În ce puncte taie axele graficul funcției $$f(x)=\dfrac{2x+9}{x-5}$$?

$$\left(-\dfrac92,\ 0\right)$$ și $$\left(0,\ -\dfrac95\right)$$

$$\left(\dfrac92,\ 0\right)$$ și $$\left(0,\ \dfrac95\right)$$

$$\left(-\dfrac92,\ 0\right)$$ și $$\left(0,\ \dfrac59\right)$$

Cum trec de la tabelul de variație la grafic?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Reprezentarea grafică

Desenezi întâi axele și asimptotele, cu linie punctată, apoi marchezi punctele din tabel: extremele, inflexiunile și intersecțiile cu axele. Între ele trasezi arce care urmează săgețile și forma $\cup$ sau $\cap$ , apropiindu-se de asimptote la capete. De exemplu, pentru $x^{3} - 3 x$ marchezi maximul $(- 1, 2)$ , minimul $(1, - 2)$ , inflexiunea $(0, 0)$ și intersecțiile $(\pm 3, 0)$ . Curba urcă până în $(- 1, 2)$ , coboară până în $(1, - 2)$ , apoi urcă din nou.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029: trasarea propriu-zisă a graficului e cerută de programa de examen din 2014, în vreme ce programa nouă se oprește la tabelul de variație. Toate uneltele sunt însă deja învățate; lecția adaugă creionul.

Schema are șapte pași: mai întâi domeniul, apoi intersecțiile cu axele, apoi capetele cu limitele și asimptotele lor; urmează semnul primei derivate, semnul celei de-a doua, tabloul de variație, punctele care se trec pe hârtie și, la urmă, desenul. Pașii trei, patru și cinci sunt împrumutați din lecțiile de studiu al funcțiilor și nu se recalculează.

Două reguli de desen se rețin ca atare. Asimptotele se trasează întâi, cu linie punctată și cu ecuația notată lângă ele: cea verticală ține despărțite două ramuri care nu se întâlnesc, iar cea orizontală ori oblică poate fi intersectată de curbă la distanță finită. Și: în tabel treci abscisa, iar pe desen perechea de coordonate.

Fiecare celulă-interval devine unul dintre patru arce, fiindcă săgeata dă sensul, iar simbolul de curbură dă forma; amândouă sunt obligatorii. Desenul gata făcut trece prin trei controale: numărul ramurilor să fie cel al intervalelor domeniului, punctele din listă și arcele să se regăsească pe curbă, iar curba să se apropie de fiecare asimptotă fără să se mai depărteze după aceea. Dacă ordonatele depășesc mult abscisele, se aleg unități diferite pe axe și se scriu pe desen.

De reținut

întâi asimptotele, apoi punctele din tabel, apoi arcele
săgeata dă sensul, simbolul $\cup$ sau $\cap$ dă forma arcului
fiecare interval din tabel corespunde unui arc pe desen

Greșeala tipică

Se unește graficul peste o asimptotă verticală, ca și cum funcția ar fi definită acolo; ramurile de o parte și de alta a unui punct exclus nu se leagă.

Exerciții din această mini-lecție

În ce puncte taie axele graficul funcției $f (x) = \frac{2 x + 9}{x - 5}$ ?
- a) $(- \frac{9}{2}, 0)$ și $(0, - \frac{9}{5})$
- b) $(\frac{9}{2}, 0)$ și $(0, \frac{9}{5})$
- c) $(5, 0)$ și $(0, - 9)$
- d) $(- \frac{9}{2}, 0)$ și $(0, \frac{5}{9})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- \frac{9}{2}, 0)$ și $(0, - \frac{9}{5})$

Pentru axa $O x$ se rezolvă $f (x) = 0$ pe domeniu: o fracție este nulă când numărătorul se anulează, deci $2 x + 9 = 0$ și $x = - \frac{9}{2}$ . Pentru axa $O y$ se calculează $f (0) = \frac{9}{- 5} = - \frac{9}{5}$ , fiindcă $0$ aparține domeniului $R ∖ {5}$ . Varianta b) pierde semnele, c) confundă zeroul numitorului cu o intersecție, iar d) răstoarnă fracția la $f (0)$ .
Care sunt ecuațiile asimptotelor graficului funcției $f (x) = \frac{x ^{2} + 5 x + 1}{x + 2}$ ?
- a) $x = 2$ și $y = x + 3$
- b) $x = - 2$ și $y = 1$
- c) $x = - 2$ și $y = x + 3$
- d) $x = - 2$ și $y = x + 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x = - 2$ și $y = x + 3$

Împărțirea cu rest dă forma comodă $f (x) = x + 3 - \frac{5}{x + 2}$ . Numitorul se anulează în $- 2$ , unde numărătorul valorează $4 - 10 + 1 = - 5 \neq = 0$ , deci $x = - 2$ este asimptotă verticală. Cum fracția rămasă tinde la $0$ la ambele capete, dreapta $y = x + 3$ este asimptotă oblică. Varianta a) pierde semnul, b) caută o orizontală acolo unde numărătorul are gradul cu $1$ mai mare, iar d) citește greșit câtul împărțirii.
O funcție are domeniul $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ . Pe prima ramură ea scade de la valoarea $4$ până la $- \infty$ , iar pe a doua scade de la $+ \infty$ până la minimul $- 2$ , atins în $x = 3$ , apoi crește spre $4$ . Câte puncte are graficul ei în comun cu axa $O x$ ?
- a) unul
- b) două
- c) niciunul
- d) trei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) trei

Se numără ramură cu ramură. Prima ramură coboară de la $4$ la $- \infty$ , deci trece exact o dată prin $0$ . A doua coboară de la $+ \infty$ la $- 2$ , trecând o dată prin $0$ , apoi urcă de la $- 2$ la $4$ , trecând a doua oară. În total, trei puncte. Fiecare bucată este monotonă, deci nu poate tăia axa de mai multe ori decât o dată pe fiecare arc.

Întrebări conexe

Unde taie graficul axele de coordonate?

Axa $O y$ în punctul $(0, f (0))$ , dacă $0$ este în domeniu, iar axa $O x$ în punctele în care $f (x) = 0$ . Pentru $f (x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ , $f (0) = - 2$ , deci $(0, - 2)$ , iar $f (x) = 0$ dă $x = 2$ , deci $(2, 0)$ .

Cum desenez graficul lângă o asimptotă verticală?

Urmezi limitele laterale. Pentru $\frac{1}{x - 1}$ , limita la stânga în $1$ este $- \infty$ , iar la dreapta $+ \infty$ : ramura stângă coboară de-a lungul dreptei $x = 1$ , iar cea dreaptă urcă de-a lungul ei. Graficul nu atinge niciodată asimptota verticală.

Câte puncte suplimentare calculez pentru un grafic corect?

De obicei unul sau două pe fiecare arc, mai ales între puncte îndepărtate. Pentru $x^{3} - 3 x$ , punctul $x = 2$ dă $f (2) = 2$ , deci $(2, 2)$ ; el arată cât de repede urcă ramura dreaptă după minim și ajută la alegerea scării.

Cum desenez graficul lângă o asimptotă oblică?

Trasezi întâi dreapta, apoi apropii ramura de ea spre capăt. Pentru $x + \frac{1}{x}$ , asimptota este $y = x$ ; pentru $x > 0$ fracția este pozitivă, deci graficul stă deasupra dreptei și se apropie de ea când $x$ crește.

Cum arată graficul în jurul unui punct de inflexiune?

Curba trece de pe o parte pe cealaltă a tangentei din acel punct. Pentru $x^{3}$ , în origine tangenta este axa $O x$ , iar graficul stă sub ea pentru $x < 0$ și deasupra pentru $x > 0$ . Forma se schimbă din $\cap$ în $\cup$ .

Oamenii mai întreabă și: de la tabelul de variație la grafic · cum desenez graficul din tabelul de variație · trasarea graficului unei funcții · cum trasez graficul unei funcții