Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Progresia aritmetică: rația și suma

Cum calculez totalul ratelor care scad lunar?

Ratele care scad cu aceeași sumă formează o progresie aritmetică, iar totalul celor $n$ rate este $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ . Exemplu: 10 rate, prima de 2640 lei, fiecare următoare cu 24 lei mai mică. Ultima rată este $2640 - 9 \cdot 24 = 2424$ lei, iar totalul este $\frac{10 \cdot ( 2640 + 2424 )}{2} = 25320$ lei. Proba: a doua rată, 2616 lei, și a noua, 2448 lei, dau tot 5064 lei, ca prima cu ultima; cinci perechi fac 25320 lei.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Progresia aritmetică este un șir ale cărui termeni cresc sau scad mereu cu aceeași valoare, numită rație și notată $r$ . Rația are semn: pozitivă, șirul urcă; negativă, șirul coboară; zero, șirul stă pe loc. Modelul apare oriunde o mărime se schimbă la fiecare pas cu aceeași cantitate: o rată micșorată lunar cu o sumă fixă, o producție care urcă zilnic la fel, piese debitate tot mai scurte cu câțiva milimetri.

Pentru calcul pornești de la primul termen $a_{1}$ și de la rație. Dacă ai doi termeni oarecare, rația este diferența lor împărțită la numărul de pași dintre ei: $r = \frac{a _{m} - a _{k}}{m - k}$ . Termenul de rang $n$ este $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , iar totalul primilor $n$ termeni este $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ ; la sumă, ultimul termen se află întâi. Orice termen general de forma $a_{n} = p n + q$ descrie o progresie cu rația $p$ .

Trei capcane trebuie știute dinainte. Al $n$ -lea termen se află la $n - 1$ pași de primul, nu la $n$ . La doi termeni depărtați împarți la pași, nu la câți termeni apar. Iar dacă ți se cere primul termen care trece de un prag, egalitatea nu ajunge: rezolvi inegalitatea strictă și treci la următorul întreg.

Proba rapidă: la $n = 1$ formula dă $a_{1}$ , iar doi termeni așezați simetric față de capete adună tot $a_{1} + a_{n}$ . În meserie scrii la final unitatea: milimetri, kilograme, grame pe litru.

De reținut

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ și $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$
rația din doi termeni: $r = \frac{a _{m} - a _{k}}{m - k}$ , cu $m - k$ pași
o rată care scade cu aceeași sumă are rația negativă

Greșeala tipică

Se uită împărțirea la 2: pentru cele 10 rate se obține $10 \cdot (2640 + 2424) = 50640$ , adică dublul totalului. Numărul de perechi este $\frac{10}{2} = 5$ , iar $5 \cdot 5064 = 25320$ .

Exerciții din această mini-lecție

Patru șiruri $(a_{n})_{n \geq 1}$ sunt date prin termenul general. Care dintre ele este o progresie aritmetică?
- a) $a_{n} = n^{2} + 9$
- b) $a_{n} = 7 \cdot 2^{n}$
- c) $a_{n} = 31 - 9 n$
- d) $a_{n} = \frac{18}{n}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a_{n} = 31 - 9 n$

Calculezi primii termeni: $a_{n} = 31 - 9 n$ dă $22$ , $13$ , $4$ , cu diferența $- 9$ de fiecare dată, iar orice termen general de forma $p n + q$ are diferența constantă $p$ . Cel mai tentant este d): termenii $18$ , $9$ , $6$ încep tot cu diferența $- 9$ , dar continuă cu $- 3$ . La a) diferențele cresc ( $3$ , $5$ ), iar b) are raportul constant $2$ , nu diferența.
Într-un atelier, un operator debitează piese din bare de oțel. Prima piesă are $1240$ mm, iar fiecare piesă următoare are cu $35$ mm mai puțin decât precedenta. Ce lungime are a noua piesă?
- a) $960$ mm
- b) $925$ mm
- c) $1520$ mm
- d) $995$ mm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $960$ mm

Lungimile scad, deci rația este $r = - 35$ , iar de la prima la a noua piesă sunt $9 - 1 = 8$ pași: $a_{9} = 1240 + 8 \cdot (- 35) = 1240 - 280 = 960$ mm. Varianta $925$ mm vine din $9$ pași în loc de $8$ , iar $995$ mm din $7$ pași. Varianta $1520$ mm adună cei $280$ mm, deși piesele se scurtează.
O brutărie își mărește producția zilnică de pâine cu același număr de bucăți în fiecare zi a unei campanii. În ziua a 6-a coace $318$ pâini, iar în ziua a 13-a coace $430$ . Cu câte pâini crește producția de la o zi la următoarea?
- a) $14$
- b) $- 16$
- c) $112$
- d) $16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $16$

Între ziua a 6-a și ziua a 13-a sunt $13 - 6 = 7$ pași, iar diferența producțiilor este $430 - 318 = 112$ , deci $r = \frac{112}{7} = 16$ . Varianta $14$ împarte la $8$ , adică la câte zile apar de la a 6-a la a 13-a, cu ambele capete. Varianta $- 16$ scade în ordinea greșită, iar o producție care crește nu poate avea rația negativă.

Întrebări conexe

Cum aflu salariul din anul n dacă mărirea este aceeași în fiecare an?

Salariile formează o progresie aritmetică, iar mărirea anuală este rația. Pentru $3150$ lei în anul 1 și o mărire de $85$ lei pe an, salariul din anul 9 este $3150 + 8 \cdot 85 = 3830$ lei. Faci 8 pași, nu 9, pentru că anul 1 este deja primul termen.

Cum aflu rația dacă cunosc ratele din două luni diferite?

Împarți diferența celor două rate la numărul de luni care le despart. Dacă rata din luna 2 este 2331 lei, iar cea din luna 6 este 2247 lei, între ele sunt 4 pași: $\frac{2247 - 2331}{4} = - 21$ . Rația este −21 lei, deci rata scade cu 21 lei pe lună.

De ce se adună prima rată cu ultima în formula sumei?

De la prima rată spre a doua scazi 13 lei, iar de la ultima spre penultima adaugi tot 13 lei, deci suma unei perechi nu se schimbă și toate perechile prima–ultima, a doua–penultima și așa mai departe adună la fel. Pentru ratele 1378, 1365, 1352, 1339, 1326, 1313 sunt trei perechi, fiecare de 2691 lei, deci totalul este $3 \cdot 2691 = 8073$ lei.

Cât este rata medie a unui credit cu capital egal?

Rata medie este media dintre prima și ultima rată, iar înmulțită cu numărul ratelor dă totalul plătit. La 12 rate, prima de 2800 lei și ultima de 2525 lei, rata medie este $\frac{2800 + 2525}{2} = 2662, 5$ lei, iar totalul este $12 \cdot 2662, 5 = 31950$ lei.

Cum aflu prima rată dacă o cunosc pe cea din luna 6?

Parcurgi șirul în sens invers: între luna 1 și luna 6 sunt 5 pași, iar fiecare pas înapoi anulează o scădere. Dacă rata din luna 6 este 1921 lei și scade cu 17 lei pe lună, atunci prima rată este $1921 + 5 \cdot 17 = 2006$ lei. Proba: $2006 - 5 \cdot 17 = 1921$ lei.

Cum apare progresia aritmetică în probele oficiale?

Progresia aritmetică a apărut în 9 probe M_tehnologic din 2013–2026, în Subiectul I. Pentru răspuns scrii rația pe un rând separat, apoi termenul sau suma cerută, fiecare cu formula folosită.

Oamenii mai întreabă și: totalul ratelor unui credit cu capital egal · suma ratelor descrescătoare ca progresie aritmetică · rata care scade lunar cu aceeași sumă · cum aflu suma unei progresii aritmetice din rate