Inversa 3×3 în patru pași, la tehnologic

Un complex turistic ține trei registre de ore: al coordonatorului de evenimente, al salonului și al echipei de curățenie. Din ele, contabila vrea să afle câte nunți, conferințe și botezuri s-au ținut într-o lună, ca să le compare cu facturile. Ecuațiile au o matrice de ordin 3, iar inversa ei, din materia de clasa a XI-a a filierei tehnologice, se obține în patru pași. Programa pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) cere matricele inversabile de ordin 2 și 3.

Situația de pornire

Un complex turistic din Poiana Brașov, cu hotel și restaurant, organizează pe bază de rezervare trei feluri de evenimente: nunți, conferințe și botezuri. Normele interne dau, pentru fiecare fel de eveniment, orele coordonatorului de evenimente, orele în care salonul e ocupat (pregătire, eveniment și strângere) și orele echipei de curățenie. La sfârșitul lunii, contabila verifică registrele: din orele totale vrea să afle câte evenimente de fiecare fel arată ele, ca să le compare cu facturile emise.

Întrebare: câte nunți, conferințe și botezuri arată registrele din iunie și cum afli numai numărul de botezuri din iulie, fără celelalte două necunoscute?

De la situație la model

Orele unui eveniment formează o coloană a matricei $A$, iar orele totale dintr-o lună formează o matrice cu o coloană. Dicționarul traduce situația.

Ce este complementul algebric al unui element?

Dacă tai din $A$ linia $i$ și coloana $j$, rămâne o matrice de ordin 2. Determinantul ei este minorul ${\Delta }_{ij}$ al elementului $a_{ij}$. Complementul algebric al lui $a_{ij}$ este ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$, adică minorul luat cu semnul de pe poziția $(i,j)$ din tabla de mai jos.

$$\left(\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right)$$

La matricea orelor, tai linia 1 și coloana 1 și rămân numerele 13, 11, 4 și 3, cu ${\Delta }_{11}=13\cdot 3-11\cdot 4=-5$ și ${\delta }_{11}=-5$. Pe poziția $(1,2)$ semnul din tablă este minus, deci acolo complementul este minorul cu semnul schimbat.

Cum se obține inversa din complemente?

Așază cele nouă complemente în tabelul $C$, fiecare pe locul elementului lui. Transpune tabelul, adică schimbă liniile cu coloanele, și obții adjuncta $A^{\ast }$. Dacă $\det A\ne 0$, atunci

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$$

Formula nu se demonstrează aici; o verifici pe numere, prin produsul $A\cdot A^{\ast }$, care are $\det A$ pe diagonală și 0 în rest. Dacă $\det A=0$, matricea nu are inversă.

De ce se transpune tabelul?

Suma $a_{11}{\delta }_{11}+a_{12}{\delta }_{12}+a_{13}{\delta }_{13}$ este determinantul grupat după prima linie, ca în Sarrus fără greșeli de semn. Dacă pui însă elementele primei linii cu complementele liniei a doua, obții determinantul unei matrice cu două linii egale, adică 0. Linia $i$ a lui $A$ trebuie deci înmulțită cu complementele aceleiași linii, scrise pe coloană: de aceea tabelul $C$ se transpune.

Cum folosești zerourile?

Un zero scurtează calculul: complementul se reduce la un produs, iar o linie cu un singur element nenul reduce și determinantul. Dacă toate elementele ultimei linii și ale ultimei coloane sunt 0, în afară de cel din colț, inversa se obține inversând separat blocul de ordin 2 și numărul din colț.

Metoda pas cu pas

1. Calculează $\det A$ cu regula lui Sarrus, cu cele șase produse scrise fiecare cu semnul lui, sau dezvoltat după o linie cu zerouri; la numere mici Sarrus este cel mai sigur, iar la o linie cu zerouri dezvoltarea scurtează calculul. Dacă iese 0, te oprești: inversa matricei nu există, iar problema nu are soluție unică.
2. Scrie tabelul complementelor. Pentru fiecare element acoperă cu degetul linia și coloana lui, calculează determinantul de ordin 2 al celor patru numere rămase, cu cele două produse scrise separat, și pune semnul din tabla $+-+$ pe prima linie, $-+-$ pe a doua și $+-+$ pe a treia. Scrie semnul din tablă lângă fiecare minor înainte să-l calculezi, ca să nu-l uiți la urmă, și fă calculul rând cu rând, ca să nu sari un element.
3. Transpune tabelul, adică rescrie fiecare linie a lui ca pe o coloană, în aceeași ordine; obții adjuncta $A^{\ast }$; elementul de pe linia 1, coloana 2 al adjunctei este deci complementul elementului de pe linia 2, coloana 1. Împarte-o la determinant: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$. Împărțirea rămâne la urmă, fiindcă adjuncta are numai numere întregi. Dacă numerele sunt mari, păstrează factorul $\frac{1}{\det A}$ în față, înmulțește mai întâi adjuncta cu datele problemei și împarte abia la sfârșit.
4. Verifică: $A\cdot A^{-1}=I_3$ sau, dacă timpul e scurt, măcar o coloană: coloana $k$ a lui $A^{\ast }$, înmulțită cu $A$, trebuie să dea coloana $k$ a lui $\det A\cdot I_3$. La o aplicație, înlocuiește și rezultatul în datele problemei: numerele de evenimente găsite trebuie să refacă exact orele din registre, pe fiecare linie, în ordinea din tabel.

Fișa de buzunar

$${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij},A^{\ast }=({\delta }_{ij}{)}^T,A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$$

$$A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_3$$

Este valabilă doar pentru o matrice pătratică de ordin 3 al cărei determinant nu e 0; cele nouă complemente se scriu în același loc cu elementele lor. Verificare rapidă: produsul $A\cdot A^{\ast }$ are pe diagonală numărul $\det A$ și în rest zerouri; dacă ai uitat transpunerea, acest produs nu iese diagonal.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Orele complexului: inversa și registrele

Domeniu: turism.

Enunț. Reia complexul turistic din situație. Matricea orelor are pe coloane nunta, conferința și botezul, iar pe linii coordonatorul, salonul și curățenia. a) Află inversa matricei $A$ în patru pași. b) Află câte evenimente de fiecare fel arată registrele din iunie. c) Află numai numărul de botezuri din iulie.

Rezolvare. $A=\left(\begin{array}{ccc}7& 7& 6\\ 17& 13& 11\\ 9& 4& 3\end{array}\right)$. Pasul 1: $\det A=273+693+408-702-308-357=7$. Pasul 2: complementele, rând cu rând, sunt ${\delta }_{11}=13\cdot 3-11\cdot 4=-5$, ${\delta }_{12}=-(17\cdot 3-11\cdot 9)=48$, ${\delta }_{13}=17\cdot 4-13\cdot 9=-49$, apoi ${\delta }_{21}=-(7\cdot 3-6\cdot 4)=3$, ${\delta }_{22}=7\cdot 3-6\cdot 9=-33$, ${\delta }_{23}=-(7\cdot 4-7\cdot 9)=35$, apoi ${\delta }_{31}=7\cdot 11-6\cdot 13=-1$, ${\delta }_{32}=-(7\cdot 11-6\cdot 17)=25$ și ${\delta }_{33}=7\cdot 13-7\cdot 17=-28$. Pasul 3: prin transpunere,

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-5& 3& -1\\ 48& -33& 25\\ -49& 35& -28\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{7}{A}^{\ast }$$

Pasul 4: prima coloană a lui $A^{\ast }$ înmulțită cu $A$ dă $7\cdot (-5)+7\cdot 48+6\cdot (-49)=7$, apoi $17\cdot (-5)+13\cdot 48+11\cdot (-49)=0$ și $9\cdot (-5)+4\cdot 48+3\cdot (-49)=0$, adică coloana $(7;0;0)$.

b) Pentru iunie, $A^{\ast }\left(\begin{array}{c}79\\ 158\\ 58\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}21\\ 28\\ 35\end{array}\right)$, deci după împărțirea la 7 registrele arată 3 nunți, 4 conferințe și 5 botezuri. c) Numărul de botezuri este a treia necunoscută, deci ai nevoie numai de a treia linie a lui $A^{\ast }$, adică de complementele celei de-a treia coloane a lui $A$: $-49$, $35$ și $-28$. Pentru iulie, $\frac{-49\cdot 91+35\cdot 184-28\cdot 69}{7}=\frac{-4459+6440-1932}{7}=7$ botezuri.

Capcană. Cine uită să transpună folosește chiar tabelul $C$. Prima lui coloană, înmulțită cu $A$, dă $(-20;-57;-36)$, nu $(7;0;0)$, deci tabelul nu este adjuncta lui $A$.

Verificare. Pentru iunie, $7\cdot 3+7\cdot 4+6\cdot 5=79$ ore la coordonator, $17\cdot 3+13\cdot 4+11\cdot 5=158$ ore de salon și $9\cdot 3+4\cdot 4+3\cdot 5=58$ ore la curățenie, exact cele din registre. Pentru iulie, cu 4 nunți și 3 conferințe din primele două linii ale lui $A^{\ast }$, coordonatorul are $7\cdot 4+7\cdot 3+6\cdot 7=91$ ore.

Exemplul 2 — Debitare, șlefuire, montaj: o linie cu zerouri

Domeniu: lemn.

Enunț. O tâmplărie execută trei repere, o bază, un capac și un cadru. Orele pe lot, la debitare, la șlefuire și la montaj, sunt scrise în matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}14& 11& 4\\ 4& 3& 2\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$, cu reperele pe coloane; la montaj se lucrează numai la cadru. Află inversa matricei $A$ și arată că zerourile scurtează calculul.

Rezolvare. Determinantul se dezvoltă după ultima linie, care are un singur element nenul: $\det A=2\cdot (14\cdot 3-11\cdot 4)=2\cdot (-2)=-4$. Complementele, calculate rând cu rând și cu semnele din tablă, sunt ${\delta }_{11}=6$, ${\delta }_{12}=-8$, ${\delta }_{13}=0$, apoi ${\delta }_{21}=-22$, ${\delta }_{22}=28$, ${\delta }_{23}=0$, apoi ${\delta }_{31}=10$, ${\delta }_{32}=-12$ și ${\delta }_{33}=-2$; de exemplu ${\delta }_{12}=-(4\cdot 2-2\cdot 0)=-8$. Transpunând,

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}6& -22& 10\\ -8& 28& -12\\ 0& 0& -2\end{array}\right),A^{-1}=-\frac{1}{4}{A}^{\ast }$$

Zerourile au dat ${\delta }_{13}={\delta }_{23}=0$, au redus ${\delta }_{11}$, ${\delta }_{12}$, ${\delta }_{21}$ și ${\delta }_{22}$ la câte o singură înmulțire și au lăsat din determinant un singur produs.

Capcană. Cine uită alternarea semnelor ia ${\delta }_{12}=+8$ în loc de $-8$. Prima coloană a adjunctei devine $(6;8;0)$, iar produsul ei cu $A$ dă $(172;48;0)$, nu $(-4;0;0)$.

Verificare. Prima coloană a lui $A^{\ast }$ înmulțită cu $A$ dă $14\cdot 6+11\cdot (-8)+4\cdot 0=-4$, apoi $4\cdot 6+3\cdot (-8)+2\cdot 0=0$ și $0$, adică $\det A$ pe prima poziție și 0 în rest, exact ce cere pasul 4 din Metodă.

Exemplul 3 — Rețete cu zecimale: înmulțești cu 10

Domeniu: chimie.

Enunț. Un atelier de săpunuri naturale lucrează după trei rețete: cu lavandă, cu miere și cu ovăz. Un lot cu lavandă cere 2,7 kg de amestec de uleiuri, 0,4 kg de hidroxid de sodiu și 0,7 kg de apă distilată, un lot cu miere 4,2 kg, 0,6 kg și 1,2 kg, iar un lot cu ovăz 3,1 kg, 0,4 kg și 1,2 kg. Într-o zi s-au folosit 31,1 kg de uleiuri, 4,4 kg de hidroxid și 9,3 kg de apă. Câte loturi din fiecare rețetă s-au făcut?

Rezolvare. Matricea cu zecimale, cu rețetele pe coloane, este $A=\left(\begin{array}{ccc}2,7& 4,2& 3,1\\ 0,4& 0,6& 0,4\\ 0,7& 1,2& 1,2\end{array}\right)$. Ca să scapi de zecimale, înmulțești cu 10 și matricea, și datele: $10A=\left(\begin{array}{ccc}27& 42& 31\\ 4& 6& 4\\ 7& 12& 12\end{array}\right)$, iar datele devin $\left(\begin{array}{c}311\\ 44\\ 93\end{array}\right)$. Pentru $10A$, $\det =-6$, iar adjuncta este $(10A{)}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}24& -132& -18\\ -20& 107& 16\\ 6& -30& -6\end{array}\right)$. Produsul $(10A{)}^{\ast }\left(\begin{array}{c}311\\ 44\\ 93\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ -24\\ -12\end{array}\right)$, iar împărțirea la $-6$ dă 3 loturi cu lavandă, 4 cu miere și 2 cu ovăz.

Capcană. Cine înmulțește matricea cu 10, dar lasă datele neschimbate, $\left(\begin{array}{c}31,1\\ 4,4\\ 9,3\end{array}\right)$, obține loturi de zece ori mai mici: 0,3, 0,4 și 0,2.

Verificare. $2,7\cdot 3+4,2\cdot 4+3,1\cdot 2=8,1+16,8+6,2=31,1$ kg de uleiuri, $0,4\cdot 3+0,6\cdot 4+0,4\cdot 2=4,4$ kg de hidroxid și $0,7\cdot 3+1,2\cdot 4+1,2\cdot 2=9,3$ kg de apă.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: inversa lui A(0)

Domeniu: comert.

Enunț. Cerința are forma celor din probe, dar cu alte cifre: „Se dă, pentru fiecare număr real $x$, matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}17& 8& x\\ 6& 3& x\\ x& x& 8\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A(1)$. b) Arătați că $\det A(x)=24-6x^2$, pentru orice număr real $x$. c) Determinați inversa matricei $A(0)$.” Ca situație, $A(0)$ ar fi tabelul a trei articole dintre care al treilea nu folosește nimic din resursele primelor două.

Rezolvare. a) $A(1)=\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 6& 3& 1\\ 1& 1& 8\end{array}\right)$ și $\det A(1)=408+8+6-3-17-384=18$. b) Pe diagonala principală și pe paralelele ei ies $408$, $8x^2$ și $6x^2$; pe diagonala secundară și pe paralelele ei ies $3x^2$, $17x^2$ și $384$. Rezultă $\det A(x)=408+8x^2+6x^2-3x^2-17x^2-384=24-6x^2$. c) $A(0)=\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 0\\ 6& 3& 0\\ 0& 0& 8\end{array}\right)$ are $\det A(0)=24$. Complementele nenule sunt ${\delta }_{11}=24$, ${\delta }_{12}=-48$, ${\delta }_{21}=-64$, ${\delta }_{22}=136$ și ${\delta }_{33}=3$; celelalte patru sunt 0. Transpunând, $A(0{)}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}24& -64& 0\\ -48& 136& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$, deci $A(0{)}^{-1}=\frac{1}{24}A(0{)}^{\ast }$.

Capcană. Cine împarte adjuncta la $\det A(1)=18$, rămas de la a), în loc de $\det A(0)=24$, obține pe poziția $(1,1)$ a produsului cu $A(0)$ valoarea $\frac{24}{18}$, nu 1.

Verificare. Prima linie a produsului $A(0)\cdot A(0{)}^{-1}$ are $\frac{1}{24}(17\cdot 24+8\cdot (-48))=1$ și $\frac{1}{24}(17\cdot (-64)+8\cdot 136)=0$. Pe alt drum, blocul de ordin 2 are inversa $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}3& -8\\ -6& 17\end{array}\right)$, iar numărul din colț are inversul $\frac{1}{8}$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 12& 6\\ 1& 6& 1\\ 2& 8& 3\end{array}\right)$ calculează complementele algebrice ${\delta }_{12}$ și ${\delta }_{23}$ și determinantul.

2. Află inversa matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 7& 13\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

3. Arată, calculând numai prima coloană a produsului $A\cdot B$, că ea este coloana $(1;0;0)$, unde $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 2& 7& 8\\ 4& 0& 17\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}119& -51& -4\\ -2& 1& 0\\ -28& 12& 1\end{array}\right)$.

4. Află valorile reale ale lui $x$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{ccc}x& 14& 19\\ 0& 3& -8\\ 0& 0& x-16\end{array}\right)$ nu are inversă.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) O florărie face trei feluri de buchete din trandafiri, lalele și crenguțe verzi. Matricea numărului de fire pe buchet, cu buchetele pe coloane, este $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 4& 2& 1\\ 8& 11& 7\end{array}\right)$, iar inversa ei este $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-3& -1& 1\\ 20& 9& -7\\ -28& -13& 10\end{array}\right)$. Florăria are 28 de trandafiri, 31 de lalele și 119 crenguțe, pe care vrea să le folosească pe toate în aceeași zi. Câte buchete din fiecare fel face?

6. (Problemă aplicată.) O stație de epurare a apei are trei echipe: electricieni, lăcătuși și operatori. O verificare, o curățare și o reparație cer, în ore: la electricieni 2, 6 și 3, la lăcătuși 9, 11 și 9, la operatori 3, 7 și 4. Într-o lună echipele au lucrat 42, 123 și 55 de ore. Află inversa matricei orelor și numărul de verificări, de curățări și de reparații.

7. (Problemă aplicată.) O fabrică de sucuri face suc de mere, nectar de pere și sirop de soc. Sucul și nectarul trec prin aceleași două linii, presare și pasteurizare, iar siropul are o linie separată, de fierbere. Orele pe lot formează matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}13& 9& 0\\ 10& 7& 0\\ 0& 0& 12\end{array}\right)$, cu liniile presare, pasteurizare și fierbere și cu produsele pe coloane. Într-o săptămână s-au lucrat 141 h la presare, 109 h la pasteurizare și 36 h la fierbere. Află $A^{-1}$ folosind zerourile, apoi numărul de loturi din fiecare produs.

8. (Problemă aplicată.) La un service, trei tipuri de revizie cer filtre, ore de manoperă și litri de antigel: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 6& 3\\ 2& 9& 4\\ 1& 13& 6\end{array}\right)$, cu reviziile pe coloane. Într-o săptămână s-au consumat 39 de filtre, 59 de ore și 80 de litri de antigel. Calculează numai numărul de revizii de al doilea tip, folosind complementele coloanei a doua.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}7& 8& x\\ 12& 14& x\\ x& x& 2\end{array}\right)$. Determinați inversa matricei $A(0)$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}8& x& x\\ x& -1& -2\\ x& 8& 13\end{array}\right)$. Determinați inversa matricei $A(0)$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 2& -1& -9\\ 4& -2& -17\end{array}\right)$. Determinați inversa matricei $A$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}9& 6& x+8\\ 8& 7& x\\ 2& x-2& 12\end{array}\right)$. Determinați inversa matricei $A(1)$.

Răspunsuri și verificări

1. ${\delta }_{12}=-(1\cdot 3-1\cdot 2)=-1$, ${\delta }_{23}=-(4\cdot 8-12\cdot 2)=-8$ și $\det A=72+24+48-72-32-36=4$. Verificare: grupat după prima linie, $4\cdot 10-12\cdot 1+6\cdot (-4)=4$.

2. Complementele dau $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -7& 1& 0\\ 15& -4& 1\end{array}\right)$, iar $\det =1$, deci inversa este chiar adjuncta $\left(\begin{array}{ccc}1& -7& 15\\ 0& 1& -4\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. Verificare: prima linie a lui $A$ înmulțită cu a treia coloană a inversei dă 0.

3. $1\cdot 119+3\cdot (-2)+4\cdot (-28)=1$, apoi $2\cdot 119+7\cdot (-2)+8\cdot (-28)=0$ și $4\cdot 119+0\cdot (-2)+17\cdot (-28)=0$, deci prima coloană a produsului este $(1;0;0)$. Verificare: celelalte două coloane dau $(0;1;0)$ și $(0;0;1)$.

4. Sub diagonală sunt numai zerouri, deci $\det =x\cdot 3\cdot (x-16)=3x(x-16)$. Matricea nu are inversă pentru $x=0$ și pentru $x=16$. Verificare: la $x=0$ prima coloană este nulă, iar la $x=16$ ultima linie este nulă.

5. $A^{-1}\cdot \left(\begin{array}{c}28\\ 31\\ 119\end{array}\right)=(4;6;3)$, deoarece $-3\cdot 28-31+119=4$, $20\cdot 28+9\cdot 31-7\cdot 119=6$ și $-28\cdot 28-13\cdot 31+10\cdot 119=3$. Florăria face 4, 6 și 3 buchete. Verificare: $1\cdot 4+3\cdot 6+2\cdot 3=28$ de trandafiri, $4\cdot 4+2\cdot 6+3=31$ de lalele și $8\cdot 4+11\cdot 6+7\cdot 3=119$ crenguțe.

6. $\det A=439-441=-2$, adjuncta este $\left(\begin{array}{ccc}-19& -3& 21\\ -9& -1& 9\\ 30& 4& -32\end{array}\right)$, iar $A^{-1}=-\frac{1}{2}{A}^{\ast }$. Produsul adjunctei cu $\left(\begin{array}{c}42\\ 123\\ 55\end{array}\right)$ este $\left(\begin{array}{c}-12\\ -6\\ -8\end{array}\right)$, deci după împărțirea la $-2$ sunt 6 verificări, 3 curățări și 4 reparații. Verificare: $2\cdot 6+6\cdot 3+3\cdot 4=42$ ore la electricieni, iar la lăcătuși și la operatori ies 123, respectiv 55 de ore.

7. $\det A=12\cdot (13\cdot 7-9\cdot 10)=12$. Complementele nenule sunt ${\delta }_{11}=84$, ${\delta }_{12}=-120$, ${\delta }_{21}=-108$, ${\delta }_{22}=156$ și ${\delta }_{33}=1$, deci $A^{-1}=\frac{1}{12}\left(\begin{array}{ccc}84& -108& 0\\ -120& 156& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$: blocul $\left(\begin{array}{cc}7& -9\\ -10& 13\end{array}\right)$ și numărul $\frac{1}{12}$. Loturile sunt $7\cdot 141-9\cdot 109=6$ de suc, $-10\cdot 141+13\cdot 109=7$ de nectar și $36:12=3$ de sirop. Verificare: $13\cdot 6+9\cdot 7=141$ h la presare și $10\cdot 6+7\cdot 7=109$ h la pasteurizare.

8. $\det A=156-151=5$. Complementele coloanei a doua sunt ${\delta }_{12}=-8$, ${\delta }_{22}=3$ și ${\delta }_{32}=2$, deci $x_2=\frac{-8\cdot 39+3\cdot 59+2\cdot 80}{5}=\frac{25}{5}=5$ revizii de al doilea tip. Verificare: cu 3, 5 și 2 revizii se obțin $3+30+6=39$ filtre, iar manopera și antigelul ies 59 h și 80 L.

9. $A(0)=\left(\begin{array}{ccc}7& 8& 0\\ 12& 14& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ are $\det A(0)=2\cdot (7\cdot 14-8\cdot 12)=4$. Complementele nenule sunt ${\delta }_{11}=28$, ${\delta }_{12}=-24$, ${\delta }_{21}=-16$, ${\delta }_{22}=14$ și ${\delta }_{33}=2$. Deci $A(0{)}^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}28& -16& 0\\ -24& 14& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$. Verificare: prima linie a lui $A(0)$ înmulțită cu prima coloană a adjunctei dă 4, adică $\det A(0)$, iar cu a doua coloană dă 0.

10. $A(0)=\left(\begin{array}{ccc}8& 0& 0\\ 0& -1& -2\\ 0& 8& 13\end{array}\right)$ are $\det A(0)=8\cdot (-13+16)=24$. Complementele nenule sunt ${\delta }_{11}=3$, ${\delta }_{22}=104$, ${\delta }_{23}=-64$, ${\delta }_{32}=16$ și ${\delta }_{33}=-8$. Deci $A(0{)}^{-1}=\frac{1}{24}\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 104& 16\\ 0& -64& -8\end{array}\right)$. Verificare: linia a doua a lui $A(0)$ înmulțită cu a doua coloană a adjunctei dă 24, adică $\det A(0)$, iar cu a treia coloană dă 0.

11. $\det A=(17-18)+(-34+36)=1$. Complementele sunt ${\delta }_{11}=-1$, ${\delta }_{12}=-2$, ${\delta }_{13}=0$, ${\delta }_{21}=-17$, ${\delta }_{22}=-17$, ${\delta }_{23}=-2$, ${\delta }_{31}=9$, ${\delta }_{32}=9$ și ${\delta }_{33}=1$. Cum $\det A=1$, inversa este adjuncta $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& -17& 9\\ -2& -17& 9\\ 0& -2& 1\end{array}\right)$. Verificare: prima linie a lui $A$ înmulțită cu prima coloană a inversei dă 1.

12. $A(1)=\left(\begin{array}{ccc}9& 6& 9\\ 8& 7& 1\\ 2& -1& 12\end{array}\right)$ are $\det A(1)=756+12-72-126+9-576=3$. Complementele sunt ${\delta }_{11}=85$, ${\delta }_{12}=-94$, ${\delta }_{13}=-22$, ${\delta }_{21}=-81$, ${\delta }_{22}=90$, ${\delta }_{23}=21$, ${\delta }_{31}=-57$, ${\delta }_{32}=63$ și ${\delta }_{33}=15$. Deci $A(1{)}^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}85& -81& -57\\ -94& 90& 63\\ -22& 21& 15\end{array}\right)$. Verificare: prima linie a lui $A(1)$ înmulțită cu prima coloană a adjunctei dă 3, adică $\det A(1)$.

Așa vine la Bac M3

Inversa unei matrice de ordin 3 a apărut într-o singură probă din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, la Subiectul al II-lea, problema 1: modelul din 2013, subpunctul c. Programa de examen cere matricele inversabile din ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ pentru $n=2$ și $n=3$ (blocul T-XI.1), dar inversa de ordin 2 a apărut în 17 probe, despre care vezi inversa 2×2: formula pe scurt. Cerința de ordin 3 se rezolvă cu aceiași pași, iar zerourile din matrice îi scurtează mult:

• Modelul din 2013, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: matricea de ordin 3 depinde de un parametru, iar inversa se cere pentru valoarea 0 a parametrului; atunci toate elementele din ultima linie și din ultima coloană sunt 0, în afară de cel din colț; baremul probei dă 2 puncte pentru determinantul matricei (pasul 1 din Metodă) și 3 puncte pentru matricea inversă scrisă complet (pașii 2 și 3).

Subpunctele a și b din aceeași problemă cer determinantul matricei cu parametru, ca în Sarrus fără greșeli de semn. Exercițiile 9–12 repetă tipul cerinței, „determinați inversa”, pe patru structuri: blocul de ordin 2 sus, blocul jos, o matrice fără zerouri și un parametru pus într-o valoare. La o matrice cu parametru, înlocuiești întâi valoarea cerută, apoi cauți complementele. Celelalte lecții sunt în traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Uiți alternarea semnelor din tablă → cum o prinzi: produsul $A\cdot A^{\ast }$ trebuie să iasă o matrice diagonală; la Exemplul 2, un singur semn greșit schimbă prima coloană a produsului în $(172;48;0)$.
• Nu transpui tabelul complementelor → cum o prinzi: verifici o coloană; la Exemplul 1, tabelul netranspus dă coloana $(-20;-57;-36)$ în loc de $(7;0;0)$.
• Împarți la un alt număr decât determinantul matricei → cum o prinzi: produsul cu $A$ nu mai dă $I_3$; verifici și pe datele problemei, ca la registrele din iunie.
• La subpunctul cu inversa pierzi matricea scrisă complet → cum o prinzi: scrii toate cele nouă elemente, chiar și zerourile; la cerința din 2013, mai mult de jumătate din punctaj se dă pentru matricea inversă completă.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Determinarea inversei unei matrice pătratice de ordinul al treilea se cere la Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut într-o singură probă. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă dacă lipsește registrul de curățenie?

Rămân două ecuații cu trei necunoscute, iar matricea are două linii și trei coloane. Numai matricele pătratice au inversă, deci din orele coordonatorului și ale salonului nu se pot afla trei feluri de evenimente: sistemul nu mai are o soluție unică.

Ce înseamnă că inversa are elemente negative, ca $-33$ în adjunctă?

Nimic rău: semnele minus vin din tabla $+-+$ și din diferențele de produse. Contează rezultatul final, numărul de evenimente, care trebuie să fie întreg și pozitiv. Pentru iunie, aceeași adjunctă, cu numerele ei negative, dă 3 nunți, 4 conferințe și 5 botezuri.

Ce fac dacă facturile din iunie arată 3 nunți, 4 conferințe și 6 botezuri?

Cu 6 botezuri, registrele ar trebui să arate 85, 169 și 61 de ore, nu 79, 158 și 58. Diferența, 6, 11 și 3 ore, este exact norma unui botez. Fie un botez facturat nu s-a ținut, fie orele lui nu au fost trecute în registre; contabila caută în acte care dintre ele.

Ce se schimbă dacă norma coordonatorului la nuntă devine 8 ore, nu 7?

Se schimbă matricea $A$, deci și determinantul, și toate complementele care folosesc acel 8. Inversa calculată nu mai este bună: o refaci în cei patru pași, iar numărul de evenimente pe care îl arată registrele poate ieși altfel.

Cât de des se cere inversa 3×3 la Bacalaureatul M3?

În probele oficiale 2013–2026 a apărut o singură dată, în modelul din 2013, la Subiectul al II-lea, problema 1, subpunctul c, pentru valoarea 0 a parametrului. Matricea avea zerouri pe ultima linie și pe ultima coloană, în afară de colț. Pașii 1–3 din Metodă o rezolvă.