ rezultă $e=x$, care depinde de $x$. d) Legea se scrie $x\circ y=\frac{1}{8}(x+8)(y+8)-8$, cu neutrul 0, dar $-8$ absoarbe: $(-8)\circ x^{\prime }=-8$ pentru orice $x^{\prime }$, deci $-8$ nu are simetric.

Capcană. La d), cine verifică simetricul doar pentru câteva numere, ca 8, găsește $x^{\prime }=-4$ și declară grup. Elementul care absoarbe e chiar contraexemplul.

Verificare. La d): $8\circ (-4)=\frac{1}{8}\cdot 16\cdot 4-8=0$, iar $(-8)\circ 5=0-8=-8$, nu 0. La c), cu $x\circ y=\frac{x+y}{2}$: $(2\circ 6)\circ 12=4\circ 12=8$, iar $2\circ (6\circ 12)=2\circ 9=5,5$, deci nici asociativitatea nu ține.

Exemplul 3 — Legea de pe un interval

Domeniu: lucru pe grupe la clasă.

Enunț. O echipă primește legea $x\circ y=5xy+20x+20y+76$ și mulțimea $G=(-4,+\infty )$. a) Arată că $x\circ y=5(x+4)(y+4)-4$. b) Verifică cele patru condiții. c) Află simetricul lui $-3$.

Rezolvare. a) $5(x+4)(y+4)-4=5xy+20x+20y+80-4=5xy+20x+20y+76$. b) Dacă $x,y>-4$, atunci $5(x+4)(y+4)>0$, deci $x\circ y>-4$. Ambele grupări dau $25(x+4)(y+4)(z+4)-4$. Neutrul: $5(x+4)(e+4)=x+4$ dă $e=-4+\frac{1}{5}=-\frac{19}{5}$, care e în $G$. Simetricul lui $x$: $5(x+4)(x^{\prime }+4)=\frac{1}{5}$ dă $x^{\prime }=-4+\frac{1}{25(x+4)}$, mai mare decât $-4$. Toate patru sunt îndeplinite: $(G,\circ )$ e grup. c) Pentru $x=-3$: $x^{\prime }=-4+\frac{1}{25}=-\frac{99}{25}$.

Capcană. Cine lucrează pe $\mathbb{R}$, nu pe $G$, ajunge la $-4$, care absoarbe și nu are simetric, și conchide greșit că legea nu e grup. Pe $G$, numărul $-4$ nu e în mulțime.

Verificare. $(-3)\circ \left(-\frac{99}{25}\right)=5\cdot 1\cdot \frac{1}{25}-4=-\frac{19}{5}$, exact neutrul. Iar $\left(-\frac{19}{5}\right)\circ 6=5\cdot \frac{1}{5}\cdot 10-4=6$.

Exemplul 4 — Problema inversă: legea pentru un grup dat

Domeniu: proiectarea unei lecții.

Enunț. Profesorul Sorin vrea, pentru o fișă, o lege de forma $x\circ y=k(x-a)(y-a)+a$, cu $k>0$, care să facă din $G=(-6,+\infty )$ un grup cu elementul neutru $-\frac{23}{4}$. Ce numere $a$ și $k$ trebuie să aleagă? Scrie legea desfăcut și află simetricul lui $-5$.

Rezolvare. Numărul $a$ trebuie să fie $-6$. Dacă $a>-6$, atunci $a$ e în $G$, absoarbe și nu are simetric. Dacă $a<-6$, simetricul $a+\frac{1}{k^2(x-a)}$ se apropie de $a$ când $x$ crește, deci iese din $G$. Cu $a=-6$, neutrul $-6+\frac{1}{k}=-\frac{23}{4}$ dă $\frac{1}{k}=\frac{1}{4}$, adică $k=4$. Legea este $x\circ y=4(x+6)(y+6)-6=4xy+24x+24y+138$. Simetricul lui $-5$: $4\cdot 1\cdot (x^{\prime }+6)-6=-\frac{23}{4}$, deci $x^{\prime }+6=\frac{1}{16}$ și $x^{\prime }=-\frac{95}{16}$.

Capcană. Cine alege $a=-\frac{23}{4}$, „ca neutrul”, pune în $G$ un număr care absoarbe. Neutrul și elementul care absoarbe sunt numere diferite.

Verificare. $(-5)\circ \left(-\frac{95}{16}\right)=4\cdot 1\cdot \frac{1}{16}-6=-\frac{23}{4}$. Iar neutrul: $\left(-\frac{23}{4}\right)\circ 2=4\cdot \frac{1}{4}\cdot 8-6=2$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pe ℤ se definește $x\circ y=x+y+20$. Arată că $(\mathbb{Z},\circ )$ este grup și află simetricul lui 5.

2. Arată că $(\mathbb{Z},\cdot )$ nu este grup și spune ce condiție cade.

3. Scrie tabla înmulțirii pe $\{-1,1\}$ și arată că $(\{-1,1\},\cdot )$ este grup. Este și $(\{-1,0,1\},\cdot )$ grup?

4. Pe ℝ se definește $x\circ y=2x+2y+1$. Arată, cu un triplet de numere, că $(\mathbb{R},\circ )$ nu este grup.

Nivelul 2 — situații

5. Andrei spune: „$(\mathbb{Z},\circ )$, cu $x\circ y=x+y-40$, nu este grup, fiindcă $0\circ 7=-33$, deci 0 nu e neutru”. a) Calculul lui e corect? b) Care e neutrul? c) Are Andrei dreptate?

6. Ioana pregătește o fișă cu legea $x\circ y=6xy$. a) Arată că $\left((0,+\infty ),\circ \right)$ e grup. b) Este $\left([1,+\infty ),\circ \right)$ grup?

7. La jocul „Salturi”, Diana propune două variante: în prima, copiii fac numai salturi cu un număr par de pași, înainte sau înapoi; în a doua, numai salturi cu un număr impar de pași. a) Formează salturile pare un grup cu adunarea? b) Dar cele impare?

8. Mihai verifică legea $x\circ y=\frac{xy}{17}$. a) Arată că $\left((0,+\infty ),\circ \right)$ e grup și află simetricul lui 34. b) De ce nu e $\circ$ lege pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Pe $G=(-7,+\infty )$ se definește legea $x\circ y=3xy+21x+21y+140$. a) Arătați că $(G,\circ )$ este grup. b) Explicați de ce, pe $[-7,+\infty )$, aceeași lege dă doar un monoid.

10. (Sinteză.) Se consideră legea $x\circ y=x+y+\frac{xy}{12}$. a) Arătați că $(\mathbb{R},\circ )$ nu este grup. b) Arătați că $\left((-12,+\infty ),\circ \right)$ este grup și determinați simetricul lui 12.

11. (Sinteză.) În grupul $(\mathbb{Z},\circ )$, cu $x\circ y=x+y+20$, rezolvați ecuația $x\circ (-7)=13$ folosind simetricul lui $-7$.

12. (Sinteză.) Se consideră legea $x\circ y=x+y-\frac{xy}{3}$. a) Arătați că $x\circ y=-\frac{1}{3}(x-3)(y-3)+3$. b) Arătați că 3 nu are simetric. c) Arătați că $\circ$ e lege pe $G=\mathbb{R}\setminus \{3\}$ și că $(G,\circ )$ este grup.

Răspunsuri și verificări

1. Suma plus 20 e întreagă; ambele grupări dau $x+y+z+40$; neutrul: $x+e+20=x$, deci $e=-20$; simetricul: $x+x^{\prime }+20=-20$, deci $x^{\prime }=-40-x$, întreg. Simetricul lui 5 e $-45$. Verificare: $5\circ (-45)=5-45+20=-20$.

2. Înmulțirea e lege pe $\mathbb{Z}$, e asociativă și are neutrul 1, dar 2 nu are simetric: $2x^{\prime }=1$ dă $x^{\prime }=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$. Cade condiția simetricului. Verificare: doar 1 și $-1$ au simetric în $(\mathbb{Z},\cdot )$, fiindcă $1\cdot 1=1$ și $(-1)\cdot (-1)=1$.

3. Tabla: $1\cdot 1=1$, $1\cdot (-1)=-1$, $(-1)\cdot 1=-1$, $(-1)\cdot (-1)=1$. Rezultatele sunt în mulțime, înmulțirea e asociativă, 1 e neutru, iar fiecare element e propriul simetric: grup. Pe $\{-1,0,1\}$, 0 nu are simetric, deci nu e grup. Verificare: rândul lui 0 conține doar 0, deci 1 nu apare.

4. Pentru $x=1$, $y=0$, $z=0$: $(1\circ 0)\circ 0=3\circ 0=7$, iar $1\circ (0\circ 0)=1\circ 1=5$. Legea nu e asociativă, deci nu e grup. Verificare: pe litere, $(x\circ y)\circ z=4x+4y+2z+3$, iar $x\circ (y\circ z)=2x+4y+4z+3$.

5. a) Da: $0+7-40=-33$. b) Neutrul e 40: $x+40-40=x$. c) Nu: 0 nu e neutru, dar neutrul există, iar simetricul lui $x$ e $80-x$, întreg. Legea e grup. Verificare: $7\circ 73=7+73-40=40$.

6. a) Produsul $6xy$ a două numere pozitive e pozitiv, legea e asociativă, neutrul e $\frac{1}{6}$, iar simetricul lui $x$ e $\frac{1}{36x}$, pozitiv: grup. b) Nu: neutrul $\frac{1}{6}$ nu e în $[1,+\infty )$. Verificare: $2\circ \frac{1}{72}=6\cdot 2\cdot \frac{1}{72}=\frac{1}{6}$.

7. a) Da: suma a două numere pare e pară, adunarea e asociativă, 0 e par, iar opusul unui număr par e par. b) Nu: suma a două numere impare e pară, de pildă $3+5=8$, deci adunarea nu e lege pe numerele impare. Verificare: $(-4)+4=0$, iar $-4$ și 4 sunt pare.

8. a) Rezultatul e pozitiv, legea e asociativă, neutrul e 17, iar simetricul lui $x$ e $\frac{289}{x}$, pozitiv; simetricul lui 34 e $\frac{289}{34}=\frac{17}{2}$. b) $1\circ 1=\frac{1}{17}$, care nu e natural. Verificare: $34\circ \frac{17}{2}=\frac{289}{17}=17$.

9. a) Legea e $3(x+7)(y+7)-7$, deci pentru $x,y>-7$ rezultatul e peste $-7$; ambele grupări dau $9(x+7)(y+7)(z+7)-7$. Neutrul e $-7+\frac{1}{3}=-\frac{20}{3}$, din $G$, iar simetricul lui $x$ e $-7+\frac{1}{9(x+7)}$, tot din $G$: grup. b) Pe $[-7,+\infty )$ intră și $-7$, care absoarbe și nu are simetric, deci rămân doar primele trei condiții. Verificare: $(-4)\circ \left(-\frac{188}{27}\right)=3\cdot 3\cdot \frac{1}{27}-7=-\frac{20}{3}$.

10. a) Legea e $\frac{1}{12}(x+12)(y+12)-12$, cu neutrul 0, iar $-12$ absoarbe, deci nu are simetric. b) Pe $(-12,+\infty )$: rezultatul rămâne peste $-12$, asociativitatea vine din formă, neutrul 0 e în mulțime, iar simetricul lui $x$ e $-12+\frac{144}{x+12}$, peste $-12$. Simetricul lui 12 e $-12+6=-6$. Verificare: $12\circ (-6)=12-6-6=0$.

11. Simetricul lui $-7$ e $-40-(-7)=-33$. Compunând la dreapta cu $-33$: $x=13\circ (-33)=13-33+20=0$. Verificare: $0\circ (-7)=0-7+20=13$.

12. a) $-\frac{1}{3}(x-3)(y-3)+3=-\frac{xy}{3}+x+y-3+3=x+y-\frac{xy}{3}$. b) $3\circ x^{\prime }=3$ pentru orice $x^{\prime }$, iar neutrul e 0, deci 3 nu are simetric. c) Dacă $x,y\ne 3$, produsul $(x-3)(y-3)$ nu e 0, deci $x\circ y\ne 3$; asociativitatea vine din formă, neutrul 0 e în $G$, iar simetricul lui $x$ e $3+\frac{9}{x-3}$, diferit de 3. Verificare: simetricul lui 6 e 6, iar $6\circ 6=12-12=0$.

Așa vine la Bac M4

Grupul e în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Programa pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) îl așază în blocul „Structuri algebrice” al clasei a XI-a, după legile de compoziție și monoid, cu exemplele ℕ, ℤ, ℤₙ, ℚ și ℝ.

Indexul cerințelor celor 60 de probe M_pedagogic din 2013–2026 nu conține nicio cerință cu cuvântul „grup”. Condițiile lui se cer însă una câte una la Subiectul al II-lea: elementul neutru în 35 de probe, asociativitatea în 14, simetricul în 5. Pentru grupul întreg, lecția nu are deci trimiteri la cerințe reale și nici cerințe-model.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), sunt scrise pentru lecție. Ele leagă cele patru condiții de forma cu paranteze, de mulțimea pe care lucrezi și de rezolvarea unei ecuații cu simetricul.

Greșeli care costă puncte

• Verifici neutrul și simetricele, dar nu și că legea e lege pe mulțime → pe linia desenată, $6+5=11$ iese de pe linie; cum o prinzi: începi mereu cu prima condiție.
• Lucrezi pe $\mathbb{R}$ când mulțimea e un interval → la Exemplul 3 găsești $-4$ fără simetric, deși $-4$ nu e în $G$; cum o prinzi: scrii mulțimea la fiecare condiție.
• Declari grup după ce ai găsit simetricul pentru câteva numere → la $x+y+\frac{xy}{8}$, pe ℝ, $-8$ rămâne fără simetric; cum o prinzi: cauți elementul care absoarbe.
• Confunzi neutrul cu elementul care absoarbe → profesorul Sorin ar pune în $G$ un număr fără simetric; cum o prinzi: verifici $e\circ 2=2$ pe un număr.
• Spui doar „nu e grup” → concluzia fără condiția căzută și fără contraexemplu nu arată nimic; cum o prinzi: scrii „fiindcă …” și calculul.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006). Noțiunea de grup, cu exemplele blocului (ℕ, ℤ, ℤₙ, ℚ, ℝ), face parte din programa de examen a clasei a XI-a. În probele M_pedagogic 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția de față nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

De ce n-a avut Cezar unde să aterizeze? Pentru că salturile lui, de $+6$ și $+5$, l-au dus la semnul 11, iar linia desenată se oprește la 10. Pe $\mathbb{Z}$ adunarea e grup, dar pe mulțimea semnelor de pe linie nu e nici măcar lege: rezultatul trebuie să rămână în mulțime pentru orice pereche.

Cât de lungă ar trebui să fie linia ca orice două salturi de pe ea să aterizeze tot pe ea? Oricât de lungă, nu ar ajunge: dacă linia se oprește la un semn $n$, saltul $n$ urmat de $1$ duce la $n+1$. Doar mulțimea tuturor întregilor rămâne închisă la adunare. De aceea jocul se poate juca doar cu salturi mici, iar Diana le alege astfel încât suma să rămână pe linie.

Ce salt anulează două salturi deja făcute? Simetricul sumei lor. După $+4$ și $-7$, Ana e la $-3$, deci saltul $+3$ o aduce înapoi la 0. În grupul $(\mathbb{Z},+)$, simetricul lui $x\circ y$ este $y^{\prime }\circ x^{\prime }$, adică $7+(-4)=3$, același salt.

E orice monoid un grup? Nu: grupul cere în plus ca fiecare element să aibă simetric în mulțime. $(\mathbb{N},+)$ e monoid, dar nu grup, fiindcă 3 nu are simetric în $\mathbb{N}$. Legea din exercițiul 9 e monoid pe $[-7,+\infty )$ și grup pe $(-7,+\infty )$.

Se cere grupul la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? Grupul e în programa de examen, la clasa a XI-a, dar după indexul celor 60 de probe M_pedagogic 2013–2026 nicio cerință nu a folosit cuvântul „grup”. Fiind în programă, poate fi cerut. Condițiile lui au apărut separat: neutrul în 35 de probe, simetricul în 5.

Trebuie să verific toate cele patru condiții când arăt că nu e grup? Nu: ajunge o singură condiție căzută, cu un contraexemplu calculat. La $(\mathbb{Z},\cdot )$ ajunge că 2 nu are simetric întreg. Când arăți că e grup, în schimb, le verifici pe toate patru, pentru orice elemente din mulțime.