Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Fracție cu numitor de gradul 2

Cum aflu a dintr-o integrală cu arctangentă?

Scrii valoarea integralei ca funcție de $a$ , o pui egală cu numărul din enunț și afli $a$ din ecuația obținută. Exemplu: $\int_{0}^{a} \frac{1}{x ^{2} + 36} d x = \frac{π}{24}$ , cu $a > 0$ . Numitorul are $k = 6$ , deci primitiva este $\frac{1}{6} arctan \frac{x}{6}$ , iar ecuația devine $\frac{1}{6} arctan \frac{a}{6} = \frac{π}{24}$ , adică $arctan \frac{a}{6} = \frac{π}{4}$ și $a = 6$ . Proba: $\int_{0}^{6} \frac{1}{x ^{2} + 36} d x = \frac{1}{6} arctan 1 = \frac{π}{24}$ , adică exact valoarea din enunț. Condiția $a > 0$ elimină soluțiile negative, dacă ar exista.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

O fracție cu numitor de gradul 2 nu are primitiva în tabel, dar se încadrează într-unul dintre patru cazuri, iar gradele și discriminantul numitorului arată în care. Programa cere funcții raționale $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ cu gradul lui $Q$ cel mult 2.

Mai întâi verifici că numitorul nu se anulează pe interval. Dacă gradul numărătorului este cel puțin egal cu al numitorului, împarți: câtul se integrează direct, iar restul rămâne fracție. Apoi compari numărătorul cu derivata numitorului; dacă este un multiplu al ei, primitiva este multiplul înmulțit cu $ln Q$ . Dacă mai rămâne o constantă la numărător, o tratezi separat.

Pentru partea rămasă te uiți la $Δ$ . Când $Δ < 0$ , completezi pătratul și obții $\frac{1}{k} arctan \frac{x + p}{k}$ , cu factorul $\frac{1}{k}$ în față. Când $Δ > 0$ , descompui în fracții simple, cu coeficienții din valorile numărătorului în rădăcini. Când $Δ = 0$ , numitorul este un pătrat, iar primitiva este o putere.

Rezultatul se lasă exact, cu $ln$ și $arctan$ , iar logaritmii se combină într-unul singur, al raportului. Verifici derivând primitiva sau punând o valoare ușoară în descompunere.

De reținut

primitiva lui $\frac{1}{x ^{2} + k ^{2}}$ are în față factorul $\frac{1}{k}$ , cu $k > 0$
la $a$ necunoscut egalezi integrala, ca expresie în $a$ , cu valoarea dată
soluția $a$ trebuie să respecte condițiile din enunț

Greșeala tipică

Se uită factorul $\frac{1}{k}$ : pentru $\int_{0}^{a} \frac{1}{x ^{2} + 36} d x = \frac{π}{24}$ s-ar ajunge la $arctan \frac{a}{6} = \frac{π}{24}$ și la $a \approx 0, 79$ în loc de $6$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru care dintre fracțiile de mai jos primitiva conține o arctangentă?
- a) $\frac{1}{x ^{2} + 8 x + 16}$
- b) $\frac{1}{x ^{2} + 8 x + 12}$
- c) $\frac{1}{x ^{2} + 8 x + 41}$
- d) $\frac{1}{x ^{2} + 8 x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{1}{x ^{2} + 8 x + 41}$

Arctangenta apare când numitorul nu are rădăcini reale, adică $Δ < 0$ . La a treia fracție avem $Δ = 64 - 164 = - 100$ . Celelalte trei au $Δ = 0$ , $Δ = 16$ și $Δ = 64$ : primul numitor este pătratul unui binom și dă inversul binomului, cu minus, iar ultimele două se descompun în fracții simple și dau logaritmi.
Funcția $f$ are primitiva $F (x) = 4 ln (x^{2} + 9) + 2 arctan \frac{x}{3}$ . Cât este $\int_{0}^{3} f (x) d x$ ?
- a) $4 ln 2 + \frac{π}{2}$
- b) $4 ln 18 + \frac{π}{2}$
- c) $4 ln 9 + \frac{π}{2}$
- d) $4 ln 2 + 2 arctan 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4 ln 2 + \frac{π}{2}$

Integrala este $F (3) - F (0)$ , cu $F (3) = 4 ln 18 + 2 arctan 1 = 4 ln 18 + \frac{π}{2}$ și $F (0) = 4 ln 9$ . Diferența este $4 ln 2 + \frac{π}{2}$ . Varianta $4 ln 18 + \frac{π}{2}$ uită să scadă $F (0)$ . Varianta $4 ln 9 + \frac{π}{2}$ scrie $4 ln (18 - 9)$ în loc de $4 (ln 18 - ln 9)$ , iar ultima ia $arctan 3$ în loc de $arctan 1$ , adică uită să împartă la 3 argumentul.
Cât este $\int_{0}^{4} \frac{6 x + 12}{x ^{2} + 16} d x$ ?
- a) $6 ln 2 + \frac{3 π}{4}$
- b) $ln 2 + \frac{3 π}{4}$
- c) $3 ln 2 + 3 π$
- d) $3 ln 2 + \frac{3 π}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3 ln 2 + \frac{3 π}{4}$

Scrii $6 x + 12 = 3 \cdot 2 x + 12$ . Primul termen are numărătorul egal cu derivata numitorului înmulțită cu 3, deci dă $3 ln (x^{2} + 16)$ . Al doilea este $\frac{12}{x ^{2} + 16}$ cu $k = 4$ , deci dă $12 \cdot \frac{1}{4} arctan \frac{x}{4} = 3 arctan \frac{x}{4}$ . Între 0 și 4 rezultă $3 (ln 32 - ln 16) + 3 arctan 1 = 3 ln 2 + \frac{3 π}{4}$ . Varianta cu $6 ln 2$ ia coeficientul 6 în loc de 3, cea cu $ln 2$ uită coeficientul, iar cea cu $3 π$ uită factorul $\frac{1}{4}$ de la arctangentă.

Întrebări conexe

Ce fac dacă arctangenta ia o valoare mai puțin cunoscută?

Te folosești de valorile arctangentei pe care le știi. Din $\frac{1}{6} arctan \frac{a}{6} = \frac{π}{18}$ rezultă $arctan \frac{a}{6} = \frac{π}{3}$ , deci $\frac{a}{6} = 3$ și $a = 63$ . Proba: $\frac{1}{6} arctan 3 = \frac{π}{18}$ . Controlezi că $a$ respectă condiția din enunț, de exemplu $a > 0$ .

Cum aflu a dintr-o fracție care se împarte întâi?

Împarți polinoamele, integrezi câtul și restul, apoi rezolvi ecuația în $a$ . Pentru $\frac{2 x + 7}{x + 3} = 2 + \frac{1}{x + 3}$ integrala de la 0 la $a$ este $2 a + ln \frac{a + 3}{3}$ . Egalitatea cu $2 a + ln 3$ dă $\frac{a + 3}{3} = 3$ , deci $a = 6$ . Proba: $\int_{0}^{6} \frac{2 x + 7}{x + 3} d x = 12 + ln 3$ .

Cum rezolv ecuația cu logaritmi pentru a?

Primitiva este $ln$ din numitor, deci egalezi raportul valorilor cu numărul cerut. De exemplu, $\int_{0}^{a} \frac{2 x + 6}{x ^{2} + 6 x + 7} d x = ln \frac{a ^{2} + 6 a + 7}{7}$ . Pentru valoarea $ln 2$ rezultă $a^{2} + 6 a - 7 = 0$ , deci $a = 1$ , pentru că $- 7$ nu este pozitiv.

Cum verific soluția a fără să recalculez totul?

Pui valoarea găsită în integrală și compari cu membrul drept al ecuației. Dacă ai obținut $a = 4$ la $\int_{0}^{a} \frac{2 x}{x ^{2} + 4} d x = ln 5$ , verifici că $\int_{0}^{4} \frac{2 x}{x ^{2} + 4} d x = ln \frac{20}{4} = ln 5$ , exact valoarea din enunț. Dacă nu coincid, cauți greșeala în coeficientul din fața logaritmului sau în valoarea numitorului din capătul de sus.

Cum apar integralele cu fracții în probele oficiale?

Integralele cu fracții au apărut în 17 probe M_tehnologic din 2013–2026, iar locul lor a fost problema 2 din Subiectul al III-lea. Cele patru cerințe reale discutate în lecție sunt fracția cu numărătorul egal cu derivata numitorului, reducerea lui $f$ , împărțirea și arctangenta; în două dintre ele apare o necunoscută $a$ .

Oamenii mai întreabă și: numărul real a din integrala cu arctangentă · ecuația cu arctangentă și limita a · a din integrala cu x pătrat plus 36 la numitor · cum scot a din arctangenta lui a supra k