Progresia aritmetică la tehnologic: rate, salarii

Ratele unui credit cu capital egal, care scad lună de lună, și salariul care crește cu aceeași sumă în fiecare an se schimbă, de fiecare dată, cu același număr de lei. Matematica numește asta progresie aritmetică. Pornind de la cifrele unei firme mici, afli aici, la clasa a IX-a, filiera tehnologică, cum găsești rația, un termen oarecare și suma termenilor. Calculul apare la începutul Subiectului I de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Contabila unei firme mici de zugrăveli și finisaje negociază cu banca un credit de 18 000 lei pentru un compresor profesional. Oferta băncii: 12 rate lunare; în fiecare lună firma returnează aceeași parte din capital, 1 500 lei, și plătește în plus dobânda de 1% din soldul rămas la începutul lunii. Graficul complet de rambursare vine abia la semnarea contractului, dar contabila are nevoie acum de bugetul întregului an. A calculat primele trei rânduri și nu vrea să completeze douăsprezece unul după altul: caută o regulă care să-i dea direct orice rată și totalul plătit.

Întrebare: cât este rata din luna a 12-a și cât plătește firma în total băncii, în cele 12 luni?

De la situație la model

Privește coloana ratelor: 1 680, 1 665, 1 650. De la o lună la alta rata scade tot cu 15 lei. Un astfel de șir are un nume și formule gata făcute; tabelul de mai jos traduce cuvintele contabilei în cuvintele matematicii.

O progresie aritmetică este un șir în care diferența dintre doi termeni vecini are aceeași valoare $r$ pe tot șirul; valoarea aceasta se numește rația, iar fiecare termen este precedentul plus rația:

$$a_{n+1}=a_n+r$$

Rația poate fi pozitivă (șirul crește), negativă (șirul scade) sau zero (toți termenii sunt egali).

De ce scade rata cu aceeași sumă în fiecare lună?

Pentru că în fiecare lună se întâmplă același lucru. Soldul scade cu 1 500 lei, iar dobânda, fiind 1% din sold, scade cu 1% din 1 500 lei, adică cu 15 lei. Capitalul returnat rămâne 1 500 lei, deci rata întreagă scade tot cu 15 lei. Regula „aceeași sumă la fiecare pas” nu e o coincidență a tabelului, ci vine din felul în care e făcut creditul, deci se păstrează și în lunile pe care contabila nu le-a calculat încă. Dacă rata ar scădea cu un procent din rata precedentă, diferența dintre două rate vecine nu ar mai fi constantă: despre un astfel de șir e vorba în lecția progresia geometrică în epurarea apei.

Cum afli rata din orice lună, fără să completezi tot tabelul?

De la luna 1 la luna 2 faci un pas de mărime $r$, de la luna 1 la luna 3 faci doi pași, iar de la luna 1 la luna $n$ faci $n-1$ pași. De aici:

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Formula nu o demonstrăm, dar o verificăm pe tabel: pentru luna 3, $a_3=1680+2\cdot (-15)=1650$, exact cât a calculat contabila. Dacă desfaci paranteza, obții regula căutată de contabilă: $a_n=1695-15n$. Invers, orice șir cu termenul general de forma $a_n=cn+d$ este o progresie aritmetică cu rația $c$, pentru că $a_{n+1}-a_n=c$ pentru orice $n$. Seamănă cu formula unei funcții de gradul I, subiectul lecției Consum și debit: funcția de gradul I.

Cum afli rația când termenii dați nu sunt vecini?

Uneori cunoști doi termeni oarecare, de exemplu rata din luna 3 și rata din luna 7. Între ele sunt $7-3=4$ pași, fiecare de mărime $r$, deci diferența celor doi termeni este de patru ori rația. În general, pentru termenii $a_k$ și $a_m$:

$$r=\frac{a_m-a_k}{m-k}$$

Numeri pașii, nu termenii: între luna 3 și luna 7 sunt 4 pași, deși, cu cele două luni cu tot, stau 5 luni. Pe tabelul nostru, $\frac{1650-1680}{3-1}=-15$.

Cât plătește firma în total?

Trebuie adunate toate cele 12 rate. Ca să nu le aduni una câte una, le grupezi câte două: prima cu ultima, a doua cu penultima și așa mai departe. Fiecare pereche are aceeași sumă, pentru că ceea ce se pierde la un capăt se câștigă la celălalt. La 12 termeni ai 6 perechi, deci:

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

unde $n$ este numărul de termeni adunați. Când $n$ e impar, termenul din mijloc rămâne fără pereche, dar el este exact jumătate din suma unei perechi, așa că formula rămâne valabilă; la trei termeni dă $S_3=3a_2$.

Dobânda simplă: încă o progresie aritmetică

Dobânda simplă se calculează mereu la capitalul depus la început, nu la ce se adaugă pe parcurs, deci e aceeași în fiecare an. De exemplu, 15 000 lei cu dobândă simplă de 3% pe an aduc 450 lei pe an: la sfârșitul anilor 1, 2 și 3 sunt în cont 15 450, 15 900 și 16 350 lei, o progresie cu rația 450. Diferența față de creditul din situația de pornire stă în baza de calcul: acolo dobânda urmărește soldul, care scade, aici urmărește capitalul, care rămâne la fel.

Metoda pas cu pas

1. Citește enunțul și notează trei lucruri: primul termen $a_1$, ce înseamnă rangul $n$ (luna, anul, șipca) și ce se întâmplă de la un pas la altul. Dacă valoarea se schimbă mereu cu aceeași sumă, ai o progresie aritmetică; dacă se schimbă cu un procent din valoarea dinainte, nu e cazul.
2. Află rația, cu semnul ei. La doi termeni vecini scazi primul din al doilea, $r=a_{n+1}-a_n$. La doi termeni care nu sunt vecini împarți diferența lor la numărul de pași, $r=\frac{a_m-a_k}{m-k}$. Dacă șirul scade, rația trebuie să iasă negativă.
3. Scrie termenul cerut cu $a_n=a_1+(n-1)r$. Dacă nu cunoști $a_1$, pornești de la orice termen cunoscut: $a_n=a_k+(n-k)r$. Când problema cere „primul rang la care se depășește o valoare”, rezolvi inegalitatea strictă și iei cel mai mic număr întreg care o verifică (exercițiul 8 arată și cazul exact).
4. Dacă se cere un total, adună termenii cu $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$; ai nevoie de $a_n$, deci pasul 3 vine înainte. Când se dă doar termenul din mijloc și se cere suma primilor trei, folosește scurtătura $a_1=a_2-r$, $a_3=a_2+r$, de unde $S_3=3a_2$.
5. Verifică: pune $n=1$ și $n=2$ în formula ta, ca să obții $a_1$ și $a_2$; la o sumă, calculează doi termeni egal depărtați de capete, de exemplu $a_6$ și $a_7$ la 12 termeni, care trebuie să aibă tot suma $a_1+a_n$; scrie unitatea de măsură.

Pașii sunt aceiași și când enunțul vine fără poveste, ca la examen: schimbă doar cuvintele din pasul 1. Dacă ai doar trei numere și vrei să știi dacă ar putea fi termeni vecini ai unei progresii, citește condiția pentru trei numere în progresie. Celelalte lecții ale clasei sunt adunate în traseul clasei a IX-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

$$r=\frac{a_m-a_k}{m-k}$$

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

Se aplică numai când diferența dintre doi termeni vecini este aceeași pe tot șirul. Rangul $n$ numără termenii (primul are rangul 1), iar $m-k$ numără pașii dintre doi termeni. Verificare rapidă: la $n=1$ prima formulă trebuie să dea $a_1$, iar doi termeni egal depărtați de capete au aceeași sumă ca $a_1+a_n$.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Rata din luna a 12-a și totalul plătit

Domeniu: economic.

Enunț. Reluăm creditul din situația de pornire: 18 000 lei, 12 rate lunare, capital returnat de 1 500 lei pe lună și dobândă de 1% din soldul de la începutul lunii. Aflați rata din luna a 12-a și suma pe care o primește banca în total.

Rezolvare. Mai întâi vedem că ratele formează o progresie aritmetică: $1665-1680=-15$ și $1650-1665=-15$. Deci $a_1=1680$ și $r=-15$; rația este negativă, fiindcă ratele scad. Rata din luna a 12-a, după 11 pași de la luna 1:

$$a_{12}=1680+11\cdot (-15)=1680-165=1515$$

Suma ratelor, cu 6 perechi de câte $a_1+a_{12}$:

$$S_{12}=\frac{12\cdot (1680+1515)}{2}=6\cdot 3195=19170$$

Rata din luna a 12-a este de 1 515 lei, iar banca primește în total 19 170 lei, adică 1 170 lei peste valoarea creditului.

Capcană. Cine înmulțește cu 12 în loc de 11 obține $1680-180=1500$. Rezultatul ar însemna că în ultima lună nu se plătește nicio dobândă, deși soldul de 1 500 lei încă există și dobânda lui este de 15 lei.

Verificare. Dobânda totală se poate afla și separat: soldurile de la începutul lunilor, 18 000, 16 500, …, 1 500, formează tot o progresie aritmetică, cu suma $\frac{12\cdot (18000+1500)}{2}=117000$. Din ea, 1% înseamnă 1 170 lei. Deci 18 000 + 1 170 = 19 170 lei, la fel ca mai sus.

Exemplul 2 — Salariul unei casiere, de la doi termeni la un prag

Domeniu: comert.

Enunț. Regulamentul intern al unui magazin (date din exemplu, nu prevederi legale) crește salariul net al angajaților cu aceeași sumă la fiecare aniversare a angajării. O casieră are în anul al 3-lea salariul net de 3 300 lei, iar în anul al 7-lea de 3 740 lei. a) Aflați cu cât crește salariul pe an. b) Aflați salariul din anul 1. c) În al câtelea an depășește salariul net 4 000 lei?

Rezolvare. a) Termenii $a_3$ și $a_7$ nu sunt vecini; între ei sunt $7-3=4$ pași:

$$r=\frac{3740-3300}{7-3}=\frac{440}{4}=110$$

Salariul crește cu 110 lei pe an. b) De la anul 1 la anul 3 sunt 2 pași, deci $a_1=a_3-2r=3300-220=3080$ lei. c) Căutăm cel mai mic $n$ pentru care $a_n>4000$. Scriem $3080+110(n-1)>4000$, de unde $110(n-1)>920$ și $n-1>8,36\dots$ Cum $n-1$ este număr întreg, $n-1\ge 9$, adică $n\ge 10$. Salariul trece de 4 000 lei în anul al 10-lea, când este $3080+9\cdot 110=4070$ lei.

Capcană. La punctul c) nu rotunji 8,36 în jos, la 8. Asta ar însemna anul 9, în care salariul este $3080+8\cdot 110=3960$ lei, încă sub 4 000.

Verificare. Cu $a_1=3080$ și $r=110$ regăsim datele din enunț: $a_3=3080+220=3300$ și $a_7=3080+660=3740$.

Exemplul 3 — Gardul cu șipci, de la centimetri la bare

Domeniu: lemn.

Enunț. Un tâmplar face un gard decorativ din 14 șipci, cu vârful înclinat: prima are 90 cm, iar fiecare următoare cu 4 cm mai mult decât cea dinainte. Șipcile se taie din bare de 3 m, câte două dintr-o bară: cea mai scurtă împreună cu cea mai lungă, a doua ca lungime cu penultima și tot așa. Aflați lungimea ultimei șipci, lungimea totală de lemn, în metri, numărul de bare și câți metri rămân în resturi.

Rezolvare. Lungimile formează o progresie aritmetică cu $a_1=90$ cm și $r=4$ cm. Ultima șipcă, după 13 pași:

$$a_{14}=90+13\cdot 4=142$$

Lungimea totală, în centimetri:

$$S_{14}=\frac{14\cdot (90+142)}{2}=7\cdot 232=1624$$

Deci ultima șipcă are 142 cm, iar lemnul necesar este de 1 624 cm, adică 16,24 m. Cele 14 șipci formează 7 perechi, iar fiecare pereche are lungimea $a_1+a_{14}=232$ cm, mai puțin decât cei 300 cm ai unei bare. Tâmplarul comandă deci 7 bare, adică 21 m, iar resturile sunt de $21-16,24=4,76$ m.

Capcană. Lungimile sunt în centimetri, iar barele în metri. Dacă scazi direct 1 624 din 21 obții −1 603, un număr fără sens; transformă întâi, 21 m = 2 100 cm, apoi $2100-1624=476$ cm, adică 4,76 m.

Verificare. Din fiecare bară rămân $300-232=68$ cm, iar $7\cdot 68=476$ cm, adică 4,76 m, la fel ca mai sus.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: al treilea termen și suma primilor trei

Domeniu: electric.

Enunț. Cerințele de la începutul Subiectului I au forma de mai jos. Aici datele vin de la consumul lunar de energie al unui atelier, în kWh, care crește cu aceeași cantitate de la o lună la alta; $a_n$ este consumul din luna $n$. a) Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, în care $a_1=380$ și $a_2=410$. b) Calculați suma primilor trei termeni ai aceleiași progresii.

Rezolvare. a) Mai întâi rația: $r=a_2-a_1=410-380=30$ kWh. Apoi $a_3=a_2+r=410+30=440$ kWh. b) Adunăm direct: $380+410+440=1230$ kWh. Același rezultat se obține și fără $a_1$ și $a_3$: din $a_1=a_2-r$ și $a_3=a_2+r$ rația se reduce, deci $S_3=3a_2=3\cdot 410=1230$ kWh.

Capcană. La punctul a) nu scrie $a_3=a_1+3r$: de la $a_1$ la $a_3$ sunt 2 pași, nu 3, iar formula greșită ar da $380+90=470$ kWh.

Verificare. Cu rația 30, șirul 380, 410, 440 are diferențele $410-380=30$ și $440-410=30$. Suma celor trei termeni a fost calculată în două feluri și a dat de fiecare dată 1 230 kWh.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Care dintre șirurile $215,242,269,296$ și $410,385,360,330$ este o progresie aritmetică? Pentru cel care este, scrie rația. Arată apoi că șirul cu termenul general $b_n=6n+11$ este o progresie aritmetică.

2. O progresie aritmetică are $a_1=56$ și $r=-7$. Calculează $a_6$ și spune care este primul termen negativ.

3. Câți termeni are progresia aritmetică $6,13,20,\dots ,111$? Poate fi 150 un termen al ei?

4. Calculează suma primilor 10 termeni ai progresiei aritmetice cu $a_1=12$ și $r=5$.

Nivelul 2 — situații

5. O pensiune oferă un tarif degresiv pentru șederile lungi: prima noapte costă 220 lei, iar fiecare noapte următoare cu 12 lei mai puțin decât cea dinainte. Cât costă a șaptea noapte și cât plătește un turist pentru cele 7 nopți?

6. La o fermă de porci, porția zilnică de furaj a unui purcel este de 150 g în prima zi și crește cu 25 g în fiecare zi următoare. Câte grame primește în a 14-a zi și câte kilograme de furaj consumă în primele 14 zile?

7. Un tractor agricol are prima revizie după 100 de ore de funcționare, apoi câte una la fiecare 250 de ore. La a câta revizie depășește motorul 2 000 de ore de funcționare?

8. Într-un depozit se pun 9 600 lei cu dobândă simplă de 2,5% pe an. a) Calculează suma din cont după 8 ani. b) După câți ani depășește suma 12 000 lei?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, în care $a_1=18$ și $a_2=45$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_3=52$ și $a_8=97$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_2=37$.

12. (Sinteză.) Un contract de leasing pentru o autoutilitară prevede 24 de rate lunare: prima de 1 450 lei, iar fiecare următoare cu 20 lei mai mare decât cea dinainte (rate progresive; datele sunt din exemplu). a) Calculați rata din luna 24. b) Calculați suma plătită în total. c) În a câta lună depășește rata 1 800 lei?

Răspunsuri și verificări

1. Primul șir are diferențele $242-215=27$, $269-242=27$ și $296-269=27$, deci este progresie aritmetică, cu rația 27. Al doilea are $385-410=-25$ și $360-385=-25$, dar $330-360=-30$, deci nu este. Pentru $b_n=6n+11$, $b_{n+1}-b_n=6(n+1)+11-(6n+11)=6$ pentru orice $n$, deci este progresie aritmetică, cu rația 6. Verificare: $215+3\cdot 27=296$, ultimul termen al primului șir, iar $b_1=17$, $b_2=23$, $b_3=29$ cresc tot cu 6.

2. $a_6=56+5\cdot (-7)=21$. Termenii sunt 56, 49, 42, 35, 28, 21, 14, 7, 0, −7, …, deci $a_9=0$ și primul termen negativ este $a_{10}=-7$. Verificare: $56+8\cdot (-7)=0$, adică după 8 pași de la $a_1$ ajungem la zero.

3. Rația este $r=7$. Din $6+7(n-1)=111$ rezultă $n-1=15$, deci progresia are 16 termeni. Pentru 150: $6+7(n-1)=150$ dă $n-1=144:7=20,57\dots$, care nu e număr întreg, deci 150 nu este termen. Verificare: $a_{16}=6+15\cdot 7=111$, iar termenii apropiați de 150 sunt $a_{21}=146$ și $a_{22}=153$.

4. $a_{10}=12+9\cdot 5=57$, apoi $S_{10}=\frac{10\cdot (12+57)}{2}=5\cdot 69=345$. Verificare: termenii din mijloc, $a_5=32$ și $a_6=37$, au tot suma $69=12+57$.

5. $a_7=220+6\cdot (-12)=148$ lei, iar $S_7=\frac{7\cdot (220+148)}{2}=7\cdot 184=1288$ lei. Verificare: noaptea din mijloc, a patra, costă $220+3\cdot (-12)=184$ lei, iar $7\cdot 184=1288$ lei.

6. $a_{14}=150+13\cdot 25=475$ g, iar $S_{14}=\frac{14\cdot (150+475)}{2}=7\cdot 625=4375$ g, adică 4,375 kg. Verificare: $a_7=300$ g și $a_8=325$ g au tot suma 625 g, cât $a_1+a_{14}$.

7. Orele de funcționare la a $n$-a revizie sunt $a_n=100+250(n-1)$. Din $a_n>2000$ rezultă $250(n-1)>1900$, adică $n-1>7,6$, deci $n-1\ge 8$ și $n=9$. Verificare: $a_8=100+7\cdot 250=1850$ ore, încă sub 2 000, iar $a_9=100+8\cdot 250=2100$ ore.

8. Dobânda anuală este $9600\cdot 0,025=240$ lei, deci suma după $n$ ani este $9600+240n$. a) După 8 ani: $9600+8\cdot 240=11520$ lei. b) $9600+240n>12000$ dă $n>10$, deci $n=11$ ani. Verificare: după 10 ani suma este exact 12 000 lei, care nu depășește 12 000 lei; abia după 11 ani sunt în cont 12 240 lei.

9. Rația este $r=a_2-a_1=45-18=27$. Termenul căutat este $a_3=a_2+r=45+27=72$. Verificare: $45-18=27$ și $72-45=27$, deci diferențele sunt egale.

10. Între $a_3$ și $a_8$ sunt 5 pași, deci $a_8=a_3+5r$, de unde $5r=97-52=45$ și $r=9$. Primul termen este $a_1=a_3-2r=52-18=34$. Verificare: $a_3=34+2\cdot 9=52$ și $a_8=34+7\cdot 9=97$.

11. Notăm rația cu $r$; atunci $a_1=a_2-r$ și $a_3=a_2+r$. Suma este $(a_2-r)+a_2+(a_2+r)=3a_2$, deci $S_3=3\cdot 37=111$. Verificare: pentru $r=5$ termenii 32, 37, 42 au suma 111, iar pentru $r=0$ termenii 37, 37, 37 au tot suma 111.

12. a) $a_{24}=1450+23\cdot 20=1910$ lei. b) $S_{24}=\frac{24\cdot (1450+1910)}{2}=12\cdot 3360=40320$ lei. Verificare la b): $a_{12}+a_{13}=1670+1690=3360$ lei, cât $a_1+a_{24}$. c) $1450+20(n-1)>1800$ dă $n-1>17,5$, deci $n-1\ge 18$ și $n=19$. Verificare: $a_{18}=1450+17\cdot 20=1790$ lei, sub 1 800 lei, iar $a_{19}=1810$ lei.

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), progresia aritmetică se cere la începutul Subiectului I, în prima cerință, care valorează 5 puncte; în probele oficiale 2013–2026 a apărut în 9 probe. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele în care apare:

• Iunie 2026, Subiectul I, exercițiul 1: se dau primii doi termeni, $a_1$ și $a_2$, iar cerința este $a_3$, deci pasul 2 din Metodă dă rația ca diferență a doi termeni vecini (3 puncte în baremul probei), iar pasul 3 dă termenul căutat (2 puncte).
• Simularea din 2022, Subiectul I, exercițiul 1: se dau doi termeni vecini, $a_3$ și $a_4$, iar cerința este primul termen, $a_1$, deci rația iese la pasul 2 (2 puncte în baremul probei), iar întoarcerea cu doi pași înapoi, $a_1=a_3-2r$, se face la pasul 3 (3 puncte).
• Modelul din 2023, Subiectul I, exercițiul 1: se dau doi termeni care nu sunt vecini, $a_2$ și $a_6$, iar cerința este $a_1$, deci la pasul 2 contează numărul de pași dintre ei: baremul probei scrie $a_6=a_2+4r$ (3 puncte pentru rație), apoi $a_1=a_2-r$ la pasul 3 (2 puncte).
• Simularea din 2014, Subiectul I, exercițiul 1: se dă un singur termen, $a_2$, iar cerința este suma primilor trei termeni, deci ajută scurtătura din pasul 4: baremul probei scrie suma ca $(a_2-r)+a_2+(a_2+r)$ (3 puncte), apoi $=3a_2$ și rezultatul numeric (2 puncte).

Toate cele nouă cerințe sunt scurte și au numere mici, deci greutatea nu e în calcul, ci în felul în care îl scrii. Notează formula pe care o folosești, rația cu semnul ei și apoi termenul, fiecare pe rândul lui. Exercițiile 9–11 din lecția aceasta au exact aceste forme.

Greșeli care costă puncte

• Scrii $a_n=a_1+n\cdot r$, fără $-1$ → cum o prinzi: pui $n=1$ în formulă, care trebuie să dea chiar $a_1$; cu $n\cdot r$ ți-ar da $a_1+r$.
• Scazi în ordinea greșită, $a_1-a_2$ în loc de $a_2-a_1$ → cum o prinzi: la un șir care scade rația trebuie să iasă negativă, așa că verifică semnul pe primii doi termeni.
• La doi termeni care nu sunt vecini împarți la numărul de termeni dintre ei, nu la numărul de pași → cum o prinzi: împarți la $m-k$, care numără pașii, nu termenii.
• Dai direct rezultatul, fără rație și fără formula folosită → cum o prinzi: scrie rația pe un rând separat, ca în soluțiile oficiale de mai sus.
• Rotunjești în jos, sau lași egalitatea să treacă drept „depășire”, când cauți primul termen care depășește o valoare → cum o prinzi: calculezi termenul găsit și pe cel dinainte; primul trebuie să fie strict peste valoare, al doilea nu.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, progresia aritmetică face parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen o așază în clasa a IX-a). În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 9 probe.

Întrebări frecvente

Cum verifici graficul de rambursare primit de la bancă? Faci două probe. Întâi, la un credit cu capital egal, diferențele dintre ratele vecine trebuie să fie toate egale. Apoi scazi suma împrumutată din totalul ratelor: rămâne dobânda totală, care trebuie să fie 1% din suma tuturor soldurilor. La creditul din lecție, $19170-18000=1170$ lei, adică exact 1% din 117 000 lei.

Se cere progresia aritmetică la Bacalaureatul M3? Da. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 9 probe, de fiecare dată la prima cerință din Subiectul I, cu 5 puncte. Se cere un termen sau suma primilor trei termeni, pornind de la doi termeni, de la un termen și rație sau doar de la termenul din mijloc.

Ratele oricărui credit formează o progresie aritmetică? Nu. La creditul cu capital egal, ca în lecție, rata scade lunar cu aceeași sumă, deci rația e negativă. La creditul cu rate egale, rata e aceeași în fiecare lună: șirul ratelor e tot o progresie aritmetică, dar cu rația zero. La un credit cu dobândă variabilă, rata se modifică odată cu indicele de referință, deci diferențele nu mai rămân egale.

Ce se schimbă dacă firma ia creditul pe 24 de luni? Capitalul returnat lunar scade la 750 lei, deci prima rată devine $750+180=930$ lei, iar rata scade lunar cu 1% din 750 lei, deci rația devine −7,5 lei. Rata e mai mică, dar soldurile rămân mai mult timp: suma lor este $\frac{24\cdot (18000+750)}{2}=225000$, iar dobânda totală, 1% din ea, ajunge la 2 250 lei, aproape dublu față de 1 170 lei.

Cât plătește firma în lunile 5–12 ale creditului? Numeri lunile cu ambele capete: $12-5+1=8$ rate, nu 7; cu $12-5$ ai număra doar pașii dintre luni, nu lunile. Rata din luna 5 este $a_5=1680+4\cdot (-15)=1620$ lei, cea din luna 12 este 1 515 lei, deci în aceste opt luni firma plătește $\frac{8\cdot (1620+1515)}{2}=12540$ lei.

Pot folosi formula sumei dacă nu cunosc ultimul termen? Da, dar întâi îl afli cu $a_n=a_1+(n-1)r$ și abia apoi îl pui în $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$. De pildă, dacă $a_1=7$, $r=4$ și vrei suma primilor 9 termeni, calculezi $a_9=7+8\cdot 4=39$, iar apoi $S_9=\frac{9\cdot (7+39)}{2}=207$. Fără $a_9$ nu ai ce înlocui în sumă.