Cum aflu cu Cramer costul serviciilor interne?

Regula lui Cramer rezolvă un sistem cu tot atâtea ecuații câte necunoscute, folosind determinanți. Calculezi determinantul coeficienților, $\Delta$, apoi câte un determinant pentru fiecare necunoscută, în care coloana ei este înlocuită cu termenii liberi. Dacă $\Delta \ne 0$, fiecare necunoscută este câtul dintre determinantul ei și $\Delta$.

Pregătirea contează. Necunoscutele stau în aceeași ordine în toate ecuațiile, termenii cu necunoscute stau în stânga, iar zecimalele și procentele se elimină înmulțind ambii membri cu 10 sau cu 100. Dacă datele au unități amestecate, de pildă ore și minute, convertești înainte de orice calcul.

Calculul are cinci mișcări: scrii sistemul, calculezi $\Delta$ și te oprești dacă iese 0, formezi determinanții auxiliari, îi împarți pe toți la același $\Delta$, apoi verifici în toate ecuațiile și pe sensul problemei. Dacă $\Delta =0$, nu declari că nu există soluție: compari ecuațiile, fiindcă sistemul poate avea o infinitate de soluții sau niciuna.

Metoda e comodă la două sau trei necunoscute cu coeficienți întregi mici. La sistemele cu multe zerouri, substituția ajunge mai repede la rezultat. La aceleași ecuații cu alți termeni liberi păstrezi $\Delta$ și schimbi doar coloana liberă.

De reținut

• $x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$, $y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta }$, cu același $\Delta \ne 0$ la numitor
• în determinantul unei necunoscute se schimbă numai coloana ei
• costul total al unui serviciu = cheltuielile proprii + partea folosită din costul total al celorlalte

Greșeala tipică

Se iau procentele din cheltuielile proprii ale celuilalt serviciu, nu din costul lui total: la exemplul de mai sus ar ieși $8,4+0,2\cdot 7=9,8$ în loc de $10$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Prețurile unui kilogram din două produse, $x$ și $y$ lei, verifică sistemul $9x-5y=19$, $4x+7y=73$. Care dintre fracțiile de mai jos dă valoarea lui $y$ după regula lui Cramer?

   • a) $\frac{498}{83}$
   • b) $\frac{581}{83}$
   • c) $\frac{83}{581}$
   • d) $\frac{733}{83}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{581}{83}$

   Numitorul este $\Delta =9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83$. Pentru $y$ pui termenii liberi pe a doua coloană: ${\Delta }_y=9\cdot 73-4\cdot 19=581$, deci $y=\frac{581}{83}$. Varianta a) este $\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$, adică fracția lui $x$. Varianta c) răstoarnă fracția. Varianta d) adună cele două produse din ${\Delta }_y$ în loc să le scadă.

2. La un service, un litru de ulei de motor costă $x$ lei, iar un litru de antigel $y$ lei. Două facturi dau $6x+9y=450$ și $8x+12y=700$. Ce se poate afirma despre sistem?

   • a) Nu are soluție: $\Delta =0$, iar ecuațiile se contrazic.
   • b) Are o infinitate de soluții, fiindcă $\Delta =0$.
   • c) Are soluție unică, pe care o dă regula lui Cramer.
   • d) Are soluție unică, fiindcă ecuațiile nu sunt identice.
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) Nu are soluție: $\Delta =0$, iar ecuațiile se contrazic.

   $\Delta =6\cdot 12-9\cdot 8=0$, deci Cramer nu se aplică. Coeficienții celei de-a doua ecuații sunt $\frac{4}{3}$ din ai primei, dar termenul liber nu: $\frac{4}{3}\cdot 450=600$, nu $700$. Ecuațiile se contrazic, deci nu există soluție. Varianta b) ar fi corectă doar dacă a doua factură ar fi fost de $600$ lei. Varianta c) cere un $\Delta$ nenul. Varianta d) confundă „nu sunt identice” cu „nu sunt proporționale”.

3. Un salon execută două tipuri de ședințe. Una de tip 1 ocupă 0,6 h coaforul și 0,4 h cosmeticianul, iar una de tip 2 ocupă 0,5 h coaforul și 1,2 h cosmeticianul. Într-o lună coaforul a lucrat 7,9 h, iar cosmeticianul 9,6 h. Sistemul $0,6x+0,5y=7,9$, $0,4x+1,2y=9,6$ se rezolvă după ce înmulțești ecuațiile cu 10. Câte ședințe de tip 1 ($x$) s-au făcut?

   • a) $0,9$
   • b) $5$
   • c) $9$
   • d) $-9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $9$

   Înmulțești ambii membri cu 10: $6x+5y=79$ și $4x+12y=96$. Atunci $\Delta =72-20=52$ și ${\Delta }_x=79\cdot 12-5\cdot 96=468$, deci $x=9$. Varianta $0,9$ înmulțește doar membrul stâng cu 10 și lasă termenii liberi neschimbați. Varianta $5$ este $\frac{{\Delta }_y}{\Delta }$, adică $y$. Varianta $-9$ calculează $\Delta$ ca $20-72$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: costuri reciproce între servicii cu Cramer · sistem de costuri totale ale serviciilor · cost total cu cheltuieli proprii plus servicii primite · repartizarea costurilor interne cu determinanți