Fracții în integrală: Q de gradul 2, tehnologic

Un meșter care pune gresie lucrează încet la început, repede la mijlocul turei și mai rar spre seară, iar suprafața acoperită într-o tură e integrala ritmului lui, o fracție cu numitor de gradul 2. O asemenea fracție nu are primitiva în tabel: o aduci întâi la un logaritm, o arctangentă sau două fracții simple. Le folosești în clasa a XII-a, la filiera tehnologică, iar în probele Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) integralele de acest fel au stat la Subiectul al III-lea, problema 2.

Situația de pornire

Pe un șantier de renovare, după tencuială, glet și faianța din baie, urmează gresia de pe pardoseala bucătăriei și a holului, în total 30 m². Contractul îi dă firmei de construcții cinci zile pentru ea, iar patronul vrea să afle dacă un singur meșter o termină în cinci ture de 8 ore. Un meșter nu lucrează cu același ritm toată ziua: la început își pregătește adezivul, trasează rosturile și aranjează uneltele, spre mijlocul turei avansează cel mai repede, iar spre sfârșit obosește. În prima zi, șeful de echipă numără plăcile puse și notează ritmul meșterului la câteva ore de la începutul turei, în m² pe oră (valori din exemplu); zilele următoare încep la fel.

Întrebare: câți m² montează meșterul în primele 6 ore ale turei, câți în ultimele 2 ore și câți în toată tura? Îi ajung cinci ture pentru cei 30 m² ai încăperilor?

De la situație la model

Citește coloana ritmurilor. Nu cresc uniform, ca pe o dreaptă: urcă repede până la ora 6, apoi coboară încet. Un inginer a căutat o formulă care se potrivește, la rotunjire, cu toate cele cinci puncte și a ales $q(t)=\frac{12t}{t^2+36}$, cu $t$ în ore și $q$ în m²/h, pentru $t\in [0;8]$. Încearcă două puncte: $q(2)=\frac{24}{40}=0,6$ și $q(6)=\frac{72}{72}=1$, ca în tabel.

Ritmul spune cât de repede crește suprafața montată, deci suprafața dintre două momente se obține prin integrală, ca la formula Leibniz–Newton. Piedica e primitiva: ea nu se află în tabelul din lecția despre primitive uzuale, fiindcă fracția are la numitor un polinom de gradul 2. O funcție rațională este câtul a două polinoame, $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, definit în punctele în care $Q(x)\ne 0$. Programa de examen cere integralele ei definite atunci când gradul lui $Q$ este cel mult 2.

Când este numărătorul derivata numitorului?

Ai învățat la derivare că $(\ln u(x){)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$, pentru $u>0$. Citită invers, regula spune că fracția cu numărătorul egal cu derivata numitorului are primitiva $\ln u$. Dacă numărătorul e doar un multiplu al acelei derivate, scoți multiplul în fața logaritmului. La ritmul meșterului, $12t=6\cdot (t^2+36{)}^{\prime }$, deci o primitivă este $6\ln (t^2+36)$. Nu pui modul, fiindcă $t^2+36$ e pozitiv pentru orice $t$.

Ce faci când numărătorul nu e derivata numitorului?

Cu gradul lui $Q$ cel mult 2, fracția ajunge într-una dintre patru situații, pe care le recunoști după grade și după $\Delta$-ul numitorului:

• Numărătorul are gradul cel puțin egal cu al numitorului. Împarți polinoamele și integrezi separat câtul și fracția rămasă: $\frac{x}{x+11}=1-\frac{11}{x+11}$.
• Numitorul are $\Delta <0$. Îl scrii ca un pătrat perfect plus constanta pozitivă $k^2$, iar fracția cu numărător constant dă o arctangentă: primitiva lui $\frac{1}{x^2+k^2}$ este $\frac{1}{k}\arctan \frac{x}{k}$. Funcția se mai scrie $\mathrm{arctg}$; e aceeași, cunoscută din lecția despre funcțiile trigonometrice inverse.
• Numitorul are $\Delta >0$, deci două rădăcini reale $p\ne q$. Scrii $\frac{P(x)}{(x-p)(x-q)}=\frac{A}{x-p}+\frac{B}{x-q}$ și afli $A$ și $B$ punând $x=p$, apoi $x=q$, în egalitatea $P(x)=A(x-q)+B(x-p)$. Fiecare fracție simplă dă un logaritm.
• Numitorul are $\Delta =0$, deci e pătratul unui binom, iar primitiva lui $\frac{1}{(x+a{)}^2}$ este $-\frac{1}{x+a}$.

Metoda pas cu pas

1. Pregătește fracția. Verifică mai întâi că numitorul nu se anulează nicăieri pe $[a;b]$: dacă se anulează, funcția nu e continuă și integrala nu există. Dacă enunțul scoate din $f$ un termen, fă scăderea înainte de orice altceva, ca să ajungi la fracția adevărată pe care o integrezi. Dacă gradul numărătorului e cel puțin egal cu al numitorului, împarte polinoamele și păstrează câtul și restul.
2. Compară numărătorul cu derivata numitorului. Dacă numărătorul e de $c$ ori derivata, primitiva este $c\ln |Q|$ și treci direct la pasul 4. Uneori numărătorul e doar o sumă dintre un multiplu al derivatei și o constantă: atunci ai un logaritm plus o fracție cu numărător constant, pe care o tratezi la pasul 3.
3. Altfel, află $\Delta$ la numitorul de gradul 2. La $\Delta <0$ completezi pătratul și scrii arctangenta; la $\Delta >0$ afli rădăcinile și fracțiile simple, cu $A$ și $B$ din valorile lui $P$ în rădăcini; la $\Delta =0$ scrii puterea.
4. Scrie primitiva termen cu termen și calculează $F(b)-F(a)$, cu $\ln$ și $\arctan$ lăsate exact, fără aproximări. Combină logaritmii prin $\ln u-\ln v=\ln \frac{u}{v}$. Dacă enunțul cere un parametru, egalează rezultatul cu membrul drept și rezolvă ecuația.
5. Verifică pe alt drum decât calculul: derivezi primitiva sau aduci fracțiile simple la numitor comun și regăsești fracția dată; apoi pui în enunț o valoare sau soluția găsită. Unitatea rezultatului e cea a funcției înmulțită cu cea a variabilei.

Pașii 2 și 3 aleg forma, iar ce urmează după ei, aria sub grafic, e în lecția despre aria suprafeței plane cu integrala. Celelalte lecții ale clasei sunt în traseul clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$${\int }_a^b\frac{Q^{\prime }(x)}{Q(x)}dx=\ln \frac{Q(b)}{Q(a)}$$

$${\int }_p^q\frac{dx}{x^2+k^2}=\frac{1}{k}\left(\arctan \frac{q}{k}-\arctan \frac{p}{k}\right)$$

$$\frac{P(x)}{(x-p)(x-q)}=\frac{A}{x-p}+\frac{B}{x-q},A=\frac{P(p)}{p-q},B=\frac{P(q)}{q-p}$$

Prima formulă se aplică numai când $Q$ nu se anulează pe $[a;b]$; la $Q<0$ scrii $\ln |Q|$. A doua cere $k>0$. A treia se aplică numai când $\mathrm{grad}P\le 1$ și $p\ne q$. Verificare rapidă: derivezi rezultatul, sau pui o valoare ușoară, ca $x=0$, în descompunere și compari cele două părți.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Gresia montată într-o tură

Domeniu: constructii.

Enunț. Reluăm meșterul din situația de pornire: ritmul lui este $q(t)=\frac{12t}{t^2+36}$ m²/h, pentru $t\in [0;8]$ ore. Aflați câți m² montează în primele 6 ore, câți în ultimele 2 ore și câți în toată tura. Îi ajung cinci ture, cu același ritm în fiecare zi, pentru cei 30 m²? Se dau $\ln 2\approx 0,6931$, $\ln 3\approx 1,0986$ și $\ln 5\approx 1,6094$.

Rezolvare. Pasul 1: $t^2+36>0$, deci $q$ e continuă, iar gradul numărătorului (1) e sub cel al numitorului (2). Pasul 2: derivata numitorului este $2t$ și $12t=6\cdot 2t$, deci primitiva e $F(t)=6\ln (t^2+36)$. Pasul 4, valorile: $F(0)=6\ln 36$, $F(6)=6\ln 72$ și $F(8)=6\ln 100$. În primele 6 ore: $F(6)-F(0)=6\ln 2\approx 4,16$ m². În ultimele 2 ore: $F(8)-F(6)=6\ln \frac{25}{18}\approx 1,97$ m². În toată tura: $F(8)-F(0)=6\ln \frac{25}{9}\approx 6,13$ m². În cinci ture meșterul montează $5\cdot 6\ln \frac{25}{9}\approx 30,65$ m², deci îi ajung, cu o rezervă de aproximativ 0,65 m².

Capcană. Cine pune $\ln (t^2+36)$ fără factorul 6 găsește pentru toată tura doar $\ln \frac{25}{9}\approx 1,02$ m², de 6 ori prea puțin, și ar trage concluzia că cei 30 m² cer 30 de ture.

Verificare. Derivata lui $6\ln (t^2+36)$ este $\frac{12t}{t^2+36}$, ritmul din enunț. Apoi, între orele 6 și 8 ritmul scade de la 1 la 0,96 m²/h, deci suprafața e între $0,96\cdot 2=1,92$ și $1\cdot 2=2$ m², iar 1,97 m² se află în acest interval, ca în lecția despre integrala pe tronsoane.

Exemplul 2 — Șarja din reactor

Domeniu: chimie.

Enunț. Într-o fabrică de produse chimice, doi reactivi dizolvați în apă, A și B, reacționează într-un reactor cu agitator. La pornirea șarjei, soluția are 18 mmol/L din A și 27 mmol/L din B. Viteza reacției e proporțională cu produsul concentrațiilor rămase: după ce s-au consumat $x$ mmol/L din fiecare, viteza este $k(18-x)(27-x)$, cu $k=0,0035$ L/(mmol·min) (model din exemplu). Timpul în care se consumă $X$ mmol/L este $t(X)=\frac{1}{k}{\int }_0^X\frac{dx}{(18-x)(27-x)}$ minute. Calculați timpul până la consumarea a 75 % din A, adică $X=13,5$, și a 90 %, adică $X=16,2$. Programul de producție ține fiecare șarjă 30 de minute în reactor: până la care dintre cele două grade de consum ajunge ea?

Rezolvare. Pasul 1: numitorul se anulează în $x=18$ și $x=27$, deci în afara lui $[0;16,2]$, iar numărătorul 1 are gradul 0. Pasul 2: numărătorul e constant, iar derivata numitorului nu, deci nu e cazul logaritmului direct. Pasul 3: numitorul $x^2-45x+486$ are $\Delta =2025-1944=81>0$, cu rădăcinile 18 și 27. Din $1=A(27-x)+B(18-x)$, la $x=18$ obții $A=\frac{1}{9}$, iar la $x=27$ obții $B=-\frac{1}{9}$, deci

$$\frac{1}{(18-x)(27-x)}=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{18-x}-\frac{1}{27-x}\right)$$

Pasul 4: derivata lui $18-x$ este $-1$, deci $\int \frac{dx}{18-x}$ are primitiva $-\ln (18-x)$. O primitivă a întregii fracții este $G(x)=\frac{1}{9}(-\ln (18-x)+\ln (27-x))=\frac{1}{9}\ln \frac{27-x}{18-x}$, cu $G(0)=\frac{1}{9}\ln \frac{3}{2}$, $G(13,5)=\frac{1}{9}\ln 3$ și $G(16,2)=\frac{1}{9}\ln 6$. Integralele sunt $\frac{1}{9}\left(\ln 3-\ln \frac{3}{2}\right)=\frac{1}{9}\ln 2$ și $\frac{1}{9}\left(\ln 6-\ln \frac{3}{2}\right)=\frac{1}{9}\ln 4$. Timpii: $\frac{\ln 2}{9\cdot 0,0035}\approx 22,0$ min pentru 75 % și $\frac{\ln 4}{9\cdot 0,0035}\approx 44,0$ min pentru 90 %. În cele 30 de minute șarja trece de 75 %, la care ajunge după 22,0 minute, dar nu ajunge la 90 %, care ar cere încă 14 minute.

Capcană. Cine uită semnul minus al derivatei lui $18-x$ scrie $\ln (18-x)-\ln (27-x)$ și obține $-\frac{1}{9}\ln 2$, deci un timp negativ, de $-22,0$ minute.

Verificare. La $x=9$, fracția dă $\frac{1}{9\cdot 18}=\frac{1}{162}$, iar descompunerea dă $\frac{1}{9}\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{18}\right)=\frac{1}{162}$, deci descompunerea e bună. Apoi $\ln 4=2\ln 2$, deci timpul până la 90 % e dublul celui până la 75 %.

Exemplul 3 — Camera de la banda de inspecție

Domeniu: auto.

Enunț. La o stație de inspecție tehnică auto, o cameră motorizată e montată lateral, la 9 m de axa benzii pe care trec vehiculele, și se rotește ca să le urmărească. Dacă $x$ este poziția vehiculului pe bandă, în metri, măsurată din dreptul camerei, camera se rotește cu $\frac{9}{x^2+81}$ radiani pentru fiecare metru parcurs. Un vehicul intră pe bandă la $x=-9$ și iese la $x=9$. Aflați unghiul total de rotire, în radiani și în grade, apoi numărul de pași ai motorului, dacă un pas rotește camera cu 0,35°.

Rezolvare. Pasul 1: $x^2+81>0$, iar numărătorul 9 are gradul 0. Pasul 2: numărătorul e constant, deci nu avem logaritmul direct. Pasul 3: $\Delta =-324<0$, iar numitorul e deja $x^2+9^2$, cu $k=9$. Pasul 4: $\int \frac{9}{x^2+81}dx=9\cdot \frac{1}{9}\arctan \frac{x}{9}=\arctan \frac{x}{9}$. Atunci $F(9)=\arctan 1=\frac{\pi }{4}$ și $F(-9)=-\frac{\pi }{4}$, deci unghiul total este $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ radiani, adică 90°. Numărul de pași: $90:0,35\approx 257,14$, deci 258 de pași, rotunjit în sus ca să fie acoperit tot unghiul.

Capcană. Cine uită argumentul $\frac{x}{9}$ și ia primitiva $\arctan x$ obține $2\arctan 9\approx 2,92$ radiani, adică aproximativ 167°, mai mult decât poate vedea camera, a cărei dreaptă de vizare nu se abate cu mai mult de 45° de perpendiculară.

Verificare. Din dreptul camerei, la 9 m de axă, vehiculul aflat la 9 m de piciorul perpendicularei e văzut sub un unghi cu tangenta $\frac{9}{9}=1$, adică 45°, iar de partea cealaltă tot 45°: în total 90°, la fel ca prin integrală.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: fracție după reducerea lui f

Domeniu: economic.

Enunț. Cerința urmează tiparul de la Subiectul al III-lea, problema 2: funcții date și nimic din meserie, iar $f$ nu descrie vreun cost sau preț. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+5x+12$. a) Arătați că ${\int }_0^6\frac{x}{f(x)-5x}dx=\ln 2$. b) Aflați numărul real pozitiv $a$ pentru care ${\int }_0^a\frac{1}{f(x)-5x-3}dx=\frac{\pi }{12}$.

Rezolvare. a) Pasul 1: $f(x)-5x=x^2+12>0$. Pasul 2: derivata numitorului este $2x$ și $x=\frac{1}{2}\cdot 2x$, deci primitiva e $\frac{1}{2}\ln (x^2+12)$. Pasul 4: $\frac{1}{2}(\ln 48-\ln 12)=\frac{1}{2}\ln 4=\ln 2$. b) Pasul 1: $f(x)-5x-3=x^2+9>0$. Pasul 3: $\Delta <0$ și $k=3$, deci primitiva e $\frac{1}{3}\arctan \frac{x}{3}$ și integrala este $\frac{1}{3}\arctan \frac{a}{3}$. Pasul 4: din $\frac{1}{3}\arctan \frac{a}{3}=\frac{\pi }{12}$ rezultă $\arctan \frac{a}{3}=\frac{\pi }{4}$, deci $\frac{a}{3}=1$ și $a=3$, valoare care convine, fiindcă $a>0$.

Capcană. La punctul b), cine ia primitiva $\arctan \frac{x}{3}$ fără factorul $\frac{1}{3}$ ajunge la $\arctan \frac{a}{3}=\frac{\pi }{12}$, adică $a=3\mathrm{tg}\frac{\pi }{12}\approx 0,80$, nu 3.

Verificare. Derivata lui $\frac{1}{2}\ln (x^2+12)$ este $\frac{x}{x^2+12}$. La b), cu $a=3$: $\frac{1}{3}\arctan 1=\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{12}$, valoarea din enunț.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează ${\int }_4^8\frac{3x+8}{x-3}dx$. Gradele sunt egale, deci împarte mai întâi numărătorul la numitor.

2. Calculează ${\int }_0^2\frac{4x+6}{x^2+3x+5}dx$ și scrie rezultatul exact. Compară întâi numărătorul cu derivata numitorului.

3. Calculează ${\int }_0^7\frac{21}{x^2+49}dx$. Numitorul e de forma $x^2+k^2$.

4. Calculează ${\int }_1^3\frac{5x+7}{(x+1)(x+2)}dx$ prin descompunere în fracții simple. Află $A$ și $B$ punând $x=-1$, apoi $x=-2$.

Nivelul 2 — situații

5. O tabletă de clor de 30 g se dizolvă în apa dintr-un rezervor cu ritmul $r(t)=\frac{90}{(t+3{)}^2}$ grame pe oră, la $t$ ore de la introducere. a) Câte grame se dizolvă în primele 6 ore? b) Ce parte din tabletă rămâne nedizolvată după 12 ore?

6. Un furnizor de plăci ceramice aplică un preț degresiv: placa cu numărul $q$ din comandă costă $p(q)=\frac{52q+806}{q+13}$ lei. Prețul scade pe măsură ce comanda crește. Aproximează costul celor 30 de plăci, de la a 18-a la a 47-a, prin ${\int }_{17}^{47}p(q)dq$ și află prețul mediu pe placă.

7. În laboratorul unui service electronic, analizorul de spectru arată puterea emisă de un senzor fără fir, în mW pe kHz, la $x$ kHz față de marginea canalului: $s(x)=\frac{8}{x^2-12x+52}$. Câți mW emite senzorul în banda de la 6 kHz la 10 kHz? Scrie numitorul ca $(x-6{)}^2+16$, apoi folosește regula arctangentei, cu argumentul deplasat.

8. O brutărie lasă 7,5 kg de aluat, cu densitatea de 1,1 kg/L, să dospească într-o cuvă cu capac. Gazul degajat de aluat are, la $t$ ore după frământare, ritmul $r(t)=\frac{6(t+1)}{t^2+2t+5}$ L/h, pentru $t\in [0;3]$ (model din exemplu). Cuva trebuie să încapă aluatul plus tot gazul degajat în 3 ore. Din depozit se pot lua cuve de 8, 10, 12 sau 15 L, iar cuva aleasă trebuie să fie cea mai mică dintre cele care ajung. Pe care o alegi?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x+19$. Determinați numărul real $a$, $a>0$, pentru care ${\int }_0^a\frac{f(x)}{x+2}dx=8a+3\ln 3$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+6x+14$. Arătați că ${\int }_0^2\frac{x+3}{f(x)}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{15}{7}$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(-16,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x}{x+16}$. Arătați că ${\int }_0^{4}f(x^2)dx=5(4-\pi )$.

12. (Sinteză.) Se consideră funcția $f:(-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+11x+29}{x^2+11x+24}$. a) Arată că $f(x)=1+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+8}$. b) Calculează ${\int }_0^{2}f(x)dx$. c) Verifică rezultatul fără primitivă, știind că $f$ scade pe $[0;2]$.

Răspunsuri și verificări

1. $\frac{3x+8}{x-3}=3+\frac{17}{x-3}$, cu primitiva $3x+17\ln (x-3)$. Valorile sunt $24+17\ln 5$ în 8 și $12$ în 4, deci rezultatul este $12+17\ln 5\approx 39,36$. Verificare: derivata primitivei este $3+\frac{17}{x-3}=\frac{3x+8}{x-3}$.

2. Numărătorul este $2\cdot (2x+3)$, adică de două ori derivata numitorului, deci primitiva este $2\ln (x^2+3x+5)$. Valorile sunt $2\ln 15$ și $2\ln 5$, iar rezultatul este $2\ln 3\approx 2,20$. Verificare: derivata primitivei este $\frac{2(2x+3)}{x^2+3x+5}=\frac{4x+6}{x^2+3x+5}$.

3. $k=7$, deci primitiva este $21\cdot \frac{1}{7}\arctan \frac{x}{7}=3\arctan \frac{x}{7}$. Rezultatul este $3\arctan 1-3\arctan 0=\frac{3\pi }{4}\approx 2,36$. Verificare: derivata lui $3\arctan \frac{x}{7}$ este $\frac{21}{x^2+49}$.

4. $5x+7=A(x+2)+B(x+1)$: la $x=-1$ iese $A=2$, la $x=-2$ iese $B=3$. Primitiva este $2\ln (x+1)+3\ln (x+2)$, iar rezultatul este $2\ln 2+3\ln \frac{5}{3}\approx 2,92$. Verificare: la $x=0$, fracția dă $\frac{7}{2}$ și descompunerea dă $2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$.

5. a) Primitiva este $-\frac{90}{t+3}$, cu valoarea $-10$ în 6 și $-30$ în 0, deci se dizolvă $-10-(-30)=20$ g. b) După 12 ore s-au dizolvat $30-6=24$ g, iar $6$ g, adică o cincime din tabletă, rămân nedizolvate. Verificare: ambele cantități sunt sub cele 30 g ale tabletei, iar $20:6\approx 3,33$ g/h e între $r(6)\approx 1,11$ și $r(0)=10$ g/h.

6. $p(q)=52+\frac{130}{q+13}$, cu primitiva $52q+130\ln (q+13)$. Costul este $52\cdot 30+130\ln \frac{60}{30}=1560+130\ln 2\approx 1650,11$ lei, iar prețul mediu este $1650,11:30\approx 55,00$ lei pe placă. Verificare: $p(17)\approx 56,33$ lei și $p(47)\approx 54,17$ lei, iar prețul mediu e între ele.

7. $x^2-12x+52=(x-6{)}^2+16$, cu $k=4$, deci primitiva este $8\cdot \frac{1}{4}\arctan \frac{x-6}{4}=2\arctan \frac{x-6}{4}$. Rezultatul este $2(\arctan 1-\arctan 0)=\frac{\pi }{2}\approx 1,57$ mW. Verificare: $s(6)=0,5$ și $s(10)=0,25$ mW/kHz, iar banda are 4 kHz, deci puterea e între $0,25\cdot 4=1$ și $0,5\cdot 4=2$ mW.

8. Numărătorul este $3\cdot (2t+2)$, deci primitiva este $3\ln (t^2+2t+5)$, cu valorile $3\ln 20$ în 3 și $3\ln 5$ în 0. Gazul din 3 ore este $3\ln 4\approx 4,16$ L, iar aluatul ocupă $7,5:1,1\approx 6,82$ L. Împreună: $6,82+4,16=10,98$ L, deci cuva de 10 L nu ajunge, iar cea de 12 L ajunge. Verificare: ritmul rămâne între 1,2 și 1,5 L/h, deci gazul din 3 ore e între $1,2\cdot 3=3,6$ și $1,5\cdot 3=4,5$ L.

9. Împărțim: $\frac{8x+19}{x+2}=8+\frac{3}{x+2}$. Integrala este $8a+3\ln (a+2)-3\ln 2$. Ecuația $8a+3\ln \frac{a+2}{2}=8a+3\ln 3$ dă $\frac{a+2}{2}=3$, deci $a=4$. Verificare: pentru $a=4$, integrala este $32+3\ln \frac{6}{2}=32+3\ln 3$, iar membrul drept este $8\cdot 4+3\ln 3=32+3\ln 3$.

10. Derivata numitorului este $2x+6=2(x+3)$, deci primitiva este $\frac{1}{2}\ln (x^2+6x+14)$. Valorile: $f(2)=30$ și $f(0)=14$. Rezultatul este $\frac{1}{2}(\ln 30-\ln 14)=\frac{1}{2}\ln \frac{15}{7}$. Verificare: derivata primitivei este $\frac{2x+6}{2f(x)}=\frac{x+3}{f(x)}$.

11. $f(x^2)=\frac{5x^2}{x^2+16}=5-\frac{80}{x^2+16}$. Primitiva este $5x-80\cdot \frac{1}{4}\arctan \frac{x}{4}=5x-20\arctan \frac{x}{4}$. Rezultatul este $20-20\cdot \frac{\pi }{4}=20-5\pi =5(4-\pi )$. Verificare: derivata primitivei este $5-20\cdot \frac{4}{x^2+16}=5-\frac{80}{x^2+16}$, adică $f(x^2)$, iar $5(4-\pi )\approx 4,29$ e între 0 și $4\cdot f(16)=10$, fiindcă $f(x^2)$ crește de la 0 la 2,5.

12. a) Gradele sunt egale, iar împărțirea dă $f(x)=1+\frac{5}{(x+3)(x+8)}$; din $5=A(x+8)+B(x+3)$, la $x=-3$ iese $A=1$, iar la $x=-8$ iese $B=-1$. b) Primitiva este $x+\ln (x+3)-\ln (x+8)$, cu valorile $2+\ln 5-\ln 10$ în 2 și $\ln 3-\ln 8$ în 0, deci rezultatul este $2+\ln \frac{40}{30}=2+\ln \frac{4}{3}\approx 2,29$. c) $f(0)=\frac{29}{24}$ și $f(2)=\frac{11}{10}$, iar $f$ scade, deci integrala e între $2\cdot \frac{11}{10}=2,2$ și $2\cdot \frac{29}{24}\approx 2,42$. Verificare: 2,29 se află în acest interval.

Așa vine la Bac M3

Integralele cu fracții au avut cerințe în 17 dintre probele oficiale 2013–2026 ale Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), 18 cerințe în total, fiindcă proba din iunie 2020 a avut două. Toate au stat în Subiectul al III-lea, problema 2, la b) sau la c), niciodată la a). Patru cerințe reale, din probe diferite, arată patru drumuri prin Metodă:

• Iunie 2024, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: se dă o fracție al cărei numărător este chiar derivata numitorului, un trinom de gradul al doilea, iar cerința este integrala pe $[0;1]$, cu rezultatul $\ln 3$, deci baremul probei dă 3 puncte pentru primitiva logaritmică, pasul 2 din Metodă, și 2 puncte pentru valorile din capete, pasul 4.
• Iunie 2025, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: numitorul e $f$ minus termenul de gradul întâi, iar după pasul 1 rămâne un polinom de gradul al doilea fără termenul de gradul întâi, cu numărătorul $x$ ca jumătate din derivata lui; cerința este integrala pe $[0;8]$, cu rezultatul $\ln 3$, deci baremul probei dă 3 puncte pentru reducere și primitivă, pașii 1–2, și 2 puncte pentru valorile din capete, pasul 4.
• Modelul din 2024, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: fracția are numitorul $x+3$ și numărătorul de gradul al doilea, deci pasul 1 cere împărțirea; cerința este numărul real $a$ pentru care integrala pe $[0;6]$ este $3(a-\ln 3)$, iar baremul probei dă 3 puncte pentru împărțire și primitivă, pașii 1–2, și 2 puncte pentru ecuația în $a$, pasul 4.
• Iunie 2023, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: după înlocuirea lui $x$ cu $x^2$ în $f$ apare o fracție cu numărătorul și numitorul de același grad, deci pasul 1 cere împărțirea, iar pasul 3 o arctangentă cu $k=3$; cerința este numărul real $a$ pentru care integrala pe $[0;3]$ ia o valoare cu $\pi$ și cu $a$, iar baremul probei dă 3 puncte pentru împărțire și primitivă, pașii 1–3, și 2 puncte pentru ecuația în $a$, pasul 4.

Exercițiile 9–11 iau trei dintre aceste drumuri: împărțirea cu un parametru, derivata numitorului scrisă prin $f$ și împărțirea urmată de arctangentă. Reducerea lui $f$ și arctangenta cu parametru sunt în exemplul 4. Descompunerea în fracții simple din exemplul 2 și din exercițiul 12 face parte din programa de examen: ea e drumul tău când numitorul are două rădăcini reale.

Greșeli care costă puncte

• Pui logaritm la orice fracție, fără să compari numărătorul cu derivata numitorului → cum o prinzi: derivezi; $\ln (x^2+7)$ are derivata $\frac{2x}{x^2+7}$, deci nu e primitiva lui $\frac{1}{x^2+7}$.
• Uiți factorul $\frac{1}{k}$ la arctangentă → cum o prinzi: derivata lui $\arctan \frac{x}{k}$ este $\frac{k}{x^2+k^2}$, deci primitiva lui $\frac{1}{x^2+k^2}$ are în față $\frac{1}{k}$.
• Nu împarți când numărătorul are gradul cel puțin egal cu al numitorului → cum o prinzi: compari gradele la pasul 1; la $\frac{x}{x+11}$ ai de integrat $1-\frac{11}{x+11}$, nu o fracție cu $\ln$.
• Pui semnul plus la derivata lui $18-x$ → cum o prinzi: derivezi $\ln (18-x)$ și obții $-\frac{1}{18-x}$, deci în fața lui $\ln (18-x)$ trebuie un minus.
• Calculezi integrala pe un interval în care numitorul se anulează → cum o prinzi: verifici la pasul 1; la $t^2-36$, pe $[0;8]$, numitorul e zero în $t=6$ și integrala nu există.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Calculul integralelor de forma ${\int }_a^b\frac{P(x)}{Q(x)}dx$, cu gradul lui $Q$ cel mult 2, se cere la Subiectul al III-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 17 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă meșterul are doar patru ture, nu cinci? În patru ture montează $4\cdot 6\ln \frac{25}{9}\approx 24,52$ m², cu aproximativ 5,5 m² mai puțin decât cei 30 m². Rămân $30-24,52\approx 5,48$ m², adică aproape toată producția unei ture, care e de 6,13 m². Patronul are nevoie fie de a cincea zi, fie de un al doilea meșter pentru ultima parte.

La ce oră a turei a montat meșterul jumătate din suprafața zilei? Jumătate din tură înseamnă $3\ln \frac{25}{9}=6\ln \frac{5}{3}$ m². Din $6\ln \frac{T^2+36}{36}=6\ln \frac{5}{3}$ rezultă $T^2+36=60$, deci $T\approx 4,9$ ore, adică pe la 4 ore și 54 de minute de la începutul turei. Prima jumătate cere mai mult timp decât a doua, fiindcă dimineața ritmul e mic.

Ce se schimbă dacă la numărător ai $12t+12$, nu $12t$? Meșterul pornește acum cu $q(0)=\frac{12}{36}\approx 0,33$ m²/h, nu de la zero. Împarți numărătorul în două bucăți: $12t$ dă același $6\ln 2$, iar $12$ dă $12\cdot \frac{1}{6}\arctan \frac{t}{6}$, adică o arctangentă. Între orele 0 și 6 obții $6\ln 2+\frac{\pi }{2}\approx 5,73$ m², cu 1,57 m² mai mult decât înainte.

Cum aflu suprafața din ultimele două ore fără să iau logaritmul fiecărui capăt? Scrii diferența logaritmilor ca un singur logaritm: $6\ln 100-6\ln 72=6\ln \frac{100}{72}=6\ln \frac{25}{18}\approx 1,97$ m². Când primitiva este un logaritm, contează doar raportul dintre valorile numitorului la cele două capete ale intervalului, nu fiecare valoare în parte; așa calculezi și mai repede, și cu mai puține greșeli de semn.

Cât durează până se consumă jumătate din reactivul A? Jumătate înseamnă $X=9$, cu $G(9)=\frac{1}{9}\ln \frac{18}{9}=\frac{1}{9}\ln 2$. Integrala este $\frac{1}{9}\left(\ln 2-\ln \frac{3}{2}\right)=\frac{1}{9}\ln \frac{4}{3}$, iar timpul $\frac{1}{9\cdot 0,0035}\ln \frac{4}{3}\approx 9,1$ minute. De la 50 % la 75 % mai trec aproape 13 minute, deși e de consumat doar un sfert: reacția încetinește pe măsură ce reactivii se consumă, fiindcă viteza ei depinde de cât a rămas din fiecare.

Unde au stat integralele cu fracții la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? Dintre cele 83 de probe oficiale din 2013–2026, 17 au avut cel puțin o astfel de cerință, de fiecare dată în Subiectul al III-lea, problema 2, la b) sau la c). Funcția e dată în enunț, iar tu alegi forma prin pașii 1–3, apoi calculezi cu pașii 4–5, ca în cele patru cerințe din lecție.