Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Morfism de grupuri: condiția

Cum aflu din două măsurători dacă f e morfism?

Din cele două măsurători scrii funcția $f (m) = k m + b$ , apoi verifici dacă $b = 0$ . Exemplu: un service taxează manopera cu $215$ lei pentru $2$ ore și $470$ lei pentru $5$ ore. Din $5 k + b = 470$ și $2 k + b = 215$ rezultă $k = 85$ și $b = 215 - 170 = 45$ . Cum $b \neq = 0$ , funcția nu păstrează adunarea: nu este morfism.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Un morfism de grupuri este o funcție $f$ de la un grup $(G, \circ)$ la un grup $(H, ⋆)$ care păstrează operația: $f (x \circ y) = f (x) ⋆ f (y)$ pentru orice $x, y \in G$ . Operația din stânga este cea a grupului de plecare, cea din dreapta este a grupului de sosire, și pot fi diferite, de pildă o sumă care devine produs.

Verificarea are doi pași pe litere. Pornești din partea stângă, unde pui rezultatul operației din $G$ în formula lui $f$ , apoi din partea dreaptă, unde scrii separat $f (x)$ și $f (y)$ și le compui în $H$ . Dacă cele două expresii sunt la fel pentru orice $x$ și $y$ , funcția este morfism. Dacă nu, ajunge o singură pereche de numere pentru care părțile diferă, scrisă ca un contraexemplu.

Izomorfismul cere în plus bijectivitatea: pentru fiecare element al grupului de sosire există exact un element care i se potrivește. Capcanele sunt să verifici condiția pe o singură pereche, să pui aceeași operație în ambele părți și să declari izomorfism fără să verifici injectivitatea și surjectivitatea.

O funcție de forma $k x + b$ este morfism numai dacă $b = 0$ : termenul fix apare o dată într-o parte și de două ori în cealaltă.

De reținut

$f (m) = k m + b$ este morfism numai dacă $b = 0$
din două măsurători: $k$ prin scădere, apoi $b$ prin înlocuire
un morfism duce $0$ în $0$ : dacă $f (0) \neq = 0$ , funcția nu e morfism

Greșeala tipică

Se presupune că funcția este proporțională și se calculează $k = 215 : 2 = 107, 5$ lei/oră. Pentru $5$ ore ar ieși $537, 5$ lei, nu cei $470$ măsurați; termenul fix de $45$ lei trebuie scos mai întâi.

Exerciții din această mini-lecție

La o casă de marcat, suma $x$ (în lei) a produselor se transformă în suma de plată cu un adaos comercial. Care dintre regulile de mai jos păstrează adunarea, adică $f (x + y) = f (x) + f (y)$ pentru orice sume $x$ și $y$ ?
- a) $f (x) = x + 30$
- b) $f (x) = 1, 3 x$
- c) $f (x) = 0, 01 x^{2}$
- d) $f (x) = 1, 3 x + 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (x) = 1, 3 x$

Doar $f (x) = 1, 3 x$ : $f (x + y) = 1, 3 x + 1, 3 y = f (x) + f (y)$ , pentru orice $x$ și $y$ . La $x + 30$ și la $1, 3 x + 4$ taxa fixă intră în $f (x + y)$ o singură dată, dar în $f (x) + f (y)$ de două ori, deci egalitatea cade. La $0, 01 x^{2}$ avem $f (10 + 20) = 9$ , dar $f (10) + f (20) = 5$ .
Funcția $f : (Z, +) \to (Z_{22}, +)$ este morfism și $f (1) = \hat{5}$ . Care este reprezentantul din ${0, 1, \dots, 21}$ al clasei $f (16)$ ?
- a) $16$
- b) $21$
- c) $8$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $14$

Numărul $16$ este suma a $16$ termeni egali cu $1$ , deci $f (16) = 16 \cdot f (1) = 80$ , iar $80 = 3 \cdot 22 + 14$ . Reprezentantul este $14$ . Varianta $16$ ia $f$ drept funcția identică, $21$ adună $5 + 16$ în loc să înmulțească, iar $8$ este opusul lui $14$ în $Z_{22}$ .
Se consideră funcția $f : (Z_{12}, +) \to (Z_{12}, +)$ , $f (\hat{k}) = 4 k$ , care este morfism. Câte clase $\hat{k}$ din $Z_{12}$ verifică $f (\hat{k}) = \hat{0}$ ?
- a) $4$
- b) $6$
- c) $3$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4$

Condiția $4 k \equiv 0$ în $Z_{12}$ cere ca $12$ să dividă $4 k$ , adică $3$ să dividă $k$ . Clasele sunt $\hat{0}, \hat{3}, \hat{6}, \hat{9}$ , deci $4$ clase. Varianta $1$ presupune că doar $\hat{0}$ ajunge în $\hat{0}$ , adică funcția ar fi injectivă; varianta $3$ uită clasa $\hat{0}$ , iar $6$ ia clasele pare.

Întrebări conexe

Cum văd repede că o funcție nu poate fi morfism?

Calculezi $f (0)$ . Un morfism de la $(R, +)$ la $(R, +)$ duce neutrul în neutru, fiindcă $f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0)$ dă $f (0) = 0$ . La manoperă, $f (0) = 85 \cdot 0 + 45 = 45$ , nenul, deci funcția nu este morfism, fără alte calcule.

Ce fac dacă termenul fix iese zero?

Atunci $f (m) = k m$ și verifici condiția pe litere: $f (x + y) = k (x + y) = k x + k y = f (x) + f (y)$ , pentru orice $x$ și $y$ . Este morfism de la $(R, +)$ la $(R, +)$ . De pildă, la $k = 85$ , lucrările de $3$ și de $4$ ore costă $255 + 340 = 595$ lei, ca una de $7$ ore.

Cum folosesc o a treia măsurătoare?

Ca probă că modelul $k m + b$ se potrivește. Dacă $8$ ore costă $700$ de lei, panta între $5$ și $8$ ore este $\frac{700 - 470}{3} \approx 76, 7$ , diferită de $85$ , deci punctele nu stau pe o dreaptă. Atunci formula liniară nu este modelul bun.

Ce unitate are termenul fix?

Aceeași ca valorile funcției, adică lei. Panta $k$ are unitatea lei pe oră. La manopera de mai sus, $k = 85$ lei/oră și $b = 45$ lei: $b$ este suma plătită chiar la zero ore, de pildă taxa de deplasare, iar $k m$ este partea care crește cu timpul.

Cum arăt pe litere că o funcție liniară e morfism?

Calculezi separat cele două părți și le compari. Pentru $f (x) = 85 x$ : partea stângă este $f (x + y) = 85 (x + y) = 85 x + 85 y$ , iar cea dreaptă $f (x) + f (y) = 85 x + 85 y$ . Sunt la fel pentru orice $x$ și $y$ , deci câteva perechi de numere nu sunt necesare.

Oamenii mai întreabă și: cum aflu dacă o funcție liniară e morfism · termen fix la o funcție și morfism · morfism din două valori date · calculul pantei și al termenului fix