Cramer pas cu pas: sisteme 3×3 la tehnologic

Într-o fabrică, serviciile interne își trec costuri unele altora, așa că nimeni nu poate spune cât costă fiecare până nu le socotește pe toate deodată. Un sistem cu trei ecuații și trei necunoscute se rezolvă atunci prin patru determinanți, după regula lui Cramer. Lecția, scrisă pentru clasa a XI-a, filiera tehnologică, arată cum se aplică regula și când nu se aplică. Regula este trecută printre conținuturile programei pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

O fabrică de țevi din PVC are trei servicii interne care lucrează pentru secțiile de producție: întreținerea (Î), transportul intern (T) și energia termică (E). Fiecare are cheltuieli proprii, cu salarii și materiale, dar folosește și serviciile celorlalte: transportul duce piese la întreținere, iar întreținerea repară utilajele care produc energie. Regula contabilă a fabricii spune că, în fiecare lună, costul total al unui serviciu este egal cu cheltuielile lui proprii plus partea din costul total al celorlalte servicii pe care o folosește. Abia după aceea costurile se repartizează producției.

Contabilul-șef trebuie să afle costul total al fiecărui serviciu pe luna aceasta, ca să închidă bugetul fabricii.

Întrebare: care este costul total al fiecărui serviciu și cât din el ajunge, în final, la secțiile de producție?

De la situație la model

Notează cu $x$, $y$ și $z$ costurile totale ale lui Î, T și E, în mii de lei. Regula contabilă dă câte o ecuație pentru fiecare serviciu: $x=13,8+0,10y+0,20z$, $y=6,9+0,20x+0,10z$ și $z=9,6+0,10x+0,30y$. Mută necunoscutele în stânga și înmulțește cu 10, ca să nu rămână zecimale.

Cum arată sistemul?

Procentele devin zecimale: 10 % înseamnă 0,10, iar 20 % înseamnă 0,20. Costul unui serviciu apare cu plus în propria ecuație, de partea stângă, și cu minus în ecuațiile celorlalte, pentru că necunoscutele au trecut din dreapta în stânga. După înmulțirea cu 10, pe diagonală rămâne 10, iar în rest apar procentele împărțite la 10, cu semnul minus.

Sistemul este $10x-y-2z=138$, $-2x+10y-z=69$ și $-x-3y+10z=96$. Coeficienții lui $x$, $y$, $z$ formează tabloul de nouă numere $\left(\begin{array}{ccc}10& -1& -2\\ -2& 10& -1\\ -1& -3& 10\end{array}\right)$, iar determinantul sistemului este $\Delta$, determinantul acestui tablou, calculat ca în determinantul de ordin 3.

Ce sunt ${\Delta }_x$, ${\Delta }_y$ și ${\Delta }_z$?

${\Delta }_x$ este determinantul obținut din $\Delta$ când pui coloana termenilor liberi în locul coloanei lui $x$; la fel ${\Delta }_y$ pentru coloana a doua și ${\Delta }_z$ pentru a treia. Celelalte două coloane rămân la locul lor. Metoda lui Cramer spune că, dacă $\Delta \ne 0$, sistemul are o singură soluție, $x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$, $y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta }$ și $z=\frac{{\Delta }_z}{\Delta }$. Regula se folosește aici ca rezultat, fără demonstrație.

Când nu se poate aplica?

Dacă $\Delta =0$, împărțirile nu au sens, iar regula nu spune nimic despre sistem. El poate fi incompatibil sau poate avea o infinitate de soluții; le deosebești privind direct ecuațiile. Pentru același sistem există și calea inversei matricei, din ecuații matriceale. La sistemele cu două ecuații se procedează la fel, cu $\Delta =ad-bc$ pentru coeficienții $a$, $b$, $c$, $d$ dispuși pe două linii.

Metoda pas cu pas

1. Scrie sistemul cu necunoscutele în aceeași ordine în toate ecuațiile, cu termenii cu necunoscute în stânga și cei liberi în dreapta. Dacă apar zecimale sau procente, înmulțește ecuația cu 10 sau cu 100, ca să rămână numai numere întregi. Verifică dacă sistemul are tot atâtea ecuații câte necunoscute.
2. Calculează $\Delta$ din coeficienți. Dacă $\Delta =0$, oprește-te: regula nu hotărăște, iar sistemul poate fi incompatibil sau nedeterminat. Treci atunci la o analiză directă a ecuațiilor, de pildă prin adunarea lor.
3. Formează ${\Delta }_x$, ${\Delta }_y$ și ${\Delta }_z$, înlocuind pe rând coloana necunoscutei cu coloana termenilor liberi. Celelalte coloane se copiază neschimbate, în aceeași ordine.
4. Calculează fiecare determinant: prin regula lui Sarrus la ordinul 3, prin $ad-bc$ la ordinul 2. Împarte apoi fiecare dintre ${\Delta }_x$, ${\Delta }_y$, ${\Delta }_z$ la $\Delta$, nu la un alt determinant.
5. Verifică în toate ecuațiile și pe sensul problemei: unități, valori pozitive, mărimi care se potrivesc între ele. Un rezultat care strică o singură ecuație nu este soluție.

Alegi metoda lui Cramer la sisteme cu două sau trei necunoscute și coeficienți întregi mici. Dacă sistemul are multe zerouri, substituția merge mai repede. Dacă ai de rezolvat același sistem cu mai multe liste de termeni liberi, calculezi $\Delta$ o singură dată și schimbi doar coloana liberă din numărătorii ${\Delta }_x$, ${\Delta }_y$, ${\Delta }_z$.

Ordinea contează: cine sare peste pasul 2 poate împărți la un $\Delta$ nul, cine amestecă coloanele la pasul 3 obține un determinant care nu aparține necunoscutei căutate, iar cine sare peste pasul 5 nu observă un rezultat care strică o singură ecuație sau o cantitate care iese negativă, deși e vorba de lei sau de kilograme.

Fișa de buzunar

$$\Delta \ne 0⟹x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta },y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta },z=\frac{{\Delta }_z}{\Delta }$$

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

Condiții: sistemul are tot atâtea ecuații câte necunoscute are, iar $\Delta \ne 0$. În ${\Delta }_x$ se schimbă doar coloana lui $x$. Dacă $\Delta =0$, nu împărți și nu spune „fără soluție”: examinezi sistemul. La două ecuații, ${\Delta }_x$ și ${\Delta }_y$ se scriu la fel, cu două coloane. Verificare rapidă: soluția trebuie să verifice toate ecuațiile.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Costurile serviciilor interne

Domeniu: economic.

Enunț. Reia fabrica din situație. a) Rezolvă sistemul cu metoda lui Cramer. b) Află ce parte din costul fiecărui serviciu ajunge la producție.

Rezolvare. a) Prin Sarrus, $\Delta =10\cdot 10\cdot 10+(-1)(-1)(-1)+(-2)(-2)(-3)-(-2)\cdot 10\cdot (-1)-10\cdot (-1)(-3)-(-1)(-2)\cdot 10=1000-1-12-20-30-20=917$, deci $\Delta \ne 0$. Pentru ${\Delta }_x$ pui coloana $(138;69;96)$ pe prima poziție: ${\Delta }_x=\left|\begin{array}{ccc}138& -1& -2\\ 69& 10& -1\\ 96& -3& 10\end{array}\right|=13800+96+414+1920-414+690=16506$. La fel, ${\Delta }_y=\left|\begin{array}{ccc}10& 138& -2\\ -2& 69& -1\\ -1& 96& 10\end{array}\right|=6900+138+384-138+960+2760=11004$ și ${\Delta }_z=\left|\begin{array}{ccc}10& -1& 138\\ -2& 10& 69\\ -1& -3& 96\end{array}\right|=9600+69+828+1380+2070-192=13755$. Atunci $x=\frac{16506}{917}=18$, $y=\frac{11004}{917}=12$ și $z=\frac{13755}{917}=15$. Costurile totale sunt 18 mii lei pentru Î, 12 mii lei pentru T și 15 mii lei pentru E. b) Din costul lui Î, serviciile T și E folosesc 20 % și 10 %, deci la producție ajunge $0,70\cdot 18=12,6$ mii lei. Din T, serviciile Î și E folosesc 10 % și 30 %, deci la producție ajunge $0,60\cdot 12=7,2$ mii lei. Din E, serviciile Î și T folosesc 20 % și 10 %, deci la producție ajunge $0,70\cdot 15=10,5$ mii lei.

Capcană. Cine ia procentele din cheltuielile proprii ale celorlalte servicii, nu din costurile lor totale, face o singură trecere și obține pentru Î costul $13,8+0,10\cdot 6,9+0,20\cdot 9,6=16,41$ mii lei, adică 16 410 lei în loc de 18 000. Costul lui T ar ieși 10 620 lei, iar al lui E 13 050 lei. Regula contabilă cere costul total al celorlalte servicii, care la rândul lui depinde de Î.

Verificare. Pe un alt drum: la producție ajung $12,6+7,2+10,5=30,3$ mii lei, adică exact suma cheltuielilor proprii, $13,8+6,9+9,6=30,3$ mii lei. Costul trecut între servicii dispare din total, deci altfel suma nu ar ieși.

Exemplul 2 — Plan de debitare cu două scheme

Domeniu: lemn.

Enunț. O tâmplărie taie plăci de PAL după două scheme. Schema 1 dă dintr-o placă 7 flancuri și 3 rafturi, iar schema 2 dă 4 flancuri și 6 rafturi. Comanda cere exact 67 de flancuri și 63 de rafturi. Câte plăci se taie după fiecare schemă?

Rezolvare. Fie $a$ numărul plăcilor tăiate după schema 1 și $b$ al celor după schema 2. Sistemul este $7a+4b=67$ și $3a+6b=63$. Aici $\Delta =7\cdot 6-4\cdot 3=30$, ${\Delta }_a=67\cdot 6-4\cdot 63=150$ și ${\Delta }_b=7\cdot 63-3\cdot 67=240$. Rezultă $a=\frac{150}{30}=5$ și $b=\frac{240}{30}=8$. Se taie 5 plăci după schema 1 și 8 după schema 2.

Capcană. Cine înlocuiește și în ${\Delta }_b$ tot coloana lui $a$ obține ${\Delta }_b=150$, adică $b=\frac{150}{30}=5$. Cu $a=b=5$ ar ieși $7\cdot 5+4\cdot 5=55$ flancuri, nu 67.

Verificare. Cu 5 plăci după schema 1 și 8 după schema 2, flancurile sunt $35+32=67$, iar rafturile $15+48=63$, exact cât cere comanda.

Exemplul 3 — Linii de sortare, cu conversii

Domeniu: mediu.

Enunț. O stație de sortare a deșeurilor are trei linii: hârtie, plastic și sticlă. În trei schimburi, liniile au lucrat 2 h 15 min, 3 h 15 min și 2 h 15 min, apoi 3 h 45 min, 1 h 15 min și 2 h 45 min, apoi 3 h 15 min, 1 h 15 min și 2 h 15 min, iar cântarul de la intrare a înregistrat 49 t, 56 t și 48 t; baloturile fiecărei linii se cântăresc abia la livrare. Care este debitul fiecărei linii, în tone pe oră?

Rezolvare. Duratele se transformă în ore: 2 h 15 min înseamnă 2,25 h, 3 h 15 min înseamnă 3,25 h, 3 h 45 min înseamnă 3,75 h și tot așa. Cu debitele $a$, $b$, $c$ în t/h, ecuațiile sunt $2,25a+3,25b+2,25c=49$, $3,75a+1,25b+2,75c=56$ și $3,25a+1,25b+2,25c=48$. Le înmulțești cu 4 și obții $9a+13b+9c=196$, $15a+5b+11c=224$ și $13a+5b+9c=192$. Prin Sarrus, $\Delta =405+1859+675-585-495-1755=104$, cu produsele $9\cdot 5\cdot 9$, $13\cdot 11\cdot 13$, $9\cdot 15\cdot 5$, apoi $9\cdot 5\cdot 13$, $9\cdot 11\cdot 5$ și $13\cdot 15\cdot 9$. La fel se obțin ${\Delta }_a=728$, ${\Delta }_b=416$ și ${\Delta }_c=936$. Atunci $a=\frac{728}{104}=7$, $b=\frac{416}{104}=4$ și $c=\frac{936}{104}=9$. Debitele sunt 7 t/h la hârtie, 4 t/h la plastic și 9 t/h la sticlă.

Capcană. Dacă lași minutele în sistem, ecuațiile devin $135a+195b+135c=49$ și așa mai departe, iar Cramer dă $a=\frac{7}{60}\approx 0,12$. Cifra pare mică, dar este în tone pe minut: $\frac{7}{60}\cdot 60=7$ t/h. Citită ca t/h, ar însemna o linie de hârtie de 60 de ori mai lentă.

Verificare. În primul schimb, $2,25\cdot 7+3,25\cdot 4+2,25\cdot 9=15,75+13+20,25=49$ t. În al doilea, $3,75\cdot 7+1,25\cdot 4+2,75\cdot 9=26,25+5+24,75=56$ t, iar în al treilea, $3,25\cdot 7+1,25\cdot 4+2,25\cdot 9=22,75+5+20,25=48$ t.

Exemplul 4 — problema inversă: concentrația stocurilor, din amestecuri

Domeniu: chimie.

Enunț. O fabrică de lactate spală utilajele cu soluție de sodă caustică din două rezervoare-stoc, A și B, cu 30 g/L și 25 g/L pe etichetă. Soda absoarbe dioxid de carbon din aer, așa că un stoc vechi își pierde din concentrație. Rezervoarele sunt închise și alimentează direct pompele de dozare, așa că laborantul poate lua probe doar din cele două circuite de spălare: 3 L din A cu 5 L din B au dat 26,5 g/L, iar 4 L din A cu 4 L din B au dat 27 g/L. Ce concentrație are fiecare stoc? Mai respectă eticheta?

Rezolvare. Fie $p$ și $q$ concentrațiile stocurilor A și B, în g/L. Fiecare amestec are 8 L, deci conține $8\cdot 26,5=212$ g, respectiv $8\cdot 27=216$ g de sodă. Sistemul este $3p+5q=212$ și $4p+4q=216$. Aici $\Delta =3\cdot 4-5\cdot 4=-8$, ${\Delta }_p=212\cdot 4-5\cdot 216=-232$ și ${\Delta }_q=3\cdot 216-4\cdot 212=-200$. Rezultă $p=\frac{-232}{-8}=29$ g/L și $q=\frac{-200}{-8}=25$ g/L. Stocul B respectă eticheta, iar stocul A a pierdut 1 g/L și trebuie corectat sau înlocuit.

Capcană. Cine pune concentrațiile amestecurilor direct în dreapta, $3p+5q=26,5$, obține concentrații de 8 ori mai mici, $p=3,625$ g/L și $q=3,125$ g/L. În dreapta stă masa de sodă din amestec, adică volumul înmulțit cu concentrația.

Verificare. Pe datele laborantului: primul amestec are $\frac{3\cdot 29+5\cdot 25}{8}=\frac{87+125}{8}=26,5$ g/L, iar al doilea $\frac{4\cdot 29+4\cdot 25}{8}=\frac{216}{8}=27$ g/L, exact cât s-a titrat.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează determinantul $\Delta$ al fiecărui sistem și spune la care se poate aplica metoda lui Cramer: a) $8x+3y=25$, $6x-5y=8$; b) $10x-14y=24$, $35x-49y=84$; c) $11x+4y=37$, $8x+5y=33$.

2. Rezolvă cu metoda lui Cramer sistemul $9x+4y=38$, $5x-6y=54$.

3. Pentru sistemul $4x-3y+2z=17$, $2x+9y-5z=-9$, $3x+7y+6z=8$, calculează $\Delta$ și ${\Delta }_y$ și spune cât este $y$, rotunjit la zecimi.

4. Rezolvă cu metoda lui Cramer sistemul $7x+5z=18$, $11y-4z=41$, $5x-3y=11$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Dispecerul unei firme de curierat vrea consumul unei autoutilitare la 100 km, în oraș și în afara orașului. Din foile de parcurs, într-o zi mașina a mers 140 km în oraș și 260 km în afara lui și a consumat 30,2 L de motorină, iar în alta 90 km și 410 km, cu 35,2 L. Află cele două consumuri cu metoda lui Cramer.

6. (Problemă aplicată.) Un agent de turism vede în oferta unui hotel doar prețurile pachetelor: 2 nopți și o cină la 520 lei, 4 nopți și 2 cine la 1 040 lei. a) Poate afla din ele prețul unei nopți? b) Se adaugă un pachet cu 3 nopți și o cină, la 700 lei. Ce se schimbă?

7. (Problemă aplicată.) O cofetărie livrează pentru o nuntă 209 ecleruri, 177 de savarine și 176 de tarte, numai pe platouri întregi. Platoul A are 12 ecleruri, 4 savarine și 7 tarte, platoul B 5, 11 și 3, iar platoul C 4, 6 și 13. Câte platouri din fiecare fel se pregătesc? Folosește metoda lui Cramer.

8. (Problemă aplicată.) Un zugrav vrea să știe cât consumă, cu ambele straturi, pe un metru pătrat de perete și pe unul de tavan. Într-un apartament a zugrăvit 140 m² de pereți și 60 m² de tavan cu 50,4 L de vopsea lavabilă, iar în altul 110 m² de pereți și 45 m² de tavan cu 39 L. Află consumurile, în litri pe metru pătrat, și verifică.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) În sistemul $7x+2y+8z=22$, $3x+6y+11z=17$, $9x+4y+5z=23$, termenii liberi sunt dublul coloanei lui $x$ plus coloana lui $z$. a) Arată, fără să dezvolți determinantul, că ${\Delta }_y=0$. b) Află $x$, $y$ și $z$.

10. (Sinteză.) Rezolvă sistemul $19x+7y=81$, $8x+3y=34$ prin metoda lui Cramer, apoi prin $X=A^{-1}\cdot B$, cu inversa matricei de ordin 2. Compară cele două rezultate și spune ce legătură are $\Delta$ cu inversa.

11. (Sinteză.) Reia fabrica din situație, dar transportul intern folosește 20 % din costul energiei, nu 10 %. Scrie sistemul, află noile costuri totale cu metoda lui Cramer, rotunjite la leu, și verifică prin suma cheltuielilor proprii.

12. (Sinteză.) Presupune că Î și T s-ar folosi reciproc în întregime: Î ia 100 % din costul lui T, iar T ia 100 % din costul lui Î, iar cheltuielile proprii rămân 13 800 lei și 6 900 lei. Scrie sistemul în mii de lei cu coeficienți întregi, calculează $\Delta$ și explică ce înseamnă rezultatul.

Răspunsuri și verificări

1. a) $\Delta =8\cdot (-5)-3\cdot 6=-58$, deci Cramer se aplică. b) $\Delta =10\cdot (-49)-(-14)\cdot 35=0$, deci nu se aplică. c) $\Delta =11\cdot 5-4\cdot 8=23$, deci se aplică. Verificare: la b) a doua ecuație este de 3,5 ori prima, iar ambele se reduc la $5x-7y=12$.

2. $\Delta =9\cdot (-6)-4\cdot 5=-74$, ${\Delta }_x=38\cdot (-6)-4\cdot 54=-444$ și ${\Delta }_y=9\cdot 54-5\cdot 38=296$. Rezultă $x=\frac{-444}{-74}=6$ și $y=\frac{296}{-74}=-4$. Verificare: $54-16=38$ și $30+24=54$.

3. $\Delta =411$, iar ${\Delta }_y=-429$, deci $y=\frac{-429}{411}\approx -1,0$. ${\Delta }_y$ se scrie cu coloana $(17;-9;8)$ pe poziția a doua. Verificare: dezvoltat după prima linie, $\Delta =4\cdot 89+3\cdot 27+2\cdot (-13)=356+81-26=411$.

4. $\Delta =-359$, ${\Delta }_x=-1436$, ${\Delta }_y=-1077$ și ${\Delta }_z=718$. Rezultă $x=4$, $y=3$ și $z=-2$. Verificare: $28-10=18$, $33+8=41$ și $20-9=11$.

5. Cu $u$ și $e$ litri la 100 km, $1,4u+2,6e=30,2$ și $0,9u+4,1e=35,2$; înmulțite cu 10: $14u+26e=302$ și $9u+41e=352$. $\Delta =14\cdot 41-26\cdot 9=340$, ${\Delta }_u=302\cdot 41-26\cdot 352=3230$ și ${\Delta }_e=14\cdot 352-9\cdot 302=2210$. Consumul este $u=9,5$ L/100 km în oraș și $e=6,5$ L/100 km în afara orașului. Verificare: $90\cdot 0,095+410\cdot 0,065=8,55+26,65=35,2$ L.

6. a) Cu $n$ nopți și $c$ cine, $2n+c=520$ și $4n+2c=1040$. $\Delta =2\cdot 2-1\cdot 4=0$, deci Cramer nu se aplică. A doua ecuație este dublul primeia: infinitate de soluții, de pildă $n=200$, $c=120$ sau $n=180$, $c=160$, deci prețul nopții nu se află. b) Cu pachetele 1 și 3, $2n+c=520$ și $3n+c=700$. $\Delta =2\cdot 1-1\cdot 3=-1$, ${\Delta }_n=520-700=-180$ și ${\Delta }_c=2\cdot 700-3\cdot 520=-160$. Rezultă $n=180$ lei și $c=160$ lei. Verificare: $360+160=520$, $720+320=1040$ și $540+160=700$ lei.

7. Cu $a$, $b$, $c$ platouri, $12a+5b+4c=209$, $4a+11b+6c=177$ și $7a+3b+13c=176$. $\Delta =1190$, ${\Delta }_a=14280$, ${\Delta }_b=10710$ și ${\Delta }_c=5950$, deci se pregătesc $a=12$, $b=9$ și $c=5$ platouri. Verificare: $144+45+20=209$ ecleruri, $48+99+30=177$ de savarine și $84+27+65=176$ de tarte.

8. Cu $p$ și $t$ litri pe metru pătrat de perete și de tavan, $140p+60t=50,4$ și $110p+45t=39$. $\Delta =140\cdot 45-60\cdot 110=-300$, ${\Delta }_p=50,4\cdot 45-60\cdot 39=-72$ și ${\Delta }_t=140\cdot 39-110\cdot 50,4=-84$. Consumul este $p=0,24$ L/m² pe pereți și $t=0,28$ L/m² pe tavan. Verificare: în al doilea apartament, $110\cdot 0,24+45\cdot 0,28=26,4+12,6=39$ L.

9. a) În ${\Delta }_y$ coloana a doua este $B=2\cdot C_x+C_z$, adică o combinație a celorlalte două coloane. Un determinant cu o coloană care este combinație a celorlalte are valoarea 0, deci ${\Delta }_y=0$. Cum $\Delta =-266\ne 0$, sistemul are o singură soluție și $y=\frac{0}{-266}=0$. b) Cu $y=0$ rămân $7x+8z=22$ și $3x+11z=17$, cu $\Delta =77-24=53$, ${\Delta }_x=242-136=106$ și ${\Delta }_z=119-66=53$. Atunci $x=2$, $y=0$ și $z=1$. Verificare: $14+0+8=22$, $6+0+11=17$ și $18+0+5=23$.

10. Prin Cramer, $\Delta =19\cdot 3-7\cdot 8=1$, ${\Delta }_x=81\cdot 3-7\cdot 34=5$ și ${\Delta }_y=19\cdot 34-8\cdot 81=-2$, deci $x=5$ și $y=-2$. Inversa este $A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ -8& 19\end{array}\right)$, iar $A^{-1}\cdot B$ dă $3\cdot 81-7\cdot 34=5$ și $-8\cdot 81+19\cdot 34=-2$. Cele două metode dau aceleași numere, fiindcă $A^{\ast }\cdot B$ are chiar elementele ${\Delta }_x$ și ${\Delta }_y$, iar $\Delta =1$ este numitorul comun. Verificare: $95-14=81$ și $40-6=34$.

11. Linia lui T devine $-2x+10y-2z=69$, iar celelalte rămân. $\Delta =886$, ${\Delta }_x=16188$, ${\Delta }_y=12102$ și ${\Delta }_z=13755$. Atunci $x=\frac{16188}{886}\approx 18,271$, $y=\frac{12102}{886}\approx 13,659$ și $z=\frac{13755}{886}\approx 15,525$ mii lei. Costurile totale sunt 18 271 lei, 13 659 lei și 15 525 lei. Verificare: la producție ajung $0,70x+0,60y+0,60z\approx 12,790+8,195+9,315=30,300$ mii lei, adică suma cheltuielilor proprii.

12. Sistemul este $10x-10y=138$ și $-10x+10y=69$. $\Delta =10\cdot 10-(-10)(-10)=0$, deci Cramer nu se aplică. Adunând ecuațiile se obține $0=207$, fals, deci sistemul nu are soluție. Costurile ar crește la nesfârșit, fiindcă fiecare serviciu și-ar trece celuilalt tot costul. Verificare: pentru 90 % în loc de 100 %, $\Delta =100-81=19\ne 0$ și costurile ies finite.

Așa vine la Bac M3

Programa de examen cuprinde metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor liniare, însă ea nu a apărut în probele 2013–2026. În lista de conținuturi a clasei a XI-a, ea stă în blocul despre sisteme de ecuații liniare, după forma matriceală a sistemului și înaintea aplicațiilor în geometria planului.

În indexul construit pe cele 83 de probe oficiale nu există nicio cerință a cărei rezolvare oficială să folosească determinanții lui Cramer. Sistemele de trei ecuații au apărut în probe sub altă formă, ecuația matriceală din forma matriceală a sistemului, iar rezolvarea oficială scrie direct soluția, fără determinanți. Secțiunea nu poate trimite, așadar, la cerințe reale, iar cerințe-model nu se inventează.

Exercițiile 9–12 nu copiază o cerință de examen. Ele leagă regula de ce o înconjoară în programă: proprietățile determinanților, inversa matricei de ordin 2, o analiză a costurilor cu alte procente și cazul $\Delta =0$. Restul lecțiilor clasei îl găsești în traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Înlocuiești coloana greșită în ${\Delta }_b$ → cum o prinzi: coloana termenilor liberi intră exact unde era coloana necunoscutei căutate; la Exemplul 2, $b=5$ ar da 55 de flancuri, nu 67.
• Aplici regula fără să calculezi mai întâi $\Delta$ → cum o prinzi: la exercițiul 1 b) numitorul ar fi 0, iar împărțirea nu are sens.
• Scrii „fără soluție” când $\Delta =0$ → cum o prinzi: examinezi ecuațiile; la exercițiul 6 a), pachetele dau $\Delta =0$ și o infinitate de soluții, iar la exercițiul 12 $\Delta =0$ înseamnă niciuna.
• Faci o singură trecere în costuri, cu cheltuielile proprii ale celorlalte servicii → cum o prinzi: verifici regula contabilă pe rezultat; costul lui Î iese 16 410 lei, dar înlocuit în ecuație nu o verifică.
• Lași unitățile amestecate, minute și ore → cum o prinzi: la Exemplul 3, debitul 0,12 ar fi ridicol de mic ca t/h; este tone pe minut, iar $0,12\cdot 60$ dă aproximativ 7 t/h.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor liniare face parte din programa de examen pentru Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Cum verific costurile totale ale serviciilor fără să mai refac sistemul?

Ce ajunge la producție trebuie să fie egal cu suma cheltuielilor proprii. Din costul lui Î ajung 70 %, adică 12,6 mii lei, din T 60 %, adică 7,2 mii lei, iar din E 70 %, adică 10,5 mii lei. Totalul este 30,3 mii lei, cât cheltuielile proprii, 13,8 plus 6,9 plus 9,6.

Ce se schimbă dacă energia folosește 50 % din costul transportului, nu 30 %?

Se schimbă coeficientul lui $y$ din linia lui E, de la $-3$ la $-5$, deci $\Delta$ devine 889, iar ${\Delta }_x=16506$, ${\Delta }_y=11004$ și ${\Delta }_z=15687$. Costurile ies 18 567 lei pentru Î, 12 378 lei pentru T și 17 646 lei pentru E; energia costă mai mult, fiindcă preia mai mult din transport.

Contează ordinea ecuațiilor în sistem?

Nu pentru soluție. Dacă schimbi între ele a doua și a treia ecuație din Exemplul 3, $\Delta$ devine $-104$ și ${\Delta }_a$ devine $-728$, iar $a=\frac{-728}{-104}=7$ rămâne la fel. Semnele se schimbă la toți determinanții odată, deci câturile nu se modifică.

Ce parte din costul întreținerii vine, de fapt, de la celelalte servicii?

Din cei 18 mii lei ai lui Î, 13,8 mii sunt cheltuieli proprii. Restul vine din serviciile folosite: $0,10\cdot 12=1,2$ mii lei de la transport și $0,20\cdot 15=3$ mii lei de la energie, adică 4,2 mii lei. Fără sistem nu le-ai afla, fiindcă depind de costurile totale ale lui T și E.

Dacă energia are cheltuieli proprii mai mari cu 1 200 lei, ce determinanți se schimbă?

Se schimbă doar termenul liber al lui E, de la 96 la 108, deci numai ${\Delta }_x$, ${\Delta }_y$ și ${\Delta }_z$; $\Delta =917$ rămâne. Noile costuri ies 18 275 lei pentru Î, 12 183 lei pentru T și 16 282 lei pentru E.

A apărut metoda lui Cramer la Bacalaureatul M3?

Metoda e în programa M_tehnologic, în blocul de sisteme de ecuații liniare al clasei a XI-a, dar în cele 83 de probe 2013–2026 nu a fost cerută; sistemele au apărut ca ecuații matriceale. Fiind în programă, poate fi cerută, iar rezultatul oricărui sistem se poate verifica prin înlocuire.