Rădăcini și Viète de gradul 3 la tehnologic

Stația de monitorizare a aerului de pe o stradă aglomerată arată când dioxidul de azot trece de prag, iar orele acestea sunt rădăcinile unui polinom de gradul al treilea. Relațiile lui Viète leagă rădăcinile de coeficienți: verifici cu ele o rezolvare și calculezi expresii cu rădăcinile fără să le afli. La filiera tehnologică, relațiile lui Viète apar în clasa a XII-a. Rădăcinile unui polinom au fost tema unei cerințe la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 29 dintre cele 83 de probe din 2013–2026, la Subiectul al II-lea, problema 2.

Situația de pornire

Pe o stradă cu trafic intens, stația de monitorizare a aerului a unui oraș măsoară în fiecare oră concentrația de dioxid de azot, un poluant al gazelor de eșapament, în micrograme pe metru cub (μg/m³). Primăria a fixat pragul de avertizare la 200 μg/m³ (valoare din exemplu): când concentrația îl depășește, panourile stradale afișează mesajul de poluare ridicată. Inginerul de mediu vrea restricții de trafic numai în orele cu depășire, deci trebuie să afle când trece concentrația prin 200. El numără orele $t$ de la ora 6:00. Din citirile stației s-a ajustat un polinom de gradul al treilea, valabil între 6:00 și 17:00 (model din exemplu).

Întrebare: la ce ore trece concentrația prin pragul de 200 μg/m³ și cât timp îl depășește între 6:00 și 17:00?

De la situație la model

Fie $e(t)$ abaterea concentrației față de prag, în μg/m³: concentrația este $200+e(t)$. Cele cinci citiri dau $e(0)=-40$, $e(2)=16$, $e(5)=-20$, $e(8)=-56$ și $e(11)=70$. Toate coincid cu valorile polinomului $e=X^3-15X^2+54X-40$.

Răspunsul stă în rădăcinile lui $e$, iar pentru ele ai două unelte: o rădăcină întreagă găsită printre divizori și relațiile lui Viète.

O ecuație algebrică de gradul al treilea este o ecuație în care necunoscuta apare cel mult la puterea a treia, iar coeficientul lui $x^3$, notat $a$, este nenul; ceilalți coeficienți sunt $b$ la $x^2$, $c$ la $x$, iar termenul liber este $d$. Soluțiile ei sunt rădăcinile polinomului cu aceiași coeficienți. Un astfel de polinom are cel mult trei rădăcini reale. Relațiile lui Viète spun că rădăcinile lui, $x_1,x_2,x_3$, au suma $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, suma produselor câte două $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$ și produsul $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$. Demonstrația lor nu se cere. Le notăm $S_1$, $S_2$ și $S_3$. La $e$ ele dau $S_1=15$, $S_2=54$ și $S_3=40$.

Prima oră de trecere, printre divizori

Dacă polinomul are primul coeficient 1 și coeficienți întregi, o rădăcină întreagă împarte termenul liber: scoțând rădăcina factor comun din primii trei termeni ai ecuației, rămâne ca ea să împartă termenul liber cu semn schimbat. La $e$ încerci divizorii lui 40 care se potrivesc cu orele, 1, 2, 4, 5, 8 și 10, cu teorema lui Bézout din lecția despre divizibilitatea cu X − a. După prima rădăcină rămâne, prin tabelul lui Horner, un polinom de gradul 2, ale cărui rădăcini le afli ușor.

Ce leagă orele de coeficienții lui $e$?

La un polinom cu primul coeficient 1, semnele alternează: suma rădăcinilor are semnul schimbat față de coeficientul lui $X^2$, suma produselor câte două are semnul lui $c$, iar produsul are semnul schimbat al termenului liber. La $e$, coeficientul lui $X^2$ este $-15$, deci suma rădăcinilor este 15; coeficientul lui $X$ este 54, deci suma produselor câte două este 54; termenul liber este $-40$, deci produsul rădăcinilor este 40. Prin aceste relații verifici trei rădăcini găsite, fără să înlocuiești în polinom.

Sume de pătrate și de inverse, fără rădăcini

Scrii expresia cu $S_1$, $S_2$ și $S_3$. Pătratul sumei rădăcinilor este suma pătratelor plus dublul sumei produselor câte două, deci suma pătratelor este $S_1^2-2S_2$. Suma inverselor se aduce la numitor comun și e raportul $\frac{S_2}{S_3}$, cu $S_3\ne 0$.

Metoda pas cu pas

1. Scrie polinomul cu coeficienții în ordine, cu 0 la puterile care lipsesc, și calculează $S_1$, $S_2$, $S_3$ după relațiile lui Viète, cu semnele alternate.
2. Dacă enunțul cere rădăcinile, caută una: un divizor al termenului liber, încercat cu tabelul lui Horner (ultimul număr trebuie să fie 0), sau, la un polinom cu primul coeficient diferit de 1, gruparea termenilor.
3. Rezolvă ce rămâne: din câtul de gradul 2 afli celelalte două rădăcini cu discriminantul, sau cu suma și produsul lor; când știi o rădăcină $x_1$, celelalte două au suma $S_1-x_1$ și produsul $\frac{S_3}{x_1}$. Dintr-un produs de factori de gradul întâi iei fiecare rădăcină. Dacă enunțul cere o oră, o lungime sau un timp, rotunjești abia la sfârșit.
4. Dacă enunțul cere o expresie simetrică a rădăcinilor, o scrii cu $S_1$, $S_2$ și $S_3$ și nu mai calculezi rădăcinile: suma pătratelor e $S_1^2-2S_2$, iar suma inverselor e $\frac{S_2}{S_3}$.
5. Dacă apare un parametru, pune condiția din enunț cu $S_1$, $S_2$, $S_3$, care conțin parametrul, și rezolvă ecuația în parametru. Când o rădăcină e cunoscută, o poți pune și direct în polinom.
6. Verifică pe alt drum: cu rădăcinile găsite, refaci suma, suma produselor câte două și produsul și le compari cu $S_1$, $S_2$, $S_3$; la un parametru, îl înlocuiești și recalculezi expresia din enunț. Când rădăcinile vin dintr-o situație, mai citești o valoare din tabelul de date și vezi dacă se potrivește cu semnul găsit.

Valoarea unui polinom într-un punct, cu scurtăturile ei, e în lecția despre forma algebrică a polinoamelor, iar împărțirea la $X-a$ e în lecția despre tabelul lui Horner. Tot traseul clasei îl găsești la clasa a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$$

$$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$$

$$x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$$

Relațiile cer $a\ne 0$ și se aplică celor trei rădăcini ale polinomului, reale sau nu. Din ele ies suma pătratelor, $S_1^2-2S_2$, și suma inverselor, $\frac{S_2}{S_3}$, aceasta din urmă cu $S_3\ne 0$. Pentru un polinom de gradul 3 cu primul coeficient 1, semnele sunt $-$, $+$, $-$ în ordinea lui $X^2$, $X$ și a termenului liber. Verificare rapidă: produsul a trei ore pozitive iese pozitiv, deci semnul din $-\frac{d}{a}$ contează.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Orele de depășire a pragului

Domeniu: mediu.

Enunț. Reia stația de monitorizare din situația de pornire: abaterea față de prag este valoarea polinomului $e=X^3-15X^2+54X-40$, pentru $0\le t\le 11$. a) Aflați orele la care concentrația trece prin pragul de 200 μg/m³. b) Verificați-le cu relațiile lui Viète. c) Cât timp depășește concentrația pragul între 6:00 și 17:00?

Rezolvare. a) Pasul 1: $S_1=15$, $S_2=54$, $S_3=40$. Pasul 2: divizorii lui 40 sunt 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 și 40, iar $e(1)=1-15+54-40=0$, deci 1 e rădăcină. Tabelul lui Horner pentru $a=1$ are rândul de jos $1;-14;40;0$. Pasul 3: câtul de gradul 2 are suma rădăcinilor 14 și produsul 40, deci rădăcinile 4 și 10. Cele trei ore sunt $t=1$, $t=4$ și $t=10$, adică 7:00, 10:00 și 16:00. b) $1+4+10=15$, $1\cdot 4+1\cdot 10+4\cdot 10=54$ și $1\cdot 4\cdot 10=40$, ca la $S_1$, $S_2$, $S_3$. c) $e(2)=16>0$ între orele 1 și 4, $e(5)=-20<0$ între 4 și 10, iar $e(11)=70>0$ după ora 10. Concentrația depășește pragul între 7:00 și 10:00 și între 16:00 și 17:00, adică $3+1=4$ ore.

Capcană. Cine ia produsul rădăcinilor egal cu termenul liber, $-40$, obține un produs negativ, deși toate cele trei ore sunt pozitive. Produsul este $-\frac{d}{a}=40$.

Verificare. Pe alt drum, din tabelul de citiri: la 8:00 concentrația este 216 μg/m³, deasupra pragului, iar 8:00 cade între 7:00 și 10:00. La 11:00 este 180, sub prag, iar 11:00 cade între 10:00 și 16:00. Și $e(2)=8-60+108-40=16$, adică exact 216 − 200.

Exemplul 2 — Grosimea unei plăci MDF

Domeniu: lemn.

Enunț. La o fabrică de plăci MDF, placa iese din presa continuă ca o bandă, tăiată apoi la lungime. Din citirile senzorului de grosime pe o bucată de bandă s-a ajustat un model pentru abaterea plăcii de la cota de 18 mm, în sutimi de milimetru: la $x$ metri de capătul bucății, abaterea este $h(x)$, unde $h=X^3-12X^2+41X-42$, pentru $0\le x\le 8$ (model din exemplu). Raportul senzorului arată grosimea exact 18 mm la 2 m de capăt. Aflați, fără tabelul lui Horner, celelalte puncte ale bucății în care grosimea este exact 18 mm, apoi verificați-le.

Rezolvare. Pasul 1: $S_1=12$, $S_2=41$, $S_3=42$. Pasul 3: rădăcina cunoscută este 2, deci celelalte două au suma $12-2=10$ și produsul $\frac{42}{2}=21$. Două numere cu suma 10 și produsul 21 sunt 3 și 7. Grosimea este exact 18 mm la 2 m, la 3 m și la 7 m de capăt.

Capcană. Cine uită să scadă rădăcina cunoscută din sumă scrie $x^2-12x+21=0$ și obține $x=6\pm \sqrt{15}$, aproximativ 2,13 și 9,87. Al doilea punct cade în afara bucății de 8 m, iar primul nu e rădăcină: polinomul dă acolo aproximativ 0,5 sutimi, nu 0.

Verificare. Pe alt drum, cu relația pe care nu ai folosit-o: $2\cdot 3+2\cdot 7+3\cdot 7=6+14+21=41$, adică $S_2$. Și direct în polinom: $h(7)=343-588+287-42=0$.

Exemplul 3 — Ferestrele unui solar

Domeniu: agricol.

Enunț. Într-un solar, ferestrele de aerisire se deschid când temperatura trece de 24 °C. Abaterea temperaturii față de 24 °C, în zecimi de grad Celsius, la $t$ ore după ora 6:00, este valoarea polinomului $g=X^3-11X^2+35X-33$, pentru $0\le t\le 8$ (model din exemplu). a) Aflați orele la care temperatura trece prin 24 °C, în ore și minute, rotunjite la minut. b) Verificați rădăcinile cu relațiile lui Viète.

Rezolvare. a) Pasul 1: $S_1=11$, $S_2=35$, $S_3=33$. Pasul 2: divizorii lui 33 sunt 1, 3, 11 și 33; $g(1)=-8$, iar $g(3)=27-99+105-33=0$. Tabelul pentru $a=3$ are rândul de jos $1;-8;11;0$. Pasul 3: ecuația de gradul 2 cu coeficienții $1,-8,11$ are discriminantul $64-44=20$, deci rădăcinile $\frac{8\pm \sqrt{20}}{2}=4\pm \sqrt{5}$. Cu $\sqrt{5}\approx 2,236$ obții $t\approx 1,764$ și $t\approx 6,236$. Partea de ore se convertește în minute: $0,764\cdot 60\approx 45,8$ și $0,236\cdot 60\approx 14,2$. Deci temperatura trece prin 24 °C la 7:46, la 9:00 și la 12:14. b) $3+(4+\sqrt{5})+(4-\sqrt{5})=11$, $3(4+\sqrt{5})+3(4-\sqrt{5})+(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})=24+11=35$ și $3\cdot 11=33$.

Capcană. Cine rotunjește $\sqrt{5}$ la $2,2$ înainte de conversie obține $t=1,8$ și $t=6,2$, adică 7:48 și 12:12, cu două minute greșit. Rotunjirea se face la sfârșit, după ce transformi orele în minute.

Verificare. Pe alt drum, rădăcina rotunjită $t=1,76$ dă $g(1,76)\approx -0,02$, aproape de zero, iar $t=6,24$ dă $g(6,24)\approx 0,06$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: sumă de pătrate și parametru

Domeniu: comert.

Enunț. Cerința de mai jos păstrează forma unui enunț de la Subiectul al II-lea, problema 2, fără context practic. Se consideră polinomul $f=X^3-13X^2+mX-60$, cu $m$ număr real, și rădăcinile lui $x_1,x_2,x_3$. a) Arătați că produsul sumelor $x_1+x_2$, $x_2+x_3$ și $x_3+x_1$ este $13m-60$. b) Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1^2+x_2^2+x_3^2=65$.

Rezolvare. Pasul 1: $S_1=13$, $S_2=m$, $S_3=60$. a) Pasul 4: dezvolți produsul celor trei sume, grupezi termenii și obții $S_1{S}_2-S_3$, adică $13m-60$. b) Pasul 5: suma pătratelor este $S_1^2-2S_2=169-2m$, iar din $169-2m=65$ rezultă $m=52$.

Capcană. Cine ia $S_3=-60$, termenul liber, ajunge la $13m+60$ la punctul a). Produsul rădăcinilor este $-\frac{d}{a}$, iar aici $d=-60$.

Verificare. Cu $m=52$, $f(2)=8-52+104-60=0$, iar tabelul pentru $a=2$ are rândul $1;-11;30;0$, deci celelalte rădăcini au suma 11 și produsul 30, adică 5 și 6. Rădăcinile sunt 2, 5 și 6, iar $4+25+36=65$ și $7\cdot 11\cdot 8=616=13\cdot 52-60$, cu sumele rădăcinilor luate câte două.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Află rădăcinile polinomului $f=X^3+2X^2-29X+42$: încearcă divizorii lui 42, apoi folosește tabelul lui Horner.

2. Fără să rezolvi ecuația, calculează pentru $g=2X^3-15X^2+31X-12$ suma rădăcinilor, suma produselor câte două, produsul rădăcinilor și $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. Verifică apoi aflând rădăcinile.

3. Scrie polinomul cu primul coeficient 1 care are rădăcinile $-1$, $4$ și $7$.

4. Două dintre rădăcinile polinomului $f=X^3-11X^2+38X-40$ sunt 2 și 4. Află a treia rădăcină din suma rădăcinilor și verifică-o cu produsul.

Nivelul 2 — situații

5. Pe un șantier, apa din șanțul săpat pentru o conductă de canalizare se compară cu cota de lucru: după $t$ zile de la începutul săpăturii, apa e cu $n(t)$ centimetri peste cotă, sau sub ea dacă $n(t)<0$, unde $n=X^3-14X^2+56X-64$, pentru $0\le t\le 9$ (model din exercițiu). Pompa de epuizment merge cât timp apa e peste cotă. Află zilele în care apa a fost exact la cota de lucru și intervalele în care a mers pompa.

6. Laptele din tancul de răcire al unei ferme trebuie ținut la 4 °C. Termometrul tancului arată abaterea de la 4 °C în sutimi de grad; la $t$ ore de la pornirea compresorului ea este $r(t)$, unde $r=X^3-18X^2+mX-120$, pentru $0\le t\le 10$ (model din exercițiu), iar $m$ depinde de reglajul tancului. Compresorul pornește și se oprește la intervale egale, așa că cele trei momente în care laptele are exact 4 °C sunt egal depărtate. Află $m$ și cele trei momente.

7. Într-o baie de nichelare, fiecare lot de piese scos din baie ia cu el o parte din soluție, iar pompa de dozare readuce apoi concentrația de nichel la valoarea din fișa tehnologică. La $x$ zeci de minute după scoaterea unui lot, concentrația se abate de la valoarea din fișă cu $p(x)$ zecimi de gram pe litru, unde $p=2X^3+3X^2-8X-12$, pentru $0\le x\le 2,5$ (model din exercițiu). Află, prin gruparea termenilor, după câte minute concentrația revine la valoarea din fișă.

8. La un service, după schimbarea unui senzor, turația unui motor la ralanti oscilează în jurul a 800 de rotații pe minut, până când calculatorul mașinii o stabilizează. Mecanicul descrie abaterea turației de la 800 rot/min, în primele 6 minute după pornire, printr-un polinom de gradul 3 cu primul coeficient 2, care se anulează la minutele 2, 3 și 5 și care la pornire ($t=0$) valorează $-60$ de rotații pe minut. Scrie polinomul și află turația la minutul 4.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră polinomul $f=X^3-5X^2+3X+4$, cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$. Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie polinomul $f=X^3-6X^2+4X+8$, cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$. Calculați produsul dintre suma rădăcinilor și suma inverselor lor.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie polinomul $f=X^3-5X^2+2X+m$, cu $m$ real, și rădăcinile lui $x_1,x_2,x_3$. Aflați $m$ pentru care $3x_1+3x_2+3x_3=2+x_1{x}_2{x}_3$.

12. (Sinteză.) Polinomul $f=X^3+a{X}^2+bX-60$ are coeficienții reali $a$ și $b$. Știind că $-4$ este rădăcină și că $x_1^2+x_2^2+x_3^2=50$, află $a$ și $b$ și rădăcinile fiecărui polinom găsit.

Răspunsuri și verificări

1. Din divizorii lui 42, $f(1)=16$, iar $f(2)=8+8-58+42=0$. Tabelul pentru $a=2$ are rândul de jos $1;4;-21;0$, deci celelalte rădăcini au suma $-4$ și produsul $-21$: sunt 3 și $-7$. Verificare: suma $2+3-7=-2$ și produsul $-42$ coincid cu $-\frac{b}{a}$ și $-\frac{d}{a}$.

2. Cu $a=2$, $b=-15$, $c=31$ și $d=-12$: $S_1=\frac{15}{2}$, $S_2=\frac{31}{2}$ și $S_3=6$. Atunci $x_1^2+x_2^2+x_3^2=\frac{225}{4}-2\cdot \frac{31}{2}=\frac{101}{4}$. Verificare: $g(3)=54-135+93-12=0$, iar tabelul pentru $a=3$ dă câtul cu coeficienții 2, $-9$ și 4 și restul 0, deci celelalte rădăcini sunt $\frac{1}{2}$ și 4, iar $\frac{1}{4}+9+16=\frac{101}{4}$.

3. Suma rădăcinilor este 10, suma produselor câte două este $-4-7+28=17$ și produsul este $-28$. Polinomul este $X^3-10X^2+17X+28$. Verificare: $f(-1)=-1-10-17+28=0$ și $f(4)=64-160+68+28=0$.

4. Suma rădăcinilor este 11, deci a treia rădăcină este $11-2-4=5$. Verificare: produsul $2\cdot 4\cdot 5=40$, ca $-\frac{d}{a}$, iar suma produselor $8+10+20=38$.

5. Din divizorii lui 64, $n(2)=8-56+112-64=0$, iar tabelul pentru $a=2$ are rândul de jos $1;-12;32;0$, deci celelalte zile cu apa la cotă sunt 4 și 8. Pompa a mers între zilele 2 și 4 și de la ziua 8 la ziua 9: $n(3)=5$ cm și $n(9)=35$ cm, peste cotă. Verificare: $2+4+8=14$ și $2\cdot 4\cdot 8=64$.

6. Momentele sunt egal depărtate, deci cel din mijloc este $\frac{S_1}{3}=\frac{18}{3}=6$. Din $r(6)=216-648+6m-120=0$ rezultă $m=92$. Tabelul pentru $a=6$ dă rândul $1;-12;20;0$, deci celelalte momente sunt orele 2 și 10. Verificare: $2\cdot 6\cdot 10=120$ și $12+20+60=92$.

7. Grupezi: $p=X^2(2X+3)-4(2X+3)=(2X+3)(X^2-4)$. Rădăcinile sunt $-\frac{3}{2}$, $2$ și $-2$, iar în intervalul modelului rămâne $x=2$, adică după 20 de minute. Verificare: $p(2)=16+12-16-12=0$.

8. Polinomul este $q=2(X-2)(X-3)(X-5)=2X^3-20X^2+62X-60$, cu termenul liber $2\cdot (-30)=-60$, ca în enunț. La minutul 4, $q(4)=2\cdot 2\cdot 1\cdot (-1)=-4$, deci turația este $800-4=796$ rot/min. Verificare: cu forma dezvoltată, $128-320+248-60=-4$ rot/min.

9. Rezolvarea: $S_1=5$ și $S_2=3$. Atunci suma pătratelor este $S_1^2-2S_2=25-6=19$. Verificare: $f(4)=0$, iar celelalte rădăcini au suma 1 și produsul $-1$, deci pătratele lor dau $1+2=3$ și $16+3=19$.

10. Din coeficienți, $S_1=6$, $S_2=4$ și $S_3=-8$. Atunci produsul este $S_1\cdot \frac{S_2}{S_3}=6\cdot \frac{4}{-8}=-3$. Verificare: $f(2)=8-24+8+8=0$, iar tabelul pentru $a=2$ are rândul $1;-4;-4;0$, deci celelalte rădăcini sunt $2\pm 2\sqrt{2}$. Suma inverselor este $\frac{1}{2}+\frac{4}{4-8}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$, iar $6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-3$.

11. Rezolvarea: $S_1=5$ și $x_1{x}_2{x}_3=-m$. Condiția devine $3\cdot 5=2-m$, deci $m=-13$. Verificare: pentru $m=-13$, $x_1{x}_2{x}_3=13$ și $2+13=15=3\cdot 5$.

12. Din $f(-4)=0$: $-64+16a-4b-60=0$, adică $4a-b=31$. Din suma pătratelor: $a^2-2b=50$. Cu $b=4a-31$ rămâne o ecuație de gradul 2 în $a$, cu suma rădăcinilor 8 și produsul 12, deci $a=2$ sau $a=6$, iar $b=-23$ sau $b=-7$. Pentru $a=2$ și $b=-23$, tabelul pentru $a=-4$ are rândul $1;-2;-15;0$, deci celelalte rădăcini sunt $-3$ și 5. Pentru $a=6$ și $b=-7$, rândul este $1;2;-15;0$, deci celelalte rădăcini sunt $-5$ și 3. Verificare: $16+9+25=50$ în ambele cazuri.

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), între 2013 și 2026, rădăcinile unui polinom de gradul al treilea au avut cerințe în 29 dintre cele 83 de probe, toate la Subiectul al II-lea, problema 2. Din cele 30 de cerințe în care ele au fost tema principală, 13 au cerut să arăți o egalitate, 9 un parametru real sau natural, 5 rădăcinile și 3 suma pătratelor. Cele patru cerințe de mai jos, din probe diferite, arată ce forme a luat tema:

• August 2013, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: se dă un polinom de gradul al treilea fără termen liber și se cere suma pătratelor rădăcinilor, deci pasul 1 din Metodă dă suma rădăcinilor și suma produselor câte două, pasul 4 aplică formula, iar baremul probei dă 2 puncte pentru cele două sume și 3 puncte pentru suma pătratelor.
• Iunie 2019, Subiectul al II-lea, exercițiul 2b: polinomul are primul coeficient 3, deci rădăcinile se află prin pasul 2, gruparea termenilor, și prin pasul 3, rădăcinile factorilor, iar baremul probei dă 2 puncte pentru descompunerea în trei factori și 3 puncte pentru cele trei rădăcini.
• August 2014, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: se cere să arăți că produsul dintre suma rădăcinilor și suma inverselor lor e un număr dat, deci pasul 1 scrie cele trei relații, pasul 4 scrie suma inverselor ca raport, iar baremul probei dă 3 puncte pentru cele trei relații și 2 puncte pentru valoarea produsului.
• Iunie 2025, Subiectul al II-lea, exercițiul 2b: o egalitate între suma rădăcinilor înmulțită cu 2 și produsul lor mărit cu 1 fixează parametrul, deci pasul 1 scrie suma rădăcinilor și produsul în funcție de parametru, pasul 5 rezolvă ecuația, iar baremul probei dă 3 puncte pentru ecuația în parametru și 2 puncte pentru valoarea lui.

Trei dintre forme le reiei în exercițiile 9–11: suma pătratelor, suma inverselor și parametrul din condiția pusă pe rădăcini. Rădăcinile cerute explicit sunt în exemplele 1–3 și în exercițiile 1, 5 și 7.

Greșeli care costă puncte

• Iei produsul rădăcinilor egal cu termenul liber → semnul iese greșit, ca la capcana exemplului 1; cum o prinzi: pentru $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$ verifici că trei ore pozitive dau un produs pozitiv.
• Uiți să scazi rădăcina cunoscută din suma rădăcinilor → celelalte două ies greșit, ca la capcana exemplului 2; cum o prinzi: pui rădăcinile găsite în $S_2$ sau direct în polinom, unde trebuie să dea 0.
• Te oprești după prima rădăcină → pierzi celelalte două; cum o prinzi: după tabelul lui Horner rămâne un cât de gradul 2, care are încă două rădăcini, iar suma lor e $S_1$ minus prima rădăcină.
• Rotunjești o rădăcină irațională înainte de conversie → minutele ies greșit, ca la exemplul 3; cum o prinzi: păstrezi $\sqrt{5}$ până la sfârșit și rotunjești o dată.
• Scrii suma pătratelor ca $S_1$ în loc de $S_1^2-2S_2$ → rezultatul ignoră termenul dublu; cum o prinzi: pătratul sumei conține și dublul sumei produselor câte două, deci îl scazi.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Studiul rădăcinilor unui polinom de gradul al treilea, cu relațiile lui Viète, se cere la Subiectul al II-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 29 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce ore ies dacă pragul de avertizare ar fi de 160 μg/m³, nu de 200? Condiția $200+e(t)=160$ înseamnă $e(t)=-40$, adică $t^3-15t^2+54t=0$. Scoți factor comun pe $t$ și rămâne un trinom cu suma rădăcinilor 15 și produsul 54, deci cu rădăcinile 6 și 9. Orele sunt 6:00, 12:00 și 15:00; citirea de la 6:00 arată chiar 160.

Poți afla suma celor trei ore de trecere fără să le calculezi? Da. Relațiile lui Viète dau $S_1=15$ pentru $e$, adică semnul schimbat al coeficientului lui $X^2$, deci cele trei ore însumează 15, iar media lor este 5 ore după 6:00, adică 11:00. Cu orele 1, 4 și 10 aflate, $1+4+10=15$ confirmă calculul.

Ce se întâmplă dacă încerci 2, nu 1, ca prima rădăcină din divizorii lui 40? Obții $e(2)=16$, nenul, deci 2 nu e rădăcină. Ultimul număr din tabelul lui Horner pentru $a=2$ este restul, adică valoarea $e(2)=16$. Ea e tocmai abaterea de la ora 8:00, iar concentrația de 216 μg/m³ din citiri se obține adăugând 200.

De ce nu ajung cele cinci citiri din tabel ca să afli orele de trecere prin prag? Citirile spun doar de ce parte a pragului era concentrația la orele măsurate: peste prag la două dintre ele, sub prag la celelalte trei. O trecere poate cădea în orice minut dintre două citiri. Polinomul o fixează la 7:00 și mai dă două treceri, la 10:00 și la 16:00, pe care nicio citire nu le prinde.

Cum afli rădăcinile unui polinom cu primul coeficient diferit de 1, ca $4X^3-3X^2-4X+3$? Grupezi termenii: $X^2(4X-3)-(4X-3)=(4X-3)(X^2-1)$. Fiecare factor dă rădăcinile lui: $\frac{3}{4}$ din primul și $-1$ și $1$ din al doilea. Gruparea merge când raportul primilor doi coeficienți e egal cu al ultimilor doi, ca aici, unde 4 la $-3$ e cât $-4$ la 3; altfel cauți o rădăcină cu tabelul lui Horner.

Ce i s-a cerut elevului la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) când tema principală au fost rădăcinile polinomului? Din cele 30 de cerințe de acest fel, 13 au cerut să arăți o egalitate cu rădăcinile, 9 au cerut un parametru, 5 au cerut rădăcinile și 3 suma pătratelor. Cele mai multe s-au rezolvat deci cu $S_1$, $S_2$ și $S_3$, fără să afli rădăcinile.