Legea cu parametru la pedagogic: cum îl afli

Când o lege conține o literă în afară de $x$ și $y$ , ca în $x * y = x + a y + 5$ , cerința e să afli acea literă dintr-o condiție: o valoare dată, comutativitatea, un element neutru sau unul care absoarbe. Condiția „pentru orice $x$ ” se traduce prin egalarea coeficienților. Lecția este pentru clasa a XI-a, profilul pedagogic. La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), parametrii au apărut în 2 din cele 60 de probe din 2013–2026, cu 7 cerințe: în 2020 legea avea parametru, în 2026 îl avea doar o cerință.

Situația de pornire

La ora de pregătire pentru Bacalaureatul M4, profesoara Ana Maria propune jocul „Ghicește regula”. Regula ei secretă are forma $x \circ y = x y + p (x + y) + q$ , cu numerele $p$ și $q$ ascunse. Elevii spun perechi de numere, iar profesoara răspunde cu rezultatul regulii. După patru perechi, elevii trebuie să scrie regula și să spună ce proprietăți are.

Perechea spusă de elevi	Rezultatul dat de profesoară
$(0, 0)$	1472
$(1, 0)$	1511
$(2, 3)$	1673
$(- 39, 10)$	$- 49$

Întrebare: care sunt numerele $p$ și $q$ ? Ce număr $q$ ar fi ales profesoara dacă voia ca $- 38$ să lase neschimbat orice număr?

De la situație la model

În situație	În matematică
numerele ascunse ale regulii	parametrii $p$ și $q$
un răspuns al profesoarei	o ecuație în $p$ și $q$ , ca $q = 1472$ pentru perechea $(0, 0)$
o pereche de control, ca $(2, 3)$	verificarea parametrilor găsiți
numărul care lasă neschimbat orice număr	elementul neutru, condiție pentru orice $x$

Un parametru este un număr necunoscut din formula legii, care nu se schimbă de la o pereche la alta. Se află din condițiile date în enunț. O condiție pentru o singură pereche dă o ecuație; o condiție „pentru orice $x$ ” dă mai multe ecuații, câte una pentru fiecare coeficient.

Cum afli un parametru dintr-o valoare a legii?

Înlocuiești numerele perechii în formulă și rezolvi ecuația în parametru. În joc, $0 \circ 0 = q$ , deci $q = 1472$ . Apoi $1 \circ 0 = p + q = 1511$ , deci $p = 39$ . Regula este $x \circ y = x y + 39 x + 39 y + 1472$ , iar perechile $(2, 3)$ și $(- 39, 10)$ o confirmă.

Cum alegi parametrul ca legea să fie comutativă?

Scrii $x \circ y$ și $y \circ x$ și ceri să fie egale pentru orice $x$ și $y$ . După reducere rămâne un produs de forma $(\dots) (x - y) = 0$ . Cum el trebuie să fie 0 și pentru $x \neq = y$ , paranteza cu parametrul trebuie să fie 0. Valoarea găsită se verifică apoi în lege.

Cum alegi parametrul ca un număr să fie neutru sau absorbant?

Scrii condiția cu numărul dat: $e \circ x = x$ pentru neutru, $a \circ x = a$ pentru absorbant. Aduni termenii după puterile lui $x$ : o egalitate $A x + B = C x + D$ , adevărată pentru orice $x$ , înseamnă $A = C$ și $B = D$ . Așa obții câte o ecuație pentru fiecare coeficient.

De ce nu ajunge un singur număr pus în locul lui $x$ ?

Pentru că o egalitate adevărată pentru $x = 0$ poate fi falsă pentru $x = 1$ . Un număr pus în locul lui $x$ dă doar o condiție necesară. După ce afli parametrul, verifici condiția pe litere, pentru orice $x$ , sau pui încă o valoare.

Metoda pas cu pas

Citește condiția și spune de ce fel este: o valoare dată, ca „2 compus cu 3 dă 11”, sau o proprietate „pentru orice $x$ ”, ca „ $x$ compus cu 11 dă 11”. Scrie condiția cu formula legii, păstrând parametrul ca literă.
La o valoare dată, rezolvi ecuația în parametru. La o proprietate „pentru orice $x$ ”, aduni termenii după $x$ și scrii câte o ecuație pentru coeficientul lui $x$ și pentru termenul liber. Dacă apar și pătrate, adaugi ecuația pentru coeficientul lui $x^{2}$ .
Rezolvă sistemul. Dacă ecuațiile nu au o soluție comună, parametrul nu există, iar concluzia se scrie așa. Dacă ies două valori, le păstrezi pe amândouă, dacă fiecare verifică.
Verifică valoarea găsită în condiția de la început, pe litere sau pe două numere diferite. Abia apoi rezolvi cerințele care urmează, cu legea în care parametrul e înlocuit.

Proprietățile pe care le ceri parametrului sunt definite în lecția asociativă, comutativă, neutru, la tehnologic. Forma cu paranteze, care arată repede neutrul și elementul absorbant, e în forma factorizată a unei legi, la pedagogic, iar o lege cu tablă finită e în lege de compoziție la tehnologic: tabla. Restul clasei e în traseul clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

Condiția	Cum o scrii	Ce ecuații obții
o valoare, $u \circ v = w$	înlocuiești $u$ și $v$	o ecuație în parametru
comutativă	$x \circ y = y \circ x$	coeficienții lui $x$ și $y$ egali
$e$ neutru	$e \circ x = x \circ e = x$	coeficientul lui $x$ egal cu 1, termenul liber 0
$a$ absorbant	$a \circ x = x \circ a = a$	coeficientul lui $x$ egal cu 0, termenul liber $a$
pentru orice $x$ , cu $x^{2}$	$A x^{2} + B x + C = 0$	$A = 0$ , $B = 0$ , $C = 0$

$A x + B = C x + D pentru orice x ⟺ A = C ș i B = D$

Condiții: parametrul nu depinde de $x$ sau de $y$ . Verificare rapidă: pui valoarea găsită înapoi în condiție și încerci două numere diferite.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Regula Anei Maria

Domeniu: joc didactic.

Enunț. Reia jocul din situația de pornire, cu regula $x \circ y = x y + p (x + y) + q$ . a) Află $p$ și $q$ din primele două perechi. b) Verifică regula pe perechile $(2, 3)$ și $(- 39, 10)$ . c) Ce număr $q$ ar fi trebuit să aleagă profesoara, cu același $p$ , ca $- 38$ să fie element neutru?

Rezolvare. a) $0 \circ 0 = q$ , deci $q = 1472$ . $1 \circ 0 = p + q = 1511$ , deci $p = 39$ . Regula este $x \circ y = x y + 39 x + 39 y + 1472$ . b) $2 \circ 3 = 6 + 78 + 117 + 1472 = 1673$ și $(- 39) \circ 10 = - 390 - 1521 + 390 + 1472 = - 49$ , exact rezultatele din tabel. c) Cu $p = 39$ , $(- 38) \circ x = - 38 x - 1482 + 39 x + q = x + q - 1482$ . Condiția $(- 38) \circ x = x$ pentru orice $x$ cere $q - 1482 = 0$ , deci $q = 1482$ . Atunci regula ar fi $x \circ y = (x + 39) (y + 39) - 39$ .

Capcană. Cine încearcă neutrul doar pe un număr, de pildă $(- 38) \circ 0 = 0$ , obține tot $q = 1482$ , dar fără să știe dacă egalitatea ține pentru orice $x$ . Aici ține, fiindcă coeficientul lui $x$ e deja 1; la alte legi, o singură probă poate păcăli.

Verificare. Cu $q = 1482$ : $(- 38) \circ 20 = - 760 - 1482 + 780 + 1482 = 20$ și $(- 38) \circ (- 3) = 114 - 1482 - 117 + 1482 = - 3$ . Cu regula reală, $q = 1472$ , $(- 38) \circ 20$ ar da 10, nu 20.

Exemplul 2 — Legea echipei lui Radu

Domeniu: lucru pe echipe.

Enunț. La ora de matematică, echipa lui Radu primește legea $x \circ y = 3 x y - 6 x + a y + 12$ , pe ℝ, cu $a$ real. a) Determină $a$ pentru care legea e comutativă. b) Pentru acest $a$ , scrie legea în forma cu paranteze. c) Calculează $x \circ 2$ . Absoarbe 2?

Rezolvare. a) $x \circ y - y \circ x = (- 6 x + a y) - (- 6 y + a x) = (a + 6) y - (a + 6) x = (a + 6) (y - x)$ . Ca diferența să fie 0 și pentru $x \neq = y$ , trebuie $a + 6 = 0$ , deci $a = - 6$ . b) $3 x y - 6 x - 6 y + 12 = 3 (x y - 2 x - 2 y + 4) = 3 (x - 2) (y - 2)$ . c) $x \circ 2 = 3 (x - 2) \cdot 0 = 0$ pentru orice $x$ . Rezultatul e 0, nu 2, deci 2 nu absoarbe.

Capcană. Cine verifică comutativitatea pe perechea $x = y = 1$ obține $1 \circ 1 = 1 \circ 1$ pentru orice $a$ și crede că orice $a$ e bun. O pereche cu $x = y$ nu spune nimic despre ordine.

Verificare. Cu $a = - 6$ : $1 \circ 0 = - 6 + 12 = 6$ și $0 \circ 1 = - 6 + 12 = 6$ . Cu $a = 1$ ar ieși $1 \circ 0 = 6$ , dar $0 \circ 1 = 1 + 12 = 13$ .

Exemplul 3 — Trei cerințe cu același parametru

Domeniu: proiectarea unei lecții.

Enunț. Profesorul Victor pregătește o fișă cu legea $x \circ y = - 2 x y + 12 x + 12 y + m$ , pe ℝ, cu $m$ real. a) Determină $m$ pentru care 6 este element absorbant. b) Pentru acest $m$ , află elementul neutru. c) Pentru ce valori ale lui $m$ este adevărată inegalitatea $x \circ x \leq 6$ pentru orice $x$ ?

Rezolvare. a) $- 2 x y + 12 x + 12 y = - 2 (x - 6) (y - 6) + 72$ , deci $x \circ y = - 2 (x - 6) (y - 6) + 72 + m$ . Atunci $6 \circ x = 72 + m$ pentru orice $x$ , iar condiția $6 \circ x = 6$ dă $m = - 66$ . b) Cu $m = - 66$ , $x \circ e = - 2 (x - 6) (e - 6) + 6 = x$ pentru orice $x$ cere $- 2 (e - 6) = 1$ , deci $e = 6 - \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$ . c) $x \circ x = - 2 (x - 6)^{2} + 72 + m$ . Cel mai mare rezultat se obține pentru $x = 6$ și este $72 + m$ , deci inegalitatea ține pentru orice $x$ dacă $72 + m \leq 6$ , adică $m \leq - 66$ .

Capcană. Cine uită semnul minus din fața lui $2 x y$ scrie $2 (x - 6) (y - 6) - 72$ și obține $m = 78$ . Desfăcând forma găsită regăsești $+ 2 x y$ , nu $- 2 x y$ : semnul se vede la verificare.

Verificare. La a): $6 \circ 10 = - 120 + 72 + 120 - 66 = 6$ . La b): $\frac{11}{2} \circ 0 = - 2 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- 6) + 6 = 0$ .

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: parametrul din elementul absorbant

Domeniu: fără context.

Enunț. Exemplul urmează forma Subiectului al II-lea din probele M_pedagogic, fără context. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = m (x + y) - x y - 156$ , unde $m$ este număr real. a) Arătați că legea este comutativă, pentru orice număr real $m$ . b) Determinați numărul real $m$ pentru care $13 * x = 13$ , pentru orice număr real $x$ . c) Pentru $m = 13$ , arătați că $e = 12$ este elementul neutru al legii. d) Pentru $m = 13$ , arătați că numărul 14 este propriul său simetric. e) Determinați numărul real $m$ pentru care ecuația $x * x = 0$ are soluția $x = 2$ .

Rezolvare. a) $y * x = m (y + x) - y x - 156 = m (x + y) - x y - 156 = x * y$ . b) $13 * x = 13 m + m x - 13 x - 156 = (m - 13) x + 13 m - 156$ . Pentru orice $x$ trebuie $m - 13 = 0$ și $13 m - 156 = 13$ ; prima dă $m = 13$ , iar atunci $169 - 156 = 13$ , deci și a doua e adevărată. c) Cu $m = 13$ , $x * y = - (x - 13) (y - 13) + 13$ , iar $x * 12 = - (x - 13) \cdot (- 1) + 13 = x$ ; comutativitatea dă și $12 * x = x$ . d) $14 * 14 = - 1 \cdot 1 + 13 = 12 = e$ . e) $2 * 2 = 4 m - 4 - 156 = 4 m - 160 = 0$ , deci $m = 40$ .

Capcană. La b), cine scrie doar ecuația pentru termenul liber, $13 m - 156 = 13$ , obține $m = \frac{169}{13} = 13$ din noroc. Cu alt număr în enunț, cele două ecuații pot da valori diferite, iar atunci parametrul nu există.

Verificare. La b), cu $m = 13$ : $13 * 5 = 13 \cdot 18 - 65 - 156 = 234 - 221 = 13$ . La e), cu $m = 40$ , legea devine $x * y = 40 (x + y) - x y - 156$ , iar $2 * 2 = 160 - 4 - 156 = 0$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pe ℝ se definește legea $x \circ y = a x + 2 y - 5$ , cu $a$ real. Determină $a$ știind că $2 \circ 3 = 11$ .

2. Pe ℝ se definește legea $x \circ y = 4 x + b y + 9$ , cu $b$ real. Determină $b$ pentru care legea e comutativă.

3. Pe ℝ se definește legea $x \circ y = 2 x y + 18 x + 18 y + m$ , cu $m$ real. Determină $m$ pentru care $- 9$ este element absorbant.

4. Pe ℝ se definește legea $x \circ y = x y + p x + p y + q$ . Determină numerele reale $p$ și $q$ pentru care elementul neutru este $- 27$ .

Nivelul 2 — situații

5. Robert, elev la pedagogic, joacă „Ghicește regula” cu colegii, dar regula lui are forma $x \circ y = x y + p x + q y + r$ , cu trei numere ascunse. Colegii au aflat: $0 \circ 0 = 10$ , $1 \circ 0 = 7$ și $0 \circ 1 = 5$ . a) Află $p$ , $q$ și $r$ . b) E regula comutativă? c) Ce rezultat dă perechea $(2, 2)$ ?

6. Pentru decorul serbării, învățătoarea înnoadă bucăți de panglică cap la cap. La fiecare nod se pierd $s$ centimetri, deci două bucăți de $x$ și $y$ centimetri dau o panglică de $x \circ y = x + y - s$ centimetri. a) O bucată de 80 cm și una de 65 cm au dat 137 cm. Află $s$ . b) Cât de lungă e panglica din patru bucăți de câte 50 cm, înnodate la rând?

7. La concursul de lectură al școlii, nota finală se calculează din nota la citire, $x$ , și nota la povestire, $y$ , cu regula $x \circ y = \frac{3 x + a y}{5}$ , unde $a$ este un număr pozitiv. Notele sunt între 1 și 10, iar regula trebuie să fie lege de compoziție pe $[1, 10]$ . a) Ce condiție pune perechea $x = y = 10$ ? b) Dar perechea $x = y = 1$ ? c) Află $a$ și calculează nota finală pentru 8 la citire și 6 la povestire. d) E regula comutativă?

8. Iulia a scris în caiet: „legea $x \circ y = x y + 5 x + m y + 20$ are element neutru pentru orice $m$ ”. a) Scrie condițiile $x \circ e = x$ și $e \circ x = x$ . b) Pentru ce $m$ există element neutru? c) Are Iulia dreptate?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = a x + a y - 46$ , unde $a$ este număr real. Arătați că, dacă legea are element neutru, atunci $a = 1$ , și determinați elementul neutru.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y + 30 (x + y) + m$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $x \circ (- 30) = - 30$ , pentru orice număr real $x$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y - 2 x + m y + 4$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $x * 2 = 2 * x$ , pentru orice număr real $x$ .

12. (Sinteză.) Determinați numerele reale $a$ , $b$ și $c$ pentru care legea $x \circ y = 3 x y + a x + b y + c$ este comutativă și are elementul neutru 5. Pentru legea obținută, aflați elementul absorbant și rezolvați ecuația $x \circ x = 5$ .

Răspunsuri și verificări

1. $2 \circ 3 = 2 a + 6 - 5 = 2 a + 1 = 11$ , deci $a = 5$ . Verificare: cu $a = 5$ , $2 \circ 3 = 10 + 6 - 5 = 11$ .

2. $x \circ y - y \circ x = 4 x + b y - 4 y - b x = (4 - b) (x - y)$ , care e 0 pentru orice $x$ și $y$ doar dacă $b = 4$ . Verificare: cu $b = 4$ , $1 \circ 0 = 13$ și $0 \circ 1 = 13$ .

3. $x \circ y = 2 (x + 9) (y + 9) + m - 162$ , deci $(- 9) \circ x = m - 162$ . Condiția $m - 162 = - 9$ dă $m = 153$ . Verificare: cu $m = 153$ , $(- 9) \circ 5 = - 90 - 162 + 90 + 153 = - 9$ .

4. $x \circ (- 27) = - 27 x + p x - 27 p + q = x$ pentru orice $x$ cere $p - 27 = 1$ și $- 27 p + q = 0$ , deci $p = 28$ și $q = 756$ . Verificare: $x \circ y = x y + 28 x + 28 y + 756$ , iar $5 \circ (- 27) = - 135 + 140 - 756 + 756 = 5$ .

5. a) $0 \circ 0 = r = 10$ , $1 \circ 0 = p + r = 7$ , deci $p = - 3$ , iar $0 \circ 1 = q + r = 5$ , deci $q = - 5$ . Regula este $x \circ y = x y - 3 x - 5 y + 10$ . b) Nu: $1 \circ 0 = 7$ , iar $0 \circ 1 = 5$ . c) $2 \circ 2 = 4 - 6 - 10 + 10 = - 2$ . Verificare: în forma cu paranteze, $x \circ y = (x - 5) (y - 3) - 5$ , iar $(2 - 5) (2 - 3) - 5 = 3 - 5 = - 2$ .

6. a) $80 + 65 - s = 137$ , deci $s = 8$ cm. b) Patru bucăți înseamnă trei noduri: $200 - 3 \cdot 8 = 176$ cm. Verificare: $50 \circ 50 = 92$ , $92 \circ 50 = 134$ , $134 \circ 50 = 176$ .

7. a) $10 \circ 10 = \frac{30 + 10 a}{5} \leq 10$ , deci $a \leq 2$ . b) $1 \circ 1 = \frac{3 + a}{5} \geq 1$ , deci $a \geq 2$ . c) Rămâne $a = 2$ , iar $8 \circ 6 = \frac{24 + 12}{5} = 7, 2$ . d) Nu: $6 \circ 8 = \frac{18 + 16}{5} = 6, 8$ . Verificare: cu $a = 2$ , $10 \circ 10 = 10$ și $1 \circ 1 = 1$ , chiar la margini.

8. a) $x \circ e = (e + 5) x + m e + 20 = x$ și $e \circ x = (e + m) x + 5 e + 20 = x$ . b) Din prima: $e = - 4$ și $- 4 m + 20 = 0$ , deci $m = 5$ ; a doua dă atunci $- 4 + 5 = 1$ și $- 20 + 20 = 0$ , adevărate. Există neutru doar pentru $m = 5$ . c) Nu. Verificare: cu $m = 5$ , $(- 4) \circ 7 = - 28 - 20 + 35 + 20 = 7$ .

9. Dacă $e$ e neutru, atunci $x * e = a x + a e - 46 = x$ pentru orice $x$ , deci coeficientul lui $x$ dă $a = 1$ . Cu $a = 1$ , termenul liber dă $e - 46 = 0$ , deci $e = 46$ . Verificare: cu $a = 1$ , $x * 46 = x + 46 - 46 = x$ și $46 * x = 46 + x - 46 = x$ .

10. $x \circ (- 30) = - 30 x + 30 x - 900 + m = m - 900$ , pentru orice $x$ . Condiția $m - 900 = - 30$ dă $m = 870$ ; legea este atunci $(x + 30) (y + 30) - 30$ . Verificare: $3 \circ (- 30) = - 90 - 810 + 870 = - 30$ .

11. $x * 2 = 2 x - 2 x + 2 m + 4 = 2 m + 4$ , iar $2 * x = 2 x - 4 + m x + 4 = (m + 2) x$ . Egalitatea $(m + 2) x = 2 m + 4$ pentru orice $x$ cere $m + 2 = 0$ și $2 m + 4 = 0$ , deci $m = - 2$ . Verificare: cu $m = - 2$ , $x * 2 = 0$ și $2 * x = 0$ pentru orice $x$ .

12. Comutativitatea dă $a = b$ . Neutrul 5 cere $x \circ 5 = (15 + a) x + 5 a + c = x$ , deci $15 + a = 1$ și $5 a + c = 0$ , adică $a = b = - 14$ și $c = 70$ . Legea este $3 x y - 14 x - 14 y + 70 = 3 (x - \frac{14}{3}) (y - \frac{14}{3}) + \frac{14}{3}$ , cu elementul absorbant $\frac{14}{3}$ . Din $3 x^{2} - 28 x + 70 = 5$ rezultă $3 x^{2} - 28 x + 65 = 0$ , deci $x = 5$ sau $x = \frac{13}{3}$ . Verificare: $5 \circ 5 = 75 - 140 + 70 = 5$ .

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), parametrii au fost rari: în probele M_pedagogic 2013–2026, o lege cu parametru a apărut într-o singură probă, iar un parametru în cerință, în încă una: în total 7 cerințe, în 2 din cele 60 de probe. Proba specială din 2020 a construit tot Subiectul al II-lea pe legea $x * y = x + a y + 5$ , cu șase cerințe, iar la simularea din 2026 legea nu avea parametru: numărul $m$ apărea doar în cerința 6.

Proba specială din 2020, cerința 3: se cere parametrul pentru care legea e comutativă; e cazul de la pasul 2 din Metodă, iar pagina probei dă 2 puncte pentru egalitatea $x * y = y * x$ scrisă cu parametrul și 3 puncte pentru valoarea lui.
Proba specială din 2020, cerința 4: se cere să arăți că existența elementului neutru impune valoarea parametrului; pagina probei dă 2 puncte pentru neutrul aflat dintr-o egalitate și 3 puncte pentru parametru.
Simularea din 2026, cerința 6: o egalitate „pentru orice număr real $x$ ” dă două valori ale parametrului; pagina probei dă 2 puncte pentru compunerea scrisă cu parametrul și 3 puncte pentru valori.

Exercițiile 9, 10 și 11 reiau aceste trei forme: neutrul care impune parametrul, elementul absorbant și o egalitate pentru orice $x$ .

Greșeli care costă puncte

Verifici comutativitatea pe o pereche cu $x = y$ → la legea echipei lui Radu orice $a$ pare bun; cum o prinzi: alegi două numere diferite, ca 1 și 0.
Scrii doar ecuația termenului liber la o condiție „pentru orice $x$ ” → poți găsi un parametru care nu verifică și coeficientul lui $x$ ; cum o prinzi: scrii ambele ecuații și le rezolvi împreună.
Pierzi semnul din fața lui $x y$ când scrii forma cu paranteze → la fișa profesorului Victor ies $m = 78$ în loc de $- 66$ ; cum o prinzi: desfaci forma și compari coeficientul lui $x y$ .
Folosești o singură valoare a lui $x$ și declari condiția adevărată pentru orice $x$ → o egalitate pentru $x = 0$ nu o dovedește pentru $x = 1$ ; cum o prinzi: verifici valoarea găsită pe litere sau pe al doilea număr.
Uiți că parametrul poate să nu existe → afirmi, ca Iulia, că o proprietate ține pentru orice $m$ ; cum o prinzi: rezolvi sistemul și spui explicit pentru ce $m$ are soluție.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006). Conținutul atins este „Legi de compoziție, proprietăți”. La examen, parametrii apar la Subiectul al II-lea; în probele M_pedagogic 2013–2026, o lege cu parametru a apărut într-o probă, iar un parametru în cerință, în încă una (7 cerințe, în 2 din cele 60 de probe). Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția de față nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

Câte perechi trebuiau să spună elevii ca să afle regula Anei Maria? Două, fiindcă regula avea două numere ascunse, $p$ și $q$ : perechea $(0, 0)$ a dat $q = 1472$ , iar $(1, 0)$ a dat $p = 39$ . Celelalte două perechi au fost de control. La regula lui Robert, cu trei numere ascunse, a fost nevoie de trei perechi.

Ce s-ar fi schimbat dacă profesoara răspundea 1482 la perechea $(0, 0)$ ? Atunci $q = 1482$ , iar cu $1 \circ 0 = 1521$ ar fi ieșit tot $p = 39$ . Regula ar fi fost $x \circ y = (x + 39) (y + 39) - 39$ : $- 39$ ar fi absorbit orice număr, iar $- 38$ ar fi fost element neutru, de pildă $(- 38) \circ 20 = 1 \cdot 59 - 39 = 20$ .

De ce perechea $(- 39, 10)$ dă $- 49$ , oricare ar fi al doilea număr? Cu $p = 39$ și $q = 1472$ , regula este $x \circ y = (x + 39) (y + 39) - 49$ . Când un număr e $- 39$ , produsul e 0 și rezultatul e $- 49$ . Numărul $- 39$ nu absoarbe, fiindcă rezultatul nu e $- 39$ , iar regula nu are element neutru.

Ajunge să pun $x = 0$ într-o condiție „pentru orice $x$ ”? Nu ajunge ca dovadă, dar e un început bun: dă o ecuație pe care parametrul trebuie s-o verifice. După ce afli valoarea, o verifici pe litere sau pe încă un număr. Așa lucrează și pagina probei speciale din 2020, cu egalitatea pentru $x = 0$ și apoi cu verificarea.

Cât de des a cerut Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) legi cu parametru? În probele M_pedagogic 2013–2026, o lege cu parametru a apărut într-o singură probă, specială 2020, cu toate cele 6 cerințe; la simularea din 2026 legea nu avea parametru, dar cerința 6 a cerut numerele $m$ pentru o egalitate pentru orice $x$ . În total: 7 cerințe, în 2 din cele 60 de probe. Tehnica egalității pentru orice $x$ apare însă și la elementul neutru.

Ce fac dacă găsesc două valori ale parametrului? Le verifici pe fiecare în condiția de la început și le păstrezi pe toate care o îndeplinesc. La o egalitate de forma $x^{2} \cdot (\dots) = 0$ , produsul din paranteză poate avea două rădăcini, ca la simularea din 2026, unde ambele valori au fost bune.