Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Progresia geometrică: rația și treptele

De ce fiecare treaptă în plus curăță mai puțin?

Fiecare treaptă reține aceeași parte, dar dintr-o valoare tot mai mică, așa că fiecare cantitate reținută este cea de dinainte înmulțită cu rația. Exemplu: de la $450$ mg/l, cu rația $0, 8$ , primele trei trepte rețin $90$ , $72$ și $57, 6$ mg/l, iar a zecea ar mai reține doar circa $12, 1$ mg/l. Proba: $90 + 72 + 57, 6 = 219, 6$ , adică $450 - 450 \cdot 0, 8^{3}$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a IX-a → ·

Progresia geometrică descrie o mărime care se înmulțește, la fiecare etapă, cu același număr $q$ , numit rație: $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$ . Când etapa elimină o parte din valoare, $q$ este partea care rămâne, un număr între $0$ și $1$ ; când valoarea crește cu un procent, $q$ depășește $1$ . Pe un șir de măsurători o recunoști după raportul constant dintre vecini, nu după diferența constantă.

Termenul de rang $n$ este $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ , iar după $k$ etape valoarea este $b_{1} \cdot q^{k}$ . Dacă ai doi termeni la $m - k$ pași, $q^{m - k} = \frac{b _{m}}{b _{k}}$ : cu pași impari între termeni, ecuația în $q$ are o singură soluție reală, iar cu pași pari are două și o păstrezi pe cea al cărei semn se potrivește mărimii. Totalul a $n$ termeni este $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ , pentru $q \neq = 1$ .

Cele mai frecvente greșeli: exponentul luat egal cu numărul punctului de măsurare, adunarea unor concentrații din puncte diferite, folosirea unui model cu diferență constantă și oprirea la ultima valoare peste prag, nu la prima aflată sub el.

Controlul se face în două feluri: pentru $n = 1$ formula trebuie să redea primul termen, iar rația calculată dintr-o altă pereche de termeni trebuie să iasă la fel. La final scrii unitatea mărimii.

De reținut

valoarea după $k$ trepte este $b_{1} \cdot q^{k}$
valorile reținute de trepte formează o progresie geometrică cu aceeași rație
la „cel mult” o valoare egală cu limita o respectă

Greșeala tipică

Se crede că fiecare treaptă reține aceeași cantitate: cu $90$ mg/l reținuți de prima treaptă, după trei trepte s-ar socoti $270$ mg/l. Corect, treptele rețin $90$ , $72$ și $57, 6$ mg/l, adică $219, 6$ mg/l.

Exerciții din această mini-lecție

Un filtru de motor reține $20$ % din particulele din aerul care îl străbate, iar mai multe filtre identice se montează în serie. Concentrația particulelor după fiecare filtru formează o progresie geometrică. Care este rația ei?
- a) $0, 2$
- b) $1, 25$
- c) $0, 8$
- d) $80$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 8$

Dacă filtrul reține $20$ %, prin el trec $80$ %, deci concentrația se înmulțește cu $0, 8$ la fiecare filtru, iar $q = 0, 8$ . Varianta $0, 2$ este partea reținută, nu cea care trece mai departe, iar $1, 25$ este raportul răsturnat, $\frac{1}{0 , 8}$ . Varianta $80$ lasă procentul neconvertit în zecimală.
O clădire are nivelurile retrase: parterul, care este primul nivel, are $640$ m², iar fiecare nivel următor are $75$ % din suprafața nivelului de dedesubt. Ce suprafață are nivelul $4$ ?
- a) $270$ m²
- b) $202, 5$ m²
- c) $480$ m²
- d) $160$ m²
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $270$ m²

De la primul la al patrulea nivel sunt $3$ treceri, deci suprafața este $640 \cdot 0, 7 5^{3} = 640 \cdot 0, 421875 = 270$ m². Varianta $202, 5$ m² folosește exponentul $4$ , adică numără nivelurile, nu trecerile de la un nivel la altul. Varianta $480$ m² aplică $75$ % o singură dată, $640 \cdot 0, 75$ , fără exponent, iar $160$ m² scade aceeași suprafață la fiecare nivel, adică folosește un model aritmetic.
Un tractor second-hand valorează $120000$ de lei după $2$ ani de la cumpărare și $97200$ de lei după $4$ ani. În fiecare an valoarea scade cu același procent din valoarea anului precedent. Cu ce număr se înmulțește valoarea de la un an la următorul?
- a) $0, 81$
- b) $- 0, 9$
- c) $0, 93$
- d) $0, 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $0, 9$

Între anul $2$ și anul $4$ sunt $2$ pași, deci $q^{2} = \frac{97200}{120000} = 0, 81$ , iar valoarea scade, așadar $q = 0, 9$ . Varianta $0, 81$ este raportul pe doi ani, nu cel de la un an la următorul, iar $- 0, 9$ păstrează și rădăcina negativă. Varianta $0, 93$ numără $3$ pași, adică $4 - 2 + 1$ , în loc de $2$ .

Întrebări conexe

Când limita cade exact pe o valoare, se numără etapa respectivă?

Da, dacă enunțul spune „cel mult”, pentru că o valoare egală cu limita o respectă. Pentru intrarea de $360$ mg/l, rația $0, 5$ și limita de $45$ mg/l, valorile sunt $180$ , $90$ și $45$ : ajung $3$ trepte. La „sub $45$ ” ar fi fost nevoie de a patra, cu $22, 5$ mg/l.

Rotunjesc valorile după fiecare treaptă?

Nu, rotunjești numai ultima valoare scrisă, altfel eroarea se adună. Cu intrarea de $90$ mg/l și rația $0, 6$ , valorile exacte sunt $54$ ; $32, 4$ ; $19, 44$ ; $11, 664$ . Rotunjite la întregi la fiecare pas, ar da $54$ , $32$ , $19$ și $11$ , deci a patra valoare ar fi $11$ , nu $11, 664$ .

Contează ordinea treptelor dacă rețin părți diferite?

Nu, fiindcă ieșirea este intrarea înmulțită cu toate părțile care trec, iar la înmulțire ordinea nu contează. Pentru trepte care rețin $40$ %, $25$ % și $10$ %, din $200$ mg/l rămân $200 \cdot 0, 6 \cdot 0, 75 \cdot 0, 9 = 81$ mg/l în orice ordine. Șirul valorilor nu mai este însă o progresie geometrică.

Ce se schimbă la ieșire dacă intrarea se dublează?

Toate valorile din linie se dublează, fiindcă fiecare este intrarea înmulțită cu o putere a rației. Cu rația $0, 75$ și $2$ trepte, intrarea de $320$ mg/l dă la ieșire $320 \cdot 0, 7 5^{2} = 180$ mg/l, iar intrarea de $640$ mg/l dă $360$ mg/l. Raportul dintre ieșire și intrare rămâne $0, 5625$ .

Cum apare progresia geometrică în probele oficiale?

Progresia geometrică a apărut în 1 probă M_tehnologic din 2013–2026, în Subiectul I. Cerința dă doi termeni și cere rația, deci scrii relația dintre ei cu $q^{m - k}$ și rezolvi ecuația în $q$ .

Oamenii mai întreabă și: de ce a doua treaptă reține mai puțin decât prima · cantitatea reținută de fiecare treaptă de epurare · progresia valorilor reținute pe trepte · cât mai curăță o treaptă în plus