Ce elemente au simetric în (ℤ, ·)?

Doar 1 și -1, fiecare fiind propriul simetric: 1 · 1 = 1 și (-1) · (-1) = 1. Pentru 2 ar trebui 1/2, care nu e întreg, iar 0 nu are simetric deloc. De aceea (ℤ, ·) e monoid, dar nu grup.

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Monoidul: lege, asociativitate, neutru

De ce (ℕ, +) e monoid, dar nu grup?

Pentru că adunarea pe $N$ îndeplinește cele trei condiții ale monoidului, dar nu și a patra, a grupului. Adunând două numere naturale obții tot un număr natural, gruparea termenilor nu contează, iar 0 lasă orice număr neschimbat. Grupul ar cere ca orice număr să aibă simetric, dar pentru 3 ar trebui $- 3$ , care nu e natural: doar 0 are simetric în $N$ .

Un monoid este o mulțime $M$ cu o lege de compoziție pe $M$ care este asociativă și are element neutru în $M$ . Se verifică trei lucruri: rezultatul rămâne în $M$ , gruparea nu contează și există $e \in M$ cu $x \circ e = e \circ x = x$ . Dacă legea e și comutativă, monoidul e comutativ.

Exemplele de bază: $(N, +)$ , cu neutrul 0; $(N, \cdot)$ , $(Z, \cdot)$ , $(Q, \cdot)$ , $(R, \cdot)$ , cu neutrul 1. Cel mai mic multiplu comun pe $N^{*}$ e tot monoid, cu neutrul 1: două activități care se repetă la 4 și la 6 zile se întâlnesc la 12 zile.

Nu sunt monoizi: $(N^{*}, +)$ , fiindcă neutrul 0 nu e în mulțime; $(Z, -)$ , fiindcă scăderea nu e asociativă; $(N, min)$ , fiindcă nu există cel mai mare număr natural.

Într-un monoid, doar unele elemente au simetric: în $(N, +)$ doar 0, în $(Z, \cdot)$ doar 1 și $- 1$ . Dacă toate au, monoidul e grup. Monoidul e în programa de bac la pedagogic, clasa a XI-a, dar nu a apărut în probele 2013–2026.

De reținut

monoid: lege pe mulțime, asociativitate, neutru în mulțime
$(N, +)$ e monoid; $(N^{*}, +)$ nu, fiindcă lipsește 0
grup = monoid în care fiecare element are simetric

Greșeala tipică

Se declară $(N^{*}, +)$ monoid, cu neutrul 1, „cel mai mic număr din mulțime”. Dar $5 + 1 = 6$ , nu 5; neutrul adunării e 0, care lipsește din $N^{*}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele este monoid?
- a) $(N^{*}, +)$
- b) $(N, +)$
- c) $(Z, -)$
- d) $(N, min)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(N, +)$

$(N, +)$ : suma e naturală, adunarea e asociativă, iar 0 e neutru. La $(N^{*}, +)$ neutrul 0 lipsește din mulțime, scăderea nu e asociativă, iar la minim ar trebui un cel mai mare număr natural, care nu există.
Pe $N^{*}$ se definește $x \circ y = [x, y]$ , cel mai mic multiplu comun. Care este elementul neutru?
- a) $0$
- b) nu există
- c) $1$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1$

$[x, 1] = [1, x] = x$ pentru orice $x$ natural nenul, deci neutrul e 1. Numărul 0 nu e în $N^{*}$ , iar 2 schimbă numerele impare: $[3, 2] = 6$ .
Pe $M = [6, + \infty)$ se definește legea $x \circ y = 5 x y - 30 x - 30 y + 186$ , adică $5 (x - 6) (y - 6) + 6$ . Care este elementul neutru al monoidului $(M, \circ)$ ?
- a) $\frac{31}{5}$
- b) $6$
- c) $7$
- d) $11$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{31}{5}$

Din $5 (x - 6) (e - 6) = x - 6$ pentru orice $x$ rezultă $e - 6 = \frac{1}{5}$ , deci $e = \frac{31}{5}$ , care e în $M$ . Numărul 6 absoarbe, 7 ar fi neutrul fără coeficientul 5, iar 11 adună 5 în loc de $\frac{1}{5}$ .

Întrebări conexe

Ce condiții verific pentru un monoid?

Trei: regula e lege pe mulțime, adică rezultatul rămâne în ea; legea e asociativă; există element neutru chiar în mulțime. La $(N, \cdot)$ : produsul e natural, înmulțirea e asociativă, iar 1 e neutru, deci e monoid. Grupul adaugă a patra condiție, simetricul fiecărui element.

De ce $(N^{*}, +)$ nu e monoid?

Pentru că neutrul adunării, 0, nu e în $N^{*}$ . Suma a două numere naturale nenule rămâne în mulțime, iar gruparea nu contează, dar nu există $e$ natural nenul cu $x + e = x$ . Lipsește deci una dintre cele trei condiții, așa că structura nu e monoid.

E cel mai mic multiplu comun o lege de monoid?

Da, pe $N^{*}$ : rezultatul e natural nenul, gruparea nu contează, iar neutrul e 1, fiindcă $[x, 1] = x$ . Activitățile cu perioadele 4 și 6 cad din nou împreună după $[4, 6] = 12$ zile. Doar 1 are simetric, deci nu e grup.

Ce elemente au simetric în $(Z, \cdot)$ ?

Doar 1 și $- 1$ , fiecare fiind propriul simetric: $1 \cdot 1 = 1$ și $(- 1) \cdot (- 1) = 1$ . Pentru 2 ar trebui $\frac{1}{2}$ , care nu e întreg, iar 0 nu are simetric deloc. De aceea $(Z, \cdot)$ e monoid, dar nu grup.

E orice grup și monoid?

Da. Asociativitatea și neutrul cerute de grup sunt exact condițiile monoidului, iar grupul adaugă doar simetricul fiecărui element. $(Z, +)$ e și monoid, și grup, pe când $(N, +)$ e doar monoid.

Se cere monoidul la Bacalaureatul M4?

Monoidul e în programa M_pedagogic a clasei a XI-a, la „Structuri algebrice”, dar nicio cerință din probele date între 2013 și 2026 nu a folosit cuvântul „monoid”. Piesele lui s-au cerut separat: elementul neutru în 35 de probe, asociativitatea în 14.

Oamenii mai întreabă și: diferența dintre monoid și grup pe numere naturale · de ce numerele naturale nu formează grup la adunare · monoid care nu este grup exemplu · simetricul în monoidul numerelor naturale