Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Lege de compoziție: tabla și formula

Cum calculez compusul când legea are plafon?

Calculezi întâi rezultatul obișnuit, apoi îl compari cu plafonul. Legea $x \circ y = min (x + y; 45)$ ia cel mai mic dintre suma $x + y$ și plafonul $45$ . Exemplu: la $28 \circ 31$ suma este $59$ , mai mare decât $45$ , deci rezultatul este $45$ ; la $12 \circ 20$ suma este $32$ , sub plafon, deci rămâne $32$ . Proba: niciun rezultat nu depășește plafonul, iar plafonul se atinge doar când suma îl ajunge.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

O lege de compoziție ia două elemente ale unei mulțimi, într-o ordine anume, și le atașează un al treilea, notat $x \circ y$ . Dacă rezultatul rămâne mereu în mulțime, legea este internă. Pe o mulțime mică o scrii ca tablă: linia se alege cu primul element, coloana cu al doilea, iar rezultatul stă la încrucișarea lor. Pe o mulțime infinită, legea vine ca formulă.

Calculul are trei mișcări. La o formulă înlocuiești literele cu numerele date, închizi numerele negative între paranteze și calculezi cu prioritățile obișnuite; la o tablă citești căsuța cerută, pornind de la linie. Când ți se cere o egalitate pentru orice $x$ și $y$ , o dovedești cu litere, desfăcând parantezele, nu cu câteva perechi de numere. Forma factorizată se sprijină pe $(x + a) (y + a) = x y + a x + a y + a^{2}$ .

Capcanele sunt trei: începi tabla de la coloană, pierzi semnul unui număr negativ și declari legea internă după câteva căsuțe, deși una singură din afara mulțimii o strică. La o lege cu plafon, rezultatul nu trece niciodată de plafon, oricât de mari ar fi cele două elemente.

Verifici în două feluri: refaci calculul folosind, de exemplu, forma factorizată, și cauți în tablă căsuța care iese din mulțime. Meseria pune astfel de legi peste tot: un opritor, o reducere cu plafon, un adaos fix.

De reținut

$x \circ y = min (x + y; p)$ : suma, apoi comparația cu plafonul $p$
rezultatul nu depășește niciodată plafonul
$0$ este element neutru pe $[0; p]$

Greșeala tipică

Se adună fără să se țină seama de plafon: la $28 \circ 31$ ar ieși $59$ , mai mult decât $45$ . Corect este $min (59; 45) = 45$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un sistem de irigat are patru regimuri, numerotate $0, 1, 2, 3$ . Două regimuri se combină astfel: $x \circ y$ este restul împărțirii numărului $2 x + y$ la $4$ , iar tabla operației este:

$\circ$ $0$ $1$ $2$ $3$

$0$ $0$ $1$ $2$ $3$

$1$ $2$ $3$ $0$ $1$

$2$ $0$ $1$ $2$ $3$

$3$ $2$ $3$ $0$ $1$

Cât este $3 \circ 2$ ?
- a) $3$
- b) $1$
- c) $0$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0$

Primul element alege linia, al doilea coloana: linia lui $3$ și coloana lui $2$ dau $0$ , fiindcă $2 \cdot 3 + 2 = 8 = 2 \cdot 4 + 0$ . Varianta $3$ vine din ordinea inversă, $2 \circ 3$ . Varianta $1$ vine din suma $3 + 2 = 5$ redusă la $4$ , fără ponderea lui $x$ . Varianta $2$ vine din citirea coloanei lui $0$ .
Pe $R$ se definește legea $x \circ y = x y + 47 x + 47 y + 2162$ . Cât este $(- 6) \circ 4$ ?
- a) $2044$
- b) $2092$
- c) $2608$
- d) $2656$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2044$

Înlocuiești cu paranteză la numărul negativ: $(- 6) \circ 4 = (- 6) \cdot 4 + 47 \cdot (- 6) + 47 \cdot 4 + 2162 = - 24 - 282 + 188 + 2162 = 2044$ . Varianta $2092$ pierde semnul produsului, $2608$ pierde semnul lui $47 \cdot (- 6)$ , iar $2656$ calculează $6 \circ 4$ , adică ignoră minusul.
Un dozator de reactiv are patru trepte, numerotate de la $1$ la $4$ . Două trepte se combină după regula $x \circ y = x + 2 y$ , iar dozatorul nu are nicio treaptă peste $4$ . Câte dintre cele $16$ căsuțe ale tablei conțin un rezultat care iese din mulțimea ${1; 2; 3; 4}$ ?
- a) $12$
- b) $8$
- c) $2$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $14$

Rezultatul rămâne în mulțime doar dacă $x + 2 y \leq 4$ : perechile $(1; 1)$ , cu rezultatul $3$ , și $(2; 1)$ , cu rezultatul $4$ . Celelalte $16 - 2 = 14$ căsuțe ies din mulțime. Varianta $2$ numără căsuțele bune. Varianta $12$ numără doar coloanele cu $y \geq 2$ , iar $8$ doar pe cele cu $y \geq 3$ .

$\circ$	$0$	$1$	$2$	$3$
$0$	$0$	$1$	$2$	$3$
$1$	$2$	$3$	$0$	$1$
$2$	$0$	$1$	$2$	$3$
$3$	$2$	$3$	$0$	$1$

Întrebări conexe

Când atinge rezultatul plafonul?

Când suma celor două elemente este cel puțin egală cu plafonul. Pentru plafonul $45$ , perechea $(18; 27)$ dă exact $45$ , iar $(33; 41)$ dă tot $45$ , deși suma este $74$ . Sub plafon, de pildă $(9; 16)$ , rezultatul este suma obișnuită, $25$ .

Care mulțimi sunt părți stabile ale unei legi cu plafon?

Pe $M = [0; 45]$ , mulțimea ${0; 45}$ este parte stabilă: $0 \circ 0 = 0$ , iar toate celelalte compuneri dau $45$ . Intervalul $[0; 25]$ nu este, fiindcă $14 \circ 14 = 28 \in / [0; 25]$ , iar intervalul $[0; 45]$ este stabil pentru că rezultatul nu depășește $45$ .

Ce element nu schimbă nimic la o lege cu plafon?

Elementul $0$ . Pentru $x \in [0; 45]$ avem $x \circ 0 = min (x; 45) = x$ , iar comutativitatea dă și $0 \circ x = x$ . Elementul $45$ nu e neutru: $10 \circ 45 = min (55; 45) = 45$ , nu $10$ . El este, în schimb, elementul care absoarbe, fiindcă dă $45$ cu orice partener din mulțime.

Este comutativă o lege cu plafon?

Da. Suma nu depinde de ordine, $x + y = y + x$ , iar minimul dintre sumă și plafon rămâne același. De pildă $28 \circ 31 = 31 \circ 28 = 45$ . Comutativitatea se arată însă cu litere, nu cu o pereche de numere.

Cum arăt că o lege cu plafon este internă?

Arăți că rezultatul rămâne între capetele mulțimii. Pe $[0; 45]$ , suma $x + y$ este cel puțin $0$ , iar minimul dintre ea și $45$ este cel mult $45$ . Deci $0 \leq x \circ y \leq 45$ pentru orice pereche, adică legea este internă.

Cum apare legea de compoziție în probele oficiale?

Legea de compoziție a apărut în 54 de probe M_tehnologic din 2013–2026, la problema 2 din Subiectul al II-lea. Cerința cere un calcul cu formula legii, o formă factorizată sau o ecuație; de aceea merită exersate înlocuirea cu paranteze și desfacerea parantezelor cu litere.

Oamenii mai întreabă și: lege de compoziție cu plafon · minimul dintre sumă și plafon · lege cu opritor la capăt · compusul a două elemente cu limită maximă