Ce formule de arie am la patrulatere?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Patrulatere: perimetre și arii

Pătratul are $A = a^{2}$ , dreptunghiul $L \cdot ℓ$ , paralelogramul $b \cdot h$ , rombul $\frac{d _{1} d _{2}}{2}$ , iar trapezul $\frac{( B + b ) h}{2}$ . Împărțirea la doi apare acolo unde figura se completează cu o copie a ei, ca la romb și la trapez. Un romb cu diagonalele de $8$ și $6$ cm are $24$ cm². Perimetrul rămâne mereu suma laturilor, măsurată în centimetri.

Perimetrul este suma laturilor (se măsoară în cm), iar aria este suprafața dinăuntru (se măsoară în cm²) — nu le confunda! Familia patrulaterelor: paralelogramul (laturi opuse paralele) dă naștere dreptunghiului (un unghi drept) și rombului (două laturi alăturate egale), iar pătratul e și dreptunghi, și romb. Trapezul are o singură pereche de laturi paralele și NU e paralelogram.

Formulele-cheie de arie: pătrat $a^{2}$ ; dreptunghi $L \cdot ℓ$ ; paralelogram $b \cdot h$ ; romb $\frac{d _{1} d _{2}}{2}$ ; triunghi $\frac{b \cdot h}{2}$ ; trapez $\frac{( B + b ) \cdot h}{2}$ . Observă: la romb, triunghi și trapez apare împărțirea la 2.

Exemplu: un romb cu diagonalele $8$ cm și $6$ cm are aria $A = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$ cm².

Capcana clasică: la paralelogram, romb sau triunghi, înălțimea NU este latura oblică, ci segmentul perpendicular pe bază. Și ține minte: același perimetru nu înseamnă aceeași arie!

De reținut

pătrat $a^{2}$ , dreptunghi $L ℓ$ , paralelogram $bh$
romb $\frac{d _{1} d _{2}}{2}$ , trapez $\frac{( B + b ) h}{2}$
înălțimea este perpendiculara pe bază, nu latura oblică

Greșeala tipică

Se ia latura oblică drept înălțime la paralelogram sau la trapez, iar aria iese prea mare. Înălțimea se măsoară perpendicular pe bază, nu de-a lungul unei laturi.

Exerciții din această mini-lecție

Un patrulater $A B C D$ are toate laturile congruente, dar diagonalele nu sunt congruente. Ce tip de patrulater este?
- a) Dreptunghi
- b) Romb
- c) Pătrat
- d) Trapez isoscel
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Romb

Patru laturi egale înseamnă că figura este romb. Dacă diagonalele ar fi fost și ele congruente, ar fi devenit pătrat, dar aici ni se spune explicit că nu sunt egale.
Un paralelogram are baza de $9$ cm, latura oblică de $7$ cm, iar înălțimea corespunzătoare bazei este de $5$ cm. Care este aria paralelogramului?
- a) $63$ cm²
- b) $45$ cm²
- c) $35$ cm²
- d) $16$ cm²
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $45$ cm²

Aria paralelogramului este bază ori înălțime: $A = b \cdot h = 9 \cdot 5 = 45$ cm². Latura oblică de $7$ cm nu intervine în calculul ariei, ci doar la perimetru.
Un patrulater $A B C D$ are $A B ∥ C D$ , dar $A D$ nu este paralelă cu $B C$ . Ce tip de patrulater este $A B C D$ ?
- a) Trapez
- b) Paralelogram
- c) Romb
- d) Pătrat
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Trapez

Patrulaterul are o singură pereche de laturi paralele ( $A B$ și $C D$ ), deci este un trapez. Dacă ar fi avut ambele perechi de laturi paralele, ar fi fost paralelogram.

Întrebări conexe

Cum aflu înălțimea unui trapez dacă știu aria și bazele?

Înmulțești aria cu doi și împarți la suma bazelor. Pentru o arie de $60$ cm² și baze de $9$ și $6$ cm, ai $\frac{120}{15} = 8$ cm. Verificarea merge invers: $\frac{( 9 + 6 ) \cdot 8}{2} = 60$ cm².

Cum calculez aria unui paralelogram fără să știu înălțimea?

Îți trebuie o latură și unghiul dintre ea și cea vecină, ori cele două diagonale cu unghiul dintre ele. La nivelul acesta, calea obișnuită este să afli întâi înălțimea într-un triunghi dreptunghic, folosind teorema lui Pitagora sau valorile trigonometrice pentru $3 0^{\circ}$ și $6 0^{\circ}$ .

Ce arie are un trapez cu bazele de 10 și 6 și înălțimea 4?

Aduni bazele, înmulțești cu înălțimea și împarți la doi: $\frac{( 10 + 6 ) \cdot 4}{2} = 32$ cm². Ordinea operațiilor contează, așa că paranteza de la sumă se calculează prima. Un rezultat de $64$ arată că ai uitat împărțirea la doi.

Ce este linia mijlocie a unui trapez?

Segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele. Lungimea lui este semisuma bazelor, iar el este paralel cu amândouă. De aici iese și o altă scriere a ariei: linia mijlocie înmulțită cu înălțimea.

Cum aflu diagonala unui dreptunghi cu laturile date?

Diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice, în care laturile devin catete. Aplici teorema lui Pitagora: pentru $L = 12$ cm și $ℓ = 5$ cm obții $d = 144 + 25 = 13$ cm. Cele două diagonale ale unui dreptunghi au aceeași lungime.

Ce arie are un patrulater cu diagonalele perpendiculare?

Jumătate din produsul diagonalelor, exact ca la romb. Formula merge la orice patrulater în care cele două diagonale se taie în unghi drept, inclusiv la pătrat sau la zmeu. Pentru diagonale de $10$ și $7$ cm rezultă $35$ cm².

Oamenii mai întreabă și: formule de arie la patrulatere · aria rombului cu diagonalele · aria trapezului formulă · perimetre și arii recapitulare · formulele patrulaterelor