Inversa unei matrice: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Matrice și operații cu matrice, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a XI-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a XI-a; în tema ei stă la finalul paginii „Matrice și operații cu matrice”.

$A$ e pătratică, cu $\det A\ne 0$; la ordinul 2 are $a$, $b$ pe prima linie și $c$, $d$ pe a doua. Pentru inversă, $a$ și $d$ își schimbă locurile, $b$ și $c$ își schimbă semnul, apoi împarți la determinant. În al treilea rând, $X$ e necunoscuta, iar $B$ matricea dată; $A^{-1}$ se înmulțește pe aceeași parte pe care stătea $A$. La ordinul 3, $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, cu $A^{\ast }$ transpusa complementelor algebrice. Capcană: $(kA{)}^{-1}$ se împarte la $k$ o singură dată; $k^2$ apare la $\det (kA)$, nu aici. Control: $\det A\cdot \det (A^{-1})=1$.

Exemplu: Un catering pregătește două feluri de tăvi: tava I are 7 sandvișuri cu șuncă și 3 cu cașcaval, tava II are 5 cu șuncă și 4 cu cașcaval, deci $A=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 5& 4\end{array}\right)$. Două comenzi cer $B=\left(\begin{array}{cc}39& 26\\ 47& 22\end{array}\right)$, adică sandvișuri cu șuncă și cu cașcaval. Numărul de tăvi $X$ verifică $XA=B$, deci $X=B{A}^{-1}$. Cum $\det A=13$, $A^{-1}=\frac{1}{13}\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -5& 7\end{array}\right)$ și $X=\frac{1}{13}\left(\begin{array}{cc}26& 65\\ 78& 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 6& 1\end{array}\right)$. Control: $13\cdot \frac{1}{13}=1$. Cu tăvi dublate, $(2A{)}^{-1}=\frac{1}{2}{A}^{-1}$, iar numărul de tăvi se înjumătățește.