Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Parametrul unei legi: cum îl afli

Cum aflu un parametru „pentru orice x”?

Scrii condiția cu formula legii, aduni termenii după puterile lui $x$ și egalezi coeficienții. La $x \circ y = x y + 30 (x + y) + m$ , condiția $x \circ (- 30) = - 30$ pentru orice $x$ devine $- 30 x + 30 x - 900 + m = - 30$ : coeficientul lui $x$ e deja 0, iar termenul liber dă $m = 870$ . Verifici apoi valoarea pe un număr, de pildă $3 \circ (- 30) = - 30$ , ca să prinzi o greșeală de semn.

Un parametru este un număr necunoscut din formula legii, ca $a$ în $x * y = x + a y + 5$ . Îl afli dintr-o condiție dată în enunț. O valoare dată, ca $2 \circ 3 = 11$ , dă o singură ecuație: înlocuiești numerele și rezolvi.

O proprietate „pentru orice $x$ ” dă mai multe ecuații. Aduni termenii după puterile lui $x$ și ceri ca fiecare coeficient să fie egal în ambii membri: $A x + B = C x + D$ pentru orice $x$ înseamnă $A = C$ și $B = D$ . Așa se cere comutativitatea, un element neutru ( $e \circ x = x$ ) sau un element absorbant ( $a \circ x = a$ ).

O singură valoare pusă în locul lui $x$ dă doar o condiție necesară; parametrul găsit se verifică apoi pe litere sau pe încă un număr. Dacă ecuațiile nu au soluție comună, parametrul nu există, iar concluzia se scrie așa.

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), o lege cu parametru a apărut într-o singură probă din 2013–2026 (specială 2020, toate cele 6 cerințe), iar un parametru în cerință, la simularea din 2026: în total 7 cerințe, în 2 probe. Proba rapidă: pui valoarea găsită înapoi și încerci două numere diferite.

De reținut

$A x + B = C x + D$ pentru orice $x$ înseamnă $A = C$ și $B = D$
un singur număr pus în locul lui $x$ arată doar o condiție necesară
fără soluție comună a ecuațiilor, parametrul nu există

Greșeala tipică

Se verifică comutativitatea pe perechea $x = y = 1$ și se trage concluzia că orice parametru e bun. O pereche cu $x = y$ nu schimbă nimic la inversarea ordinii; se aleg numere diferite, ca 1 și 0.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ se definește legea $x \circ y = a x + 3 y - 4$ , cu $a$ real. Știind că $1 \circ 2 = 9$ , cât este $a$ ?
- a) $9$
- b) $5$
- c) $3$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $7$

$1 \circ 2 = a + 6 - 4 = a + 2$ , iar $a + 2 = 9$ dă $a = 7$ . Verificare: cu $a = 7$ , $1 \circ 2 = 7 + 6 - 4 = 9$ . Varianta $9$ ia rezultatul drept parametru, $3$ uită termenul $- 4$ ( $a + 6 = 9$ ), iar $5$ calculează $2 \circ 1$ în loc de $1 \circ 2$ ( $2 a + 3 - 4 = 9$ ).
Pe $R$ se definește legea $x \circ y = 5 x + b y - 2$ , cu $b$ real. Pentru ce valoare a lui $b$ este legea comutativă?
- a) $5$
- b) $- 5$
- c) $2$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$

$x \circ y - y \circ x = 5 x + b y - 5 y - b x = (5 - b) (x - y)$ , care e 0 pentru orice $x$ și $y$ doar dacă $b = 5$ . Cu $b = - 5$ , $1 \circ 0 = 3$ , dar $0 \circ 1 = - 7$ . Valorile 2 și 0 nu fac coeficienții egali.
Pe $R$ se definește legea $x \circ y = 3 x y - 21 x - 21 y + m$ , cu $m$ real. Pentru ce valoare a lui $m$ este 7 element absorbant?
- a) $147$
- b) $7$
- c) $154$
- d) $56$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $154$

$x \circ y = 3 (x - 7) (y - 7) + m - 147$ , deci $7 \circ x = m - 147$ pentru orice $x$ . Condiția $m - 147 = 7$ dă $m = 154$ . Verificare: $7 \circ 5 = 105 - 147 - 105 + 154 = 7$ . Varianta $147$ ar da $7 \circ x = 0$ , $7$ confundă parametrul cu elementul absorbant, iar $56$ scrie forma fără coeficientul 3, $(x - 7) (y - 7) + m - 49$ .

Întrebări conexe

De ce egalez coeficienții?

Pentru că o egalitate $A x + B = C x + D$ , adevărată pentru orice $x$ , cere $A = C$ și $B = D$ . Dacă $A \neq = C$ , egalitatea ar ține pentru un singur $x$ . De aceea o condiție „pentru orice $x$ ” dă două ecuații, iar parametrul trebuie să le verifice pe amândouă.

Cum aflu parametrul pentru care legea e comutativă?

Scazi $y \circ x$ din $x \circ y$ și aduci diferența la forma $(\dots) (x - y)$ . La legea $x \circ y = 3 x y - 6 x + a y + 12$ diferența este $(a + 6) (y - x)$ , deci $a = - 6$ . Verifici pe două numere diferite: cu $a = - 6$ , $1 \circ 0 = 0 \circ 1 = 6$ .

Ajunge să pun $x = 0$ în condiție?

Ca început, da, dar nu ca dovadă: $x = 0$ dă o condiție necesară. La legea $x * y = a x + a y - 46$ , neutrul $e$ trebuie să dea $x * e = x$ ; pentru $x = 0$ rezultă doar $a e = 46$ . Abia coeficientul lui $x$ dă $a = 1$ , iar atunci $e = 46$ .

Ce fac dacă ecuațiile nu au soluție comună?

Scrii că parametrul nu există. La legea $x \circ y = x y + 5 x + m y + 20$ , neutrul cere $e = - 4$ și $- 4 m + 20 = 0$ , deci un singur $m$ , 5. Afirmația „există neutru pentru orice $m$ ” e falsă: pentru $m = 1$ neutrul nu există.

Cum aflu doi parametri din valori date?

Alegi perechi care îi separă. La regula $x \circ y = x y + p (x + y) + q$ , perechea $(0, 0)$ dă direct $q$ , iar $(1, 0)$ dă $p + q$ . Cu răspunsurile 1472 și 1511 rezultă $q = 1472$ și $p = 39$ ; o a treia pereche servește ca verificare.

Cât de des apar parametrii la Bacalaureatul M4?

Rar. Între 2013 și 2026, o singură probă M_pedagogic, cea specială din 2020, a dat o lege cu parametru, cu șase cerințe construite pe ea; la simularea din 2026, parametrul a stat doar într-o cerință. Sunt deci 7 cerințe, în 2 dintre cele 60 de probe. Egalarea coeficienților servește însă și la elementul neutru, cerut mult mai des.

Oamenii mai întreabă și: parametrul pentru care egalitatea are loc pentru orice x · identificarea coeficienților la o lege de compoziție · parametru pentru element neutru sau absorbant · lege cu parametru la bacalaureat pedagogic