Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrala pe ramuri: tăiere, margini

Cum aflu n dintr-o integrală pe ramuri?

Calculezi integrala ca expresie în $n$ , pe tronsoane, apoi rezolvi ecuația. Exemplu: $f (x) = 3, 5 x + 2$ pentru $x \leq 2$ și $f (x) = 6, 5 x - 4$ pentru $x > 2$ , cu cerința $\int_{0}^{n} f (x) d x = 42$ , unde $n \geq 2$ este natural. Avem $\int_{0}^{2} (3, 5 x + 2) d x = 11$ și $\int_{2}^{n} (6, 5 x - 4) d x = \frac{13 n ^{2}}{4} - 4 n - 5$ , deci $\frac{13 n ^{2}}{4} - 4 n + 6 = 42$ , adică $13 n^{2} - 16 n - 144 = 0$ și $n = 4$ ; rădăcina $- \frac{36}{13}$ nu este naturală. Proba: $\int_{0}^{4} f (x) d x = 11 + 31 = 42$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Când un ritm se descrie cu mai multe formule, câte una pe fiecare parte a intervalului, integrala definită se calculează pe bucăți. Regula de bază este aditivitatea: dacă $c$ se află între $a$ și $b$ , atunci $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ . Punctul $c$ este locul în care formula se schimbă, iar fiecare bucată se calculează cu formula ei.

Înainte de calcul pui punctul de tăiere în ambele formule: dacă dau valori diferite, una a fost recopiată greșit. Apoi alegi regula. Intervalul care trece strict prin punctul de tăiere cere aditivitatea. O sumă sau un număr înmulțit cu o funcție cere liniaritatea, care scoate constantele în fața integralei și rupe suma pe termeni. Un „arată că … este cel puțin …” cere monotonia: din $m \leq f (x) \leq M$ pe $[a, b]$ urmează $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$ , cu capetele în ordine crescătoare.

Capcana care costă cel mai mult este o singură formulă pusă pe toată funcția: rezultatul pare rezonabil, dar nu se potrivește cu valorile din tabel. A doua este constanta care se adună sub integrală, fiindcă ea aduce $c (b - a)$ , nu $c$ . Verifici derivând primitiva fiecărui tronson și regăsind formula lui, iar unitatea trebuie să iasă coerentă, de pildă litri pe oră ori ore.

Așa se află consumul unui motor care trece de la un regim la altul sau cantitatea primită de un depozit între o margine de jos și una de sus.

De reținut

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ , cu $c$ punctul de tăiere
la $n$ necunoscut scrii integrala ca expresie în $n$ și rezolvi ecuația
soluția trebuie să fie naturală și să treacă de punctul de tăiere

Greșeala tipică

Se folosește prima formulă pe tot intervalul $[0; n]$ , iar ecuația ajunge la alt $n$ sau la niciunul. Corect: câte o integrală pe fiecare tronson, apoi suma lor.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f$ are o formulă pe $(- \infty; 8]$ și o altă formulă pe $(8; + \infty)$ . Pentru care dintre integralele de mai jos trebuie să rupi intervalul de integrare în punctul $8$ , ca să folosești câte o formulă pe fiecare bucată?
- a) $\int_{6}^{8} f (x) d x$
- b) $\int_{- 1}^{6} f (x) d x$
- c) $\int_{5}^{11} f (x) d x$
- d) $\int_{10}^{13} f (x) d x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\int_{5}^{11} f (x) d x$

Intervalul se rupe numai când punctul $8$ stă strict între capete, iar $[5; 11]$ este singurul interval de acest fel. La $\int_{6}^{8} f (x) d x$ punctul $8$ este chiar capătul de sus, deci ajunge prima formulă pe tot intervalul. Intervalul $[- 1; 6]$ rămâne în prima ramură, iar $[10; 13]$ în a doua, așa că nici ele nu cer ruperea.
Pe un șantier, o betonieră A toarnă beton cu ritmul $a (t)$ , iar o betonieră B cu ritmul $b (t)$ , ambele în m³/h. În tot schimbul de 4 ore, $t \in [0; 4]$ , ritmul lui A nu depășește ritmul lui B, adică $a (t) \leq b (t)$ . Care dintre perechile de volume turnate în schimb (A; B) este imposibilă?
- a) 18 m³ și 30 m³
- b) 27 m³ și 21 m³
- c) 24 m³ și 24 m³
- d) 15 m³ și 36 m³
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 27 m³ și 21 m³

Din $a (t) \leq b (t)$ pe tot intervalul rezultă $\int_{0}^{4} a (t) d t \leq \int_{0}^{4} b (t) d t$ , deci volumul lui A nu poate depăși volumul lui B. Perechea 27 m³ și 21 m³ încalcă această regulă. Perechea 24 m³ și 24 m³ este posibilă, fiindcă inegalitatea dintre ritmuri poate fi egalitate, iar celelalte două perechi au volumul lui A sub cel al lui B.
Un cuptor electric are, în primele 3 ore de la pornire, puterea $P (t) = 4 t^{2} - 12 t + 20$ kW, cu $t$ în ore. Câți kWh consumă cuptorul între $t = 0$ și $t = 3$ ?
- a) 114 kWh
- b) 2 kWh
- c) 150 kWh
- d) 42 kWh
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 42 kWh

Integrala se rupe pe termeni: $\int_{0}^{3} (4 t^{2} - 12 t + 20) d t = [\frac{4 t ^{3}}{3} - 6 t^{2} + 20 t]_{0}^{3} = 36 - 54 + 60 = 42$ kWh. Valoarea 2 apare dacă termenul liber 20 rămâne 20, în loc să devină $20 \cdot 3$ . Valoarea 150 schimbă semnul termenului $- 12 t$ , iar 114 ia primitiva lui $4 t^{2}$ egală cu $4 t^{3}$ , fără împărțirea la 3.

Întrebări conexe

Ce fac dacă ecuația în n are și soluție negativă?

Păstrezi numai soluția care respectă condițiile din enunț: $n$ natural și $n$ mai mare sau egal cu punctul de tăiere. De exemplu, din $n^{2} - 2 n - 63 = 0$ rezultă $n = 9$ sau $n = - 7$ , iar rămâne $n = 9$ . O soluție naturală mai mică decât punctul de tăiere se respinge și ea, fiindcă formula a doua nu se aplică acolo.

Cum verific dacă formulele se leagă în punctul de tăiere?

Pui punctul de tăiere în ambele formule; trebuie să obții aceeași valoare. De exemplu, $3 x - 1$ și $x^{2} + 1$ dau 8 și 10 în punctul 3, deci nu se leagă și una a fost recopiată greșit. Dacă valorile coincid, funcția nu are salt și poți continua cu tăierea.

Ce se întâmplă dacă iau prima formulă pe tot intervalul?

Rezultatul pare plauzibil, dar este greșit, fiindcă după punctul de tăiere funcția urmează altă formulă. Pentru funcția de mai sus, $\int_{0}^{4} (3, 5 x + 2) d x = 36$ , în timp ce valoarea corectă este 42. Diferența de 6 arată cât a pierdut greșeala.

De ce nu scot în față constanta care se adună?

O constantă adunată sub integrală aduce $c (b - a)$ , nu $c$ . De exemplu, $\int_{1}^{4} (x + 6) d x = \frac{15}{2} + 18 = 25, 5$ , nu $\frac{15}{2} + 6$ . Constanta iese în față numai când înmulțește funcția, ca în $\int_{1}^{4} 6 x d x$ .

Cum apare integrala pe ramuri în probele oficiale?

Proprietățile integralei definite au apărut în 3 probe M_tehnologic din 2013–2026, toate cu locul în Subiectul al III-lea, problema 2. Printre cerințe au fost o funcție cu două formule, integrată peste punctul de tăiere, și o inegalitate cu o constantă.

Oamenii mai întreabă și: numărul natural n din integrala pe două ramuri · integrala de la 0 la n a unei funcții cu două formule · cum rezolv ecuația în n după tăierea integralei · n natural din integrală peste punctul de tăiere