Se consideră funcția $$f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \dfrac{6x}{e^{x}}$$. Care este mulțimea valorilor lui $$f$$?

$$\left[0;\,\dfrac{6}{e}\right]$$

$$\left[0;\,\dfrac{6}{e}\right)$$

$$\left(0;\,\dfrac{6}{e}\right]$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Studiul unei funcții în șase pași

Cum aflu valorile fracției cu x la numărător?

Derivi, afli că funcția crește între cele două puncte critice și scade în afara lor, apoi calculezi valorile din puncte și limitele la $\pm \infty$ . Exemplu: $f (x) = \frac{18 x}{x ^{2} + 36}$ . Derivata $\frac{18 ( 36 - x ^{2} )}{( x ^{2} + 36 ) ^{2}}$ se anulează în $\pm 6$ , cu $f (\pm 6) = \pm \frac{3}{2}$ , iar limita la $\pm \infty$ este $0$ . Mulțimea valorilor este $[- \frac{3}{2}; \frac{3}{2}]$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Studiul complet al unei funcții adună limitele, asimptotele, semnul derivatei și, la nevoie, forma curbei. Din tabelul de variație citești mulțimea valorilor: pe fiecare porțiune în care funcția rămâne continuă și crește sau scade strict, ea trece o singură dată prin fiecare valoare dintre capete. Capetele sunt valori ale funcției sau limite.

Pașii sunt șase: domeniul și intersecțiile; limitele la capete și asimptotele; prima derivată, cu punctele critice și monotonia; a doua derivată, pentru schiță; tabelul complet, cu valori și limite; schița și mulțimea valorilor. Pentru o fracție, limita la infinit se obține împărțind la puterea cea mai mare a lui $x$ .

O valoare intră în mulțimea valorilor doar dacă este atinsă: o limită $L$ se include numai dacă ecuația $f (x) = L$ are soluție. Capcanele sunt limita în $0$ luată $0$ fără calcul, limita neatinsă inclusă, minimul luat dintr-un punct oarecare și fracția scrisă în loc de procent.

Pe un interval închis nu există limite: valorile din capete intră în tabel, iar maximul și minimul se aleg dintre toate valorile lui. Verificarea este simplă: o valoare luată în interiorul unui interval al tabelului trebuie să stea între capetele acelui interval.

De reținut

pe fiecare interval de monotonie, funcția continuă ia toate valorile dintre capete
o limită intră în imagine doar când este atinsă de funcție
pe un interval închis, valorile din capete intră în tabel

Greșeala tipică

Se scrie mulțimea valorilor ca $[0; \frac{3}{2}]$ , privind doar $x \geq 0$ . Funcția ia și valori negative: pe $(- \infty; 0)$ ele sunt opusele celor de pe $(0; + \infty)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Funcția continuă $f : (0, + \infty) \to R$ are tabelul de variație de mai jos, cu $x \to 0 lim f (x) = 12$ și $x \to + \infty lim f (x) = 8$ .

$x$ $0$ $5$ $+ \infty$

$f^{'} (x)$ $-$ $0$ $+$

$f (x)$ $12$ $↘$ $3$ $↗$ $8$

Care este mulțimea valorilor lui $f$ ?
- a) $[3; 8)$
- b) $(3; 12)$
- c) $[3; 12)$
- d) $[3; 12]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $[3; 12)$

Pe $(0; 5]$ , $f$ scade strict de la $12$ , neatins, la $3$ , deci ia valorile din $[3; 12)$ . Pe $[5; + \infty)$ crește de la $3$ la $8$ , neatins, adică $[3; 8)$ , inclus în prima mulțime. Reuniunea este $[3; 12)$ : minimul $3$ este atins, iar limita $12$ nu. Varianta a) uită ramura din stânga, b) exclude minimul atins, iar d) include limita $12$ .
Care este mulțimea valorilor funcției $h : R \to R$ , $h (x) = \frac{18}{x ^{2} + 6}$ ?
- a) $(0; 3]$
- b) $[0; 3]$
- c) $(0; 3)$
- d) $[3; + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(0; 3]$

Numitorul $x^{2} + 6$ este cel puțin $6$ , cu minimul în $x = 0$ , deci $h (x) \leq \frac{18}{6} = 3$ , valoare atinsă în $0$ . Pentru $x$ mare, $h$ se apropie de $0$ fără să-l atingă, fiindcă o fracție cu numărător pozitiv nu este niciodată nulă. Mulțimea valorilor este $(0; 3]$ ; varianta b) include limita $0$ , c) exclude maximul atins, iar d) inversează rolurile.
Se consideră funcția $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{6 x}{e ^{x}}$ . Care este mulțimea valorilor lui $f$ ?
- a) $[0; \frac{6}{e})$
- b) $(0; \frac{6}{e}]$
- c) $[0; 6]$
- d) $[0; \frac{6}{e}]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $[0; \frac{6}{e}]$

Derivata este $f^{'} (x) = \frac{6 ( 1 - x )}{e ^{x}}$ , deci $f$ crește pe $[0; 1]$ și scade pe $[1; + \infty)$ , cu $f (0) = 0$ , $f (1) = \frac{6}{e}$ și $x \to + \infty lim f (x) = 0$ . Valorile $0$ și $\frac{6}{e}$ sunt atinse, deci mulțimea valorilor este $[0; \frac{6}{e}]$ . Varianta a) exclude maximul, b) exclude valoarea $0$ atinsă în $x = 0$ , iar c) ia coeficientul $6$ drept maxim.

$x$	$0$		$5$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$12$	$↘$	$3$	$↗$	$8$

Întrebări conexe

De ce 0 aparține valorilor, deși este limită la infinit?

Pentru că $f (0) = 0$ : valoarea este atinsă în origine, deci apartenența ei nu depinde de limita la infinit. La $f (x) = \frac{18 x}{x ^{2} + 36}$ , valoarea $0$ apare la $x = 0$ , iar graficul trece prin ea.

Ce valori ia o fracție cu x² la numărător?

Una pozitivă sau nulă, sub limita ei. Pentru $h (x) = \frac{5 x ^{2}}{x ^{2} + 4}$ avem $h (0) = 0$ , iar $h (x) = 5 - \frac{20}{x ^{2} + 4}$ rămâne mereu sub $5$ , valoarea spre care tinde la $\pm \infty$ . Valoarea $5$ nu este atinsă, fiindcă fracția $\frac{20}{x ^{2} + 4}$ nu se anulează, deci mulțimea valorilor este $[0; 5)$ , cu $0$ atins și $5$ neatins.

Ce valori ia ln x supra x?

Derivata $\frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ se anulează în $x = e$ : funcția crește pe $(0; e]$ și scade după. Maximul este $\frac{1}{e}$ . Spre $0^{+}$ funcția coboară la $- \infty$ , iar spre $+ \infty$ tinde la $0$ , valoare deja luată în $x = 1$ . Mulțimea valorilor este $(- \infty; \frac{1}{e}]$ .

Cum tratez o fracție cu două trinoame care diferă prin constantă?

Împarți numărătorul la numitor, ca să apară o sumă între un număr și o fracție mai simplă. Pentru $f (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 11}{x ^{2} - 4 x + 5}$ obții $f (x) = 1 + \frac{6}{( x - 2 ) ^{2} + 1}$ . Fracția este cel mult $6$ și mereu pozitivă, deci valorile sunt $(1; 7]$ .

Ce simetrie are graficul fracției cu x la numărător?

Funcția este impară: $f (- x) = - f (x)$ , deci graficul este simetric față de origine. Valorile de pe $(- \infty; 0]$ sunt opusele celor de pe $[0; + \infty)$ . Pentru $f (x) = \frac{18 x}{x ^{2} + 36}$ , maximul $\frac{3}{2}$ din $x = 6$ are minimul opus $- \frac{3}{2}$ în $x = - 6$ .

Pot afla valorile fără derivată?

Da, uneori, cu discriminantul unei ecuații de gradul al doilea în $x$ . Din $y = \frac{18 x}{x ^{2} + 36}$ rezultă ecuația $y x^{2} - 18 x + 36 y = 0$ , care are soluții reale doar dacă $324 - 144 y^{2} \geq 0$ , adică $∣ y ∣ \leq \frac{3}{2}$ .

Oamenii mai întreabă și: mulțimea valorilor lui x supra x pătrat plus un număr · imaginea unei fracții cu x la numărător · valorile funcției cu numitor x² plus constantă · cum aflu minimul și maximul unei fracții cu x la numărător