Morfism de grupuri la tehnologic: condiția

Un dozator care pune 35 de grame de colorant la fiecare kilogram de granule dă, pentru două șarje unite, exact suma dozelor lor. Unul care purjează tubul cu 45 de grame la fiecare șarjă nouă nu mai face asta, deși crește la fel de regulat. Diferența dintre cele două este chiar condiția de morfism; la tehnologic, în clasa a XII-a, o verifici pe litere. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), morfismul stă în programa de examen a clasei a XII-a.

Situația de pornire

Într-o hală de injecție a maselor plastice se fabrică găleți din polietilenă, un polimer. La granulele topite se adaugă colorant concentrat, iar dozarea amestecului se face cu un dozator; laboratorul a pus pe linie două dozatoare, A și B. Dozatorul B face și o purjare a tubului la fiecare șarjă nouă, cu o cantitate fixă de colorant. Tehnologul a măsurat dozele pentru trei șarje de granule și vrea să știe la care dozator doza unei șarje unite din două șarje mai mici este chiar suma dozelor lor, ca să poată regla cantitățile din rețetă fără încercări.

Întrebare: la care dintre dozatoare doza șarjei de 10 kg este egală cu suma dozelor șarjelor de 4 kg și de 6 kg? Se păstrează această proprietate la oricare două șarje?

De la situație la model

Fie $(G,\circ )$ și $(H,\star )$ două grupuri. Un morfism de grupuri este o funcție $f:G\to H$ cu $f(x\circ y)=f(x)\star f(y)$ pentru orice $x,y\in G$. Un izomorfism este un morfism care e și bijectiv, adică injectiv și surjectiv. În condiție, operația din stânga e cea a grupului de plecare, iar cea din dreapta e a grupului de sosire; ele pot fi diferite. Pe scurt, un morfism mută o operație dintr-un grup în altul: calculezi întâi și aplici funcția sau aplici funcția și calculezi apoi, iar rezultatul trebuie să fie același. Condiția cere egalitatea pentru toate perechile, nu doar pentru cele încercate.

Cum verifici condiția pe litere?

Calculezi separat cele două părți și abia apoi le compari. La dozatorul A, $f(x)=35x$: partea stângă e $f(x+y)=35(x+y)=35x+35y$, iar partea dreaptă e $f(x)+f(y)=35x+35y$. Coincid pentru orice $x$ și $y$, deci A e morfism. Câteva perechi cu numere nu ajung ca să afirmi asta: numerele pot doar să respingă o funcție.

Cum respingi o funcție?

Pentru a respinge o funcție ajunge o singură pereche la care cele două părți diferă. La B, $f(x)=35x+45$, partea stângă e $35x+35y+45$, iar cea dreaptă e $35x+35y+90$. Pentru $x=4$ și $y=6$ obții 395 în loc de 440. Fondul fix de 45 g apare o dată în stânga și de două ori în dreapta.

Când e un morfism izomorfism?

Cauți, pentru fiecare element $z$ din grupul de sosire, exact un $x$ cu $f(x)=z$. La A, din $35x=z$ rezultă $x=\frac{z}{35}$, unic, iar funcția inversă $z\mapsto \frac{z}{35}$ e tot morfism. Dacă un element al lui $H$ n-are niciun $x$, funcția nu e surjectivă; dacă are mai mulți, nu e injectivă.

Cum se potrivesc operațiile diferite?

Operațiile celor două grupuri nu trebuie să fie aceleași. La o funcție de la $(\mathbb{R},+)$ la $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, condiția devine $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$: o sumă din stânga se potrivește cu un produs din dreapta. Pe litere ai grijă să scrii în fiecare parte operația grupului căruia îi aparține.

Metoda pas cu pas

1. Pune în față ce știi: grupul de plecare $(G,\circ )$ cu legea lui, grupul de sosire $(H,\star )$ cu legea lui și formula lui $f$. Controlează că $f(x)$ se află în $H$ pentru orice $x$ din $G$; altfel funcția nu merge între cele două grupuri.
2. Pornește din partea stângă: în formula lui $f$ pui rezultatul operației din $G$, adică $f(x\circ y)$, și desfaci calculul până la forma cea mai simplă.
3. Pornește din partea dreaptă: scrii separat $f(x)$ și $f(y)$ și le compui cu legea din $H$. Aici nu mai apare operația din $G$.
4. Pune cele două rezultate față în față. Dacă sunt aceeași expresie pentru orice $x$ și $y$, $f$ e morfism. Dacă diferă, alegi două numere pentru care diferă și le scrii ca pe un contraexemplu.
5. Pentru izomorfism, arată că $f$ e injectivă și surjectivă: pentru fiecare element $z$ al lui $H$ rezolvi ecuația $f(x)=z$ în $x$ și cauți exact o soluție în $G$, sau scrii direct inversa.
6. Verifică pe două-trei perechi de numere; la un izomorfism compune inversa cu $f$ și așteaptă identitatea.

Concluzia o scrii cu tot cu motiv: „$f$ este morfism, fiindcă ambele părți dau aceeași expresie” sau „$f$ nu este morfism, fiindcă pentru $x$ și $y$ alese părțile diferă”. La o cerință cu mai multe litere, spune și ce mulțime e fiecare grup, fiindcă operația se citește de acolo.

Despre grupuri și grupul claselor de resturi vezi grupul ℤₙ și turele de recepție, iar despre legile de compoziție, proprietățile unei legi. Mai departe, în unitatea următoare, urmează inelul și exemplele numerice. Lecțiile anului, una după alta, sunt pe pagina clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$f(x\circ y)=f(x)\star f(y),\text{pentru orice }x,y\in G$$

Morfism: condiția de mai sus, cu operația din $G$ în stânga și cea din $H$ în dreapta. Izomorfism: morfism bijectiv. Se aplică numai între două grupuri; un singur contraexemplu respinge funcția, iar numerele alese nu o dovedesc. Verificare rapidă: calculează ambele părți pentru $x=2$ și $y=3$ și compară.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cele două dozatoare

Domeniu: chimie.

Enunț. Reia dozatoarele din situația de pornire: A dă $d_A(m)=35m$, iar B dă $d_B(m)=35m+45$, în grame, pentru $m$ kg de granule. a) Verifică, pe șarjele de 4 kg și 6 kg unite într-una de 10 kg, la care dozator doza se păstrează la unire. b) Arată că $d_A$ este morfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $(\mathbb{R},+)$. c) Arată că $d_B$ nu este.

Rezolvare. a) La A, $140+210=350=d_A(10)$, deci doza se păstrează. La B, $185+255=440$ g, dar $d_B(10)=395$ g: doza șarjei unite e mai mică decât suma dozelor separate. b) Calculezi separat cele două părți: $d_A(x+y)=35(x+y)=35x+35y=d_A(x)+d_A(y)$, pentru orice $x$ și $y$, fiindcă 35 iese factor comun. c) $d_B(x+y)=35x+35y+45$, iar $d_B(x)+d_B(y)=35x+35y+90$. Diferă cu 45 pentru orice pereche, fiindcă fondul fix apare o dată în stânga și de două ori în dreapta; contraexemplul $x=4$, $y=6$ dă 395 față de 440 și ajunge.

Capcană. Cine adună dozele separate ale lui B, $185+255=440$ g, pentru șarja unită de 10 kg pune cu 45 g de colorant mai mult decât dă dozatorul B pentru șarja întreagă, 395 g.

Verificare. Pe alt drum, suma dozelor separate minus doza șarjei unite este $185+255-395=45$ g la B, exact fondul fix. La A, aceeași diferență e $140+210-350=0$.

Exemplul 2 — Viteza de degradare a uleiului

Domeniu: alimentar.

Enunț. Într-o fabrică de biscuiți, uleiul din rezervor se degradează mai repede când temperatura crește. Într-un model simplificat, față de temperatura de referință viteza de degradare se înmulțește cu $f(t)=3^{t/10}$ când temperatura crește cu $t$ °C. a) Arată că $f$ este morfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, adică de la adunarea temperaturilor la înmulțirea vitezelor. b) Calculează $f(10)$, $f(20)$ și $f(30)$. c) Calculează $f(-10)$. d) Este $f$ izomorfism?

Rezolvare. a) $f(x+y)=3^{(x+y)/10}=3^{x/10}\cdot 3^{y/10}=f(x)\cdot f(y)$, pentru orice $x$ și $y$: suma din stânga devine produs în dreapta, fiindcă operațiile celor două grupuri sunt diferite. b) Fiecare creștere de 10 °C înmulțește viteza cu 3: $f(10)=3$, $f(20)=9$ și $f(30)=27$. c) $f(-10)=3^{-1}=\frac{1}{3}$: o scădere de 10 °C reduce viteza la o treime. d) Pentru orice $v>0$ există un singur $t$ cu $3^{t/10}=v$, anume $t=10{\log }_{3}v$, deci $f$ e bijectivă și e izomorfism.

Capcană. Cine scrie $f(x+y)=f(x)+f(y)$, adică operația din stânga și în dreapta, obține pentru $x=10$, $y=20$ valorile $f(30)=27$ și $f(10)+f(20)=12$, și respinge greșit morfismul.

Verificare. $f(10)\cdot f(20)=3\cdot 9=27=f(30)$, iar $f(10)\cdot f(-10)=3\cdot \frac{1}{3}=1$, neutrul înmulțirii.

Exemplul 3 — Două scări de măsurare

Domeniu: lemn.

Enunț. Un tâmplar măsoară poziții pe un panou cu două scări: scara A are zero la marginea panoului, scara B are zero la 27 cm de margine, deci un punct aflat la $x$ pe A e la $x-27$ pe B. Pozițiile de pe A se compun după regula $x\circ y=x+y-27$, care păstrează adunarea de pe scara B. a) Arată că $f(x)=x-27$ este morfism de la $(\mathbb{R},\circ )$ la $(\mathbb{R},+)$. b) Arată că este izomorfism și scrie inversa. c) Calculează $40\circ 55$ și verifică pe scara B.

Rezolvare. a) În stânga pui în $f$ rezultatul legii $\circ$: $f(x\circ y)=(x+y-27)-27=x+y-54$. În dreapta aduni simplu valorile: $f(x)+f(y)=(x-27)+(y-27)=x+y-54$. Sunt egale, deci $f$ e morfism. b) Dacă $f(x)=f(y)$, atunci $x-27=y-27$, deci $x=y$ și $f$ e injectivă. Orice număr real $b$ e $f(b+27)$, deci $f$ e surjectivă. Inversa este $f^{-1}(b)=b+27$. c) $40\circ 55=40+55-27=68$.

Capcană. Cine pune operația $\circ$ în ambele părți, $f(40\circ 55)=f(40)\circ f(55)$, obține $41$ față de $13\circ 28=13+28-27=14$ și respinge greșit morfismul. În dreapta se adună simplu, în grupul $(\mathbb{R},+)$.

Verificare. Pe scara B, $f(40)+f(55)=13+28=41$, iar $41+27=68$, poziția $40\circ 55$. Neutrul lui $\circ$ e 27, iar $f(27)=0$, neutrul adunării.

Exemplul 4 — Problema inversă: ce dozator avem de fapt

Domeniu: zootehnie.

Enunț. La laboratorul unei fabrici de furaje, rețetele noi se încearcă întâi pe șarje mici, într-un amestecător de probă. Dozatorul lui de premix vitaminic a dat 169 g pentru o șarjă de 7 kg și 245 g pentru una de 11 kg. Dozele au forma $d(m)=km+b$. a) Află $k$ și $b$. b) Este $d$ morfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $(\mathbb{R},+)$? c) Ce doză ar da pentru o șarjă de 20 kg un dozator reglat cu același $k$, dar cu $b=0$?

Rezolvare. a) Aici funcția se cunoaște doar din măsurători, așa că scrii câte o ecuație pentru fiecare: din $7k+b=169$ și $11k+b=245$, scăzând, $4k=76$, deci $k=19$ g/kg, iar $b=169-133=36$ g. b) $d(x+y)=19x+19y+36$, iar $d(x)+d(y)=19x+19y+72$; diferența, 36 de grame, e chiar $b$. Cum $b\ne 0$, $d$ nu e morfism: fondul fix de 36 g strică proprietatea. c) Cu $b=0$, $d(20)=19\cdot 20=380$ g, adică de două ori doza unei șarje de 10 kg, 190 g.

Capcană. Cine presupune că dozatorul e proporțional calculează $k=169:7\approx 24,14$ g/kg și prezice pentru 11 kg doza $\frac{169}{7}\cdot 11\approx 265,6$ g, cu 20,6 g peste cei 245 g măsurați.

Verificare. $d(7)=19\cdot 7+36=133+36=169$ g și $d(11)=19\cdot 11+36=209+36=245$ g, ca în măsurători.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Arată că $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=7x$, este morfism și calculează $f(2+9)$ și $f(2)+f(9)$.

2. Arată că $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=13x+9$, nu este morfism: calculează $f(2+3)$ și $f(2)+f(3)$, apoi diferența pe litere.

3. Fie $f:({\mathbb{Z}}_6,+)\to ({\mathbb{Z}}_6,+)$, $f(\hat{k})={\hat{k}}^2$. Calculează $f(\hat{1}+\hat{2})$ și $f(\hat{1})+f(\hat{2})$ în ${\mathbb{Z}}_6$ și spune dacă $f$ este morfism.

4. Fie $f:(\mathbb{Z},+)\to (\mathbb{Z},+)$, $f(k)=-4k$. a) Arată că $f$ este morfism. b) Calculează $f(3)$ și $f(-5)$. c) Arată că $f$ este injectivă, dar nu este surjectivă: de ce nu există $k$ cu $f(k)=6$?

Nivelul 2 — situații

5. Un service de utilaje agricole facturează manopera pe ore începute: fiecare oră începută costă 150 de lei, deci o lucrare de 1,5 ore se plătește ca una de 2 ore. Notăm $f(t)$ costul unei lucrări de $t$ ore. a) Cât costă separat două lucrări de câte 1,5 ore și cât ar costa o singură lucrare de 3 ore? b) Păstrează $f$ adunarea duratelor, adică $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pentru orice durate? c) Pe duratele de ore întregi, $f(n)=150n$. Arată că $f$ e morfism de la $(\mathbb{Z},+)$ la $(\mathbb{Z},+)$.

6. La un depozit de materiale de construcții, lungimea unei bare de fier-beton se trece din metri în centimetri prin $f(x)=100x$. a) Arată că $f$ e morfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $(\mathbb{R},+)$. b) Arată că e izomorfism și scrie inversa. c) Calculează $f(12,5+7,3)$ și $f(12,5)+f(7,3)$.

7. Grupul electrogen al unui șantier din oraș stă într-o carcasă fonică făcută din straturi. Un strat care reduce intensitatea sunetului de $k$ ori îl atenuează cu $f(k)=10\lg k$ decibeli. a) Arată că $f:({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )\to (\mathbb{R},+)$ este morfism: două straturi care reduc intensitatea de $k_1$ și de $k_2$ ori o reduc împreună de $k_1{k}_2$ ori. b) Calculează $f(10)$, $f(100)$ și $f(1000)$ și verifică egalitatea $f(10)+f(100)=f(1000)$. c) Carcasa trebuie să atenueze 20 dB. De câte ori trebuie să reducă intensitatea?

8. Un program CNC poate scala conturul unei piese cu un factor $k\ne 0$; un factor negativ face și oglindirea piesei. Două scalări la rând au factorul $k_1{k}_2$. Notăm $s(k)=1$ pentru $k>0$ și $s(k)=-1$ pentru $k<0$. a) Arată, pe cele patru cazuri de semn, că $s$ este morfism de la $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ la $(\{-1;1\},\cdot )$. b) Programul aplică factorii $-1,5$, apoi $0,8$, apoi $-2$. Ce factor total are și iese piesa oglindită? c) Este $s$ izomorfism?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Fie $f:({\mathbb{Z}}_6,+)\to ({\mathbb{Z}}_3,+)$, $f(\hat{k})$ = clasa lui $k$ modulo 3, adică $f(\hat{0})=\hat{0}$, $f(\hat{1})=\hat{1}$, $f(\hat{2})=\hat{2}$, $f(\hat{3})=\hat{0}$, $f(\hat{4})=\hat{1}$, $f(\hat{5})=\hat{2}$. a) Verifică egalitatea $f(\hat{a}+\hat{b})=f(\hat{a})+f(\hat{b})$ pentru perechile $\hat{4},\hat{5}$ și $\hat{2},\hat{3}$. b) Arată că $f$ este surjectivă, dar nu este injectivă, și scrie clasele din ${\mathbb{Z}}_6$ pe care $f$ le duce în $\hat{0}$.

10. (Sinteză.) Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\circ y=x+y-22$ și funcția $f:(\mathbb{R},\circ )\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=3x-66$. a) Arată că $f$ este morfism. b) Determină elementul neutru al legii $\circ$ și arată că $f$ îl duce în $0$. c) Află simetricul lui $40$ față de legea $\circ$ și arată că $f$ îl duce în opusul lui $f(40)$.

11. (Sinteză.) Tabla adunării din ${\mathbb{Z}}_3$ și tabla legii $\star$ pe $\{P,Q,R\}$ sunt date mai jos.

a) Verifică, pe cele 9 perechi, că $f(\hat{0})=Q$, $f(\hat{1})=R$, $f(\hat{2})=P$ este izomorfism. b) Arată că $g(\hat{0})=P$, $g(\hat{1})=Q$, $g(\hat{2})=R$ nu este morfism.

12. (Sinteză.) Fie $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=3x$, și $g:(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, $g(y)=7^y$. Arată că funcția $h(x)=g(f(x))$, adică $h(x)=7^{3x}$, este morfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$ și calculează $h(2)\cdot h(-2)$.

Răspunsuri și verificări

1. $f(x+y)=7(x+y)=7x+7y=f(x)+f(y)$, deci e morfism. $f(2+9)=f(11)=77$ și $f(2)+f(9)=14+63=77$. Verificare: $7\cdot 11=77$.

2. $f(2+3)=f(5)=74$, dar $f(2)+f(3)=35+48=83$, deci nu e morfism. Pe litere, $f(x+y)=13x+13y+9$ și $f(x)+f(y)=13x+13y+18$; diferența e 9. Verificare: $83-74=9$.

3. $\hat{1}+\hat{2}=\hat{3}$ și $f(\hat{3})={\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{3}$, dar $f(\hat{1})+f(\hat{2})=\hat{1}+\hat{4}=\hat{5}$. Cum $\hat{3}\ne \hat{5}$, $f$ nu e morfism. Verificare: $9=6+3$, deci $\hat{9}=\hat{3}$.

4. a) $f(k+j)=-4(k+j)=-4k-4j=f(k)+f(j)$, deci $f$ e morfism. b) $f(3)=-12$ și $f(-5)=20$. c) Dacă $f(k)=f(j)$, atunci $-4k=-4j$, deci $k=j$ și $f$ e injectivă. Ecuația $-4k=6$ dă $k=-\frac{3}{2}$, care nu e întreg, deci $6$ nu e imagine și $f$ nu e surjectivă. Verificare: valorile lui $f$ sunt multipli de $4$, iar $6$ nu e multiplu de $4$.

5. a) Separat, $2\cdot f(1,5)=2\cdot 300=600$ de lei, iar o lucrare de 3 ore costă $f(3)=450$ de lei. b) Nu: pentru $x=y=1,5$, $f(x+y)=450$, dar $f(x)+f(y)=600$. c) $f(n+m)=150(n+m)=150n+150m=f(n)+f(m)$, deci pe ore întregi $f$ e morfism. Verificare: separat se plătesc 4 ore începute, împreună 3, iar diferența e o oră, 150 de lei.

6. a) $f(x+y)=100(x+y)=100x+100y=f(x)+f(y)$. b) $100x=z$ dă un singur $x=\frac{z}{100}$ pentru orice $z$, deci $f$ e bijectivă și e izomorfism, cu inversa $f^{-1}(z)=\frac{z}{100}$. c) $f(12,5+7,3)=f(19,8)=1980$ cm și $f(12,5)+f(7,3)=1250+730=1980$ cm. Verificare: $\frac{1980}{100}=19,8$ m.

7. a) $f(k_1{k}_2)=10\lg (k_1{k}_2)=10\lg k_1+10\lg k_2=f(k_1)+f(k_2)$: produsul reducerilor devine sumă de decibeli. b) $f(10)=10$, $f(100)=20$ și $f(1000)=30$ dB, iar $10+20=30$. c) Din $10\lg k=20$ rezultă $\lg k=2$, deci $k=100$: intensitatea trebuie să scadă de 100 de ori. Verificare: $10\cdot 100=1000$, iar $10+20=30$ dB, cât $f(1000)$.

8. a) Dacă $k_1,k_2>0$, produsul e pozitiv și $s(k_1{k}_2)=1=1\cdot 1$; dacă unul e negativ și celălalt pozitiv, produsul e negativ și $-1=(-1)\cdot 1$; dacă ambii sunt negativi, produsul e pozitiv și $1=(-1)\cdot (-1)$. b) Factorul total e $(-1,5)\cdot 0,8\cdot (-2)=2,4$, pozitiv, deci piesa nu iese oglindită; la fel, $s(-1,5)\cdot s(0,8)\cdot s(-2)=(-1)\cdot 1\cdot (-1)=1$. c) Nu: $s(2)=s(3)=1$, deci $s$ nu e injectivă. Verificare: cele două oglindiri, de la $-1,5$ și de la $-2$, se anulează.

9. a) $\hat{4}+\hat{5}=\hat{9}=\hat{3}$ în ${\mathbb{Z}}_6$, deci $f(\hat{4}+\hat{5})=f(\hat{3})=\hat{0}$, iar $f(\hat{4})+f(\hat{5})=\hat{1}+\hat{2}=\hat{3}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_3$. Apoi $\hat{2}+\hat{3}=\hat{5}$, deci $f(\hat{5})=\hat{2}$, iar $f(\hat{2})+f(\hat{3})=\hat{2}+\hat{0}=\hat{2}$. b) Imaginile sunt $\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{0},\hat{1},\hat{2}$, deci apar toate clasele din ${\mathbb{Z}}_3$ și $f$ e surjectivă. Dar $f(\hat{0})=f(\hat{3})=\hat{0}$, deși $\hat{0}\ne \hat{3}$, deci $f$ nu e injectivă și nu e izomorfism. Clasele duse în $\hat{0}$ sunt $\hat{0}$ și $\hat{3}$. Verificare: $\hat{3}+\hat{3}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_6$, iar $\hat{0}+\hat{0}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_3$.

10. a) $f(x\circ y)=3(x+y-22)-66=3x+3y-132$, iar $f(x)+f(y)=(3x-66)+(3y-66)=3x+3y-132$, deci $f$ e morfism. b) Din $x\circ e=x+e-22=x$ rezultă $e=22$, iar $f(22)=66-66=0$, neutrul adunării. c) Simetricul $x^{\prime }$ al lui $40$ cere $40+x^{\prime }-22=22$, adică $x^{\prime }=4$. Cum $f(40)=54$ și $f(4)=-54$, $f$ duce simetricul lui $40$ în opusul lui $f(40)$. Verificare: $40\circ 4=22=e$.

11. a) Cele nouă egalități $f(a+b)=f(a)\star f(b)$ se citesc din cele două table. Cu $\hat{0}$: $f(\hat{0}+\hat{0})=Q=Q\star Q$, $f(\hat{0}+\hat{1})=R=Q\star R$ și $f(\hat{0}+\hat{2})=P=Q\star P$. Cu perechi de clase nenule: $f(\hat{1}+\hat{1})=f(\hat{2})=P=R\star R$, $f(\hat{1}+\hat{2})=f(\hat{0})=Q=R\star P$ și $f(\hat{2}+\hat{2})=f(\hat{1})=R=P\star P$, iar celelalte trei apar prin comutativitate. Funcția $f$ e și bijectivă, deci izomorfism. b) $g(\hat{0}+\hat{0})=g(\hat{0})=P$, dar $g(\hat{0})\star g(\hat{0})=P\star P=R$. Cum $P\ne R$, $g$ nu e morfism. Verificare: în tabla lui $\star$, $Q$ e neutru, iar $g(\hat{0})=P$ nu e.

12. $h(x+y)=7^{3(x+y)}=7^{3x+3y}=7^{3x}\cdot 7^{3y}=h(x)\cdot h(y)$. $h(2)=7^6$ și $h(-2)=7^{-6}$. Produsul $h(2)\cdot h(-2)=1$. Verificare: $h(2+(-2))=h(0)=7^0=1$.

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3, morfismul de grupuri nu a apărut în probele 2013–2026, dar programa îl cuprinde. Programa pentru M_tehnologic îl așază în blocul „Elemente de algebră” al clasei a XII-a, la rubrica Grupuri, după grupurile numerice și grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$, înaintea inelelor și a corpurilor. Competența 3.1 a aceluiași bloc este „Verificarea faptului că o funcție dată este morfism sau izomorfism”.

Indexul cerințelor acoperă cele 83 de probe oficiale, iar în el morfismul nu este subiectul, principal sau secundar, al niciunei cerințe. Fiindcă nu există cerințe de comentat, secțiunea nu citează nicio probă și nu propune o cerință-model. Exercițiile 9–12 nu reproduc nicio probă și nu sugerează forma unei cerințe de examen. Ele leagă morfismul de clasele de resturi, de legea de compoziție și de tablele operațiilor, iar restul traseului e în clasa a XII-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Verifici condiția pe o singură pereche, de pildă $f(\hat{k})={\hat{k}}^2$ din exercițiul 3 pe perechea $\hat{0}$ și $\hat{2}$ → ambele părți dau $\hat{4}$, dar pe $\hat{1}$ și $\hat{2}$ obții $\hat{3}$ și $\hat{5}$; cum o prinzi: treci prin toate perechile sau calculezi pe litere.
• Scrii aceeași operație în ambele părți → la $f(t)=3^{t/10}$ ai respinge morfismul cu $27$ față de $12$; cum o prinzi: în dreapta pui operația grupului de sosire.
• Declari izomorfism un morfism fără să verifici bijectivitatea → reducerea modulo 3 din ${\mathbb{Z}}_6$ în ${\mathbb{Z}}_3$ dă același rezultat la $\hat{0}$ și la $\hat{3}$; cum o prinzi: cauți două elemente diferite cu aceeași imagine.
• Aduni costurile calculate separat când regula rotunjește → două lucrări de 1,5 ore dau 600 de lei, iar una de 3 ore 450 de lei; cum o prinzi: aplici funcția pe suma duratelor și compari cu suma valorilor.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Noțiunea de morfism și izomorfism de grupuri face parte din programa de examen pentru Subiectul al II-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă; fiind în programă, poate fi cerută. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

De ce nu păstrează dozatorul B adunarea șarjelor, deși crește la fel ca A? Fiindcă la fiecare șarjă B adaugă 45 g pentru purjare. Panta e aceeași, 35 g/kg, dar doza unei șarje unite conține fondul fix o singură dată, iar suma dozelor separate îl conține de două ori. Diferența e 45 g, ca la 4 kg și 6 kg, unde 185 + 255 = 440 g, față de 395 g.

Cum aflu din măsurători dacă un dozator are fond fix? Din două doze măsurate scrii două ecuații, $k{m}_1+b=d_1$ și $k{m}_2+b=d_2$, și scazi: afli panta $k$, apoi fondul $b$. Dacă $b$ iese nenul, dozatorul nu e morfism. La B, din 4 kg și 6 kg, $k=35$ g/kg și $b=45$ g, iar la A, $b=0$.

Ce doză dă dozatorul A pentru o șarjă de 20 kg? 700 g, fiindcă $35\cdot 20=700$. Rezultatul se obține și din morfism: 20 kg e suma a două șarje de 10 kg, iar doza unei șarje de 10 kg e 350 g, deci $350+350=700$ g. La B, aceeași șarjă ar cere $35\cdot 20+45=745$ g.

Dacă unesc trei șarje de 4, 6 și 10 kg, ce doză dă dozatorul B? Pentru șarja de 20 kg, B dă $35\cdot 20+45=745$ g, în timp ce suma celor trei doze separate este $185+255+395=835$ g. Diferența, 90 g, înseamnă două fonduri fixe de 45 g: suma conține fondul fix de trei ori, iar doza șarjei unite o singură dată.

Poate veni morfismul la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), deși nu a apărut în probele 2013–2026? Programa îl trece în blocul „Elemente de algebră” al clasei a XII-a, la rubrica Grupuri. După indexul făcut din cele 83 de probe, în probele oficiale 2013–2026 nu a apărut încă, dar fiind în programă, poate fi cerut. Cele două părți ale condiției se calculează la fel și într-o cerință nouă.

Ce deosebește un morfism de un izomorfism? Izomorfismul cere în plus bijectivitatea: fiecare element al grupului de sosire are exact un element care i se potrivește. Dozatorul A e izomorfism, fiindcă $z\mapsto \frac{z}{35}$ e inversa lui. Reducerea modulo 3 de la ${\mathbb{Z}}_6$ la ${\mathbb{Z}}_3$ e morfism, dar nu izomorfism, fiindcă $\hat{0}$ și $\hat{3}$ au aceeași imagine.