Progresia geometrică în epurarea apei, tehnologic

O lagună dintr-o stație de epurare nu scoate din apă aceeași cantitate de poluant la fiecare trecere, ci aceeași parte din cât primește. De aceea valorile măsurate din lagună în lagună nu scad cu un număr fix, ci se înmulțesc cu același număr subunitar: ele formează o progresie geometrică. Pe datele unei stații de epurare afli câte lagune îi trebuie apei ca să respecte o limită, cu progresiile din matematica de clasa a IX-a, profil tehnologic. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), progresia geometrică a fost cerută într-o singură probă din 2013–2026.

Situația de pornire

O comună de munte cu 3 600 de locuitori are o stație de epurare în care apa uzată trece printr-un șir de lagune de același volum, legate în serie, adică trepte de epurare succesive: apa iese dintr-una și intră în următoarea. Laboratorul măsoară încărcarea cu materie organică prin CBO5, consumul biochimic de oxigen, în miligrame pe litru (mg/l); o valoare mare înseamnă apă mai poluată. Debitul mediu al apelor uzate este de 546 m³ pe zi. Autorizația de evacuare a fost schimbată și cere acum, în exemplul de față, cel mult 80 mg/l la ieșire. Stația are trei lagune, iar la ieșire limita nu se respectă. Tehnicianul a notat trei valori.

Primăria poate adăuga lagune identice la capătul liniei, dar vrea să știe câte, înainte să comande lucrarea.

Întrebare: care este CBO5 după a doua lagună, câte lagune în serie sunt necesare pentru cel mult 80 mg/l la ieșire și câte kilograme de CBO5 pe zi îndepărtează linia de lagune în total?

De la situație la model

Tabelul traduce cuvintele tehnicianului în cuvinte din matematică.

O progresie geometrică este un șir de numere nenule în care fiecare termen se obține înmulțind termenul dinainte cu același număr $q$, numit rația:

$$b_{n+1}=b_n\cdot q$$

La $b_1>0$, dacă $0<q<1$ valorile scad și rămân pozitive, dacă $q>1$ cresc, iar dacă $q<0$ semnele alternează.

De ce nu scad valorile cu un număr fix?

Cu cât apa e mai încărcată, cu atât se depune sau se consumă mai mult într-o lagună. Prima lagună, care primește 594 mg/l, scoate 198 mg/l, iar a doua, care primește doar 396 mg/l, scoate 132 mg/l. Rămâne la fiecare aceeași parte din ce a intrat, două treimi: raportul e constant, diferența nu. De aceea nu merge aici ce știi din lecția despre progresia aritmetică: rate și salarii. Ipoteza „aceeași parte în fiecare lagună” e o aproximare, verificată în practică printr-o măsurătoare la mijlocul liniei.

Cum afli rația?

Din doi termeni vecini, $q=\frac{396}{594}=\frac{2}{3}$. Din doi termeni mai îndepărtați, numeri pașii: de la intrare la ieșirea din laguna 3 sunt trei pași, fiecare cu o înmulțire cu $q$, deci

$$q^3=\frac{b_4}{b_1}=\frac{176}{594}=\frac{8}{27}$$

iar $\frac{8}{27}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3$, deci $q=\frac{2}{3}$ și pe acest drum. Cele două rații coincid: măsurătoarea de la ieșire confirmă ipoteza. Când numărul de pași e impar, ecuația $q^3=\frac{8}{27}$ are o singură soluție reală. Când e par, o ecuație ca $q^2=c$, cu $c>0$, are două soluții, $q=\pm \sqrt{c}$, iar la o concentrație, care nu poate fi negativă, o păstrezi pe cea pozitivă.

Cum afli valoarea după $k$ lagune și numărul de lagune?

Fiecare lagună înmulțește valoarea cu $q$ o dată, deci după $k$ lagune valoarea este $b_1\cdot q^k$, adică termenul $b_{k+1}$. După două lagune, $594\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=264$ mg/l. Ecuațiile cu necunoscuta la exponent vin mai târziu, în lecția funcția exponențială și deprecierea valorii; aici scrii valorile pe rând, într-un tabel, până treci de limită, și compari și ultima valoare de dinainte.

Ce poți aduna și ce nu?

Concentrațiile din puncte diferite nu se adună: $594+396$ nu e nimic măsurabil. Se adună cantitățile scoase de lagune. Laguna $k$ scoate $b_k-b_{k+1}$, adică $(1-q)b_k$: 198, 132, 88, ... mg/l, deci cantitățile scoase formează tot o progresie geometrică, cu aceeași rație. Suma celor scoase de $n$ lagune se obține și direct, prin reducerea termenilor vecini: $b_1-b_{n+1}$. Cu $S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$ rezultă $(1-q)S_n=b_1-b_{n+1}=b_1-b_1{q}^n$, de unde, pentru orice progresie geometrică,

$$S_n=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}(q\ne 1)$$

Metoda pas cu pas

1. Hotărăște ce se păstrează de la un pas la altul: aceeași parte din valoarea dinainte înseamnă progresie geometrică. Notează $b_1$, prima valoare măsurată.
2. Află rația. Din doi vecini, $q=\frac{b_{k+1}}{b_k}$. Din doi termeni la $m-k$ pași, $q^{m-k}=\frac{b_m}{b_k}$. Dacă ai un al treilea termen, verifică rația și cu el.
3. Scrie valoarea după $k$ lagune, $b_1\cdot q^k$. Pentru o limită, scrie valorile una după alta până treci de ea și compară și valoarea imediat anterioară.
4. Dacă ți se cere un total, adună doar mărimi care se adună, adică cantitățile îndepărtate, cu $S_n=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$.
5. Verifică pe alt drum: totalul îndepărtat trebuie să fie diferența dintre intrare și ieșire, iar rația trebuie să iasă la fel din două perechi de termeni.

Fișa de buzunar

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

$$q^{m-k}=\frac{b_m}{b_k}$$

$$S_n=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$$

Se aplică numai la termeni nenuli cu același raport între vecini, iar suma are această formă la $q\ne 1$. Între doi termeni la un număr impar de pași rația reală e unică; la un număr par ai două și alegi după semnul mărimii. Verificare rapidă: la $n=1$ prima formulă dă $b_1$, iar rația trebuie să iasă la fel din două perechi de termeni.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Linia de lagune a comunei

Domeniu: mediu.

Enunț. Reia stația din situația de pornire: CBO5 este 594 mg/l la intrare, 396 mg/l la ieșirea din laguna 1 și 176 mg/l la ieșirea din laguna 3; debitul este 546 m³ pe zi, iar limita la ieșire este 80 mg/l. a) Aflați CBO5 după a doua lagună. b) Aflați câte lagune în serie sunt necesare pentru cel mult 80 mg/l. c) Aflați câte kilograme de CBO5 pe zi îndepărtează ele.

Rezolvare. a) Rația este $q=\frac{396}{594}=\frac{2}{3}$, deci după a doua lagună $b_3=396\cdot \frac{2}{3}=264$ mg/l.

b) Valorile pe rând, după 0, 1, 2, ... lagune, sunt 594; 396; 264; 176; 117,3; 78,2 mg/l. După 4 lagune CBO5 este 117,3 mg/l, peste limită; după 5 lagune este $594\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^5=78,2$ mg/l, sub 80. Sunt necesare 5 lagune, adică încă două față de cele existente.

c) Un miligram pe litru este un gram pe metru cub. Cele 5 lagune scot cantitățile 198, 132, 88, 58,7 și 39,1 mg/l, o progresie geometrică cu primul termen 198 și $q=\frac{2}{3}$:

$$S_5=198\cdot \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^5}{1-\frac{2}{3}}=515,78$$

Cu debitul de 546 m³ pe zi, $515,78\cdot 546\approx 281600$ g, adică 281,6 kg de CBO5 îndepărtat pe zi.

Capcană. Cine vede că prima lagună scoate 198 mg/l și crede că fiecare scoate tot 198 obține 594, 396, 198 și 0: după a treia lagună n-ar mai rămâne nimic, deși laboratorul a măsurat 176 mg/l. Valorile următoare ar ieși negative, semn că ai ales greșit modelul: cantitatea scoasă scade, partea rămasă nu.

Verificare. Rația iese $\frac{2}{3}$ și din intrare și ieșirea din laguna 3, prin $q^3=\frac{176}{594}=\frac{8}{27}$. Totalul se verifică separat: intrarea minus ieșirea din laguna 5 dă $594-78,2=515,8$ mg/l, adică aceeași valoare ca suma cantităților scoase.

Exemplul 2 — Mana pe parcela unui viticultor

Domeniu: agricol.

Enunț. Un viticultor controlează în fiecare săptămână o parcelă de 2 400 de butuci. În prima săptămână de control a găsit 32 de butuci cu pete de mană, iar în a doua săptămână 48. Pe vreme umedă, numărul butucilor afectați se înmulțește cu același număr în fiecare săptămână. a) Câți butuci sunt afectați în săptămâna a patra? b) Dacă boala nu ar fi oprită, în a câta săptămână ar fi afectați peste 10 % din butuci, adică peste 240? c) Câți butuci se îmbolnăvesc în plus, în total, până în săptămâna a șasea?

Rezolvare. a) Rația este $q=\frac{48}{32}=\frac{3}{2}$. Săptămâna $n$ are rangul $n$, deci $b_3=48\cdot \frac{3}{2}=72$ și $b_4=72\cdot \frac{3}{2}=108$ butuci.

b) Valorile pe săptămâni sunt 32, 48, 72, 108, 162 și 243. Pragul de 240 se depășește pentru prima dată în săptămâna a șasea, cu 243 de butuci; în săptămâna a cincea sunt 162.

c) Numărul butucilor noi, de la o săptămână la alta, e 16, 24, 36, 54 și 81, o progresie geometrică cu $b_1=16$ și $q=\frac{3}{2}$:

$$S_5=16\cdot \frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^5-1}{\frac{3}{2}-1}=211$$

În plus se îmbolnăvesc 211 butuci.

Capcană. Cine ia săptămâna $n$ drept exponent scrie $b_4=32\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^4=162$, în loc de 108. Pragul de 240 ar părea trecut în săptămâna a cincea, deci prognoza ar greși cu o săptămână. De la prima săptămână până la săptămâna $n$ sunt $n-1$ pași, deci exponentul e $n-1$.

Verificare. În săptămâna a șasea sunt 243 de butuci, adică 10,1 % din 2 400, iar în a cincea 162, adică 6,75 %. Totalul din c) se verifică prin $243-32=211$.

Exemplul 3 — Fondul de reparații al unei asociații

Domeniu: economic.

Enunț. O asociație de proprietari depune la începutul fiecărui an, timp de 6 ani, câte 5 380 de lei într-un cont cu dobândă compusă de 3,4 % pe an, adăugată la sfârșitul anului (date din exemplu). Acoperișul blocului costă 36 000 de lei. a) Cât are asociația în cont la sfârșitul anului al șaselea, rotunjit la bani? b) Ajunge suma pentru acoperiș?

Rezolvare. Procentul se transformă în factor: $1+\frac{3,4}{100}=1,034$. Prima depunere rămâne 6 ani în cont și valorează $5380\cdot 1,034^6$; a doua rămâne 5 ani; ultima rămâne un singur an, deci valorează $5380\cdot 1,034$. Scrise de la ultima la prima, cele șase valori sunt o progresie geometrică cu $b_1=5380\cdot 1,034=5562,92$ și $q=1,034$:

$$S_6=5562,92\cdot \frac{1,034^6-1}{1,034-1}=36346,55$$

Asociația are 36 346,55 lei, cu 346,55 lei peste prețul acoperișului: suma ajunge.

Capcană. Cine uită că depunerea e la început de an ia ca prim termen 5 380, nu 5 562,92, și obține 35 151,40 lei. Ar crede că 36 000 de lei nu se strâng în 6 ani, deși ultima depunere primește și ea dobânda anului ei.

Verificare. Pe alt drum, an cu an, cu rotunjire la bani: $5380\cdot 1,034=5562,92$; $(5562,92+5380)\cdot 1,034=11314,98$; apoi 17 262,61; 23 412,46; 29 771,40 și 36 346,55 lei. Rezultatul e același.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: rația din doi termeni

Domeniu: mecanica.

Enunț. Pe lucrare poți primi, cu numere schimbate, o cerință ca aceasta: „Calculați rația progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $b_1=56$ și $b_4=189$.” Datele pot veni de la trepte de turație, în rot/min, ale unei mașini de găurit cu coloană și cutie de viteze.

Rezolvare. Așa scrii pe lucrare. Între $b_1$ și $b_4$ sunt trei pași: $b_4=b_1\cdot q^3$, adică $189=56\cdot q^3$. Rezultă $q^3=\frac{189}{56}=\frac{27}{8}$, iar cum $\frac{27}{8}={\left(\frac{3}{2}\right)}^3$, rația este $q=\frac{3}{2}$. Cu ea, turațiile ar fi 56, 84, 126 și 189 rot/min.

Capcană. Cine scrie $q=\frac{189}{56}=3,375$ a împărțit cei doi termeni ca și cum ar fi vecini. Între ei sunt trei pași, deci raportul lor este $q^3$, nu $q$.

Verificare. $56\cdot \frac{3}{2}=84$, apoi $84\cdot \frac{3}{2}=126$, apoi $126\cdot \frac{3}{2}=189$: ajungi la $b_4$ cu trei înmulțiri.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Un laborator notează CBO5, în mg/l, în patru puncte succesive ale unei linii de lagune identice. Care dintre serii pot proveni dintr-o asemenea linie? Pentru cele care pot, scrie rația. a) 686; 392; 224; 128. b) 640; 480; 320; 160. c) 54; 36; 24; 16.

2. Prima valoare măsurată este 1 458 mg/l, iar fiecare lagună lasă să treacă o treime din ce primește. Scrie valorile din primele cinci puncte de măsurare și spune după câte lagune ai ajuns în al cincilea punct.

3. Calculează suma primilor 5 termeni ai progresiei geometrice cu $b_1=7$ și $q=4$.

4. Într-o progresie geometrică, $b_2=72$ și $b_5=243$. Calculează rația și $b_1$.

Nivelul 2 — situații

5. Pentru o apă cu CBO5 de 378 mg/l la intrare, primăria compară două linii de lagune. Varianta A are 4 lagune, fiecare îndepărtând 30 % din ce primește; varianta B are 3 lagune, fiecare îndepărtând 40 %. a) Care variantă dă la ieșire valoarea mai mică și cu cât? b) De ce nu dau cele două variante același rezultat, deși $4\cdot 30=3\cdot 40$?

6. Într-un iaz de creștere a puietului de crap sunt 8 400 de pui. În fiecare lună se pierde 12 % din efectivul de la începutul lunii. a) Câți pui rămân după 6 luni, rotunjit la unități? b) După câte luni coboară efectivul sub 5 000?

7. Un furnizor de ambalaje își majorează prețurile cu 3,8 % în fiecare trimestru față de trimestrul precedent. O cutie costă acum 2,80 lei. a) Cât va costa peste 8 trimestre, rotunjit la bani? b) După câte trimestre depășește prețul 3,60 lei?

8. O soluție de hipoclorit păstrată la lumină pierde în fiecare zi aceeași parte din substanța activă. Laboratorul găsește în probă 450 mg de substanță activă după 2 zile și 162 mg după 4 zile de la preparare. a) Calculează rația zilnică. b) Ce masă de substanță activă avea soluția în ziua preparării? c) Câte miligrame se pierd în total în primele 4 zile?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați rația progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $b_1=9$ și $b_4=576$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați rația progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $b_2=40$ și $b_5=-5$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Calculați rația progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, cu termeni pozitivi, știind că $b_2=18$ și $b_4=98$.

12. (Sinteză.) Bateria unui motostivuitor are în fiecare an capacitatea de 96 % din cea a anului precedent, iar energia livrată pe an scade în același raport. Bateria nouă livrează 18 000 kWh în primul an. a) Calculează energia livrată în anul al cincilea, rotunjită la kWh. b) În al câtelea an coboară energia livrată sub 80 % din cea din primul an? c) Calculează energia livrată în total în primii 6 ani, rotunjită la kWh.

Răspunsuri și verificări

1. a) Poate, cu $q=\frac{4}{7}$: $\frac{392}{686}=\frac{224}{392}=\frac{128}{224}=\frac{4}{7}$. b) Nu: scad cu câte 160 mg/l, iar rapoartele $\frac{3}{4}$, $\frac{2}{3}$ și $\frac{1}{2}$ diferă. c) Poate, cu $q=\frac{2}{3}$. Verificare: la a), $686\cdot \frac{4}{7}=392$.

2. Valorile: 1 458; 486; 162; 54; 18 mg/l. Al cincilea punct vine după 4 lagune. Verificare: $1458\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^4=18$.

3. $S_5=7\cdot \frac{4^5-1}{4-1}=2387$. Verificare: prin adunare directă, $7+28+112+448+1792=2387$.

4. Din $q^3=\frac{243}{72}=\frac{27}{8}$ rezultă $q=\frac{3}{2}$, iar $b_1=\frac{72}{q}=48$. Verificare: $48\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^4=243$.

5. a) A dă $378\cdot 0,7^4=90,8$ mg/l, B dă $378\cdot 0,6^3=81,6$ mg/l: varianta B e mai bună, cu 9,1 mg/l. b) Procentele nu se adună: factorii se înmulțesc, fiindcă fiecare lagună scoate o parte din ce a rămas. Verificare: pe lagune, A dă 264,6; 185,2; 129,7; 90,8, iar B 226,8; 136,1; 81,6 mg/l.

6. Factorul lunar este 0,88 (rămâne 88 %). a) $8400\cdot 0,88^6=3901$ pui. b) După 4 luni mai sunt 5 037 de pui, după 5 luni 4 433: sub 5 000 după 5 luni. Verificare: pe luni, rotunjit, 7 392; 6 505; 5 724; 5 037; 4 433; 3 901.

7. Factorul este 1,038. a) $2,80\cdot 1,038^8=3,77$ lei. b) După 6 trimestre prețul e 3,50 lei, după 7 e 3,64 lei: depășește 3,60 lei după 7 trimestre. Verificare: pe trimestre, la bani, 2,91; 3,02; 3,13; 3,25; 3,37; 3,50; 3,64 lei.

8. a) Doi pași, de la ziua 2 la ziua 4: $q^2=\frac{162}{450}=\frac{9}{25}$, iar masa nu e negativă, deci $q=\frac{3}{5}$. b) $\frac{450}{q^2}=1250$ mg. c) $1250-162=1088$ mg. Verificare: pe zile se pierd 500, 300, 180, 108 mg, în total 1 088 mg.

9. Din $b_4=b_1\cdot q^3$ rezultă $576=9\cdot q^3$. Atunci $q^3=64$, deci $q=4$. Verificare: $9\cdot 4^3=576$.

10. Între $b_2$ și $b_5$ sunt trei pași, deci $b_5=b_2\cdot q^3$ și $-5=40\cdot q^3$. Atunci $q^3=-\frac{1}{8}$, deci $q=-\frac{1}{2}$, singura soluție reală. Verificare: $40\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-5$.

11. Între $b_2$ și $b_4$ sunt doi pași, deci $b_4=b_2\cdot q^2$ și $q^2=\frac{98}{18}=\frac{49}{9}$. Rezultă $q=\pm \frac{7}{3}$, iar termenii fiind pozitivi, $q=\frac{7}{3}$. Verificare: $18\cdot \frac{7}{3}\cdot \frac{7}{3}=98$.

12. Factorul anual este 0,96, iar energia din anul $n$ este $18000\cdot 0,96^{n-1}$. a) Anul 5: $18000\cdot 0,96^4=15288$ kWh. b) Pragul: 80 % din 18 000 = 14 400 kWh. Anul 6 dă $18000\cdot 0,96^5=14677$ kWh, peste prag, anul 7 dă $18000\cdot 0,96^6=14090$ kWh, sub prag: anul al șaptelea. c) $S_6=18000\cdot \frac{1-0,96^6}{1-0,96}=97759$ kWh. Verificare: pe ani, rotunjit, 18 000; 17 280; 16 589; 15 925; 15 288; 14 677 kWh, cu suma 97 759 kWh.

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), progresia geometrică a apărut în probele oficiale 2013–2026 într-o singură probă din cele 83, față de 9 probe la progresia aritmetică. Programa de examen trece progresiile aritmetice și geometrice, termenul general și suma primilor $n$ termeni în blocul „Șiruri” al clasei a IX-a, alături de condiția ca trei numere să fie în progresie, la care ajungi în lecția trei numere în progresie: condiția.

• Simularea din 2018, Subiectul I, exercițiul 1: se dau primul și al patrulea termen, $b_1=3$ și $b_4=24$, iar cerința este rația, deci pasul 2 din Metodă o dă prin $q^3=\frac{b_4}{b_1}$: baremul probei acordă 3 puncte pentru $b_1{q}^3=24$ și $q^3=8$ și 2 puncte pentru $q=2$.

Cerința e scurtă, iar greutatea nu stă în calcul, ci în numărul de pași: între $b_1$ și $b_4$ sunt trei, nu patru și nu unul. Scrie întâi relația dintre cei doi termeni, apoi ecuația pentru $q$ și la sfârșit rația cu valoarea ei. Exercițiile 9–11 repetă această formă, cu trei perechi diferite de termeni: una cu rație întreagă, una cu rație negativă și una cu un număr par de pași între termeni. Suma primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice e în programă, dar indexul nu are nicio cerință pe ea; o exersezi la exercițiile 3, 8 și 12, iar termenul general la exercițiile 4, 6 și 12. Celelalte teme ale clasei sunt în toate temele clasei a IX-a, la tehnologic.

Greșeli care costă puncte

• Scrii valoarea după $k$ lagune ca $b_1\cdot k\cdot q$, în loc de $b_1\cdot q^k$ → cum o prinzi: la două lagune faci două înmulțiri succesive cu $q$, iar $594\cdot 2\cdot \frac{2}{3}=792$ depășește chiar intrarea, deși valoarea trebuie să scadă.
• Pui exponentul egal cu numărul punctului de măsurare, nu cu numărul lagunelor traversate → cum o prinzi: la zero lagune trebuie să obții chiar $b_1$.
• Aduni concentrațiile din puncte diferite ca să afli cât s-a curățat → cum o prinzi: totalul îndepărtat se compară cu diferența dintre intrare și ieșire.
• Presupui că fiecare lagună scoate aceeași cantitate, deci aplici modelul cu diferență constantă → cum o prinzi: verifici un al treilea punct măsurat; după trei lagune ai obține 0, nu cei 176 mg/l măsurați.
• Alegi ultimul rând peste limită, nu primul sub ea → cum o prinzi: 117,3 mg/l vine după 4 lagune și e peste 80; limita se respectă abia la 78,2 mg/l, după 5 lagune.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); pentru ei, progresia geometrică face parte din programa de examen (Subiectul I; programa de examen o așază în clasa a IX-a). În probele oficiale 2013–2026 a apărut într-o singură probă.

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă cu CBO5 dacă a patra lagună e mai mică și îndepărtează doar 20 %? Nu mai ai progresie geometrică, fiindcă raportul se schimbă. După a treia lagună valoarea e 176 mg/l, iar a patra lasă să treacă 80 %: $176\cdot 0,8=140,8$ mg/l. Ieșirea e mai mare decât cei 117,3 mg/l ai variantei cu lagune identice.

Pot aduna cele șase valori din schema liniei ca să aflu cât s-a curățat? Nu. Fiecare valoare e o concentrație dintr-un alt punct, iar suma lor nu măsoară nimic. Aduni cantitățile scoase de fiecare lagună, 198, 132, 88, 58,7 și 39,1 mg/l, adică 515,8 mg/l. Aceeași valoare o obții scăzând ieșirea din intrare: $594-78,2=515,8$ mg/l.

Cum aflu câte kilograme de CBO5 intră în stație într-o zi? Transformi unitățile: 594 mg/l înseamnă 594 g/m³, iar debitul este 546 m³ pe zi. Înmulțești, $594\cdot 546=324324$ g pe zi, apoi împarți la 1 000 și obții 324,3 kg pe zi. Aceeași conversie o faci la ieșire, ca să afli cât rămâne.

Câte lagune sunt necesare dacă limita scade de la 80 la 60 mg/l? Continui tabelul de valori. După 5 lagune ai 78,2 mg/l, încă peste 60, iar după 6 lagune $594\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^6=52,1$ mg/l, sub 60. Sunt necesare 6 lagune, una în plus față de varianta cu limita de 80 mg/l.

Ce cerință pe tema progresiei geometrice apare la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? În indexul cerințelor făcut din cele 83 de probe oficiale 2013–2026 apare într-o singură cerință, la Subiectul I, în simularea din 2018: se dau doi termeni și se cere rația. Programa de examen include și termenul general și suma primilor $n$ termeni, deci și ele pot fi cerute.

Lagunele reale chiar îndepărtează aceeași parte din poluant? Doar aproximativ. La lagune de același volum și în condiții apropiate, partea rămasă e apropiată, dar nu identică. De aceea rația se verifică pe un al treilea punct măsurat, iar dacă iese diferită, modelul se corectează.