Pentru $$A = \begin{pmatrix} 13 & 7 \\ 11 & 6 \end{pmatrix}$$ ai $$\det A = 1$$, iar inversa se scrie $$A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \cdot N$$, unde $$N$$ este o matrice intermediară. Care este $$N$$?

$$\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -11 & 13 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 6 & 7 \\ 11 & 13 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -13 & -7 \\ -11 & -6 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 6 & -11 \\ -7 & 13 \end{pmatrix}$$

Un desen tehnic se mărește prin matricea $$D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$$: lungimile se înmulțesc cu 4, iar lățimile cu 5. Care matrice readuce dimensiunile mărite la cele inițiale?

$$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{4} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{20} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{20} \end{pmatrix}$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Inversa 2×2: formula și proba

Când are inversa 2×2 numai elemente întregi?

Când determinantul este $1$ sau $- 1$ , dacă matricea are elemente întregi. Pentru $A (a) = (a 3 114)$ avem $det = 4 a - 33$ . Ecuația $4 a - 33 = - 1$ dă $a = 8$ , iar $4 a - 33 = 1$ dă $a = \frac{17}{2}$ , care nu este întreg. Deci $a = 8$ și $A^{- 1} = (- 4 3 11 - 8)$ . Împărțirea la determinant trebuie să iasă exactă pe toate cele patru poziții.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

O matrice pătratică $A$ de ordin 2 are inversă numai dacă $det A \neq = 0$ . Atunci $A^{- 1}$ este matricea pentru care $A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I_{2}$ . Pentru $A = (a c b d)$ , formula este $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ .

Spus în cuvinte: elementele $a$ și $d$ își schimbă locurile, $b$ și $c$ rămân unde sunt, însă cu semnul schimbat, apoi fiecare număr se împarte la determinant. Matricea se citește de două ori, pentru că aici se pierd cele mai multe semne. Inversa nu se obține inversând fiecare număr în parte; excepția sunt matricele diagonale.

Un determinant nul înseamnă linii proporționale: nu există inversă, iar sistemul asociat nu are o singură soluție. O matrice înmulțită cu $k \neq = 0$ are inversa împărțită la $k$ , iar $det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}$ . Cu elemente întregi și determinant $1$ sau $- 1$ , și inversa are numai elemente întregi.

Verifici prin produs: $A \cdot A^{- 1}$ trebuie să fie $I_{2}$ . La o aplicație pui rezultatul în datele problemei, ca să vezi dacă numerele obținute au sens, și urmărești unitățile de măsură de pe fiecare linie.

De reținut

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ , cu $a d - b c \neq = 0$
verificarea: $A \cdot A^{- 1} = I_{2}$
elemente întregi și determinant 1 sau −1 dau o inversă cu elemente întregi

Greșeala tipică

Se inversează fiecare element al matricei. Pentru $(2152)$ ar ieși $(\frac{1}{2} 1 \frac{1}{5} \frac{1}{2})$ , care nu dă matricea unitate la înmulțire; se folosește formula cu determinantul.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $A = (131176)$ ai $det A = 1$ , iar inversa se scrie $A^{- 1} = \frac{1}{det A} \cdot N$ , unde $N$ este o matrice intermediară. Care este $N$ ?
- a) $(611713)$
- b) $(- 13 - 11 - 7 - 6)$
- c) $(6 - 11 - 7 13)$
- d) $(6 - 7 - 11 13)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(6 - 11 - 7 13)$

Elementele $13$ și $6$ de pe diagonala principală își schimbă locurile, iar $7$ și $11$ rămân pe poziții, cu semn opus: $(6 - 11 - 7 13)$ . Prima variantă schimbă numai diagonala și uită semnele. A doua schimbă semnul tuturor elementelor. A patra pune $- 11$ și $- 7$ pe pozițiile schimbate, adică transpune matricea.
Doi indicatori ai calității apei, $u$ și $v$ , se obțin din concentrațiile $x$ și $y$ ale doi poluanți prin $u = 4 x + 6 y$ și $v = 3 x + 5 y$ , adică prin matricea $A = (4365)$ . Matricea $A^{- 1}$ readuce $(u; v)$ la $(x; y)$ . Cât este elementul de pe linia 1 și coloana 2 al lui $A^{- 1}$ ?
- a) $- 3$
- b) $3$
- c) $- 6$
- d) $- 1, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 3$

Determinantul este $4 \cdot 5 - 6 \cdot 3 = 2$ , iar $A^{- 1} = \frac{1}{2} (5 - 3 - 6 4)$ . Elementul de pe poziția $(1, 2)$ este $- \frac{6}{2} = - 3$ . Valoarea $3$ pierde semnul. Valoarea $- 6$ uită să împartă la determinant. Valoarea $- 1, 5$ este elementul de pe poziția $(2, 1)$ .
Un desen tehnic se mărește prin matricea $D = (4005)$ : lungimile se înmulțesc cu 4, iar lățimile cu 5. Care matrice readuce dimensiunile mărite la cele inițiale?
- a) $(5004)$
- b) $(- 4 0 0 - 5)$
- c) $\frac{1}{20} 0 0 \frac{1}{20}$
- d) $\frac{1}{4} 0 0 \frac{1}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{4} 0 0 \frac{1}{5}$

Trebuie $D \cdot D^{- 1} = I_{2}$ . Determinantul este $20$ , iar formula dă $\frac{1}{20} (5004) = \frac{1}{4} 0 0 \frac{1}{5}$ : lungimile se împart la 4, lățimile la 5. Prima variantă este matricea intermediară, fără împărțirea la determinant. A doua este opusa lui $D$ , nu inversa. A treia împarte ambele diagonale la același număr.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă dacă determinantul este 2?

Inversa are cel puțin o fracție, fiindcă elementele matricei intermediare nu se pot împărți toate exact la 2. Pentru $(6522)$ , determinantul este $12 - 10 = 2$ , iar $A^{- 1} = \frac{1}{2} (2 - 5 - 2 6)$ are pe poziția $(2, 1)$ valoarea $- 2, 5$ .

De ce nu merge alt determinant decât 1 sau −1?

Pentru ca $\frac{d}{δ}$ , $\frac{- b}{δ}$ , $\frac{- c}{δ}$ și $\frac{a}{δ}$ să fie întregi, determinantul $δ$ trebuie să dividă toate cele patru elemente. Atunci $δ^{2}$ divide $a d - b c = δ$ , iar singurele numere întregi cu această proprietate sunt $1$ și $- 1$ .

Cum scriu inversa când determinantul este −1?

Împarți la $- 1$ , adică schimbi semnul fiecărui element al matricei intermediare, fără alte calcule. Poți verifica apoi prin produs că rezultatul dă matricea unitate. Pentru $A = (2152)$ avem $det A = 4 - 5 = - 1$ , iar $A^{- 1} = - (2 - 1 - 5 2) = (- 2 1 5 - 2)$ .

Când este o matrice 2×2 egală cu inversa ei?

Când $A \cdot A = I_{2}$ , fiindcă atunci $A$ însăși face proba inversei. Pentru $A = (a - 1 3 - a)$ avem $A \cdot A = (a^{2} - 3) I_{2}$ , deci $a^{2} = 4$ , adică $a = 2$ sau $a = - 2$ . La $a = 2$ , $det A = - 4 + 3 = - 1$ , iar formula dă exact $(2 - 1 3 - 2)$ .

Cum apare inversa 2×2 în probele oficiale?

Inversa unei matrice 2×2 a apărut în 17 probe M_tehnologic din 2013–2026. Au fost cerute condiția de inversabilitate pentru un parametru, verificarea că o matrice o inversează pe alta și parametrul dintr-o inversă dată. Verifici mereu prin produs.

Oamenii mai întreabă și: inversa cu toate elementele numere întregi · determinant 1 sau −1 la inversa unei matrice 2×2 · matrice cu inversa în numere întregi · parametru întreg pentru care inversa are elemente întregi