Bac tehnologic: graficul unei funcții pas cu pas

Proiectantul care alege secțiunea unui cablu pune în balanță prețul cuprului și energia pierdută în căldură. Costul anual total e cel mai mic pentru o singură secțiune, iar curba lui se vede întreagă abia după un studiu complet: limite, derivate, tabel, grafic. În clasa a XI-a, la filiera tehnologică, studiul are aici șase pași și se încheie cu mulțimea valorilor, cerută în 3 probe ale Bacalaureatului M3 (M_tehnologic).

Situația de pornire

Un atelier își alimentează un utilaj printr-un cablu de cupru de 100 m, pe care trece permanent un curent de 20 A. Proiectantul alege secțiunea $S$, în mm², dintr-o gamă standard. Un cablu mai gros costă mai mult, dar pierde mai puțin în căldură, adică în energie plătită la contor. Firma amortizează cablul pe mai mulți ani și compară costurile anuale. Pentru patru secțiuni standard a calculat tabelul de mai jos (valori din exemplu).

Cablul costă $5S$ lei pe an, iar pierderile $\frac{3125}{S}$ lei pe an. Proiectantul vrea să știe dacă, între secțiunile din tabel, există una mai ieftină și cum arată costul pentru orice secțiune.

Întrebare: pentru ce secțiune este costul anual total cel mai mic și cum arată graficul acestui cost în funcție de secțiune?

De la situație la model

Costul total depinde de un singur număr, secțiunea. Cele două coloane din mijloc se adună, deci modelul este o sumă între un termen care crește cu $S$ și unul care scade.

Ce arată limitele la capetele domeniului?

Cât de sus sau de jos ajunge funcția lângă un capăt al domeniului se vede din limită. Asimptota verticală este dreapta $x=a$, când ${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$. Asimptota orizontală este dreapta $y=L$, când ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=L$. Asimptota oblică este o dreaptă $y=mx+n$ cu $m\ne 0$ de care graficul se apropie. Calculul limitelor și al asimptotelor îl găsești în lecția despre asimptotele verticale, orizontale și oblice; aici le folosești ca pe o etapă a studiului.

Cum afli mulțimea valorilor din tabel?

Pe un interval pe care funcția este continuă și strict monotonă, ea ia o singură dată fiecare valoare dintre cele două capete ale intervalului, după proprietatea lui Darboux. Capetele sunt valori ale funcției sau limite. O valoare atinsă se include în mulțimea valorilor, iar o limită neatinsă se exclude. Mulțimea valorilor este reuniunea intervalelor obținute pe fiecare porțiune a tabelului. O limită $L$ este atinsă numai dacă ecuația $f(x)=L$ are soluție.

Ce adaugă derivata a doua?

Pentru schiță, derivata a doua spune dacă porțiunea de curbă se îndoaie în sus sau în jos, ca în lecția despre convexitate și inflexiune. La cerința „determinați mulțimea valorilor” nu ai nevoie de ea, iar prima derivată vine din lecția despre monotonie și extreme, de pe traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Metoda pas cu pas

1. Domeniul și intersecțiile. Notează domeniul: scoate punctele în care numitorul se anulează și argumentele care nu au sens; un domeniu dat în enunț, ca $(0,+\infty )$, se păstrează. Dacă se cere, calculează $f(0)$ și rezolvă $f(x)=0$.
2. Limite și asimptote. Calculează limitele la capetele domeniului, la $\pm \infty$ și lângă punctele scoase. La o fracție, împarte numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a lui $x$.
3. Prima derivată. Calculează $f^{\prime }$, factorizeaz-o și află punctele critice din domeniu. Cu un număr de probă pe fiecare interval stabilești semnul și, de aici, monotonia și extremele. Dacă $f^{\prime }$ nu se anulează în domeniu, funcția este monotonă pe fiecare interval al domeniului.
4. A doua derivată. Calculează $f^{\prime \prime }$ și semnul ei, pentru convexitate și inflexiune. Pas necesar la schiță, nu la mulțimea valorilor.
5. Tabelul complet. Scrie $x$, $f^{\prime }$ și $f$, cu valorile din punctele critice și cu limitele de la capete, notate cu săgeți ($\nearrow$, $\searrow$) între ele. Valorile infinite se scriu ca limite, nu ca numere.
6. Schița, mulțimea valorilor, verificarea. Marchează pe axe asimptotele și punctele din tabel și unește-le monoton. Mulțimea valorilor se citește din tabel: reuniunea intervalelor, cu capete incluse doar la valorile atinse. Verifică cu o valoare dintr-un interval al tabelului, care trebuie să încapă între capetele lui.

Dacă enunțul fixează un interval închis, de exemplu $[0;7]$, nu există limite: capetele sunt valori, iar minimul și maximul se aleg dintre toate valorile din tabel.

Fișa de buzunar

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=L\Rightarrow y=L\text{ asimptota˘ orizontala˘},\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \infty \Rightarrow x=a\text{ asimptota˘ verticala˘}$$

$$f\text{ continua˘ și strict monotona˘ pe }(a,b)\Rightarrow f((a,b))\text{ este intervalul dintre }\underset{x\to a}{\lim }f\text{ și }\underset{x\to b}{\lim }f$$

Condiții: $f$ continuă pe fiecare interval al tabelului; capetele intervalului valorilor se includ numai dacă sunt atinse. Limita la infinit a unei fracții se află împărțind prin cea mai mare putere a lui $x$. Verificare rapidă: o valoare luată pe un interval al tabelului stă între capetele lui.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Secțiunea economică a unui cablu

Domeniu: electric.

Enunț. Revenim la cablul din situație, cu $C(S)=5S+\frac{3125}{S}$ lei pe an, pentru $S>0$. a) Calculează limitele lui $C$ la $0$ și la $+\infty$ și scrie asimptotele. b) Calculează $C^{\prime }$ și $C^{\prime \prime }$ și alcătuiește tabelul de variație complet. c) Scrie mulțimea valorilor lui $C$ și secțiunea cu costul minim.

Rezolvare. a) Când $S\to 0$, cu $S>0$, termenul $5S$ tinde la $0$, iar $\frac{3125}{S}$ tinde la $+\infty$, deci ${\lim }_{S\to 0}C(S)=+\infty$ și dreapta $S=0$ este asimptotă verticală. Când $S\to +\infty$, ambii termeni sunt pozitivi și primul crește, deci ${\lim }_{S\to +\infty }C(S)=+\infty$. Pentru asimptota oblică, $m={\lim }_{S\to +\infty }\frac{C(S)}{S}={\lim }_{S\to +\infty }\left(5+\frac{3125}{S^2}\right)=5$ și $n={\lim }_{S\to +\infty }(C(S)-5S)={\lim }_{S\to +\infty }\frac{3125}{S}=0$, deci $y=5S$ este asimptotă oblică. b) $C^{\prime }(S)=5-\frac{3125}{S^2}=\frac{5(S-25)(S+25)}{S^2}$. Pe $(0;+\infty )$ factorul $S+25$ este pozitiv, deci $C^{\prime }(S)<0$ pe $(0;25)$ și $C^{\prime }(S)>0$ pe $(25;+\infty )$; $C(25)=125+125=250$. Apoi $C^{\prime \prime }(S)=\frac{6250}{S^3}>0$ pe $(0;+\infty )$, deci curba este convexă peste tot și nu are puncte de inflexiune.

c) Pe $(0;25]$, $C$ scade strict de la $+\infty$ la 250, deci ia toate valorile din $[250;+\infty )$. Pe $[25;+\infty )$ crește strict de la 250 la $+\infty$, deci ia aceleași valori. Mulțimea valorilor este $[250;+\infty )$, iar costul minim, 250 lei pe an, se obține pentru $S=25$ mm², o secțiune standard.

Capcană. Cine scrie că limita în 0 este 0, pentru că $5S\to 0$, uită al doilea termen și ar avea un cablu fără costuri. Dar $C(1)=3130$ și $C(0,5)=6252,5$: lângă 0 costul urcă foarte sus, și mulțimea valorilor nu poate începe de la 0.

Verificare. Valorile din tabelul situației scad, apoi cresc: $C(10)=362,5$, $C(16)\approx 275,3$, $C(25)=250$, $C(35)\approx 264,3$ și $C(50)=312,5$, toate cel puțin 250. Aproape de asimptotă, $C(100)-5\cdot 100=31,25$, adică exact $\frac{3125}{100}$.

Exemplul 2 — Testul de toxicitate înaintea unei deversări

Domeniu: mediu.

Enunț. Înainte să aprobe o deversare, laboratorul de mediu face un test de toxicitate: ține loturi de pești în apă cu concentrația $c$ a unui poluant, în mg/L, și numără după 96 de ore procentul de pești afectați. Rezultatele se potrivesc cu $p(c)=\frac{100c^2}{c^2+16}$, pentru $c\ge 0$. a) Calculează $p(0)$, $p(4)$ și limita lui $p$ la $+\infty$ și scrie asimptota. b) Calculează $p^{\prime }$ și $p^{\prime \prime }$ și alcătuiește tabelul de variație, cu forma curbei. c) Scrie mulțimea valorilor lui $p$ și află concentrația la care sunt afectați 90 % dintre pești.

Rezolvare. a) $p(0)=0$ și $p(4)=\frac{1600}{32}=50$: la 4 mg/L este afectată jumătate din lot. La infinit, împarți la $c^2$: ${\lim }_{c\to +\infty }\frac{100}{1+\frac{16}{c^2}}=100$, deci $y=100$ este asimptotă orizontală. b) Cu regula câtului, $u=100c^2$, $v=c^2+16$, $u^{\prime }=200c$ și $v^{\prime }=2c$: $p^{\prime }(c)=\frac{200c(c^2+16)-100c^2\cdot 2c}{(c^2+16{)}^2}=\frac{3200c}{(c^2+16{)}^2}>0$ pentru $c>0$, deci $p$ crește strict. Derivând încă o dată cu regula câtului, după ce dezvolți numitorul ca polinom, obții $p^{\prime \prime }(c)=\frac{3200(16-3c^2)}{(c^2+16{)}^3}$: pozitivă pentru $c<\frac{4}{\sqrt{3}}$, negativă după. Inflexiunea este în $\left(\frac{4}{\sqrt{3}};25\right)$, fiindcă $c^2=\frac{16}{3}$ dă $p=\frac{100\cdot 16}{64}=25$.

c) $p$ este continuă și strict crescătoare pe $[0;+\infty )$, de la $p(0)=0$, valoare atinsă, la limita 100, neatinsă. Mulțimea valorilor este $[0;100)$. Din $p(c)=90$ rezultă $100c^2=90c^2+1440$, deci $c^2=144$ și $c=12$ mg/L. Curba are forma literei S, cu cotul la $\frac{4}{\sqrt{3}}\approx 2,31$ mg/L.

Capcană. Cine scrie mulțimea valorilor $[0;100]$ include limita. Egalitatea $p(c)=100$ dă $100c^2=100c^2+1600$, adică $0=1600$, imposibil: după model, niciun lot nu ajunge la 100 %.

Verificare. $p(2)=20$, $p(4)=50$, $p(12)=90$ și $p(36)\approx 98,78$ cresc și rămân sub 100. De la 2 la 3 mg/L procentul crește cu 16, iar de la 3 la 4 mg/L doar cu 14: după cotul de la 2,31 mg/L creșterea încetinește, cum arată inflexiunea.

Exemplul 3 — Aderența roții la frânare

Domeniu: auto.

Enunț. La frânarea cu ABS, coeficientul de aderență dintre pneu și asfaltul uscat depinde de patinarea roții, adică de cât de mult rămâne roata în urma vehiculului. În zona în care lucrează sistemul, $\mu (s)=\frac{32s}{s^2+400}$, cu patinarea $s$ în procente, pentru $0\le s\le 40$. Un vehicul merge cu 90 km/h, iar roata are viteza periferică de 20 m/s. a) Calculează patinarea în procente și coeficientul de aderență. b) Alcătuiește tabelul de variație al lui $\mu$ pe $[0;40]$. c) Scrie mulțimea valorilor lui $\mu$ pe acest interval.

Rezolvare. a) 90 km/h = 25 m/s (se împarte la 3,6). Patinarea este diferența dintre viteza vehiculului și cea a roții, raportată la viteza vehiculului: $\frac{25-20}{25}=0,2$, adică $s=20\%$. Atunci $\mu (20)=\frac{640}{800}=0,8$. b) ${\mu }^{\prime }(s)=\frac{32(s^2+400)-32s\cdot 2s}{(s^2+400{)}^2}=\frac{32(400-s^2)}{(s^2+400{)}^2}$, cu $400-s^2=(20-s)(20+s)$. Pe $[0;40]$ factorul $20+s$ este pozitiv, deci ${\mu }^{\prime }>0$ pe $(0;20)$ și ${\mu }^{\prime }<0$ pe $(20;40)$. Valorile sunt $\mu (0)=0$, $\mu (20)=0,8$ și $\mu (40)=\frac{1280}{2000}=0,64$.

c) Intervalul este închis și $\mu$ este continuă. Pe $[0;20]$ ia toate valorile din $[0;0,8]$, iar pe $[20;40]$ toate valorile dintre 0,64 și 0,8, deja cuprinse în primul interval, deci mulțimea valorilor este $[0;0,8]$. Aderența maximă, 0,8, apare la patinarea de 20 %, iar la 40 % scade la 0,64: de aceea sistemul ABS ține roata aproape de 20 %.

Capcană. Dacă pui în formulă 0,2 în loc de 20, fără să treci fracția în procente, obții $\mu (0,2)\approx 0,016$, o aderență de câteva sutimi, ca pe gheață lustruită. Variabila $s$ se scrie în procente.

Verificare. Două patinări cu produsul 400, ca 10 și 40, dau aceeași aderență: $\mu (10)=\frac{320}{500}=0,64=\mu (40)$, câte una de fiecare parte a lui 20, ambele sub maximul de 0,8.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: vibrațiile unei mașini

Domeniu: mecanica.

Enunț. Amplitudinea relativă a vibrațiilor unei mașini la turația de $x$ mii de rotații pe minut este dată, pentru $x\ge 0$, de funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-6x+14}{x^2-6x+10}$, cu o valoare maximă la rezonanță. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{8(x-3)}{(x^2-6x+10{)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$. c) Determinați mulțimea valorilor funcției $f$.

Rezolvare. a) Numitorul $x^2-6x+10=(x-3{)}^2+1$ este pozitiv, deci domeniul este $\mathbb{R}$. Notăm numărătorul cu $u$ și numitorul cu $v$; avem $u^{\prime }=v^{\prime }=2x-6$: $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-6)v-u(2x-6)}{v^2}=\frac{(2x-6)(v-u)}{v^2}=-\frac{8(x-3)}{v^2}$, fiindcă $v-u=-4$. b) ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1-\frac{6}{x}+\frac{14}{x^2}}{1-\frac{6}{x}+\frac{10}{x^2}}=1$, deci $y=1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$. c) Semnul lui $f^{\prime }$ este al lui $-(x-3)$: $f^{\prime }>0$ pe $(-\infty ;3)$ și $f^{\prime }<0$ pe $(3;+\infty )$. Limita la $-\infty$ este tot 1, iar $f(3)=\frac{5}{1}=5$.

Funcția este continuă. Pe $(-\infty ;3]$ crește de la 1, neatins, la 5, iar pe $[3;+\infty )$ scade de la 5 la 1, neatins. Mulțimea valorilor este $(1;5]$.

Capcană. Cine ia ca minim valoarea de la $x=0$, $f(0)=1,4$, scrie mulțimea valorilor $[1,4;5]$. Dar $f(10)=1,08$ este mai mică, fiindcă funcția coboară spre 1 când $x\to +\infty$. Minimul nu se ia dintr-un punct oarecare, ci din limitele de la capete.

Verificare. Funcția se poate scrie $f(x)=1+\frac{4}{(x-3{)}^2+1}$, deci este mereu mai mare decât 1 și atinge 5 numai pentru $x=3$. Punctele simetrice față de 3 dau aceeași valoare: $f(2)=f(4)=3$, între 1 și 5.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru $g:\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{2x^2+5}{x^2-9}$, află intersecția graficului cu axa $Oy$, arată că graficul nu taie axa $Ox$, calculează limitele laterale în $-3$ și în 3 și limita la $\pm \infty$, apoi scrie asimptotele.

2. Pentru $h:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $h(x)=\frac{4x+1}{x-3}$, scrie asimptotele, arată că $h$ este strict descrescătoare pe fiecare interval al domeniului și scrie mulțimea valorilor.

3. Pentru $k:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $k(x)=x^3-75x+4$, calculează $k^{\prime }$ și $k^{\prime \prime }$, alcătuiește tabelul de variație, cu rândul formei curbei, și scrie extremele, punctul de inflexiune și mulțimea valorilor.

4. Tabelul de variație al funcției $\phi :(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ este cel de mai jos, iar $\phi$ este continuă. Scrie asimptotele, mulțimea valorilor și numărul soluțiilor ecuației $\phi (x)=m$ pentru $m=4$, $m=5$, $m=6$, $m=8$ și $m=10$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) La un laborator de chimie, 4 litri de soluție cu 15 g/L se diluează cu $v$ litri de apă, iar concentrația finală este $c(v)=\frac{60}{v+4}$ g/L, pentru $v\ge 0$. Scrie asimptota, mulțimea valorilor și volumul de apă pentru care concentrația ajunge la 5 g/L.

6. (Problemă aplicată.) La o fermă de legume, $x$ mii de metri cubi de apă pe sezon aduc un venit suplimentar de $4\sqrt{x}$ mii de lei, iar apa costă 0,4 mii de lei pe mia de metri cubi, deci rămân $B(x)=4\sqrt{x}-0,4x$ mii de lei, pentru $1\le x\le 36$. Află cantitatea de apă cu rezultatul cel mai bun, mulțimea valorilor lui $B$ și cât rămâne fermei dacă are dreptul la cel mult 16 mii de metri cubi.

7. (Problemă aplicată.) Curba de putere din fișa unui motor de autoturism se aproximează cu $P(n)=10,8n^2-1,2n^3$ kilowați, cu turația $n$ în mii de rotații pe minut, pentru $1\le n\le 7$. Află turația de putere maximă, turația la care puterea crește cel mai repede și intervalul de turații în care motorul dă cel puțin 96 kW.

8. (Problemă aplicată.) După o ploaie puternică peste câmpuri fertilizate, concentrația nitraților în apa unei fântâni, la $t$ zile de la ploaie, este $c(t)=20+\frac{30t}{t^2+4}$ mg/L, pentru $t\ge 0$. Află ziua cu concentrația cea mai mare, asimptota, mulțimea valorilor și în câte momente concentrația este de 26 mg/L.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{15x}{x^2+36}$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{15(36-x^2)}{(x^2+36{)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați mulțimea valorilor funcției $f$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{8x}{x^4+3}$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{24(1-x^2)(1+x^2)}{(x^4+3{)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați mulțimea valorilor funcției $f$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:[0,8]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-27x^2+84x+20$. Determinați mulțimea valorilor funcției $f$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-6x+1$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=e^x-6$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați mulțimea valorilor funcției $f$.

Răspunsuri și verificări

1. $g(0)=-\frac{5}{9}$, iar $g(x)=0$ ar cere $2x^2+5=0$, imposibil. În $\pm 3$ numărătorul tinde la 23: $g\to +\infty$ la dreapta lui 3 și la stânga lui $-3$, unde $x^2-9>0$, și $g\to -\infty$ în celelalte două părți. Asimptotele sunt $x=-3$, $x=3$ și, cu limita 2 la $\pm \infty$, $y=2$. Verificare: $g(2,9)\approx -37,0$ și $g(10)\approx 2,25$.

2. Lângă $x=3$, $h\to +\infty$ la dreapta și $h\to -\infty$ la stânga, fiindcă numărătorul tinde la 13. Asimptotele sunt $x=3$ și, cum limita la $\pm \infty$ este 4, $y=4$. $h^{\prime }(x)=\frac{4(x-3)-(4x+1)}{(x-3{)}^2}=-\frac{13}{(x-3{)}^2}<0$, deci $h$ scade pe $(-\infty ;3)$, cu valorile $(-\infty ;4)$, și pe $(3;+\infty )$, cu valorile $(4;+\infty )$. Mulțimea valorilor este $\mathbb{R}\setminus \{4\}$. Verificare: $h(4)=17>4$ și $h(2)=-9<4$.

3. $k^{\prime }(x)=3(x+5)(x-5)$ și $k^{\prime \prime }(x)=6x$: $k$ crește pe $(-\infty ;-5]$, scade pe $[-5;5]$ și crește pe $[5;+\infty )$, cu maximul local $k(-5)=254$ și minimul local $k(5)=-246$; e concavă pe $(-\infty ;0]$ și convexă pe $[0;+\infty )$, cu inflexiunea $(0;4)$. Limitele $-\infty$ și $+\infty$ dau mulțimea valorilor $\mathbb{R}$. Verificare: $k(-5)+k(5)=8=2k(0)$, deci inflexiunea e mijlocul segmentului dintre extreme.

4. Asimptotele sunt $x=0$ și $y=8$. Pe $(0;2]$ funcția ia valorile $[5;+\infty )$, iar pe $[2;+\infty )$ valorile $[5;8)$, deci mulțimea valorilor este $[5;+\infty )$. Numărul soluțiilor este 0 pentru $m=4$, 1 pentru $m=5$, 2 pentru $m=6$, 1 pentru $m=8$ (limită neatinsă) și 1 pentru $m=10$. Verificare: $5<6<8$.

5. $c$ scade strict și tinde la 0 fără să-l atingă: $y=0$ este asimptotă, iar mulțimea valorilor este $(0;15]$, cu $c(0)=15$. Din $\frac{60}{v+4}=5$ rezultă $v=8$ litri. Verificare: $c(8)=\frac{60}{12}=5$ g/L.

6. $B^{\prime }(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-0,4$ se anulează în $x=25$: $B$ crește pe $[1;25]$ și scade pe $[25;36]$. Cu $B(1)=3,6$, $B(25)=10$ și $B(36)=9,6$, mulțimea valorilor este $[3,6;10]$; cel mai bun rezultat, 10 mii de lei, vine la 25 de mii de m³. Cu cel mult 16 mii, $B$ crește până la capăt: $B(16)=9,6$ mii de lei. Verificare: $B(9)=8,4$, între 3,6 și 10.

7. $P^{\prime }(n)=3,6n(6-n)$ și $P^{\prime \prime }(n)=21,6-7,2n$. Maximul este $P(6)=129,6$ kW, la 6 000 de rotații pe minut. $P^{\prime \prime }$ își schimbă semnul în $n=3$: la 3 000 de rotații puterea crește cel mai repede, cu 32,4 kW la o mie de rotații. Cum $P(4)=96$, $P$ crește până la 6 și $P(7)=117,6$, motorul dă cel puțin 96 kW pe $[4;7]$. Verificare: $P(3,9)\approx 93,1<96$ și $P(5)=120$.

8. $c^{\prime }(t)=\frac{30(4-t^2)}{(t^2+4{)}^2}$: $c$ crește pe $[0;2]$ și scade apoi, cu maximul $c(2)=27,5$ mg/L în ziua 2. Limita la $+\infty$ este 20 ($y=20$), iar $c(0)=20$, deci mulțimea valorilor este $[20;27,5]$. Valoarea 26 este între 20 și 27,5 atât pe porțiunea crescătoare, cât și pe cea descrescătoare, deci apare de două ori: în zilele 1 și 4. Verificare: $c(1)=c(4)=26$.

9. Cu $u=15x$ și $v=x^2+36$: $f^{\prime }(x)=\frac{15(x^2+36)-15x\cdot 2x}{(x^2+36{)}^2}=\frac{15(36-x^2)}{(x^2+36{)}^2}$. Limitele la $\pm \infty$ sunt 0; $f$ scade pe $(-\infty ;-6]$, crește pe $[-6;6]$ și scade pe $[6;+\infty )$, cu $f(\pm 6)=\pm \frac{5}{4}$. Mulțimea valorilor este $\left[-\frac{5}{4};\frac{5}{4}\right]$. Verificare: $f(12)=1$ stă între $0$ și $\frac{5}{4}$.

10. Cu $u=8x$ și $v=x^4+3$: $f^{\prime }(x)=\frac{8(x^4+3)-8x\cdot 4x^3}{(x^4+3{)}^2}=\frac{24(1-x^4)}{(x^4+3{)}^2}=\frac{24(1-x^2)(1+x^2)}{(x^4+3{)}^2}$. Limitele la $\pm \infty$ sunt 0; $f$ scade pe $(-\infty ;-1]$, crește pe $[-1;1]$ și scade pe $[1;+\infty )$, cu $f(\pm 1)=\pm 2$. Mulțimea valorilor este $[-2;2]$. Verificare: $f(2)=\frac{16}{19}$ stă între 0 și 2.

11. $f^{\prime }(x)=6x^2-54x+84=6(x-2)(x-7)$, cu semnele $+,-,+$. Cu $f(0)=20$, $f(2)=96$, $f(7)=-29$ și $f(8)=-12$, mulțimea valorilor este $[-29;96]$. Verificare: $f(5)=15$ stă între 96 și $-29$.

12. $f^{\prime }(x)=e^x-6$, care se anulează în $x=\ln 6$. $f$ scade pe $(-\infty ;\ln 6]$ și crește pe $[\ln 6;+\infty )$, cu $f(\ln 6)=7-6\ln 6$. La $-\infty$, $-6x\to +\infty$; la $+\infty$, $e^x-6x=x\left(\frac{e^x}{x}-6\right)\to +\infty$. Mulțimea valorilor este $[7-6\ln 6;+\infty )$. Verificare: $7-6\ln 6\approx -3,75$, iar $f(1)\approx -2,28$ și $f(2)\approx -3,61$ sunt mai mari.

Așa vine la Bac M3

Studiul unei funcții până la mulțimea valorilor a apărut, în probele oficiale 2013–2026, în 3 probe din cele 83, toate la problema 1 din Subiectul al III-lea. În toate trei, subpunctul a) cere derivata întâi, iar subpunctul c) cere mulțimea valorilor sau imaginea funcției. Programa de examen trece „Reprezentarea grafică a funcțiilor” la conținuturile clasei a XI-a. Cele trei cerințe reale, din probe diferite, sunt:

• August 2019, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția este câtul $\frac{x}{x^6+5}$ și se cere mulțimea valorilor; baremul probei dă 2 puncte pentru monotonie (pasul 3 din Metodă) și 3 puncte pentru limitele la $\pm \infty$, valorile din punctele de extrem și continuitate, din care iese mulțimea valorilor (pașii 2 și 6).
• August 2019, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția este câtul dintre $x$ și $x^2+4$ și se cere mulțimea valorilor; baremul probei dă 2 puncte pentru monotonie (pasul 3) și 3 puncte pentru limite, valorile din extreme și continuitate (pașii 2 și 6).
• August 2020, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția este câtul $\frac{x^2+2x+3}{x^2+2x+2}$ și se cere imaginea funcției; baremul probei dă 3 puncte pentru monotonie (pasul 3) și 2 puncte pentru limite, valoarea din extrem și faptul că valoarea 1 nu este atinsă (pașii 2 și 6).

Exercițiile 9 și 10 au tipurile primelor două cerințe, un cât cu $x$ la numărător, iar Exemplul 4 îl are pe al treilea; exercițiul 11 aplică aceeași metodă pe un interval închis, iar exercițiul 12 pe o funcție cu exponențială. Convexitatea completează schița, nu răspunsul la această cerință; ea e în lecția despre convexitate și inflexiune.

Greșeli care costă puncte

• Limita în 0 luată ca 0. Scrii ${\lim }_{S\to 0}C(S)=0$ pentru că $5S\to 0$ → costul mic nu există; cum o prinzi: calculezi $C(1)=3130$ și $C(0,5)=6252,5$ și vezi că valorile urcă.
• Limita neatinsă inclusă în mulțimea valorilor. Scrii $[0;100]$ la Exemplul 2 sau $[1;5]$ la Exemplul 4 → capătul nu este o valoare a funcției; cum o prinzi: verifici dacă ecuația $f(x)=L$ are soluție; $p(c)=100$ dă $0=1600$.
• Minimul luat dintr-un punct oarecare. Iei $f(0)=1,4$ ca minim la Exemplul 4 → cum o prinzi: compari cu limitele de la capete și cu o valoare luată departe, ca $f(10)$.
• Fracție în loc de procent. Pui 0,2 în loc de 20 la Exemplul 3 → aderența iese 0,016; cum o prinzi: compari cu aderența unui pneu pe asfalt uscat, de câteva zecimi.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Determinarea mulțimii valorilor unei funcții prin studiul ei cu derivatele se cere la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 3 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce cere Bacalaureatul M3 când spune „Determinați mulțimea valorilor funcției f”?

Cere toate valorile pe care le ia funcția, scrise ca interval sau reuniune de intervale. Se răspunde din tabelul de variație: monotonia, limitele la capete și valorile din extreme. În cele trei probe, subpunctul a) cere derivata, iar c) această mulțime; funcția este continuă, deci ia și valorile dintre capete.

Dacă firma are numai cabluri de 16 și de 35 mm², pe care alege?

Minimul de 250 lei pe an al modelului este la 25 mm². Dintre cele două secțiuni disponibile se compară costurile: $C(16)\approx 275,3$ lei și $C(35)\approx 264,3$ lei. Alege 35 mm², fiindcă $264,3<275,3$, chiar dacă niciuna nu atinge minimul. Minimul se citește din tabel, dar alegerea reală se face între secțiunile care există.

Ce se schimbă dacă energia se scumpește cu 44 % și pierderile costă $\frac{4500}{S}$?

Costul devine $5S+\frac{4500}{S}$, cu $C^{\prime }(S)=\frac{5(S^2-900)}{S^2}$ și punctul critic $S=30$. Minimul crește la $C(30)=300$ lei pe an și se mută la secțiune mai mare: pierderile mai scumpe cer cablu mai gros. Tabelul se face la fel, cu alt punct critic, iar mulțimea valorilor devine $[300;+\infty )$.

Ce arată asimptota oblică $y=5S$ de la cablu?

Pentru secțiuni mari costul pierderilor devine neglijabil, iar costul total ajunge aproape de costul cablului, $5S$. La 100 mm² diferența este de numai 31,25 lei pe an. Curba urcă deci, la dreapta, paralel cu dreapta $y=5S$, fără să o atingă.

Cum verific o valoare de pe schița costului, de exemplu secțiunea de 50 mm²?

Calculezi $C(50)=250+62,5=312,5$ lei și vezi că punctul $(50;312,5)$ stă peste minimul de 250 și peste dreapta oblică, unde $5\cdot 50=250$. Diferența de 62,5 este chiar $\frac{3125}{50}$, partea pierderilor. Orice punct citit de pe schiță trebuie să verifice formula; dacă nu o verifică, ai greșit scara sau un calcul.