Cum calculez (x1+x2)(x2+x3)(x3+x1) cu Viète?

O ecuație de gradul al treilea, cu coeficienții $a$, $b$, $c$, $d$ (de la puterea cea mai mare la termenul liber), are rădăcinile $x_1,x_2,x_3$, iar relațiile lui Viète le leagă de coeficienți: suma lor este $-\frac{b}{a}$, suma produselor câte două este $\frac{c}{a}$, iar produsul este $-\frac{d}{a}$. Le notezi $S_1$, $S_2$, $S_3$; la un polinom cu primul coeficient $1$ semnele sunt $-$, $+$, $-$.

Pentru rădăcinile înseși cauți una printre divizorii termenului liber, o verifici cu tabelul lui Horner, apoi rezolvi trinomul rămas. Dacă o rădăcină este cunoscută, celelalte două au suma $S_1$ minus ea și produsul $S_3$ împărțit la ea. Când primul coeficient nu este $1$, încerci gruparea termenilor.

Multe cerințe nu cer rădăcinile: suma pătratelor este pătratul lui $S_1$ minus dublul lui $S_2$, iar suma inverselor este $\frac{S_2}{S_3}$. Un parametru se află punând condiția din enunț cu $S_1$, $S_2$, $S_3$, care îl conțin, apoi rezolvând ecuația.

Capcana principală este semnul produsului; dacă rădăcinile sunt ore, trei numere pozitive dau un produs pozitiv. Verifici rădăcinile găsite refăcând cele trei relații, iar o expresie simetrică o poți controla și pe un exemplu cu rădăcini întregi, ușor de calculat.

De reținut

• $S_1=-\frac{b}{a}$, $S_2=\frac{c}{a}$, $S_3=-\frac{d}{a}$
• produsul celor trei sume de rădăcini este $S_1{S}_2$ minus $S_3$
• o expresie simetrică în rădăcini se scrie cu $S_1$, $S_2$, $S_3$

Greșeala tipică

Se ia $S_3=-30$, termenul liber, în loc de $30$: produsul din exemplul de mai sus iese $12\cdot 41+30=522$ în loc de $462$. Produsul rădăcinilor este $-\frac{d}{a}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Orele la care temperatura dintr-un cuptor trece prin $200$ °C sunt rădăcinile polinomului $f=2X^3-16X^2+38X-24$ (model). Care este produsul celor trei ore?

   • a) $-12$
   • b) $24$
   • c) $12$
   • d) $-24$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $12$

   Produsul rădăcinilor este $-\frac{d}{a}=-\frac{-24}{2}=12$. Valoarea $-24$ ia termenul liber ca atare; $24$ schimbă semnul, dar nu împarte la $2$; $-12$ împarte la $2$, dar nu schimbă semnul. Trei ore pozitive dau un produs pozitiv.

2. Momentele, în secunde, la care tensiunea de pe o linie electrică trece prin prag sunt rădăcinile polinomului $f=X^3-13X^2+46X-48$. Care dintre tripletele următoare poate fi mulțimea acestor momente?

   • a) $2,3,8$
   • b) $1,5,7$
   • c) $2,4,7$
   • d) $3,4,6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2,3,8$

   Un triplet trebuie să verifice toate relațiile: suma $13$, suma produselor câte două $46$ și produsul $48$. Tripletul $2,3,8$ le verifică pe toate: $2+3+8=13$, $6+16+24=46$ și $2\cdot 3\cdot 8=48$. Celelalte au tot suma $13$, dar produsele $35$, $56$ și $72$ nu sunt $48$.

3. Momentele $x_1,x_2,x_3$, în ore, la care pornește un sistem de irigare sunt rădăcinile polinomului $g=2X^3-8X^2+6X-1$. Cât este $x_1^2+x_2^2+x_3^2$?

   • a) $22$
   • b) $13$
   • c) $16$
   • d) $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $10$

   Aici $S_1=-\frac{-8}{2}=4$ și $S_2=\frac{6}{2}=3$, iar suma pătratelor este $S_1^2-2S_2=16-6=10$. Valoarea $22$ adună dublul în loc să-l scadă ($16+6$); $13$ scade $S_2$ o singură dată; $16$ este doar $S_1^2$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: produsul sumelor rădăcinilor luate câte două · S1 S2 minus S3 la polinomul de gradul trei · arătați că produsul (x1+x2)(x2+x3)(x3+x1) este · produs de trei sume de rădăcini la ecuația de gradul trei