Relațiile lui Viète de gradul 3: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Polinoame, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a XII-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a XII-a; celelalte formule de la tehnologic ale temei sunt la finalul paginii „Polinoame”.

Polinomul de gradul 3 are coeficienții $a\ne 0$, $b$, $c$ și $d$, în ordinea puterilor lui $X$, începând cu cea mai mare, iar $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile lui, reale sau nu. Rândurile dau suma rădăcinilor, suma produselor lor câte două și produsul lor, fără să le afli pe fiecare. Notează cu $S_1$, $S_2$, $S_3$ membrii stângi, în ordine: suma pătratelor este $S_1^2-2S_2$, iar suma inverselor $\frac{S_2}{S_3}$, cu $S_3\ne 0$. Capcană: când un termen lipsește, coeficientul lui e 0; la $2X^3-9X+5$ ai $b=0$, deci suma rădăcinilor este 0. Control: cu rădăcinile găsite, cele trei rânduri trebuie să dea înapoi $-\frac{b}{a}$, $\frac{c}{a}$ și $-\frac{d}{a}$.

Exemplu: Un camion parcurge trei tronsoane de câte 60 km, cu vitezele $x_1$, $x_2$, $x_3$, în zeci de km/h, rădăcinile ecuației $3x^3-39x^2+162x-216=0$. Atunci $S_1=-\frac{-39}{3}=13$, $S_2=\frac{162}{3}=54$ și $S_3=-\frac{-216}{3}=72$. Timpul total, în ore, este $6\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=6\cdot \frac{S_2}{S_3}=6\cdot \frac{54}{72}=4,5$, deci viteza medie este $\frac{180}{4,5}=40$ km/h, nu media vitezelor, $\frac{S_1}{3}\cdot 10\approx 43,3$ km/h. Control cu rădăcinile $3$, $4$ și $6$: $3+4+6=13$, $12+18+24=54$, $3\cdot 4\cdot 6=72$, iar timpii sunt $2+1,5+1=4,5$ h.