Tabelul complementelor algebrice ale unei matrice $$A$$ de ordin 3 este $$C = \begin{pmatrix} 13 & -4 & 7 \\ -9 & 12 & 2 \\ 5 & -11 & 6 \end{pmatrix}$$. Care este adjuncta $$A^{*}$$?

$$\begin{pmatrix} 13 & -9 & 5 \\ -4 & 12 & -11 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 13 & -4 & 7 \\ -9 & 12 & 2 \\ 5 & -11 & 6 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 13 & 9 & 5 \\ 4 & 12 & 11 \\ 7 & -2 & 6 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 6 & 2 & 7 \\ -11 & 12 & -4 \\ 5 & -9 & 13 \end{pmatrix}$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Inversa 3×3 în patru mișcări

Cum aflu inversa matricei A(0) cu un parametru?

Înlocuiești mai întâi valoarea cerută: din $A (x)$ rămâne o matrice numerică, $A (0)$ . Dacă ultima linie și ultima coloană au zerouri, în afară de colț, inversezi pe rând blocul 2×2 și elementul din colț. Exemplu: $A (0) = 950430006$ are $det A (0) = 6 \cdot 7 = 42$ , iar $A (0)^{- 1} = \frac{1}{42} 18 - 30 0 - 24 540 007$ . Proba: $\frac{9 \cdot 18 - 4 \cdot 30}{42} = 1$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Inversa unei matrice $A$ de ordin 3 este matricea $A^{- 1}$ cu $A \cdot A^{- 1} = I_{3}$ , iar ea există doar dacă $det A \neq = 0$ . O folosești când un tabel de norme trebuie întors: din totalurile unei luni vrei să afli câte unități din fiecare fel s-au făcut. La ordinul 3 calculul are patru mișcări, fiecare cu rolul ei.

Întâi afli $det A$ și te oprești dacă iese zero. Apoi scrii tabelul complementelor: pentru fiecare element acoperi linia și coloana lui, calculezi determinantul 2×2 din cele patru numere rămase libere și îl iei cu semnul de pe poziția sa, plus sau minus, alternând ca pe un cadran. Cele nouă complemente stau la locul elementelor lor. A treia mișcare schimbă liniile cu coloanele: transpusa tabelului este adjuncta $A^{*}$ . În sfârșit, $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ , cu împărțirea lăsată pe ultimul loc.

Două greșeli costă cel mai mult: tabelul netranspus și semnul uitat. O singură coloană de control le prinde pe amândouă: coloana $k$ a adjunctei, înmulțită cu $A$ , trebuie să dea coloana $k$ din $(det A) I_{3}$ . Dacă matricea are zerouri pe o linie sau pe o coloană, determinantul și mai multe complemente se reduc la un singur produs. La o familie $A (x)$ , înlocuiești întâi valoarea cerută și abia apoi cauți complementele.

La o problemă aplicată înmulțești inversa cu coloana totalurilor și pui rezultatul în datele inițiale. Dacă ai nevoie de o singură necunoscută, îți ajunge o singură linie a adjunctei.

De reținut

$A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ , cu $det A \neq = 0$ și $A^{*}$ transpusa tabelului complementelor
la o matrice cu parametru, înlocuiești mai întâi valoarea cerută
zerourile de pe ultima linie și ultima coloană separă un bloc de ordin 2 de numărul din colț

Greșeala tipică

Se inversează blocul de ordin 2, dar numărul din colț rămâne 6 în loc de $\frac{1}{6}$ : la $A (0)$ de mai sus, produsul cu $A (0)^{- 1}$ ar avea 36, nu 1, pe ultima diagonală.

Exerciții din această mini-lecție

Tabelul complementelor algebrice ale unei matrice $A$ de ordin 3 este $C = 13 - 9 5 - 4 12 - 11 726$ . Care este adjuncta $A^{*}$ ?
- a) $13 - 9 5 - 4 12 - 11 726$
- b) $13 - 4 7 - 9 122 5 - 11 6$
- c) $1347 912 - 2 5116$
- d) $6 - 11 5 212 - 9 7 - 4 13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $13 - 4 7 - 9 122 5 - 11 6$

Adjuncta este transpusa tabelului: prima linie a lui $C$ , $(13; - 4; 7)$ , devine prima coloană a lui $A^{*}$ , și la fel celelalte. Varianta a) lasă tabelul netranspus. Varianta c) schimbă încă o dată semnele de pe pozițiile cu $i + j$ impar, deși ele sunt deja incluse în complemente. Varianta d) transpune față de cealaltă diagonală.
O secție de prelucrări ține orele pe lot într-o matrice $A = 1497 6 - 2 4 35 - 8$ , cu liniile strung, frezare și rectificare și cu piesele pe coloane. Care este complementul algebric $δ_{32}$ al elementului de pe linia 3, coloana 2?
- a) $43$
- b) $- 14$
- c) $- 97$
- d) $- 43$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 43$

Acoperi linia 3 și coloana 2 și rămân $14, 3, 9, 5$ , cu minorul $14 \cdot 5 - 3 \cdot 9 = 43$ . Poziția $(3, 2)$ are $i + j = 5$ , impar, deci semnul este minus și $δ_{32} = - 43$ . Varianta $43$ uită semnul. Varianta $- 14$ este complementul de pe poziția $(2, 3)$ , deci a citit poziția transpusă. Varianta $- 97$ adună cele două produse în loc să le scadă.
Prima linie a unei matrice $A$ de ordin 3 este $(5; 2; - 3)$ , iar prima coloană a adjunctei $A^{*}$ este $4117$ . Cât este $det A$ ?
- a) $21$
- b) $63$
- c) $88$
- d) $- 21$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $21$

Din $A \cdot A^{*} = (det A) I_{3}$ , produsul primei linii a lui $A$ cu prima coloană a lui $A^{*}$ este $det A$ : $5 \cdot 4 + 2 \cdot 11 + (- 3) \cdot 7 = 20 + 22 - 21 = 21$ . Varianta $63$ ia $- 3$ ca $+ 3$ . Varianta $88$ adună mai întâi fiecare listă și înmulțește sumele, $4 \cdot 22$ . Varianta $- 21$ răstoarnă semnul rezultatului.

Întrebări conexe

Cum calculez inversa unei matrice cu zecimale?

Înmulțești matricea cu 10, afli inversa matricei întregi și o înmulțești apoi tot cu 10, fiindcă $A^{- 1} = 10 (10 A)^{- 1}$ . Pentru $A = 1, 2 00 0 0, 5 0 012$ , matricea $10 A$ are $det = 1200$ , iar inversa lui $A$ iese $\frac{5}{6} 00 020 0 - 1 \frac{1}{2}$ .

Cum aflu o singură necunoscută fără toată inversa?

Îți ajunge linia adjunctei care corespunde necunoscutei, adică complementele coloanei ei din $A$ . Pentru $A = 325142216$ , cu $det A = 27$ și totalurile $(25; 25; 56)$ , a treia necunoscută este $z = \frac{- 16 \cdot 25 - 1 \cdot 25 + 10 \cdot 56}{27} = 5$ .

Cum găsesc un singur element al inversei?

Elementul de pe linia $i$ , coloana $j$ este $\frac{δ _{j i}}{det A}$ , cu indicii inversați de transpunere. Pentru aceeași matrice $A$ de mai sus, elementul $(1, 3)$ vine din $δ_{31} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 4 = - 7$ , deci este $- \frac{7}{27}$ .

Pot lăsa factorul 1/det în fața matricei?

Da, dacă adjuncta rămâne cu numere întregi în paranteză. Dacă toate elementele ei se împart la același număr, simplifici factorul: pentru $det = 192$ și adjuncta $480003200024$ , inversa se scrie $\frac{1}{24} 600040003$ .

Cum folosesc inversa când totalurile sunt în ore, iar normele în minute?

Aduci totalurile la unitatea matricei înainte de înmulțire. Dacă $A$ are minute pe lot, un total de $2, 5$ h se scrie $150$ min în coloana $B$ . Cu coloana în ore, $X = A^{- 1} B$ iese de 60 de ori mai mic, iar numărul de loturi nu se mai potrivește cu realitatea.

Oamenii mai întreabă și: inversa lui A(0) · inversa unei matrice pentru o valoare dată a parametrului · inversa matricei 3×3 pentru x = 0 · inversa unei matrice 3×3 cu zerouri pe margini