Lege de compoziție la tehnologic: tabla

Masa unei mașini de frezat nu trece de opritor, așa că două avansuri date la rând nu se adună pur și simplu. Regula după care din două elemente iese al treilea se numește lege de compoziție, iar pe o mulțime mică ea încape într-o tablă. În clasa a XII-a, la liceul tehnologic, înveți să citești tabla unei legi și să calculezi cu formula ei. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), legea de compoziție se cere în Subiectul al II-lea, problema 2.

Situația de pornire

Un atelier care repară utilaje agricole are o mașină de frezat cu avans manual. Masa ei alunecă pe ghidaje, iar pe riglă sunt cinci repere, la 0, 17, 34, 51 și 68 cm; la 68 cm se află opritorul de cursă. Maistrul vrea o fișă pentru ucenici: pornești de la un reper, dai un avans egal cu o distanță dintre repere și citești reperul în care ajunge masa. Dacă avansul ar duce masa dincolo de 68 cm, ea se oprește în opritor. Fișa completată arată așa.

Întrebare: în ce reper ajunge masa dacă pornește de la 17 cm, cu avansurile de 34 cm și de 51 cm date în această ordine? Poate vreun avans din fișă să ducă masa într-un punct care nu e reper?

De la situație la model

Fișa ucenicului este o lege de compoziție în miniatură. Tabelul de mai jos traduce cuvintele din atelier în cuvinte din matematică.

O lege de compoziție pe o mulțime $M$ este o regulă care, oricăror două elemente $x,y\in M$ luate în această ordine, le atașează un singur element $x\circ y$. Legea este internă când rezultatul rămâne în $M$ pentru orice pereche. Când $M$ are puține elemente, legea se scrie în tabla operației: primul element alege linia, al doilea alege coloana, iar rezultatul stă în căsuța lor.

Cum citești tabla operației?

Începe cu linia, nu cu coloana. Pentru $17\circ 34$ cauți linia lui 17, apoi coloana lui 34, iar în căsuța lor stă 51. Ordinea contează la citire: $x$ alege linia, $y$ alege coloana. La legea frezei ordinea nu schimbă rezultatul; la alte legi îl schimbă, ca în exemplul 3.

De ce rămâne rezultatul în mulțime?

Fără opritor, regula ar fi adunarea simplă, iar $34+51=85$ nu e reper. Opritorul face din adunare o lege internă pe $M$: cel mai mare rezultat posibil este 68. O submulțime $H$ a lui $M$ este parte stabilă dacă $x\circ y\in H$ pentru orice $x,y\in H$. Mulțimea $\{0;68\}$ e parte stabilă, fiindcă $0\circ 0=0$, iar toate celelalte trei compuneri dau 0 sau 68.

Cum calculezi când legea e dată printr-o formulă?

Mulțimile infinite nu încap într-o tablă, deci legea se dă printr-o formulă; pe $\mathbb{R}$ poate fi $x\circ y=xy+29x+29y+812$. Înlocuiești literele cu numerele, pui paranteză la numerele negative și respecți ordinea operațiilor: $2\circ 3=6+58+87+812=963$, iar $(-4)\circ 2=-8-116+58+812=746$.

Cum recunoști forma $(x+a)(y+a)-a$?

Legea de mai sus se scrie și factorizat, $x\circ y=(x+29)(y+29)-29$, fiindcă $(x+29)(y+29)-29=xy+29x+29y+812$. Forma factorizată scurtează calculele: $(-4)\circ 2=25\cdot 31-29=746$. Egalitatea o demonstrezi desfăcând parantezele cu literele $x$ și $y$, nu cu numere alese.

Metoda pas cu pas

1. Scrie mulțimea pe care lucrezi, cu ce înseamnă fiecare element, și regula legii, cu unitățile ei. La o tablă citești pe linii și coloane, la o formulă înlocuiești literele.
2. Calculează valoarea cerută. În tablă, citești căsuța de pe linia lui $x$ și coloana lui $y$. În formulă, înlocuiești fiecare literă cu numărul ei, cu paranteză la numerele negative, și calculezi în ordinea operațiilor. Nu schimba ordinea celor două elemente, iar unitatea rezultatului e cea a elementelor.
3. Dacă ți se cere să arăți o formă pentru orice $x$ și $y$, desfaci parantezele din forma factorizată și compari termen cu termen cu formula legii; forma factorizată e doar o altă scriere a aceleiași legi.
4. Dacă ți se cere o necunoscută sau o inegalitate, înlocuiești în formulă și rezolvi ecuația sau inecuația obținută, ca la ecuația de gradul al doilea sau la semnul funcției de gradul al doilea. La „pentru orice $x$”, aduci expresia la un pătrat plus o constantă.
5. Verifică: pune soluția înapoi în formula legii și compară-o cu cerința, sau refă calculul pe alt drum, de pildă cu forma factorizată ori cu o distanță pe riglă. La o tablă, caută și căsuța care iese din $M$: o singură căsuță din afară înseamnă că legea nu e internă.

Proprietățile legilor, adică ce se întâmplă când schimbi ordinea sau gruparea, sunt în lecția despre comutativă, asociativă și element neutru; structura care le strânge pe toate e în lecția despre grup. Restul clasei se vede pe pagina clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$(x+a)(y+a)=xy+ax+ay+a^2$$

$$x\circ y\in M\text{pentru orice }x,y\in M$$

Prima egalitate ține pentru orice număr real $a$; forma $(x+a)(y+a)-a$ se obține scăzând $a$ din ambii membri. A doua este condiția legii interne: la o tablă verifici toate căsuțele, iar la o formulă pe o mulțime infinită o justifici cu o inegalitate. Verificare rapidă: pune $a=3$, $x=1$, $y=2$ în prima egalitate; ambii membri dau 20.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Masa frezei

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reia fișa din situația de pornire. a) În ce reper ajunge masa dacă pornește de la 17 cm, cu avansurile de 34 cm și de 51 cm, în această ordine? b) Poate vreun avans din fișă să ducă masa într-un punct care nu e reper? c) Care dintre mulțimile $\{17;34\}$ și $\{34;68\}$ este parte stabilă a lui $M$?

Rezolvare. a) Pentru primul avans citești linia lui 17 și coloana lui 34: $17\circ 34=51$. Pentru al doilea, linia lui 51 și coloana lui 51: $51\circ 51=68$. Masa ajunge la 68 cm, în opritor. b) Cel mai mare număr din tabel este 68, iar toate căsuțele sunt repere, deci niciun avans nu scoate masa de pe repere: legea e internă pe $M$. c) Pentru $\{17;34\}$, $17\circ 34=51$ nu aparține mulțimii, deci nu e parte stabilă. Pentru $\{34;68\}$, cele patru compuneri sunt $34\circ 34=68$, $34\circ 68=68$, $68\circ 34=68$ și $68\circ 68=68$, toate în mulțime, deci este parte stabilă.

Capcană. Cine adună avansurile fără să țină seama de opritor obține $17+34+51=102$ cm, un punct cu 34 cm dincolo de opritor. Masa nu poate ajunge acolo; reperul corect este 68.

Verificare. Pe alt drum, cu distanța până la opritor: de la 17 cm mai sunt 51 cm. Primul avans, de 34 cm, încape și duce masa la 51 cm; de acolo mai sunt 17 cm, iar al doilea avans, de 51 cm, nu mai încape, deci masa se oprește la 68 cm.

Exemplul 2 — Tronsoane de țeavă cu mufă

Domeniu: constructii.

Enunț. Un instalator leagă tronsoane de țeavă de canalizare din PVC, cu mufă. Capătul unui tronson intră 6 cm în mufa celui de alături, deci două tronsoane de $x$ cm și $y$ cm dau o conductă lungă de $x\circ y=x+y-6$ cm. Un tronson nu poate fi mai scurt decât mufa, deci lungimile sunt din $M=[6;+\infty )$. a) Calculează $95\circ 138$. b) Instalatorul pornește de la tronsonul de 95 cm și are nevoie de o conductă de 300 cm. Cât de lung trebuie să fie al doilea tronson? c) Arată că legea este internă pe $M$.

Rezolvare. a) $95\circ 138=95+138-6=227$ cm. b) Ecuația $95\circ y=300$ înseamnă $95+y-6=300$, deci $y=211$ cm; cum $211\ge 6$, tronsonul e din $M$. c) Dacă $x\ge 6$ și $y\ge 6$, atunci $x+y\ge 12$, deci $x+y-6\ge 6$: rezultatul rămâne în $M$.

Capcană. Cine uită mufa scade direct, $300-95=205$ cm, și taie tronsonul prea scurt: îmbinat, el dă $95\circ 205=294$ cm, cu 6 cm mai puțin decât trebuie.

Verificare. Pui lungimea găsită înapoi în lege: $95\circ 211=95+211-6=300$ cm. Pe țeavă: din cei 211 cm ai tronsonului nou, 6 cm intră în mufă, iar restul de 205 cm se adaugă la cei 95 cm.

Exemplul 3 — Standardizarea laptelui

Domeniu: alimentar.

Enunț. La o fabrică de lactate se standardizează laptele: din două părți de masă de lapte integral și o parte de masă de lapte degresat iese un amestec cu $x\circ y=\frac{2x+y}{3}$ la sută grăsime, unde $x$ și $y$ sunt procentele de grăsime ale celor două feluri. Lotul integral are 3,8 % grăsime și 2,4 t, iar cel degresat are 0,3 %. a) Calculează procentul de grăsime al amestecului, rotunjit la sutimi. b) Câte kg de lapte degresat se adaugă? c) Câte kg de grăsime are amestecul? d) Calculează $0,3\circ 3,8$ și spune ce amestec descrie.

Rezolvare. a) $3,8\circ 0,3=\frac{2\cdot 3,8+0,3}{3}=\frac{7,9}{3}=2,6333\dots$, adică 2,63 %. b) Lotul integral are 2,4 t, adică 2400 kg, iar degresatul trebuie să fie jumătate din el: 1200 kg. c) Amestecul are $2400+1200=3600$ kg. Grăsimea din integral este 3,8 % din 2400 kg, adică 91,2 kg, iar cea din degresat este 3,6 kg; împreună, 94,8 kg. d) $0,3\circ 3,8=\frac{2\cdot 0,3+3,8}{3}=\frac{4,4}{3}\approx 1,47$ %: e amestecul din două părți de degresat și o parte de integral. Ordinea contează: $x\circ y\ne y\circ x$.

Capcană. Cine rotunjește la 2,63 % înainte de a calcula grăsimea obține $0,0263\cdot 3600=94,68$ kg, cu 0,12 kg mai puțin decât cei 94,8 kg reali. Rotunjirea se face la sfârșit.

Verificare. Pe alt drum, cu masele: 94,8 kg de grăsime împărțite la 3600 kg dau 0,026333…, adică 2,6333… %, valoarea din formulă.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: forma factorizată și ecuația

Domeniu: electric.

Enunț. Ce urmează are forma unei cerințe de la Subiectul al II-lea, problema 2: un calcul fără poveste, cu numere care nu descriu vreun proces. Se consideră legea de compoziție $x\circ y=xy+17x+17y+272$, definită pe $\mathbb{R}$. a) Arătați că $2\circ 1=325$. b) Arătați că $x\circ y=(x+17)(y+17)-17$ pentru orice numere reale $x$ și $y$. c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ x=x$.

Rezolvare. a) Înlocuiești: $2\circ 1=2\cdot 1+17\cdot 2+17\cdot 1+272=2+34+17+272=325$. b) Desfaci parantezele din membrul drept: $(x+17)(y+17)-17=xy+17x+17y+289-17=xy+17x+17y+272$, adică formula legii. c) Cu forma de la b), $x\circ x=(x+17{)}^2-17$. Ecuația $(x+17{)}^2-17=x$ devine $x^2+34x+272=x$, adică $x^2+33x+272=0$, cu $(x+16)(x+17)=0$. Soluțiile sunt $x=-16$ și $x=-17$.

Capcană. Cine citește $x\circ x=x$ ca pe $x\cdot x=x$ obține $x=0$ sau $x=1$. Simbolul $\circ$ nu e înmulțirea: se folosește formula legii.

Verificare. Pui soluțiile în formula legii: $(-16)\circ (-16)=256-272-272+272=-16$ și $(-17)\circ (-17)=289-289-289+272=-17$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\circ y=6x+7y-13$. Calculează $4\circ 6$, $(-3)\circ 2$ și $2\circ (-3)$. Ce observi la ultimele două?

2. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\circ y=xy+21x+21y+420$. Calculează $4\circ (-9)$ și $(-2)\circ 5$, o dată cu formula dată și o dată cu forma $(x+21)(y+21)-21$.

3. Completează tabla legii $x\circ y=2x-y$ pe $M=\{2;3;4\}$. Este legea internă pe $M$? Dacă nu, spune ce perechi ies din $M$.

4. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\circ y=xy+24x+24y+552$. Arată că $x\circ y=(x+24)(y+24)-24$ și că $[-24;+\infty )$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$.

Nivelul 2 — situații

5. La un service auto, mecanicul măsoară plăcuțele de frână ale unei autoutilitare: 3, 5, 8 și 11 mm. Tabelul dă diferența dintre două grosimi, $x\circ y=|x-y|$, în mm.

a) Citește diferența dintre plăcuța de 5 mm și cea de 11 mm. b) Care plăcuțe diferă cel mai mult și cu cât? c) Arată, citind tabelul, că operația nu e lege internă pe $M=\{3;5;8;11\}$.

6. La un parc acvatic, din două bilete cumpărate împreună, cel mai ieftin se plătește pe jumătate. Tabelul dă prețul celor două bilete, în lei: copil 34, elev 46, adult 58.

a) Cât plătesc împreună un elev și un adult? b) Citește căsuțele $34\circ 58$ și $58\circ 34$: contează ordinea biletelor? c) Este regula lege internă pe $M=\{34;46;58\}$?

7. Într-un atelier cu tablou trifazat, aerotermele, consumatori rezistivi, sunt legate doar pe fazele L1 și L2, cu curenții $x$ și $y$, în amperi. Curentul pe conductorul de nul este atunci $x\circ y=\sqrt{x^2-xy+y^2}$, o lege de compoziție. Tabelul arată trei încărcări.

a) Calculează curentul pe nul la fiecare încărcare. b) Ce curent are nulul când pe ambele faze trec câte 11 A? c) Arată că $x^2-xy+y^2=(x-y{)}^2+xy$, deci expresia e cel puțin 0 pentru $x,y\ge 0$, iar legea e internă pe $[0;+\infty )$.

8. Un magazin adună reducerea de pe card, $x$ %, cu cea de pe cupon, $y$ %, dar nu mai mult de 30 %: $x\circ y=\min (x+y;30)$, pe mulțimea $[0;100]$. a) Calculează $11\circ 9$ și $21\circ 18$. b) Pentru ce valori ale lui $y$ avem $16\circ y=30$? c) Care dintre intervalele $[0;20]$ și $[0;30]$ este parte stabilă?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră legea de compoziție $x\circ y=xy+18x+18y+306$, definită pe $\mathbb{R}$. a) Arătați că $(-3)\circ 5=327$. b) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ 4=x+21$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră legea de compoziție $x\circ y=xy+19x+19y+342$, definită pe $\mathbb{R}$. Arătați că $(x-1)\circ (x+5)\ge -28$, oricare ar fi $x$ real.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră legea de compoziție $x\circ y=3xy-18x-18y+114$, definită pe $\mathbb{R}$. a) Demonstrați că $x\circ y=3(x-6)(y-6)+6$ pentru orice numere reale $x$ și $y$. b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ (2x)=6$.

12. (Sinteză.) O lege $x\circ y=ax+by+c$ are, pe $\{1;2;3\}$, tabelul de mai jos.

a) Citește din tabel numerele $a$, $b$ și $c$. b) Calculează $7\circ (-2)$. c) Este $\{1;2;3\}$ parte stabilă?

Răspunsuri și verificări

1. $4\circ 6=24+42-13=53$, $(-3)\circ 2=-18+14-13=-17$ și $2\circ (-3)=12-21-13=-22$. Observi că $(-3)\circ 2\ne 2\circ (-3)$: ordinea contează. Verificare: $x\circ y-y\circ x=6x+7y-6y-7x=y-x$, iar $-17-(-22)=5=2-(-3)$.

2. $4\circ (-9)=-36+84-189+420=279$ și, cu forma factorizată, $25\cdot 12-21=279$. $(-2)\circ 5=-10-42+105+420=473$ și $19\cdot 26-21=473$. Verificare: cele două drumuri dau aceleași numere.

3. Linia lui 2: $2,1,0$; linia lui 3: $4,3,2$; linia lui 4: $6,5,4$. Legea nu e internă pe $M$: ies din $M$ perechile $(2;3)$, cu rezultat 1, $(2;4)$, cu 0, $(4;2)$, cu 6, și $(4;3)$, cu 5. Verificare: $2\cdot 2-3=1$.

4. $(x+24)(y+24)-24=xy+24x+24y+576-24=xy+24x+24y+552$. Dacă $x\ge -24$ și $y\ge -24$, atunci $(x+24)(y+24)\ge 0$, deci $x\circ y\ge -24$: intervalul $[-24;+\infty )$ e parte stabilă. Verificare: $(-24)\circ (-24)=576-576-576+552=-24$.

5. a) 6 mm. b) Plăcuța de 3 mm și cea de 11 mm diferă cel mai mult, cu 8 mm. c) În tabel apar 0, 2 și 6, care nu sunt în $M$; de pildă $3\circ 5=2\notin M$. Verificare: $|11-3|=8$.

6. a) 81 de lei: linia lui 46, coloana lui 58. b) Ambele căsuțe dau 75 de lei: reducerea merge mereu la biletul mai ieftin, deci ordinea biletelor nu schimbă prețul. c) Nu: niciun rezultat din tablă nu e în $M$, de pildă $34\circ 34=51\notin M$. Verificare: adultul întreg și jumătate din biletul de elev, $58+23=81$ de lei.

7. a) $\sqrt{64-24+9}=\sqrt{49}=7$ A, $\sqrt{225-105+49}=\sqrt{169}=13$ A și $\sqrt{64-40+25}=\sqrt{49}=7$ A. b) $\sqrt{121-121+121}=11$ A: cu două faze egale, nulul duce cât o fază. c) $(x-y{)}^2+xy=x^2-xy+y^2$, iar un pătrat plus un produs de numere nenegative e cel puțin 0: rădăcina există și e în $[0;+\infty )$. Verificare: $(8-3{)}^2+8\cdot 3=25+24=49=7^2$.

8. a) $11\circ 9=20$ % și $21\circ 18=\min (39;30)=30$ %. b) $16\circ y=30$ când $16+y\ge 30$, adică $y\ge 14$; cu $y\le 100$, valorile sunt din $[14;100]$. c) $[0;20]$ nu e parte stabilă: $11\circ 11=22\notin [0;20]$. $[0;30]$ e parte stabilă: rezultatul e cel mult 30. Verificare: $16\circ 14=30$.

9. a) $(-3)\circ 5=-15-54+90+306=327$. b) Cu forma $(x+18)(y+18)-18$, $x\circ 4=22(x+18)-18=22x+378$. Ecuația $22x+378=x+21$ dă $21x=-357$, deci $x=-17$. Verificare: $(-17)\circ 4=1\cdot 22-18=4$, iar $-17+21=4$.

10. Cu forma factorizată, $x\circ y=(x+19)(y+19)-19$, deci $(x-1)\circ (x+5)=(x+18)(x+24)-19$. Desfaci: $x^2+42x+432-19=x^2+42x+413=(x+21{)}^2-28$. Cum $(x+21{)}^2\ge 0$, rezultă $(x-1)\circ (x+5)\ge -28$. Verificare: la $x=-21$, $(-22)\circ (-16)=352-418-304+342=-28$.

11. a) $3(x-6)(y-6)+6=3(xy-6x-6y+36)+6=3xy-18x-18y+114$. b) Cu forma de la a), $x\circ (2x)=3(x-6)(2x-6)+6$, deci ecuația devine $3(x-6)(2x-6)=0$. Un produs e 0 doar când un factor e 0, deci $x=6$ sau $x=3$. Verificare: cu formula desfăcută, $6\circ 12=216-108-216+114=6$ și $3\circ 6=54-54-108+114=6$.

12. a) Pe linia lui 1, rezultatul crește cu 11 când al doilea element crește cu 1, deci $b=11$. Pe coloana lui 1, crește cu 6 când primul element crește cu 1, deci $a=6$. Din $1\circ 1=6+11+c=20$ rezultă $c=3$. b) $7\circ (-2)=42-22+3=23$. c) $\{1;2;3\}$ nu e parte stabilă: $1\circ 1=20\notin \{1;2;3\}$. Verificare: $3\circ 3=18+33+3=54$, căsuța din colțul tabelului.

Așa vine la Bac M3

Legea de compoziție a apărut la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 54 dintre cele 83 de probe din 2013–2026, în toate la Subiectul al II-lea, problema 2; în celelalte 29, aceeași problemă are un polinom. În 53 din cele 54 de probe legea e dată printr-o formulă pe numerele reale, iar în una pe intervalul $(0;+\infty )$; indexul cerințelor nu are nicio tabelă. Patru cerințe reale, din patru probe, arată formele în care vine legea:

• Modelul din 2026, Subiectul al II-lea, exercițiul 2a: legea are un produs și o sumă înmulțită cu un număr, iar cerința e să arăți că valoarea ei pentru 1 și 2 este 14, deci pasul 2 din Metodă, iar baremul probei dă 3 puncte pentru înlocuire și 2 puncte pentru rezultat.
• Proba specială din 2018, Subiectul al II-lea, exercițiul 2b: legea e dată desfăcut, iar cerința e să demonstrezi că ea se scrie ca produs de două paranteze plus 1, deci pasul 3 din Metodă, iar baremul probei dă 2 puncte pentru gruparea termenilor și 3 puncte pentru forma factorizată.
• Modelul din 2025, Subiectul al II-lea, exercițiul 2b: legea adună cele două numere și încă 6, iar cerința e să afli numărul pentru care valoarea legii cu 2 este de trei ori el, deci pasul 4 din Metodă, iar baremul probei dă 3 puncte pentru exprimarea valorii prin $x$ și 2 puncte pentru ecuație.
• Simularea din 2024, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: cerința e să arăți că valoarea legii pentru două expresii în $x$ nu coboară sub $-3$, oricare ar fi $x$, deci tot pasul 4 din Metodă, iar baremul probei dă 2 puncte pentru calculul expresiei și 3 puncte pentru pătratul perfect.

Exercițiile 9–11 repetă trei dintre aceste forme: valoarea și ecuația, inegalitatea pentru orice $x$, forma factorizată urmată de ecuație.

Greșeli care costă puncte

• Citești tabla pornind de la coloană → la o lege ca cea a laptelui obții $1,47$ în loc de $2,63$; cum o prinzi: primul element alege linia, al doilea coloana, apoi calculezi din formulă una dintre căsuțe.
• Arăți forma factorizată pe două-trei perechi de numere → trei egalități numerice nu dovedesc egalitatea pentru orice $x$ și $y$; cum o prinzi: desfaci parantezele cu litere și compari termenii.
• Citești $\circ$ ca pe o înmulțire, de pildă $x\circ x=x$ ca $x\cdot x=x$ → pierzi soluția $-16$ din exemplul 4; cum o prinzi: scrii formula legii și rezolvi pe ea.
• Declari legea internă după câteva căsuțe → o singură căsuță din afara lui $M$, ca $2\circ 3=1$ în exercițiul 3, o strică; cum o prinzi: parcurgi toate căsuțele.
• Pierzi un semn la numerele negative, scrii $(-4)\cdot 2=8$ în loc de $-8$ la $(-4)\circ 2$ → obții 762 în loc de 746; cum o prinzi: pui parantezele și verifici cu forma factorizată.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Legea de compoziție internă se cere la Subiectul al II-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 54 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

De ce se oprește masa la 68 cm, deși avansul ar duce-o mai departe? Fiindcă opritorul blochează ghidajul și masa nu mai poate înainta. În matematică, regula $\min (x+y;68)$ taie rezultatul la 68, deci nicio compunere nu iese din mulțimea reperelor. Fără opritor, $34+51=85$ n-ar fi reper, iar legea n-ar mai fi internă pe $M$.

Ce se schimbă în fișă dacă maistrul mută opritorul la 51 cm? Reperul 68 dispare, iar tabla are patru linii și patru coloane, pentru 0, 17, 34 și 51. Orice rezultat care era 68 devine 51, de pildă $34\circ 34$. Legea rămâne internă pe noua mulțime, fiindcă nicio căsuță nu depășește 51.

Cum găsesc în tabla frezei avansul care duce masa de la 17 cm la 51 cm? Cauți pe linia lui 17 căsuța cu 51 și citești capul coloanei ei: 34, deci $17\circ 34=51$. Pe linia lui 17, valoarea 51 apare o singură dată, deci avansul e unic. Pe linia lui 51, valoarea 68 apare de patru ori: mai multe avansuri dau același reper.

Câte avansuri de 17 cm duc masa de la 0 până în opritor? Patru avansuri: $0\circ 17=17$, apoi $17\circ 17=34$, $34\circ 17=51$ și $51\circ 17=68$. Al cincilea nu mai mișcă masa, fiindcă $68\circ 17=68$ și opritorul o ține pe loc. Din 68 cm, niciun avans din fișă nu aduce masa înapoi, pentru că fișa cunoaște doar avansuri înainte.

Cum dovedesc la Bacalaureatul M3 forma $(x+25)(y+25)-25$ a unei legi? Desfaci parantezele din forma factorizată, scriind $x$ și $y$ ca litere, nu ca numere: $(x+25)(y+25)-25=xy+25x+25y+600$. Dacă rezultatul coincide termen cu termen cu formula legii, egalitatea e arătată pentru orice $x$ și $y$; câteva perechi de numere nu o dovedesc.

Apare tabla unei operații în probele de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? În probele oficiale 2013–2026 legea de compoziție apare în 54 de probe și în toate e dată printr-o formulă; indexul cerințelor nu are nicio tabelă. Programa de examen cuprinde însă și tabla operației, deci și ea poate fi cerută. Citirea ei e cea din lecție: linia primului element, coloana celui de-al doilea.