Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic

Un crescător de oi primește de la o cooperativă oferte de contract: atâtea kilograme de lână și atâția litri de lapte pe sezon. Efectivul care le onorează se află cu inversa unei matrice de ordin 2, temă de clasa a XI-a la filiera tehnologică, scrisă direct din determinant și verificată prin produs. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), inversa unei matrice de ordin 2 intră în 17 din cele 83 de probe oficiale.

Situația de pornire

O fermă de ovine din Mărginimea Sibiului are două categorii de animale: oi adulte și mioare la prima lactație. Din registrul fermei, un animal dă pe sezon cantitățile din primele două rânduri ale tabelului. Pentru sezonul următor, o cooperativă îi propune trei oferte de contract, fiecare cu cantitatea de lână și de lapte pe care ar cumpăra-o. Administratorul vrea să știe câte oi adulte și câte mioare ar da exact aceste cantități: efectivul se fixează din timp, la planul de pășunat, când se hotărăște câte mioare se păstrează și câte oi se vând.

Întrebare: ce efectiv cere fiecare ofertă și care dintre oferte nu poate fi onorată de nicio turmă?

De la situație la model

Producția unui animal ocupă o coloană a matricei $A$, iar ofertele sunt matrice cu o coloană. Dicționarul de mai jos leagă cuvintele fermei de cele ale matematicii.

Ce este inversa unei matrice de ordin 2?

Efectivul cu $x$ oi adulte și $y$ mioare dă $x$ ori prima coloană a lui $A$, plus $y$ ori a doua, adică produsul $A\cdot X$; cantitățile din ofertă sunt $B$, deci $A\cdot X=B$. Inversa unei matrice pătratice $A$ de ordin 2 este matricea $A^{-1}$ pentru care $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_2$, unde $I_2$ este matricea unitate. Dacă ai $A^{-1}$, înmulțești cu ea ambii membri ai egalității $A\cdot X=B$, la stânga, și obții $X=A^{-1}\cdot B$. Ordinea factorilor contează; despre ea vezi ecuațiile matriceale.

Cum scrii inversa pe scurt?

Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ cu $ad-bc\ne 0$ procedezi în trei mișcări: $a$ și $d$ își schimbă locurile pe diagonala principală, $b$ și $c$ rămân pe loc, dar cu semn opus, iar rezultatul se împarte la determinant.

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

La ferma din situație, $\det A=3\cdot 54-2\cdot 78=6$, deci $A^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}54& -2\\ -78& 3\end{array}\right)$. Formula are sens pentru că produsul matricei cu cea schimbată este $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)=(ad-bc)I_2$; de aceea împarți la $ad-bc$. Din formulă rezultă și că $\det (A^{-1})=\frac{1}{ad-bc}$.

De ce trebuie ca determinantul să nu fie 0?

Dacă mioarele ar da 52 L în loc de 54 L, ar fi $\det A=3\cdot 52-2\cdot 78=0$. Atunci ambele categorii dau câte 26 L de lapte la fiecare kilogram de lână, iar orice ofertă are același raport. Din cantități nu se mai poate deduce câte animale sunt de fiecare fel, deci nu există inversă. Împărțirea la $ad-bc$ din formulă ar fi o împărțire la 0.

Ce se întâmplă cu inversa dacă înmulțești matricea cu un număr?

Când toate elementele se înmulțesc cu același număr, de exemplu la o schimbare de unitate pe tot tabelul, inversa se împarte la el: pentru $k\ne 0$, $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$, fiindcă $(kA)\cdot \left(\frac{1}{k}{A}^{-1}\right)=A\cdot A^{-1}=I_2$.

Metoda pas cu pas

1. Scrie matricea $A$ cu o categorie pe coloană și cu aceeași unitate pe fiecare linie: dacă lâna este în kilograme într-un loc, tot în kilograme trebuie să fie pe toată linia. Calculează apoi determinantul $ad-bc$ ca în determinantul de ordin 2, cu cele două produse scrise separat. Notează elementele cu $a,b,c,d$, ca să nu amesteci pozițiile.
2. Decide. Dacă $ad-bc=0$, te oprești: matricea nu are inversă, iar problema nu are un efectiv unic. Un determinant nul înseamnă linii proporționale, deci uită-te întâi dacă o linie nu este un multiplu al celeilalte; așa vezi zero fără alt calcul. Dacă matricea depinde de un parametru, pui condiția $ad-bc\ne 0$ și o rezolvi ca pe o ecuație, apoi scoți din numerele reale valorile găsite.
3. Scrie matricea intermediară: elementele $a$ și $d$ își schimbă locurile, iar $b$ și $c$ rămân pe loc, dar cu semnul schimbat. La ferma din situație, 3 și 54 își schimbă locurile, iar 2 și 78 devin $-2$ și $-78$. Citește matricea de două ori, fiindcă aici se pierd cele mai multe semne.
4. Împarte matricea intermediară la determinant. La numere mari, păstrează factorul $\frac{1}{ad-bc}$ în fața matricei și împarte abia la sfârșit, după ce ai înmulțit cu datele problemei; astfel lucrezi cu numere întregi cât mai mult timp și pierzi mai rar un semn sau o fracție.
5. Verifică: $A\cdot A^{-1}=I_2$ sau, la o aplicație, înlocuiește rezultatul în datele problemei. La o cerință de tipul „demonstrați că $B$ este inversa lui $A$” scrii ambele produse, $A\cdot B$ și $B\cdot A$. Un rezultat cu semn greșit sau cu un factor lipsă nu trece de probă.

Fișa de buzunar

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right),ad-bc\ne 0$$

$$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1},\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}$$

Se aplică numai matricelor pătratice de ordin 2 cu determinant nenul. Verificare rapidă: $A\cdot A^{-1}$ trebuie să dea matricea unitate $I_2$. Dacă determinantul este $1$ sau $-1$ și elementele lui $A$ sunt întregi, și inversa are numai elemente întregi. Dacă $ad-bc=0$, liniile lui $A$ sunt proporționale și nu există inversă.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Oferte de lână și de lapte

Domeniu: zootehnie.

Enunț. Reia ferma din situație: o oaie adultă dă 3 kg de lână și 78 L de lapte, o mioară dă 2 kg și 54 L, iar ofertele sunt 600 kg și 15 780 L, 405 kg și 10 650 L, respectiv 520 kg și 12 000 L. a) Scrie inversa matricei $A$ a producției. b) Află efectivul pentru fiecare ofertă. c) Care ofertă nu poate fi onorată și de ce?

Rezolvare. a) $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 78& 54\end{array}\right)$ are $\det A=3\cdot 54-2\cdot 78=162-156=6$, iar $A^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}54& -2\\ -78& 3\end{array}\right)$. b) Pentru oferta 1, $\left(\begin{array}{cc}54& -2\\ -78& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}600\\ 15780\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}840\\ 540\end{array}\right)$, apoi împărțirea la 6 dă 140 de oi adulte și 90 de mioare. La oferta 2 se obține $\left(\begin{array}{c}570\\ 360\end{array}\right)$, deci 95 de oi adulte și 60 de mioare. La oferta 3 se obține $\left(\begin{array}{c}4080\\ -4560\end{array}\right)$, adică 680 de oi adulte și $-760$ de mioare. c) Oferta 3 nu poate fi onorată, fiindcă un efectiv nu poate avea un număr negativ de mioare.

Capcană. Cine uită să împartă la determinant rămâne cu $\left(\begin{array}{c}840\\ 540\end{array}\right)$ și crede că ferma are 840 de oi adulte și 540 de mioare, adică de 6 ori mai multe decât trebuie.

Verificare. Pentru oferta 1, $3\cdot 140+2\cdot 90=600$ kg și $78\cdot 140+54\cdot 90=10920+4860=15780$ L. Pe alt drum, orice animal dă între 26 și 27 L de lapte la un kilogram de lână, fiindcă $78:3=26$ și $54:2=27$. Oferta 3 are raportul $12000:520\approx 23,1$, sub 26, deci nu poate veni de la nicio turmă.

Exemplul 2 — Tabelul invers din programul salonului

Domeniu: infrumusetare.

Enunț. Un salon de coafură amestecă două tuburi de vopsea. După fișa producătorului, primul are 17 părți de pigment roșu și 5 părți de pigment galben, iar al doilea 7 părți de roșu și 2 de galben. Matricea este $A=\left(\begin{array}{cc}17& 7\\ 5& 2\end{array}\right)$, cu tuburile pe coloane. Programul de rețete al salonului calculează câte tuburi intră într-o nuanță cu tabelul $B=\left(\begin{array}{cc}-2& 7\\ 5& -17\end{array}\right)$, notat pe fișă drept inversa lui $A$. Înainte să-l folosească, coloristul îl verifică. a) Demonstrează că $B$ este inversa lui $A$. b) O colegă a copiat tabelul pe fișa de la raft cu o greșeală: $C=\left(\begin{array}{cc}-2& 7\\ 5& 17\end{array}\right)$. Arată că $C$ nu este inversa lui $A$.

Rezolvare. a) $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}17\cdot (-2)+7\cdot 5& 17\cdot 7+7\cdot (-17)\\ 5\cdot (-2)+2\cdot 5& 5\cdot 7+2\cdot (-17)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}(-2)\cdot 17+7\cdot 5& (-2)\cdot 7+7\cdot 2\\ 5\cdot 17+(-17)\cdot 5& 5\cdot 7+(-17)\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Ambele produse dau $I_2$, deci $B=A^{-1}$. b) La $A\cdot C$, elementul de pe poziția $(2,2)$ este $5\cdot 7+2\cdot 17=69$, nu 1, deci $A\cdot C\ne I_2$ și $C$ nu este inversa lui $A$.

Capcană. Cine crede că inversa se obține inversând fiecare element scrie $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{17}& \frac{1}{7}\\ \frac{1}{5}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$. Produsul acestei matrice cu $A$ are pe poziția $(1,1)$ valoarea $17\cdot \frac{1}{17}+7\cdot \frac{1}{5}=2,4$, nu 1.

Verificare. Pe alt drum, $\det A=17\cdot 2-7\cdot 5=-1$, iar formula dă $A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}2& -7\\ -5& 17\end{array}\right)=B$. Determinantul lui $B$ este $(-2)(-17)-7\cdot 5=-1$, adică $\frac{1}{\det A}$.

Exemplul 3 — Compost: de la procente la sute de kilograme

Domeniu: mediu.

Enunț. Un centru de compostare amestecă gunoi de grajd și paie. Analiza arată că gunoiul are 28 % carbon și 2,5 % azot, iar paiele au 44 % carbon și 0,5 % azot. Pentru un lot se vor 564 kg de carbon și 19,5 kg de azot. a) Scrie matricea care dă kilogramele de carbon și de azot la 100 kg de material. b) Află câte sute de kilograme din fiecare material intră în lot. c) Ce s-ar întâmpla dacă azotul gunoiului ar fi rotunjit la 3 %?

Rezolvare. a) La 100 kg de material, kilogramele de carbon și de azot formează $A=\left(\begin{array}{cc}28& 44\\ 2,5& 0,5\end{array}\right)$, cu gunoiul pe prima coloană și paiele pe a doua. b) $\det A=28\cdot 0,5-44\cdot 2,5=14-110=-96$, deci $A^{-1}=\frac{1}{-96}\left(\begin{array}{cc}0,5& -44\\ -2,5& 28\end{array}\right)$. Cu $B=\left(\begin{array}{c}564\\ 19,5\end{array}\right)$ se obține $\left(\begin{array}{cc}0,5& -44\\ -2,5& 28\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{c}-576\\ -864\end{array}\right)$, apoi împărțirea la $-96$ dă 6 sute de kilograme de gunoi, adică 600 kg, și 9 sute de kilograme de paie, adică 900 kg. c) Cu 3 % în loc de 2,5 %, determinantul devine $28\cdot 0,5-44\cdot 3=-118$ și se obțin aproximativ 4,88 sute de kilograme de gunoi și 9,71 sute de kilograme de paie. Gunoiul scade cu aproape o cincime, doar din cauza unei rotunjiri.

Capcană. Cine uită că necunoscutele sunt în sute de kilograme citește $x=6$ ca 6 kg, în loc de 600 kg. Unitatea necunoscutelor este cea din care s-a făcut matricea, aici 100 kg.

Verificare. $28\cdot 6+44\cdot 9=168+396=564$ kg de carbon și $2,5\cdot 6+0,5\cdot 9=15+4,5=19,5$ kg de azot. Raportul carbon : azot este $564:19,5\approx 28,9$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: inversabilă, apoi cu elemente întregi

Domeniu: mecanica.

Enunț. Cerințele au forma celor din probe, cu alte numere: „Se consideră matricea $M(a)=\left(\begin{array}{cc}a+16& 11\\ -22& a-17\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real. a) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $M(a)$ este inversabilă. b) Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 13\\ 3& 4\end{array}\right)$, unde $a$ este număr întreg. Determinați numărul întreg $a$ știind că inversa matricei $A(a)$ are toate elementele numere întregi.”

Rezolvare. a) $\det M(a)=(a+16)(a-17)+242=a^2-a-30=(a-6)(a+5)$. Matricea este inversabilă când $\det M(a)\ne 0$, adică pentru $a\in \mathbb{R}\setminus \{-5,6\}$. b) $\det A(a)=4a-39$, iar $A(a{)}^{-1}=\frac{1}{4a-39}\left(\begin{array}{cc}4& -13\\ -3& a\end{array}\right)$. Numerele 4, $-13$ și $-3$ sunt împărțite la $4a-39$ și trebuie să rămână întregi, deci $4a-39$ divide 4, 13 și 3, adică $4a-39=1$ sau $4a-39=-1$. Din $4a-39=1$ rezultă $a=10$. Din $4a-39=-1$ ar rezulta $a=\frac{19}{2}$, care nu este întreg. Deci $a=10$.

Capcană. Cine scrie condiția de la a) ca $\det M(a)=0$ și răspunde $a\in \{-5,6\}$ a găsit exact valorile pentru care matricea nu este inversabilă.

Verificare. Pentru $a=6$, $\det M(6)=22\cdot (-11)+242=0$. Pentru $a=10$, $\det A(10)=1$ și $A(10{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4& -13\\ -3& 10\end{array}\right)$, cu toate elementele întregi.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează determinantul fiecărei matrice și spune care sunt inversabile: a) $\left(\begin{array}{cc}8& 1\\ 23& 3\end{array}\right)$; b) $\left(\begin{array}{cc}-21& 6\\ -7& 2\end{array}\right)$; c) $\left(\begin{array}{cc}3& 17\\ 2& 12\end{array}\right)$; d) $\left(\begin{array}{cc}-9& -1\\ 17& 2\end{array}\right)$.

2. Scrie inversa fiecărei matrice: a) $\left(\begin{array}{cc}-4& 23\\ -2& 11\end{array}\right)$; b) $\left(\begin{array}{cc}13& 2\\ 7& 1\end{array}\right)$.

3. Arată, prin cele două produse, că $B=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -23& 11\end{array}\right)$ este inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}11& -1\\ 23& -2\end{array}\right)$.

4. Se știe că $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-4& -29\\ 1& 7\end{array}\right)$. Fără să calculezi inversa din nou, află: a) $\det (A^{-1})$ și $\det A$; b) matricea $A$; c) inversa matricei $2A$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Un depozit expediază două feluri de colete. Un colet de tipul 1 are 9 cutii și cântărește 32 kg, iar unul de tipul 2 are 3 cutii și 11 kg. O comandă cere în total 147 de cutii și 527 kg. Scrie matricea coletelor, inversa ei și află câte colete de fiecare tip se expediază.

6. (Problemă aplicată.) O firmă de logistică închiriază paleți; un palet stă fie în depozitul firmei, fie la un client. De la o săptămână la alta, 85 % din paleții din depozit rămân acolo și 15 % pleacă la clienți, iar dintre paleții de la clienți 30 % se întorc în depozit și 70 % rămân. Matricea săptămânii este $A=\frac{1}{20}\left(\begin{array}{cc}17& 6\\ 3& 14\end{array}\right)$, cu depozitul pe prima linie și pe prima coloană. Vineri sunt 333 de paleți în depozit și 216 la clienți. Câți erau în fiecare loc cu o săptămână înainte?

7. (Problemă aplicată.) O spălătorie auto vinde două abonamente lunare: abonamentul „Oraș” are 8 spălări exterioare și 3 spălări complete, iar abonamentul „Familie” are 11 exterioare și 5 complete. Matricea este $A=\left(\begin{array}{cc}8& 11\\ 3& 5\end{array}\right)$, cu abonamentele pe coloane, iar fiecare abonament se folosește integral. a) Scrie inversa lui $A$. b) Luna aceasta s-au făcut cu 7 spălări complete mai mult decât luna trecută, iar spălările exterioare au rămas la fel. Cum s-a schimbat numărul de abonamente din fiecare fel?

8. (Problemă aplicată.) Un fermier seamănă grâu și orz. Pe hectar, grâul cere 18 zeci de kilograme de sămânță și 31 de zeci de kilograme de îngrășământ, iar orzul 16 și 27. Planul cere 316 zeci de kilograme de sămânță și 537 de zeci de kilograme de îngrășământ. Câte hectare se seamănă cu fiecare cultură?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $M(a)=\left(\begin{array}{cc}a+17& 6\\ -19& a-8\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real. Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $M(a)$ este inversabilă.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 13\\ -1& 7\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}-7& 13\\ -1& 2\end{array}\right)$. Demonstrați că matricea $B$ este inversa matricei $A$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie matricele $A=\left(\begin{array}{cc}11& 4\\ -7& -2\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x-12& -4\\ 7& x+1\end{array}\right)$, cu $x\in \mathbb{R}$. Determinați valoarea reală $a$ pentru care $B(a)$ este inversa matricei $C=\frac{1}{6}A$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 11\\ 5& 6\end{array}\right)$, unde $a$ este număr întreg. Determinați numărul întreg $a$ știind că inversa matricei $A(a)$ are toate elementele numere întregi.

Răspunsuri și verificări

1. a) $\det =1$; b) $\det =0$; c) $\det =2$; d) $\det =-1$. Sunt inversabile a), c) și d); b) nu este. Verificare: la b), $-21:(-7)=3$ și $6:2=3$, deci liniile sunt proporționale.

2. a) $\det =-4\cdot 11-23\cdot (-2)=2$, deci inversa este $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}11& -23\\ 2& -4\end{array}\right)$. b) $\det =13-14=-1$, deci inversa este $\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 7& -13\end{array}\right)$. Verificare: la b), $13\cdot (-1)+2\cdot 7=1$ pe poziția $(1,1)$ a produsului.

3. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}11\cdot (-2)+(-1)(-23)& 11\cdot 1+(-1)\cdot 11\\ 23\cdot (-2)+(-2)(-23)& 23\cdot 1+(-2)\cdot 11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Verificare: formula inversei dă $A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -23& 11\end{array}\right)$, exact matricea $B$.

4. a) $\det (A^{-1})=-28+29=1$, deci $\det A=1$. b) $A$ este inversa lui $A^{-1}$: $A=\left(\begin{array}{cc}7& 29\\ -1& -4\end{array}\right)$. c) $(2A{)}^{-1}=\frac{1}{2}{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& -14,5\\ 0,5& 3,5\end{array}\right)$. Verificare: produsul $A\cdot A^{-1}$ are pe poziția $(1,1)$ valoarea $7\cdot (-4)+29\cdot 1=1$, iar pe poziția $(1,2)$ valoarea $7\cdot (-29)+29\cdot 7=0$.

5. $A=\left(\begin{array}{cc}9& 3\\ 32& 11\end{array}\right)$ are $\det A=99-96=3$, iar $A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}11& -3\\ -32& 9\end{array}\right)$. Produsul matricei $\left(\begin{array}{cc}11& -3\\ -32& 9\end{array}\right)$ cu $\left(\begin{array}{c}147\\ 527\end{array}\right)$ este $\left(\begin{array}{c}36\\ 39\end{array}\right)$, deoarece $11\cdot 147-3\cdot 527=36$ și $-32\cdot 147+9\cdot 527=39$; după împărțirea la 3 se expediază 12 colete de tipul 1 și 13 de tipul 2. Verificare: $9\cdot 12+3\cdot 13=147$ cutii și $32\cdot 12+11\cdot 13=527$ kg.

6. Pentru $M=\left(\begin{array}{cc}17& 6\\ 3& 14\end{array}\right)$, $\det M=238-18=220$, deci $A^{-1}=20M^{-1}=\frac{20}{220}\left(\begin{array}{cc}14& -6\\ -3& 17\end{array}\right)=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{cc}14& -6\\ -3& 17\end{array}\right)$. Atunci $A^{-1}\left(\begin{array}{c}333\\ 216\end{array}\right)=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{c}3366\\ 2673\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}306\\ 243\end{array}\right)$: erau 306 paleți în depozit și 243 la clienți. Verificare: $0,85\cdot 306+0,30\cdot 243=260,1+72,9=333$, iar totalul rămâne 549.

7. a) $\det A=40-33=7$, deci $A^{-1}=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}5& -11\\ -3& 8\end{array}\right)$. b) A doua coloană a lui $A^{-1}$ are numerele $-\frac{11}{7}$ și $\frac{8}{7}$; înmulțite cu 7 spălări complete, dau $-11$ și $8$: 11 abonamente „Oraș” mai puțin și 8 „Familie” mai mult. Verificare: $-11\cdot 8+8\cdot 11=0$ spălări exterioare în plus și $-11\cdot 3+8\cdot 5=7$ spălări complete în plus.

8. $A=\left(\begin{array}{cc}18& 16\\ 31& 27\end{array}\right)$ are $\det A=486-496=-10$, iar $A^{-1}=-\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}27& -16\\ -31& 18\end{array}\right)$. Se obține $27\cdot 316-16\cdot 537=-60$ și $-31\cdot 316+18\cdot 537=-130$, apoi împărțirea la $-10$ dă 6 ha de grâu și 13 ha de orz. Verificare: $18\cdot 6+16\cdot 13=316$ și $31\cdot 6+27\cdot 13=537$.

9. $\det M(a)=(a+17)(a-8)+114$. Rezultă $\det M(a)=a^2+9a-22=(a+11)(a-2)$. Matricea este inversabilă pentru $a\in \mathbb{R}\setminus \{-11,2\}$. Verificare: pentru $a=2$, $\det M(2)=19\cdot (-6)+114=0$.

10. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}(-2)(-7)+13\cdot (-1)& (-2)\cdot 13+13\cdot 2\\ (-1)(-7)+7\cdot (-1)& (-1)\cdot 13+7\cdot 2\end{array}\right)=I_2$. La fel, $B\cdot A=I_2$. Deci $B$ este inversa lui $A$. Verificare: formula dă $A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}7& -13\\ 1& -2\end{array}\right)=B$.

11. Inversa lui $C=\frac{1}{6}A$ este $6A^{-1}$, adică chiar matricea $\left(\begin{array}{cc}-2& -4\\ 7& 11\end{array}\right)$, fiindcă $\det A=-22+28=6$. Egalând cu $B(a)=\left(\begin{array}{cc}a-12& -4\\ 7& a+1\end{array}\right)$ se obține $a-12=-2$ și $a+1=11$. Deci $a=10$. Verificare: $C\cdot B(10)=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}11\cdot (-2)+4\cdot 7& 11\cdot (-4)+4\cdot 11\\ -7\cdot (-2)-2\cdot 7& -7\cdot (-4)-2\cdot 11\end{array}\right)=\frac{1}{6}\cdot 6\cdot I_2=I_2$.

12. $\det A(a)=6a-55$, iar elementele inversei sunt numerele $6$, $-11$, $-5$ și $a$ împărțite la $6a-55$. Ele rămân întregi dacă $6a-55=1$ sau $6a-55=-1$. Din $6a-55=1$ ar rezulta $a=\frac{28}{3}$, iar din $6a-55=-1$ rezultă $a=9$. Deci $a=9$. Verificare: $A(9{)}^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}6& -11\\ -5& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-6& 11\\ 5& -9\end{array}\right)$, cu toate elementele întregi.

Așa vine la Bac M3

Inversa unei matrice de ordin 2 a apărut în 17 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, toate la Subiectul al II-lea, problema 1. În 5 dintre ele cerința are inversa ca temă principală; în celelalte 12, inversa este un pas în rezolvarea unei ecuații matriceale, despre care vezi lecția ecuații matriceale. Patru dintre cele cinci cerințe de bază:

• August 2018, Subiectul al II-lea, exercițiul 1b: matricea depinde de un parametru real $a$ și se cer valorile lui $a$ pentru care ea este inversabilă; baremul probei dă 2 puncte pentru determinantul calculat ca polinom în $a$ și 3 puncte pentru condiția „determinant nenul” și mulțimea valorilor lui $a$ (ambele la pasul 2 din Metodă).
• Simularea din 2018, Subiectul al II-lea, exercițiul 1b: se dau două matrice numerice și unitatea $I_2$, iar cerința este să demonstrezi că a doua este inversa primeia; baremul probei dă 2 puncte pentru primul produs și 3 puncte pentru al doilea produs și concluzie (pasul 5).
• Modelul din 2023, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: se dă o matrice numerică $A$, o matrice cu parametru $B(x)$ și matricea $C$ obținută înmulțind $A$ cu inversul unui număr; se cere valoarea parametrului pentru care $B(a)$ este inversa lui $C$; baremul probei dă 2 puncte pentru produsul scris cu parametrul și 3 puncte pentru egalitatea cu $I_2$ și valoarea parametrului (pasul 5).
• August 2014, rezervă, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: matricea are un parametru întreg și se cere valoarea lui pentru care inversa are toate elementele întregi; baremul probei dă 3 puncte pentru inversa scrisă cu determinantul la numitor (pașii 2–4 din Metodă), câte un punct pentru fiecare dintre cele două valori posibile ale determinantului, $1$ și $-1$.

Exercițiile 9–12 repetă aceste patru forme. Inversa de ordin 3 vine în inversa 3×3 în patru pași, iar pe traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică găsești restul temelor anului.

Greșeli care costă puncte

• Inversezi fiecare element al matricei → cum o prinzi: înmulțești matricea cu rezultatul; dacă nu obții $I_2$, regula nu este bună, ca în Exemplul 2.
• Uiți să împarți la determinant → cum o prinzi: verifici o poziție a produsului $A\cdot A^{-1}$; la ferma din Exemplul 1 ai fi obținut un efectiv de 6 ori prea mare.
• La „pentru ce $a$ este inversabilă” rezolvi $\det =0$ și dai valorile găsite ca răspuns → cum o prinzi: citești încă o dată întrebarea; răspunsul este mulțimea fără acele valori, iar la cerința din august 2018 peste jumătate din punctaj era pentru această mulțime.
• La inversa cu elemente întregi uiți că determinantul poate fi și $-1$ → cum o prinzi: scrii ambele cazuri, $\det =1$ și $\det =-1$, și le verifici pe rând.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul inversei unei matrice pătratice de ordinul al doilea se cere la Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 17 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce înseamnă numărul 9 din inversa matricei producției?

Inversa este $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}9& -\frac{1}{3}\\ -13& \frac{1}{2}\end{array}\right)$. Prima ei coloană arată cum se schimbă efectivul dacă oferta cere un kilogram de lână în plus, cu același lapte: 9 oi adulte în plus și 13 mioare în minus. Cele două categorii dau aproape același lapte la kilogramul de lână, 26 și 27 L, de aceea efectivul se schimbă atât de mult.

Cât lapte ar trebui să ceară oferta 3, cu aceleași 520 kg de lână, ca să poată fi onorată?

Laptele trebuie să fie între 26 și 27 L pe kilogramul de lână, adică cel puțin 13 520 L și cel mult 14 040 L. De exemplu, 520 kg de lână și 13 704 L de lapte dau un efectiv de 112 oi adulte și 92 de mioare, ambele numere pozitive.

Dacă lâna ar fi trecută în grame, ce se schimbă la inversă?

Prima linie a lui $A$ se înmulțește cu 1000, iar prima coloană a inversei se împarte la 1000. Inversa devine $\left(\begin{array}{cc}0,009& -\frac{1}{3}\\ -0,013& \frac{1}{2}\end{array}\right)$, iar oferta 1 se scrie acum 600 000 de grame și 15 780 L. Efectivul rămâne 140 și 90.

Ce fac dacă efectivul iese un număr neîntreg de animale?

Un efectiv se numără în animale întregi. Un rezultat ca $140,4$ arată că datele nu se potrivesc exact: oferta nu poate fi onorată cu cantitățile cerute, sau cifrele din registru au fost rotunjite. Refă mai întâi calculul și verifică datele din tabel, înainte să rotunjești efectivul.

Ce cer cerințele despre inversa 2×2 la Bacalaureatul M3?

A apărut numai la problema 1 a Subiectului al II-lea, în 17 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026. Printre cerințele de bază au fost inversabilitatea unei matrice cu parametru, demonstrația că o matrice este inversa alteia, parametrul din egalitatea cu inversa și inversa cu elemente întregi. Pașii 2–5 din Metodă le acoperă pe toate.