Integrala pe tronsoane la tehnologic

Producția de lapte a unei vaci nu urmează o singură formulă: crește în primele săptămâni, apoi scade încet după vârf, așa că zootehnistul o descrie pe tronsoane, cu câte o formulă pe fiecare. Integrala definită se potrivește cu această tăiere, iar liniaritatea și monotonia o completează. Le înveți ca pe o fișă de lucru, la clasa a XII-a, liceu tehnologic. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), trei probe au avut cerințe pe aceste proprietăți, fiecare la problema 2 din Subiectul al III-lea.

Situația de pornire

O fermă de vaci de lapte ține pentru fiecare vacă o fișă a lactației, adică a perioadei dintre fătare și uscare, când vaca e oprită de la muls înainte de următoarea fătare. La controalele de pe fișă, zootehnistul notează câți litri de lapte (l) a dat vaca într-o zi, înainte ca laptele să ajungă în tancul de răcire. Lactația vacii cu numărul 47 durează 44 de săptămâni. Curba are două părți: prima urcă până la vârf, în săptămâna 8, iar a doua coboară încet până la uscare. Programul fermei potrivește pe controale câte o formulă pentru fiecare parte (secțiunea următoare). Tabelul dă șase dintre controale.

Întrebare: câți litri de lapte dă vaca în primele 8 săptămâni, câți în restul lactației și câți în total? Ce parte din total vine din prima parte a curbei?

De la situație la model

Programul fermei dă două formule, câte una pe tronson, cu $w$ săptămâni de la fătare și producția $y$ în litri pe zi (valori din exemplu):

$$y(w)=14+3w-\frac{w^2}{16}\text{ pentru }0\le w\le 8,y(w)=38-\frac{w}{2}\text{ pentru }8\le w\le 44$$

Cele două formule se întâlnesc în săptămâna 8: prima dă $14+24-4=34$, a doua dă $38-4=34$, iar în tabel scrie tot 34. Dacă ar da valori diferite, curba ar avea un salt: ai căuta o formulă recopiată greșit. La $w=4$ prima formulă dă 25, iar la $w=14$ a doua dă 31, ca în tabel.

Un tronson este bucata din interval pe care funcția are o singură formulă, iar punctul de tăiere este capătul în care formula se schimbă. Aici sunt două tronsoane, $[0;8]$ și $[8;44]$, cu punctul de tăiere 8.

De ce se adună laptele celor două tronsoane?

Un contor de lapte pornit la fătare arată, la săptămâna $w$, tot laptele dat până atunci. Laptele dintre două săptămâni e diferența a două citiri, iar citirea din săptămâna 8 se scade o dată și se adună o dată. Integrala face la fel. Ea respectă aditivitatea în raport cu intervalul de integrare: dacă $c$ se află între $a$ și $b$, atunci

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

În formula Leibniz–Newton, primitiva $F$ ține locul contorului: $F(b)-F(a)=(F(c)-F(a))+(F(b)-F(c))$. La o funcție pe ramuri, fiecare integrală se calculează cu formula tronsonului ei.

Ce faci cu cele 7 zile și cu prețul laptelui?

Laptele a două vaci se adună zi de zi, iar o săptămână dă de 7 ori laptele unei zile; integrala păstrează ambele socoteli. Liniaritatea spune că ea respectă adunarea și înmulțirea cu un număr, ca derivata: din $(\alpha F+\beta G{)}^{\prime }=\alpha F^{\prime }+\beta G^{\prime }$ rezultă

$${\int }_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$$

Constanta iese deci în fața integralei, iar suma se rupe pe termeni. Pe al doilea tronson, ${\int }_8^{44}\left(38-\frac{w}{2}\right)dw=38{\int }_8^{44}1dw-\frac{1}{2}{\int }_8^{44}wdw$. O constantă care se adună nu iese în față, ci dă lungimea intervalului: ${\int }_a^{b}1dx=b-a$.

Ce garantează o vacă ce nu coboară sub un prag?

Monotonia spune că, dacă $f(x)\le g(x)$ pentru orice $x$ din $[a,b]$ și $a<b$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$. În limba fermei: dacă două contoare pornesc odată, contorul vacii care dă în fiecare zi cel puțin cât cealaltă nu rămâne niciodată în urmă.

Cel mai des, funcția de comparație e o constantă. Dacă $m\le f(x)\le M$ pe $[a,b]$, atunci $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$. Scrisă cu limitele invers, ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ numără laptele cu minus, iar inegalitatea se întoarce. Demonstrațiile celor trei reguli nu se cer.

Metoda pas cu pas

1. Citește funcția și intervalul. La o funcție pe ramuri, găsește punctele de tăiere și scrie în fiecare valorile celor două formule: dacă diferă, ai recopiat greșit una. Dacă mărimile au unități diferite, de pildă zile și săptămâni, le aduci la același fel.
2. Alege regula. Un interval care trece peste un punct de tăiere cere aditivitatea: scrii câte o integrală pe fiecare tronson atins. O sumă sau o constantă înmulțită cere liniaritatea. Un „arată că … este cel puțin …” sau un „între ce valori” cere monotonia, cu o funcție de comparație, de obicei o constantă, și cu limitele în ordine crescătoare.
3. Calculează fiecare integrală cu formula tronsonului ei, ca în formula Leibniz–Newton: primitivă, valorile din capete, scădere. Pe fiecare rând scrii integrala, formula folosită și limitele ei, ca să nu amesteci tronsoanele. La monotonie scrii inegalitatea dintre funcții pe tot intervalul, apoi integrezi ambii membri.
4. Verifică pe alt drum: derivează primitiva fiecărui tronson și regăsește formula lui, sau compară rezultatul cu o mărime măsurată. Controlezi și unitatea: litri pe zi ori săptămâni ori șapte zile pe săptămână dă litri. La monotonie, dacă poți calcula valoarea exactă, ea trebuie să respecte inegalitatea găsită.

Pașii 1 și 4 rămân aceiași la toate trei regulile, iar pașii 2 și 3 se schimbă cu regula. Primitivele termenilor le iei din lecția despre primitive uzuale. Mai departe, integrala unui produs se calculează prin părți, în lecția despre alegerea funcțiilor la părți. Ordinea tuturor lecțiilor o vezi în hubul clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$${\int }_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$$

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx(a\le c\le b)$$

$$f(x)\le g(x)\text{ pe }[a,b],a<b⟹{\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$$

Verificare rapidă: derivezi primitiva de pe fiecare tronson și trebuie să obții formula lui.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Lactația vacii cu numărul 47

Domeniu: zootehnie.

Enunț. Reluăm vaca din situația de pornire: pe $[0;8]$ producția este $y(w)=14+3w-\frac{w^2}{16}$ l/zi, iar pe $[8;44]$ este $y(w)=38-\frac{w}{2}$ l/zi, cu $w$ în săptămâni de la fătare. Aflați câți litri dă vaca în primele 8 săptămâni, câți în restul lactației și câți în total, și ce parte din total vine din prima parte a curbei.

Rezolvare. Pasul 1: formulele dau aceeași valoare, 34, în punctul de tăiere $w=8$, iar intervalul $[0;44]$ trece peste el. Pasul 2: aditivitatea, ${\int }_0^{44}y={\int }_0^{8}y+{\int }_8^{44}y$, fiecare cu formula ei. Pasul 3: primitiva primei formule este $14w+\frac{3w^2}{2}-\frac{w^3}{48}$, deci

$${\int }_0^8\left(14+3w-\frac{w^2}{16}\right)dw=14\cdot 8+\frac{3\cdot 64}{2}-\frac{512}{48}=112+96-\frac{32}{3}=\frac{592}{3}$$

iar primitiva celei de-a doua este $38w-\frac{w^2}{4}$, deci

$${\int }_8^{44}\left(38-\frac{w}{2}\right)dw=\left(38\cdot 44-\frac{44^2}{4}\right)-\left(38\cdot 8-\frac{8^2}{4}\right)=1188-288=900$$

Numerele sunt în litri pe zi ori săptămâni. Laptele din $dw$ săptămâni este $y\cdot 7dw$ litri, așa că înmulțești cu 7 zile pe săptămână: în primele 8 săptămâni $7\cdot \frac{592}{3}\approx 1381$ l, în restul lactației $7\cdot 900=6300$ l. În total, aproximativ 7 681 l. Prima parte dă $\frac{592}{3292}\approx 0,18$, adică aproximativ 18% din total.

Capcană. Cine ia a doua formulă pe toată lactația, fără să taie, obține $7\cdot 1188=8316$ l, cu aproximativ 635 l peste cât a dat vaca. Rezultatul pare rezonabil, dar formula a doua dă $y(0)=38$ l pe zi la fătare, mai mult decât vârful vacii, care e de 34 l pe zi.

Verificare. Derivezi primitivele: ${\left(14w+\frac{3w^2}{2}-\frac{w^3}{48}\right)}^{\prime }=14+3w-\frac{w^2}{16}$ și ${\left(38w-\frac{w^2}{4}\right)}^{\prime }=38-\frac{w}{2}$, formulele tronsoanelor.

Exemplul 2 — Hârtie și plastic la un centru de colectare

Domeniu: mediu.

Enunț. Un centru de colectare a deșeurilor reciclabile din comună primește hârtie și sticle de plastic (PET) între orele 8 și 16. Cu $t$ în ore de la deschidere, $t\in [0;8]$, ritmul de intrare al hârtiei este $r_h(t)=30+8t$, iar al plasticului $r_p(t)=12+6t-\frac{t^2}{2}$, amândouă în kg pe oră (aproximări din exemplu). Hârtia se vinde cu 0,60 lei/kg, plasticul cu 1,75 lei/kg. a) Aflați câte kg din fiecare material strânge centrul într-o zi. b) Aflați încasarea din vânzarea lor.

Rezolvare. a) Pasul 1: funcțiile sunt continue pe $[0;8]$, fără puncte de tăiere. Pasul 3: ${\int }_0^8(30+8t)dt=30\cdot 8+4\cdot 64=496$ kg de hârtie, iar ${\int }_0^8\left(12+6t-\frac{t^2}{2}\right)dt=96+192-\frac{256}{3}=\frac{608}{3}\approx 202,67$ kg de plastic. b) Pasul 2: venitul pe oră este $0,6r_h(t)+1,75r_p(t)$, o combinație de două funcții, deci liniaritatea scoate prețurile în fața integralelor:

$${\int }_0^8(0,6r_h(t)+1,75r_p(t))dt=0,6\cdot 496+1,75\cdot \frac{608}{3}\approx 297,60+354,67=652,27$$

Încasarea este de aproximativ 652,27 lei.

Capcană. Cine adună kilogramele și aplică un singur preț, cel al plasticului, obține $(496+202,67)\cdot 1,75\approx 1222,67$ lei, cu peste 570 de lei prea mult: hârtia nu se vinde cu 1,75 lei/kg.

Verificare. Combinația rescrisă într-o singură funcție, $39+15,3t-0,875t^2$, are primitiva $39t+7,65t^2-\frac{0,875}{3}{t}^3$, iar valorile din 8 și din 0 dau $312+489,6-149,33=652,27$ lei, ca prin liniaritate. La a), derivata lui $30t+4t^2$ este $30+8t$, ritmul hârtiei.

Exemplul 3 — Bilete vândute într-o dimineață

Domeniu: turism.

Enunț. O agenție de turism vinde la ghișeu bilete pentru o excursie de o zi, într-o dimineață de 5 ore. Registrul din zilele precedente arată că ritmul vânzării, în bilete pe oră, a stat între 22 și 31 în primele 3 ore, iar în ultimele 2 ore, când aglomerația scade, între 9 și 14. Un autocar are 48 de locuri (valori din exemplu). a) Între ce valori se află numărul de bilete vândute în dimineața aceea? b) De câte autocare are nevoie agenția, ca să nu rămână călători fără loc?

Rezolvare. Pasul 1: sunt două tronsoane, $[0;3]$ și $[3;5]$, cu margini diferite pentru ritmul $r(t)$. Pasul 2: pe fiecare tronson folosești monotonia, cu funcții constante, iar între tronsoane aditivitatea. Pasul 3: marginile de jos dau $22\cdot 3+9\cdot 2=84$, cele de sus $31\cdot 3+14\cdot 2=121$:

$$84\le {\int }_0^{5}r(t)dt\le 121$$

Agenția vinde deci între 84 și 121 de bilete. b) Pentru cel mult 121 de călători trebuie $121:48\approx 2,52$ autocare, deci 3, fiindcă un autocar nu se închiriază pe jumătate.

Capcană. Cine ia aceleași margini pe toată dimineața, cea mai mică, 9, și cea mai mare, 31, obține $9\cdot 5\le {\int }_0^{5}r(t)dt\le 31\cdot 5$, adică între 45 și 155 de bilete. Inegalitatea e adevărată, dar prea largă: pentru 155 de bilete s-ar comanda $155:48\approx 3,23$, adică 4 autocare, în loc de 3.

Verificare. Seara, casierul numără biletele vândute: 103, iar $84\le 103\le 121$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: funcție pe două ramuri

Domeniu: mecanica.

Enunț. Cerința are forma celor de la problema 2 a Subiectului al III-lea; este un calcul pe funcții date, fără poveste. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x$ pentru $x\le 3$ și $f(x)=4x$ pentru $x>3$. a) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{5}{6}$. b) Determinați numărul natural $n$, $n\ge 3$, pentru care ${\int }_0^{n}f(x)dx=\frac{91}{2}$. c) Demonstrați că, pentru orice $a>3$, ${\int }_3^{a}f(x)dx\ge 12(a-3)$.

Rezolvare. a) Pasul 1: intervalul $[0;1]$ stă în ramura $x\le 3$, deci nu tai nimic. Pasul 3: ${\int }_0^1(x^2+x)dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$. b) Pasul 1: formulele dau aceeași valoare, 12, în punctul 3, iar $[0;n]$ trece peste el. Pasul 2, aditivitatea:

$${\int }_0^{n}f(x)dx={\int }_0^3(x^2+x)dx+{\int }_3^{n}4xdx=\frac{27}{2}+(2n^2-18)=2n^2-\frac{9}{2}$$

Ecuația $2n^2-\frac{9}{2}=\frac{91}{2}$ dă $n^2=25$, iar $n\ge 3$ lasă $n=5$. c) Pasul 2, monotonia: pentru $x>3$ avem $4x>12$, deci pe $[3;a]$ funcția $f$ nu coboară sub constanta 12. Pasul 3: ${\int }_3^{a}f(x)dx\ge {\int }_3^{a}12dx=12(a-3)$.

Capcană. La b), cine folosește $x^2+x$ pe tot $[0;n]$ obține $\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}=\frac{91}{2}$, o ecuație fără soluție naturală: pentru $n=4$ membrul stâng e aproximativ 29,3, iar pentru $n=5$ aproximativ 54,2.

Verificare. La b), cu $n=5$: $2\cdot 25-\frac{9}{2}=\frac{91}{2}$. Pe a doua ramură, derivata lui $2x^2$ este $4x$. La c), cu $a=4$: ${\int }_3^{4}4xdx=14\ge 12$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează ${\int }_0^3(4x^3-6x+7)dx$, rupând integrala pe termeni și scoțând constantele în fața integralelor.

2. Funcția $f$ are $f(x)=\frac{x}{4}+7$ pentru $x\le 8$ și $f(x)=17-x$ pentru $x>8$. a) Arată că cele două formule dau aceeași valoare în punctul de tăiere. b) Calculează ${\int }_0^{12}f(x)dx$.

3. a) Derivează $F(x)=5x^2+9x$ și $G(x)=x^4$. b) Din $(F+2G{)}^{\prime }=F^{\prime }+2G^{\prime }$ scrie o primitivă a funcției $10x+9+8x^3$ și calculează integrala ei pe $[0;2]$.

4. a) Fără calcul, spune care este mai mare: ${\int }_1^3\frac{1}{x}dx$ sau ${\int }_1^3\frac{1}{x^2}dx$. b) Cum se schimbă relația dacă limitele se inversează, adică pentru ${\int }_3^1\frac{1}{x}dx$ și ${\int }_3^1\frac{1}{x^2}dx$? c) Calculează cele două integrale de la a) și verifică răspunsul.

Nivelul 2 — situații

5. La o fabrică de peleți din rumeguș, presa granulatoare scoate, în kg pe minut, $s(t)=9t$ în primele 10 minute, $s(t)=90$ între minutele 10 și 50 (regimul) și $s(t)=90-0,9(t-50{)}^2$ între minutele 50 și 60, când buncărul se golește. a) Arată că formulele se întâlnesc în minutele 10 și 50. b) Câte kilograme de peleți scoate presa în prima oră? c) Ce parte din ele vine din regim?

6. La un salon de coafură, cu $t$ zile de la 1 decembrie, $t\in [0;30]$, încasările pe zi sunt $i(t)=600+20t-0,3t^2$ lei, iar cheltuielile pe zi sunt $c(t)=520+4t$ lei (aproximări din exemplu). Câți lei rămân ca profit în cele 30 de zile? Calculează în două feluri: întâi încasările și cheltuielile separat, apoi diferența $i(t)-c(t)$.

7. Un centru de prelucrare produce capace de pompă. În fiecare oră a turei de 8 ore, ritmul de producție a stat, după notele din zilele precedente, între 14 și 19 capace pe oră. Comanda de azi cere 120 de capace într-o tură. a) Între ce valori se află numărul de capace dintr-o tură? b) E garantat că tura ajunge pentru comandă? E posibil să ajungă?

8. Într-un supermarket, casa 1 servește $c_1(t)=24+3t$ clienți pe oră timp de 6 ore, iar casa 2, deschisă între orele 2 și 6, servește $c_2(t)=5t+6$ clienți pe oră ($t$ în ore de la deschidere). a) Arată, fără calcul, că între orele 2 și 6 casa 1 servește mai mulți clienți decât casa 2. b) Calculează numărul de clienți ai fiecărei case în acest interval. c) Câți clienți au fost serviți în total în cele 6 ore?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+x$ pentru $x\le 3$ și $f(x)=x^2+12$ pentru $x>3$. Arătați că ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx=\frac{15}{2}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=3x^2+2x+13$ pentru $x\le 1$ și $u(x)=14x+4$ pentru $x>1$. Determinați numărul natural $n$, $n\ge 1$, pentru care ${\int }_0^{n}u(x)dx=199$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2e^x$. a) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=2e-\frac{5}{3}$. b) Demonstrați că, pentru orice $a>0$, ${\int }_0^{a}f(x)dx\ge 2a$.

12. (Sinteză.) La a doua lactație, vaca cu numărul 112 dă, la săptămânile 0, 5, 10, 30 și 44, câte 18, 28, 38, 26 și 17,6 l pe zi. a) Arată că punctele se așază pe două drepte, câte una pe tronson, cu punctul de tăiere în săptămâna 10, și scrie $y(w)$ pe fiecare tronson. b) Câți litri dă vaca în cele 44 de săptămâni? c) Câți lei primește ferma, dacă laptele se plătește cu 2,10 lei/l?

Răspunsuri și verificări

1. Pe termeni: $4\cdot \frac{81}{4}=81$, $6\cdot \frac{9}{2}=27$ și $7\cdot 3=21$, deci integrala este $81-27+21=75$. Verificare: derivata primitivei $x^4-3x^2+7x$ este $4x^3-6x+7$.

2. a) În punctul 8, prima formulă dă $2+7=9$, iar a doua $17-8=9$. b) ${\int }_0^8\left(\frac{x}{4}+7\right)dx=8+56=64$ și ${\int }_8^{12}(17-x)dx=132-104=28$, deci integrala este 92. Verificare: derivatele lui $\frac{x^2}{8}+7x$ și $17x-\frac{x^2}{2}$ sunt cele două formule.

3. a) $F^{\prime }(x)=10x+9$ și $G^{\prime }(x)=4x^3$. b) $(F+2G{)}^{\prime }=10x+9+8x^3$, deci $5x^2+9x+2x^4$ e o primitivă, iar integrala este $20+18+32=70$. Verificare: derivata lui $5x^2+9x+2x^4$ este $10x+9+8x^3$.

4. a) Pentru $x\ge 1$ avem $x^2\ge x$, deci $\frac{1}{x}\ge \frac{1}{x^2}$ pe $[1;3]$, iar prima integrală e mai mare. b) La limite inversate, ambele integrale își schimbă semnul, deci inegalitatea se întoarce: ${\int }_3^1\frac{1}{x}dx\le {\int }_3^1\frac{1}{x^2}dx$. c) ${\int }_1^3\frac{1}{x}dx=\ln 3\approx 1,0986$ și ${\int }_1^3\frac{1}{x^2}dx=\frac{2}{3}$. Verificare: $1,0986>0,6667$, iar inversate, $-1,0986<-0,6667$.

5. a) În minutul 10, $9\cdot 10=90$; în minutul 50, $90-0,9\cdot 0=90$. b) ${\int }_0^{10}9tdt=450$, ${\int }_{10}^{50}90dt=3600$, ${\int }_{50}^{60}(90-0,9(t-50{)}^2)dt={\int }_{50}^{60}(90t-0,9t^2-2160)dt=600$, deci 4 650 kg. c) $\frac{3600}{4650}\approx 0,77$, adică 77%. Verificare: cu $u=t-50$, ultima parte este ${\int }_0^{10}(90-0,9u^2)du=900-300=600$.

6. Încasările dau ${\int }_0^{30}i(t)dt=18000+9000-2700=24300$ lei, cheltuielile ${\int }_0^{30}c(t)dt=15600+1800=17400$ lei, deci profitul este 6 900 de lei. Pe diferența $80+16t-0,3t^2$ se obține $2400+7200-2700=6900$ lei. Verificare: cele două drumuri dau același profit, 6 900 de lei.

7. a) $14\cdot 8=112\le N\le 19\cdot 8=152$ de capace. b) Nu e garantat, fiindcă $112<120$. E posibil, fiindcă $152\ge 120$. Verificare: cu 15 capace pe oră, constant, tura dă exact 120; cu 14 dă 112, care nu ajunge.

8. a) $c_1(t)-c_2(t)=18-2t\ge 6>0$ pe $[2;6]$, deci monotonia dă ${\int }_2^6{c}_1>{\int }_2^6{c}_2$. b) ${\int }_2^6{c}_{1}dt=144$ de clienți și ${\int }_2^6{c}_{2}dt=104$ clienți. c) ${\int }_0^6{c}_{1}dt=198$, deci în total $198+104=302$ clienți. Verificare: diferența de la b), $144-104=40$, este și ${\int }_2^6(18-2t)dt=72-32=40$.

9. Intervalul $[-1;2]$ stă în ramura $x\le 3$, deci nu tai nimic. O primitivă este $\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}$, cu valorile $\frac{22}{3}$ în 2 și $-\frac{1}{6}$ în $-1$. Integrala este $\frac{22}{3}+\frac{1}{6}=\frac{15}{2}$. Verificare: derivata primitivei este $2x^2+x$, ramura folosită.

10. Pe $[0;1]$ se folosește prima ramură: ${\int }_0^1(3x^2+2x+13)dx=1+1+13=15$. Pe $[1;n]$ se folosește a doua: ${\int }_1^n(14x+4)dx=7n^2+4n-11$. Ecuația $7n^2+4n+4=199$ dă $7n^2+4n-195=0$, cu rădăcinile 5 și $-\frac{39}{7}$, iar $n$ natural lasă $n=5$. Verificare: $7\cdot 25+20+4=199$.

11. a) O primitivă este $\frac{x^3}{3}+2e^x$, deci ${\int }_0^{1}f(x)dx=\left(\frac{1}{3}+2e\right)-2=2e-\frac{5}{3}$. b) Pentru $x\ge 0$ avem $x^2\ge 0$ și $e^x\ge 1$, deci $f(x)\ge 2$ pe $[0;a]$. Monotonia dă ${\int }_0^{a}f(x)dx\ge {\int }_0^{a}2dx=2a$. Verificare: la $a=1$, $2e-\frac{5}{3}\approx 3,77\ge 2$.

12. a) Pe $[0;10]$: $y(w)=18+2w$, cu valorile 28 la $w=5$ și 38 la $w=10$. Pe $[10;44]$: $y(w)=44-0,6w$, cu valorile 38 la $w=10$, 26 la $w=30$ și 17,6 la $w=44$; în 10 cele două formule dau 38. b) ${\int }_0^{10}(18+2w)dw=280$ și ${\int }_{10}^{44}(44-0,6w)dw=945,2$, deci $7\cdot 1225,2=8576,4$ l. c) $8576,4\cdot 2,10=18010,44$ lei. Verificare: derivatele lui $18w+w^2$ și $44w-0,3w^2$ dau formulele tronsoanelor; la c), $1225,2\cdot 14,70=18010,44$ lei, cu $7\cdot 2,10=14,70$.

Așa vine la Bac M3

După indexul celor 83 de probe oficiale din 2013–2026, proprietățile integralei definite sunt tema unor cerințe în 3 probe, toate la Subiectul al III-lea, problema 2. Trei cerințe reale, din două dintre ele, arată formele în care au venit:

• August 2018, Subiectul al III-lea, exercițiul 2a: funcția are două formule, una pe $(-\infty ;1]$ și una pe $(1;+\infty )$, iar integrala se cere pe $[-1;1]$, adică în prima ramură, deci pasul 1 din Metodă constată că nu tai nimic, iar baremul probei dă 3 puncte pentru integrala primei formule și primitiva ei, la pasul 3, și 2 puncte pentru valorile din capete, cu rezultatul 2.
• August 2018, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: integrala se cere pe $[0;2]$, care trece peste punctul de tăiere 1, iar rezultatul intră într-o ecuație cu un număr natural $n$, deci pasul 2 din Metodă taie intervalul în 1, iar baremul probei dă 3 puncte pentru cele două integrale adunate, pe $[0;1]$ și pe $[1;2]$, la pasul 3, și 2 puncte pentru ecuația $n^2-9=0$ și alegerea lui $n=3$.
• Iunie 2019, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: funcția e o rădăcină pătrată, iar cerința, spusă prin aria de sub grafic, de la aria cu integrala, cere o integrală cel puțin egală cu $a\sqrt{7}$, deci baremul probei dă 2 puncte pentru inegalitatea $f(x)\ge \sqrt{7}$ pe $[0;+\infty )$, adică funcția de comparație de la pasul 2, și 3 puncte pentru integrarea inegalității, la pasul 3, până la $a\sqrt{7}$.

Exercițiile 9–11 au aceleași trei forme: interval într-o ramură, interval peste punctul de tăiere cu un număr natural necunoscut și inegalitate cu o constantă.

Greșeli care costă puncte

• Folosești o singură formulă pe toată funcția pe ramuri → cum o prinzi: scrii valorile celor două formule în punctul de tăiere și te întrebi care formulă are voie pe fiecare capăt; la vaca 47, a doua formulă dă 38 l pe zi la fătare, mai mult decât vârful de 34 l.
• Scoți în fața integralei o constantă care se adună, nu care se înmulțește → cum o prinzi: constanta integrată pe $[a,b]$ dă $c(b-a)$; la ${\int }_0^4(x+5)dx$ rezultatul este $8+20=28$, nu $8+5=13$.
• Aplici monotonia cu limitele inversate → cum o prinzi: pe $[1;3]$ avem $1\le x$, dar ${\int }_3^{1}1dx=-2$ și ${\int }_3^{1}xdx=-4$, iar $-2\le -4$ e fals.
• Înmulțești cu 7 zile doar la un tronson, nu la tot laptele → cum o prinzi: l pe zi ori săptămâni nu dă litri; fiecare tronson se înmulțește cu 7, adică 7 iese în fața sumei.
• Rotunjești în jos numărul de autocare → cum o prinzi: $121:48\approx 2,52$, iar 2 autocare iau doar 96 de călători, sub cei 121.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Folosirea proprietăților integralei definite (liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare) se cere la Subiectul al III-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 3 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

De ce înmulțești laptele cu 7 zile și nu cu 30? Fiindcă formulele dau litri pe zi, iar $w$ numără săptămâni: laptele din $dw$ săptămâni este $y\cdot 7dw$ litri. Cu 30 ai socoti ca și cum $w$ ar număra luni, iar lactația ar ieși aproximativ 32 920 l, de peste patru ori mai mult decât a dat vaca 47.

Cum aflu laptele dat între săptămânile 6 și 12? Intervalul trece peste punctul de tăiere 8, deci îl tai acolo: ${\int }_6^8$ cu prima formulă, $\frac{383}{6}$, și ${\int }_8^{12}$ cu a doua, 132. Suma, $\frac{1175}{6}$, înmulțită cu 7 zile pe săptămână, dă aproximativ 1 371 l. O singură formulă pe tot intervalul ar da alt rezultat.

Cât încasează ferma pentru lactația vacii 47, dacă laptele se plătește cu 2,15 lei/l? Prețul e o constantă, așa că iese în fața integralei: $2,15\cdot 7681,33\approx 16515$ lei. Calculezi laptele total o singură dată, apoi înmulțești cu prețul. Dacă prețul s-ar schimba pe parcurs, ai avea câte un tronson pentru fiecare preț.

Ce se schimbă dacă vaca 47 e uscată în săptămâna 40, nu în 44? Se schimbă doar limita de sus a celui de-al doilea tronson: ${\int }_8^{40}\left(38-\frac{w}{2}\right)dw=832$, deci lactația scade la $7\cdot \left(\frac{592}{3}+832\right)\approx 7205$ l, cu 476 l mai puțin. Primul tronson rămâne neatins, fiindcă uscarea mai devreme nu schimbă vârful. Cei 476 l sunt chiar laptele ultimelor 4 săptămâni.

Cât lapte mai dă vaca 47 după ce coboară sub 20 l pe zi? A doua formulă dă 20 l pe zi în săptămâna 36, fiindcă $38-\frac{36}{2}=20$. De atunci până la uscare vaca mai dă $7\cdot {\int }_{36}^{44}\left(38-\frac{w}{2}\right)dw=7\cdot 144=1008$ l, adică aproximativ 13% din lactație. Fermierul compară acești litri cu furajul consumat în aceleași 8 săptămâni.

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), ce cerințe au folosit proprietățile integralei? În indexul celor 83 de probe oficiale din 2013–2026, tema are cerințe în 3 probe, toate la problema 2 din Subiectul al III-lea. O probă a dat o funcție pe ramuri, integrată o dată într-o ramură și o dată peste racord, alta o inegalitate cu o constantă, iar a treia o integrală nulă pe un interval simetric față de 1. Primele două sunt în exemplul 4 și în exercițiile 9–11.