Monoidul la pedagogic, pe exemple de numere

Două activități care se repetă la 4 și la 6 zile se întâlnesc din nou peste 12 zile, iar o activitate zilnică nu schimbă această perioadă. Regula după care se combină perioadele are un element neutru, dar aproape nicio perioadă nu poate fi „anulată”. O asemenea structură se numește monoid. La profilul pedagogic, monoidul face parte din materia clasei a XI-a, iar aici îl vezi pe exemple din ℕ, ℤ și ℝ. Monoidul face parte din programa de examen a Bacalaureatului M4 (M_pedagogic).

Situația de pornire

Educatoarea Carmen face programul semestrului pentru grupa mijlocie. Unele activități se țin regulat, o dată la un anumit număr de zile din program, și toate au avut loc împreună în prima zi. Carmen vrea să știe când cad din nou în aceeași zi, ca să nu programeze atunci și serbarea.

Întrebare: după câte zile cad din nou în aceeași zi înotul și pianul? Dar toate patru activitățile? Există o activitate care, pusă lângă oricare alta, nu schimbă perioada lor comună?

De la situație la model

Notăm $[x,y]$ cel mai mic multiplu comun al numerelor $x$ și $y$. Pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$, legea $[x,y]$ are toate proprietățile cerute de definiția monoidului, pe care o dăm mai jos.

Ce este un monoid?

Un monoid este o mulțime $M$ împreună cu o lege de compoziție $\circ$ pe $M$ care este asociativă și are element neutru în $M$. Dacă legea e și comutativă, monoidul se numește comutativ. Cele trei condiții se verifică toate: o lege fără neutru sau o regulă care scoate rezultatul din $M$ nu dau monoid.

Cum verifici că o mulțime cu o lege este monoid?

Verifici, în ordine: rezultatul $x\circ y$ rămâne în $M$ pentru orice $x,y\in M$; legea e asociativă; există $e\in M$ cu $x\circ e=e\circ x=x$. La perioade, $[x,y]$ e tot un număr natural nenul, gruparea nu contează, fiindcă $[[x,y],z]$ și $[x,[y,z]]$ sunt amândouă cel mai mic multiplu comun al celor trei numere, iar $[x,1]=x$.

Care sunt monoizii numerici de bază?

$(\mathbb{N},+)$, cu neutrul 0, și $(\mathbb{N},\cdot )$, $(\mathbb{Z},\cdot )$, $(\mathbb{Q},\cdot )$, $(\mathbb{R},\cdot )$, cu neutrul 1. Și $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$ sunt monoizi. În schimb, $({\mathbb{N}}^{\ast },+)$ nu e monoid: adunarea e asociativă, dar neutrul 0 nu e în ${\mathbb{N}}^{\ast }$, deci legea e asociativă, fără neutru, și nu formează monoid.

Ce elemente au simetric într-un monoid?

Doar unele, în general. În $(\mathbb{N},+)$ doar 0 are simetric, în $(\mathbb{N},\cdot )$ doar 1, iar în $(\mathbb{Z},\cdot )$ doar 1 și $-1$. La perioade, $[x,x^{\prime }]=1$ cere $x=x^{\prime }=1$: doar activitatea zilnică are simetric. Un monoid în care orice element are simetric este un grup.

Metoda pas cu pas

1. Arată că regula este lege de compoziție pe $M$: pentru orice $x$ și $y$ din $M$, rezultatul există și e tot în $M$. Un singur rezultat care iese din $M$ încheie discuția: nu e monoid.
2. Arată asociativitatea: pe litere, cu formula legii, sau dintr-o proprietate cunoscută, ca la adunare, înmulțire, maxim sau cel mai mic multiplu comun. Pentru o respingere ajunge un triplet calculat în ambele grupări.
3. Află elementul neutru din $x\circ e=x$, verifică și $e\circ x=x$, apoi verifică dacă $e$ e în $M$. Neutrul aflat în afara lui $M$, ca 0 pentru ${\mathbb{N}}^{\ast }$, înseamnă că structura nu e monoid.
4. Scrie concluzia cu mulțimea și legea: „$(M,\circ )$ este monoid”, adaugă „comutativ” dacă e cazul, iar dacă se cere, spune care elemente au simetric în $M$. Dacă toate au, ai un grup.

Proprietățile pe care le verifici sunt explicate în lecția asociativă, comutativă, neutru, la tehnologic, iar simetricul, în simetricul unui element, la pedagogic. Structura mai bogată, în care orice element are simetric, e în grupul ℤₙ pe turele unei recepții, la tehnologic. Restul clasei e în traseul clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

$$\text{monoid}=\text{lege pe }M+\text{asociativitate}+\text{element neutru ıˆn }M$$

Condiții: toate trei, pentru orice elemente din $M$. Verificare rapidă: neutrul găsit trebuie să fie chiar în $M$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Programul lui Carmen

Domeniu: învățământ preșcolar.

Enunț. Reia activitățile din situația de pornire, cu legea $x\circ y=[x,y]$ pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$. a) Calculează $4\circ 6$ și $(4\circ 6)\circ 10$. b) Când cad toate patru activitățile în aceeași zi? Verifică pe o altă grupare. c) Arată că $({\mathbb{N}}^{\ast },\circ )$ este monoid. d) Ce activități au simetric?

Rezolvare. a) $4\circ 6=12$, apoi $12\circ 10=60$. b) $60\circ 15=60$: toate patru cad din nou în aceeași zi după 60 de zile. Pe altă grupare: $6\circ 10=30$, $4\circ 30=60$, $60\circ 15=60$. c) Cel mai mic multiplu comun a două numere naturale nenule e tot natural nenul; legea e asociativă, fiindcă ambele grupări dau cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor; iar $[x,1]=[1,x]=x$, deci $e=1$. d) Din $[x,x^{\prime }]=1$ rezultă $x=1$ și $x^{\prime }=1$. Doar activitatea zilnică are simetric.

Capcană. Cine înmulțește perioadele găsește $4\cdot 6=24$ de zile. Înotul și pianul se întâlnesc însă deja după 12 zile, fiindcă 4 și 6 au divizorul comun 2.

Verificare. Zilele de înot sunt 4, 8, 12, …, iar cele de pian 6, 12, …: prima zi comună după start e 12. Pentru toate patru, 60 se împarte exact la 4, 6, 10 și 15, iar 30 nu se împarte la 4.

Exemplul 2 — Grămezile de bețișoare

Domeniu: învățământ primar.

Enunț. La clasa I, copiii unesc două grămezi de bețișoare și numără câte bețișoare au împreună: $x\circ y=x+y$. a) E $(\mathbb{N},+)$ monoid? b) Învățătoarea hotărăște că o grămadă trebuie să aibă cel puțin un bețișor. E $({\mathbb{N}}^{\ast },+)$ monoid? c) Ce grămezi au simetric în $\mathbb{N}$?

Rezolvare. a) Suma a două numere naturale e naturală, adunarea e asociativă, iar 0, grămada goală, e neutrul: $(\mathbb{N},+)$ e monoid, chiar comutativ. b) Legea rămâne lege și rămâne asociativă, dar singurul număr cu $x+e=x$ e $e=0$, care nu e în ${\mathbb{N}}^{\ast }$. Legea e asociativă, fără neutru, deci nu formează monoid. c) Din $x+x^{\prime }=0$, cu $x$ și $x^{\prime }$ naturale, rezultă $x=x^{\prime }=0$: doar grămada goală.

Capcană. Cine ia 1 drept neutru, „cel mai mic număr din mulțime”, scrie $5+1=5$. Neutrul se află din ecuație, nu se alege.

Verificare. $7+0=7$, dar $7+1=8$. În $\mathbb{Z}$, grămada de 7 ar avea simetricul $-7$, dar o grămadă cu $-7$ bețișoare nu există.

Exemplul 3 — Problema profesoarei de la cercul de matematică

Domeniu: cerc de matematică.

Enunț. La cercul de matematică se dă legea $x\circ y=4xy-16x-16y+68$ și mulțimea $M=[4,+\infty )$. a) Arată că $x\circ y=4(x-4)(y-4)+4$. b) Arată că $\circ$ este lege de compoziție pe $M$. c) Arată că $(M,\circ )$ este monoid. d) Ce elemente din $M$ au simetric în $M$?

Rezolvare. a) $4(x-4)(y-4)+4=4xy-16x-16y+64+4=4xy-16x-16y+68$. b) Dacă $x,y\ge 4$, atunci $4(x-4)(y-4)\ge 0$, deci $x\circ y\ge 4$. c) Din formă, $(x\circ y)\circ z=16(x-4)(y-4)(z-4)+4=x\circ (y\circ z)$. Neutrul: $4(x-4)(e-4)=x-4$ dă $e=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$, iar $\frac{17}{4}\ge 4$, deci e în $M$. d) Simetricul lui $x>4$ este $x^{\prime }=4+\frac{1}{16(x-4)}$, mai mare decât 4, deci în $M$. Numărul 4 absoarbe și nu are simetric. $(M,\circ )$ e monoid, dar nu grup.

Capcană. Cine verifică neutrul doar ca număr, fără mulțime, poate declara monoid și $[5,+\infty )$. Acolo $\frac{17}{4}<5$, deci neutrul lipsește din mulțime.

Verificare. $\frac{17}{4}\circ 9=4\cdot \frac{1}{4}\cdot 5+4=9$. Pentru $x=5$: $x^{\prime }=4+\frac{1}{16}=\frac{65}{16}$, iar $5\circ \frac{65}{16}=4\cdot 1\cdot \frac{1}{16}+4=\frac{17}{4}$.

Exemplul 4 — Problema inversă: intervalul pe care legea e monoid

Domeniu: proiectarea unei lecții.

Enunț. Profesoara vrea să dea legea din Exemplul 3, $x\circ y=4(x-4)(y-4)+4$, pe un interval de forma $[a,+\infty )$, și să spună elevilor că e monoid. Pentru ce numere reale $a$ este $([a,+\infty ),\circ )$ monoid?

Rezolvare. Dacă $a<4$, alegi $x=a$ și un $y$ foarte mare: $4(a-4)(y-4)$ e negativ și oricât de mare în valoare absolută, deci rezultatul coboară sub $a$; nu e lege. Dacă $a\ge 4$, cel mai mic rezultat se obține pentru $x=y=a$: $4(a-4{)}^2+4\ge a$ înseamnă $(a-4)(4a-17)\ge 0$, adică $a=4$ sau $a\ge \frac{17}{4}$. Neutrul $\frac{17}{4}$ trebuie să fie în mulțime, deci $a\le \frac{17}{4}$. Rămân $a=4$ și $a=\frac{17}{4}$.

Capcană. Cine se oprește la „legea e lege pe $[a,+\infty )$ pentru $a\ge \frac{17}{4}$” alege, de pildă, $a=5$ și uită neutrul, care nu e în $[5,+\infty )$.

Verificare. Pentru $a=\frac{17}{4}$: $\frac{17}{4}\circ \frac{17}{4}=4\cdot \frac{1}{16}+4=\frac{17}{4}$, la margine. Pentru $a=4,1$, din intervalul exclus: $4,1\circ 4,1=4\cdot 0,01+4=4,04<4,1$, deci rezultatul iese din mulțime.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Arată că $(\mathbb{N},\cdot )$ este monoid și află ce elemente au simetric.

2. Spune ce condiție a monoidului nu e îndeplinită de $({\mathbb{N}}^{\ast },+)$ și ce condiție nu e îndeplinită de $(\mathbb{Z},-)$.

3. Pe ℤ se definește $x\circ y=x+y-25$. Arată că $(\mathbb{Z},\circ )$ este monoid și află simetricul oricărui element. Este $\circ$ lege de compoziție pe $\mathbb{N}$?

4. Pe $\mathbb{N}$ se definesc $x\circ y=\max (x,y)$ și $x\ast y=\min (x,y)$. Care dintre ele formează monoid cu $\mathbb{N}$?

Nivelul 2 — situații

5. În cutia grupei sunt 12 cuburi. Doi copii construiesc câte un turn, iar jocul păstrează turnul mai înalt: $x\circ y=\max (x,y)$, pe $M=\{0,1,2,\dots ,12\}$, unde $x$ e numărul de cuburi. a) Arată că $(M,\circ )$ este monoid. b) Ce element absoarbe? c) Ce turnuri au simetric?

6. Ana spune: „$(\mathbb{Z},-)$ este monoid, cu neutrul 0, fiindcă $x-0=x$”. a) Calculează $(9-4)-2$ și $9-(4-2)$. b) Calculează $0-5$. c) Are Ana dreptate?

7. Ioan citește termometrul clasei dimineața și la prânz și face media celor două citiri, $x\circ y=\frac{x+y}{2}$, în grade. Apoi face media rezultatului cu citirea de seară. a) Pentru citirile 14, 20 și 23 de grade, calculează $(14\circ 20)\circ 23$ și $14\circ (20\circ 23)$. b) E legea asociativă? c) Are element neutru? d) E $(\mathbb{R},\circ )$ monoid?

8. La clasa a VI-a, unde Ana asistă la ore, profesorul de matematică discută regula semnelor pe mulțimea $M=\{-1,0,1\}$, cu înmulțirea. a) Scrie tabla înmulțirii pe $M$. b) Arată că $(M,\cdot )$ este monoid. c) Ce elemente au simetric?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Pe $M=[-5,+\infty )$ se definește legea $x\circ y=3xy+15x+15y+70$. a) Arătați că $x\circ y=3(x+5)(y+5)-5$ și că $\circ$ este lege de compoziție pe $M$. b) Arătați că $(M,\circ )$ este monoid. c) Determinați elementele din $M$ care nu au simetric în $M$.

10. (Sinteză.) Pe $\mathbb{N}$ se definește $x\circ y=(x,y)$, cel mai mare divizor comun, cu convenția $(x,0)=(0,x)=x$. Arătați că $(\mathbb{N},\circ )$ este monoid și determinați elementele care au simetric.

11. (Sinteză.) Pe $\mathbb{N}$ se definește $x\circ y=x+y+5xy$. a) Arătați că $x\circ y=5\left(x+\frac{1}{5}\right)\left(y+\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{5}$. b) Arătați că $(\mathbb{N},\circ )$ este monoid. c) Ce elemente au simetric în $\mathbb{N}$?

12. (Sinteză.) Pe $M=\{1,2,4,8\}$ se definește $x\circ y=[x,y]$. a) Scrieți tabla legii. b) Arătați că $(M,\circ )$ este monoid și determinați elementul absorbant. c) Ce elemente au simetric?

Răspunsuri și verificări

1. Produsul a două numere naturale e natural, înmulțirea e asociativă, iar $x\cdot 1=1\cdot x=x$, deci $(\mathbb{N},\cdot )$ e monoid. Din $x\cdot x^{\prime }=1$, cu $x,x^{\prime }$ naturale, rezultă $x=x^{\prime }=1$: doar 1 are simetric. Verificare: 2 ar avea nevoie de $\frac{1}{2}$, care nu e natural.

2. La $({\mathbb{N}}^{\ast },+)$ lipsește neutrul: singurul $e$ cu $x+e=x$ e 0, care nu e în ${\mathbb{N}}^{\ast }$. La $(\mathbb{Z},-)$ lipsește asociativitatea: $(8-3)-1=4$, dar $8-(3-1)=6$. Verificare: adunarea pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$ rămâne asociativă, $(1+2)+3=1+(2+3)=6$.

3. Suma a doi întregi minus 25 e întreg; $(x\circ y)\circ z=x+y+z-50=x\circ (y\circ z)$; neutrul e $e=25$. Simetricul lui $x$ verifică $x+x^{\prime }-25=25$, deci $x^{\prime }=50-x$, întreg. Pe $\mathbb{N}$, $0\circ 0=-25$, deci $\circ$ nu e lege pe $\mathbb{N}$. Verificare: $7\circ 43=7+43-25=25$.

4. $\max$ e asociativă și $\max (x,0)=x$ pentru orice $x$ natural, deci $(\mathbb{N},\max )$ e monoid cu neutrul 0. $\min$ e asociativă, dar un neutru $e$ ar trebui să verifice $\min (x,e)=x$ pentru orice $x$, deci $e\ge x$ pentru orice număr natural, ceea ce nu se poate: nu e monoid. Verificare: pentru $e=100$, $\min (150,100)=100$, nu 150.

5. a) Maximul a două numere din $M$ e în $M$, $\max$ e asociativă, iar 0, „niciun turn”, e neutrul. b) 12, fiindcă $\max (x,12)=12$ pentru orice $x\le 12$. c) Din $\max (x,x^{\prime })=0$ rezultă $x=x^{\prime }=0$: doar 0. Verificare: $\max (\max (3,9),5)=9=\max (3,\max (9,5))$.

6. a) $(9-4)-2=3$, iar $9-(4-2)=7$: scăderea nu e asociativă. b) $0-5=-5$, nu 5, deci 0 merge doar la dreapta. c) Nu: lipsesc și asociativitatea, și un neutru pe ambele părți. Verificare: $5-0=5$, dar $0-5\ne 5$.

7. a) $14\circ 20=17$ și $17\circ 23=20$ de grade; $20\circ 23=21,5$ și $14\circ 21,5=17,75$ grade. b) Nu: 20 față de 17,75. c) Din $\frac{x+e}{2}=x$ rezultă $e=x$, care depinde de $x$: nu există neutru. d) Nu. Verificare: media corectă a celor trei citiri e $\frac{14+20+23}{3}=19$ grade, diferită de ambele grupări.

8. a) $(-1)\cdot (-1)=1$, $(-1)\cdot 0=0$, $(-1)\cdot 1=-1$, $0\cdot 0=0$, $0\cdot 1=0$, $1\cdot 1=1$. b) Toate produsele sunt în $M$, înmulțirea e asociativă, iar 1 e în $M$ și e neutru. c) $1\cdot 1=1$ și $(-1)\cdot (-1)=1$: 1 și $-1$ sunt propriile simetrice; 0 nu are simetric. Verificare: rândul lui 0 din tablă conține doar 0, deci nu apare 1.

9. a) $3(x+5)(y+5)-5=3xy+15x+15y+75-5=3xy+15x+15y+70$; pentru $x,y\ge -5$, produsul $(x+5)(y+5)\ge 0$, deci $x\circ y\ge -5$. b) $(x\circ y)\circ z=9(x+5)(y+5)(z+5)-5=x\circ (y\circ z)$, iar neutrul e $-5+\frac{1}{3}=-\frac{14}{3}$, din $M$. c) Pentru $x>-5$, $x^{\prime }=-5+\frac{1}{9(x+5)}$ e în $M$; doar $-5$ nu are simetric. Verificare: $(-4)\circ \left(-\frac{44}{9}\right)=3\cdot 1\cdot \frac{1}{9}-5=-\frac{14}{3}$.

10. Cel mai mare divizor comun a două numere naturale e natural; gruparea nu contează, fiindcă ambele dau cel mai mare divizor comun al tuturor; iar $(x,0)=x$, deci $e=0$. Simetricul: $(x,x^{\prime })=0$ se întâmplă doar pentru $x=x^{\prime }=0$, fiindcă altfel cel mai mare divizor comun e cel puțin 1. Doar 0 are simetric. Verificare: $((77,119),34)=(7,34)=1$ și $(77,(119,34))=(77,17)=1$.

11. a) $5\left(x+\frac{1}{5}\right)\left(y+\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{5}=5xy+x+y+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}=x+y+5xy$. b) Rezultatul e natural, $(x\circ y)\circ z=25\left(x+\frac{1}{5}\right)\left(y+\frac{1}{5}\right)\left(z+\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{5}=x\circ (y\circ z)$, iar $x\circ 0=x$, deci $e=0$. c) Din $x+x^{\prime }+5x{x}^{\prime }=0$, cu $x,x^{\prime }$ naturale, toți termenii sunt cel puțin 0, deci $x=x^{\prime }=0$. Verificare: $1\circ 2=1+2+10=13$, iar $13\circ 0=13$.

12. a) Rândurile, pentru $x=1,2,4,8$: $1,2,4,8$; $2,2,4,8$; $4,4,4,8$; $8,8,8,8$. b) Toate rezultatele sunt în $M$, cel mai mic multiplu comun e asociativ, iar 1 e neutru; 8 absoarbe, fiindcă rândul lui e numai 8. c) Doar 1 are simetric: în tablă, 1 apare numai la $1\circ 1$. Verificare: $(2\circ 4)\circ 8=4\circ 8=8$ și $2\circ (4\circ 8)=2\circ 8=8$.

Așa vine la Bac M4

Monoidul e în programa de examen, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Programa pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) îl trece în singurul bloc de conținuturi al clasei a XI-a, „Structuri algebrice: monoid, grup, inel, corp”, alături de exemplele ℕ, ℤ, ℤₙ, ℚ și ℝ.

Indexul cerințelor, făcut din cele 60 de probe M_pedagogic din 2013–2026, nu are nicio cerință cu cuvântul „monoid”. Piesele lui apar însă separat, la Subiectul al II-lea: elementul neutru s-a cerut în 35 de probe, iar asociativitatea în 14. De aceea aici nu găsești cerințe din probe și nici cerințe scrise după ele.

Exercițiile 9–12, marcate (Sinteză.), sunt scrise pentru lecție și nu arată cum ar fi o cerință reală. Ele exersează cele trei verificări ale monoidului pe legi date prin formulă, pe mulțimi finite și pe ℕ, plus întrebarea „cine are simetric”.

Greșeli care costă puncte

• Uiți să verifici că neutrul e în mulțime → declari monoid $({\mathbb{N}}^{\ast },+)$ sau $([5,+\infty ),\circ )$ din Exemplul 3; cum o prinzi: după ce afli $e$, scrii „$e\in M$?” și răspunzi.
• Iei drept neutru cel mai mic număr din mulțime → la bețișoare scrii „$5+1=5$”; cum o prinzi: înlocuiești neutrul ales într-o compunere cu un număr oarecare.
• Verifici asociativitatea pe un triplet și declari legea asociativă → la medii, un triplet poate da întâmplător același rezultat; cum o prinzi: arăți asociativitatea pe litere sau dintr-o proprietate cunoscută.
• Confunzi neutrul la dreapta cu neutrul → la scădere, $x-0=x$, dar $0-x\ne x$; cum o prinzi: verifici ambele ordini.
• Înmulțești perioadele în loc să cauți cel mai mic multiplu comun → înotul și pianul par să se întâlnească la 24 de zile, nu la 12; cum o prinzi: scrii primele zile ale fiecărei activități.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006). Noțiunea de monoid face parte din programa de examen a clasei a XI-a, în blocul „Structuri algebrice”, cu exemplele ℕ, ℤ, ℤₙ, ℚ și ℝ. În probele M_pedagogic 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția de față nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

De ce se întâlnesc înotul și pianul după 12 zile, nu după 24? Fiindcă 12 e cel mai mic număr care se împarte și la 4, și la 6: zilele de înot sunt 4, 8, 12, iar cele de pian 6, 12. Produsul $4\cdot 6=24$ e și el multiplu comun, dar nu cel mai mic, fiindcă 4 și 6 au divizorul comun 2.

Ce s-ar schimba dacă teatrul de păpuși ar fi o dată la 9 zile? Înotul, pianul și teatrul s-ar întâlni după $[12,9]=36$ de zile, iar toate patru, cu biblioteca la 15 zile, după $[36,15]=180$ de zile. Structura rămâne aceeași, un monoid, doar perioadele se schimbă; neutrul rămâne activitatea zilnică.

De ce e activitatea zilnică elementul neutru? Pentru că o activitate care are loc în fiecare zi cade în aceeași zi cu oricare alta, de câte ori are loc aceea. De aceea $[x,1]=x$: perioada comună rămâne a celeilalte activități. Altă perioadă nu are proprietatea asta: $[4,2]=4$, dar $[6,2]=6$ și $[5,2]=10$.

Poate o activitate să anuleze perioada alteia? Nu, în afară de activitatea zilnică: ar trebui ca $[x,x^{\prime }]=1$, iar cel mai mic multiplu comun e cel puțin cât fiecare număr, deci $x=x^{\prime }=1$. De aceea perioadele formează un monoid, dar nu un grup, în care orice element ar avea simetric.

Se cere monoidul la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? Monoidul e în programa de examen, în blocul „Structuri algebrice” al clasei a XI-a, dar după indexul făcut din cele 60 de probe M_pedagogic 2013–2026 nu a apărut încă în nicio cerință. Fiind în programă, poate fi cerut; piesele lui s-au cerut separat, neutrul în 35 de probe și asociativitatea în 14.

Orice grup este monoid? Da: un grup are o lege asociativă și element neutru, deci e monoid, iar în plus fiecare element are simetric. Invers nu merge: $(\mathbb{N},+)$ e monoid, dar nu grup, fiindcă 3 nu are simetric în $\mathbb{N}$. $(\mathbb{Z},+)$ e și monoid, și grup.